2024学年重庆市巴川中学高二数学上学期12月考试卷附答案解析

学年重庆市巴川中学高二数学上学期12月考试卷一、单选题（本大题共8小题）1．双曲线的渐近线方程为（

）A．B．C． D．2．已知向量，，，若，则（

）A．1 B．2 C． D．3．2020年北京时间11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动、环月飞行、着陆下降、月面工作、月面上升、交会对接与样品转移、环月等待、月地转移、再入回收等11个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦娥五号返回器在近月点（离月面最近的点）约为200公里，远月点（离月面最远的点）约为8600公里，以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公里，则此椭圆轨道的离心率约为（

）A．0.32 B．0.48 C．0.68 D．0.824．已知圆关于直线对称，则圆的半径为（

）A． B．2 C． D．45．直线，则“”是“”的（

）条件A．必要不充分B．充分不必要C．充要 D．既不充分也不必要6．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点Px,y是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．7．已知某圆台的上､下底面半径分别为，且，若半径为的球与圆台的上､下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（

）A． B． C． D．8．已知为抛物线上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列四个命题中真命题有（

）A．直线在轴上的截距为B．经过定点的直线都可以用方程表示C．直线必过定点D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是10．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（

）A．B．到平面的距离为C．直线与所成角的正弦值为D．存在实数使得11．已知点是椭圆上的一动点（非左右顶点），为椭圆的右焦点，分别是椭圆的左右顶点，，直线分别与直线交于.则下列说法正确的有（

）.A．椭圆离心率B．记，则的最小值为C．D．的最小值为3三、填空题（本大题共3小题）12．过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为.13．已知直线：，抛物线：的准线是，点是上一点，若点到直线，的距离分别是，，则的最小值是.14．设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左支交于点P，坐标原点O到直线的距离为，的面积为，则C的离心率为．四、解答题（本大题共5小题）15．记的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求角的值；(2)若为的中点，且，，求的面积.16．如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．(1)若为线段中点，求证：平面．(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．17．古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，动点满足，设动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的轨迹方程；(2)若直线与曲线交于两点，求.18．已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过焦点作一条直线交于A，B两点，点在的准线上，且直线MF的斜率为的面积为1.(1)求抛物线的方程；(2)试问在上是否存在定点，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)过焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于P，Q两点，求证：直线AP与BQ的交点在一条定直线上.19．已知椭圆的左右焦点为，点为椭圆上异于左右顶点的任意一点，的周长为6，椭圆的离心率为.(1)求该椭圆的方程；(2)已知定点，过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点（与点不重合），延长分别与直线交于两点.（i）当直线斜率不存在时，求的面积；（ii）证明：以线段为直径的圆与轴的交点为定点.

参考答案1．【答案】C【详解】已知双曲线方程为，可得，，因此，；根据渐近线方程的公式得到.故选：C.2．【答案】B【分析】利用列出方程求解即可.【详解】由，又，则，解得．故选：B．3．【答案】C【解析】由题意可知，求出的值，从而可求出椭圆的离心率【详解】解：由题意得，解得，所以离心率，故选：C4．【答案】A【详解】由，可得圆的圆心为.因为圆关于直线对称，所以由圆的对称性可知，圆心在直线上，则，解得，故圆，可化为，所以圆的半径为.故选：A.5．【答案】C【详解】若，则，解得或，当时，和的方程都是，两直线重合，不符合题意.经验证可知，符合.所以“”是“”的充要条件.故选：C6．【答案】C【详解】记，则为直线的斜率，故当直线与半圆相切时，得k最小，此时设，故，解得或（舍去），即．故选：C.7．【答案】D【详解】如图，设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心一定在的中点处，设球与母线切于点，所以，则，，则，同理，所以，过点作，垂足为，则，，又，即，解得，则，所以该圆台的体积为.故选：D.8．【答案】B【详解】设圆心为，由题意作图如下：由，与圆相切，则，且，故.设，则，可得，的最小值为，所以的最小值为.故选：B.9．【答案】CD【分析】利用截距的定义可判断A选项；取点且垂直于轴的直线，可判断B选项；求出直线所过定点的坐标，可判断C选项；利用两直线平行求出的值，结合平行线间的距离公式可判断D选项.【详解】对于A选项，直线在轴上的截距为，A错；对于B选项，过点且垂直于轴的直线方程为，不能用方程表示，B错；对于C选项，将直线方程变形为，由可得，故直线过定点，C对；对于D选项，若直线与直线平行，则，解得，直线方程可化为，故两平行直线间的距离为，D对.故选：CD.10．【答案】BCD【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，对于A，，故与不垂直，故A错误；对于B，由上，所以，所以即，又，所以，因为，又由正方体性质可知平面即平面，所以，又,由余弦定理可得：,所以，所以，设到平面的距离为，则，所以，故B正确；对于C，，所以直线与所成角的正弦值为，故C正确；对于D，若存在实数使得，则，所以，所以，故D正确.故选：BCD.11．【答案】AB【详解】由题意知，，，，，故，解得，故，椭圆方程为.画出大致图形如下.A，离心率，正确；B，设，由上可知，，则，，，从而为钝角.由，故，，当时，有最小值，B正确；C，设，.由，，得，将代入，得，故，故.又，，故，C错误；D，不妨设，，则，最小值为2，错误；故选：AB.12．【答案】或.【详解】显然直线的斜率是存在的.若两坐标轴上截距相等且等于零，设直线方程为，因为过点，所以，所以直线方程为；若两坐标轴上截距相等且不等于零，设直线方程为，因为过点，所以，故，所以直线方程为，即；故答案为：或.13．【答案】【详解】抛物线的焦点是，准线是：，设点到直线的距离为，则，所以，当且仅当且在与之间时等号成立，所以的最小值是.故答案为：.14．【答案】或【分析】先根据面积关系求出，设，垂足为，在中求出，再在中利用余弦定理求出，进而可得离心率.【详解】，，又，所以，，又到直线的距离为，所以，得，由双曲线定义得，设，垂足为，如图：则，，则在中，，，在中，由余弦定理可得，即，又，整理得，解得或，则离心率或.故答案为：或.15．【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理得，，则由，得，，，，；（2）为的中点，，又，，①由余弦定理得，，②联立①②，解得，，的面积为.16．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）取的中点为，接，则，而，故，故四边形为平行四边形，故，而平面，平面，所以平面.（2）因为，故，故，故四边形为平行四边形，故，所以平面，而平面，故，而，故建立如图所示的空间直角坐标系，则，则设平面的法向量为，则由可得，取，设平面的法向量为，则由可得，取，故，故平面与平面夹角的余弦值为17．【答案】(1)(2)【详解】（1）设，因为，满足，即，即，整理得，所以曲线的轨迹方程为.（2）圆心到直线的距离为，所以.18．【答案】(1)(2)或(3)证明见解析【详解】（1）由题意得，直线方程为：，令，则，故，于是，解得（负值舍去），故抛物线方程为.（2）设的方程为，，，由题意得，，即，可得，通分可得，联立和抛物线，得到，，由，代入可得，整理可得，解得或，故，满足题意.

（3）由题意，，则直线，直线，两直线方程相减得到：，由（2）知，，于是，即，即，即，于是，解得，即直线AP与BQ的交点在一条定直线上.

19．【答案】(1)；(2)（