第3讲-光波在非线性介质中传播的基本方程

第3讲光波在非线性介质中传播的基本方程(Wave-EquationDescriptionofNonlinearOpticalInteracion)

介质在强激光作用下被极化，极化强度随时间变化，作为场源产生辐射场，这些辐射场就是介质中发生频率转换等各种光学现象的光电场。从麦克斯韦方程出发，可导出光电场在介质中传播的基本方程。麦克斯韦方程组回顾（ReviewofMaxwell’sEquations：(1)麦克斯韦方程组本构方程由麦克斯韦方程组和本构方程NofreecurrentsNofreechargesNonmagneticmedium

二阶非线性光学效应只能发生在非中心对称的晶体材料中，研究光波在各向异性晶体中的线性光学传播规律，便于以后讨论三波相互作用的相位匹配条件。单色平面波复数形式的光电场强度表示为：光波的波矢k：这里，光波在晶体中传播，由于色散，不同波长有不同的折射率；由于光波在光学各向异性晶体中传播，波矢值的大小与波法线的方向有关；同一传播方向、同一波长的光波在光学各向晶体中传播，有两个数值不同的波矢。我们先介绍晶体的介电常数张量：unit：cm-1光波在真空中传播，，由，因此，

是一个对称张量，相对介电张量也是对称张量，经主轴变换后的介电常数张量是对角矩阵，只有三个非零的对角元素。线性极化率张量介电常数张量上一讲通过极化率的完全对易对称性和时间反演对称性，证明了线性极化率张量是一个对称张量：相应地定义三个主折射率nx,ny,nz,由麦斯斯韦关系：相当于由晶体坐标系变换到介电主轴坐标系三斜、单斜和正交晶系属于双轴晶体(KTP,LBO、KNbO3)三方、四方和六方晶系属于单轴晶体(LiNbO3,BBO、ZnGeP2)立方晶系各向同性（GaAs,YAG)双轴晶体单轴晶体各向同性晶体七大晶系对应的相对介电常数张量：拉普拉斯符号▽仅是针对笛卡尔坐标的微分，用代替▽，用-iw

代替，其中e是波矢（光波波法线）单位矢量）。当光波在晶体中传播，先考虑线性极化，此时电位移矢量表示为,相对介电常数张量在介电主轴坐标系中，电位移矢量写成分量形式：*一般情况下，电位移矢量和电矢量

方向不同。线性极化条件下Ｍaxwell

方程为：线性极化条件下，电位移矢量振幅和电场强度振幅不是位移r和时间t的函数，变量r只在相位传播项exp(-ik.r)中，时间变量t在振动项exp(-iwt)中用到了微分后的方程为：根据矢量运算：电位移矢量D

写为：电位移矢量写成分量形式：利用电位移矢量D和电矢量E

关系：波矢在坐标轴x,y,z方向上的单位矢量描述晶体光学性质的基本方程：点位移矢量分量Di

重写为：kDEHSB

kD,H EB DH SE,H晶体中电位移矢量D，电矢量E、波矢k，坡印廷矢量S，及磁场强度H间的相互垂直关系电位移矢量D

和波矢k

相互垂直：而上式描述了在晶体中传播的光波法线（波矢）方向与相应折射率和晶体的主介电常数之间的关系，称为波法线的菲涅尔方程。或波法线菲涅尔方程光波波矢在相对介电主轴上的投影由平面光波在晶体中传播的基本方程：或相当于求解一个本征方程，其本征值为,本征矢为是一个3×3对称方阵，本应有三个相互正交的本征矢，而光波为横波，光电场振动方向通常在近似垂直于波法线的平面内，因此晶体中有两个可以传播的本征矢。设本征方程的另一个本征值和电场本征矢分别为：和分别用一个电场本征矢标量乘本征方程：交换m,n指标得：相等上式重写为：对称张量相等上面两式相减得：当时，当m≠n00当nm≠nn给定波矢k方向，各向异性晶体中两个本征模的E、D、s方向结论：晶体中两个自由传播模的电位移矢量是正交的。当考虑非线性极化时，极化强度分为线性极化项和非线性极化项：波动方程重写为：讨论：Maxwell物质方程中，对无自由电荷非线性介质而我们根据光学各向异性晶体材料中，电位移矢量和电矢量关系：光波矢的方向e和电矢量E不垂直，即因此由得不到实际情况中，晶体中电位移矢量和电矢量偏离角比较小，波法线方向和电矢量基本垂直，如对BBO晶体，波法线和电矢量夹角大于85度；而且理论上讨论的是横截面无限大均匀平面波，因而可近似认为：非线性光学耦合波方程(Wave-EquationofNonlinearOpticalInteraction：波动方程写为：非线性光学相互作用是多个光波之间耦合，考虑到色散，将介质中的光电场合极化强度是多个光波场和极化强度的叠加，而每个单色波和作为其辐射源的极化强度满足波动方程。也就是说，介质内有几种相互作用的光波存在，就有几个相应的波动方程或非线性耦合波方程来描述。电场强度和极化强度是介质内它们各个频率分量之和我们主要讨论单色、振幅慢变化平面波情况，光波沿z方向传播，光电场振幅在横向方向上不变化（不是x或y的函数），只是笛卡尔坐标z

的函数，光电场振幅慢变化，即不是时间的t

的函数，且介质对相互作用的光波没有吸收。单色平面波光电场：辐射频率为wn的非线性极化强度表示为：～表示实数电场或极化场每一个频率分量满足波动方程，由：在平面波条件下，电场强度只是z的函数:方程两边对z和t求偏微分得：方程左边方程右边：线性极化条件下：得到：光电场振幅慢变化近似：在一个光波长的范围内（），振幅的变化量很小，可以忽略该式就是平面光波在稳态条件下的非线性耦合波方程，它是讨论光波混频的基本方程。当脉冲激光作用到非线性介质时，此时光电场是时间t的函数，稳态条件对适用。（t为脉冲宽度，L为作用介质的长度）我们通常所用的调Q激光脉冲在纳秒量级，而非线性光学晶体长度一般长度10mm，因而适用于稳态条件的耦合波方程。二阶非线性效应稳态耦合波方程对应的极化强度：定义三波共线条件下的相位失配量：光电场矢量写为单位矢量和电场幅度的乘积：耦合波方程(1)重写为：上式是将方程左边的电场单位矢量移到右边得到二阶非线性极化率与三个光电场单位矢量关系重写为：：二阶非线性效应稳态耦合波方程重写为：定义二阶有效非线性极化率二阶非线性光学效应三波混频耦合波方程组：相位失配量曼利——罗关系能流密度及光强定义：光子通量定义为：unit:W/cm2unit:/cm2.s光子通量对z微分：耦合波方程（1）两边同乘以，并与方程（1）两边先复共轭再乘以，得到的两个方程相加：