2024-2025学年天津市南开区高二上册阶段性数学检测试题（含解析）

2024-2025学年天津市南开区高二上学期阶段性数学检测试题一、单选题（本大题共10小题）1．下列说法错误的是（）.A．有的直线斜率不存在B．截距可以为负值C．若直线l的倾斜角为，且，则它的斜率D．若直线l的斜率为1，则它的倾斜角为2．过点，的直线的倾斜角是（）A． B． C． D．3．已知点是点在平面上的射影，则等于（）.A． B． C． D．4．将直线l沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则的斜率是（）A． B．4 C．1 D．5．已知空间向量，，若，则（

）A．1 B． C．2 D．6．过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（

）A．x-y+1=0 B．x+y-3＝0 C．y＝2x或x+y-3＝0 D．y＝2x或x-y+1＝07．圆和圆的公切线方程是（

）A． B．或C． D．或8．如图，在底面为平行四边形的四棱柱中，是与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A． B．C． D．9．已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．内切 D．内含10．在平面直角坐标系中，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、填空题（本大题共5小题）11．过点且与直线平行的直线方程是．12．已知圆的圆心为点，一条直径的端点分别在轴和轴上，则该圆的标准方程为.13．已知，，．若、、三向量共面，则实数．14．设点，，若直线与线段AB没有交点，则的取值范围是.15．空间四边形中，，，，则与所成角的余弦值等于.三、解答题（本大题共5小题）16．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围．17．如图，三棱柱，底面底面中，，，棱，分别是，的中点.(1)求的模：(2)求的值；(3)求证.18．△ABC中，A(0,1)，AB边上的高CD所在直线的方程为x＋2y－4＝0，AC边上的中线BE所在直线的方程为2x＋y－3＝0.(1)求直线AB的方程；(2)求直线BC的方程；(3)求△BDE的面积．19．如图，将边长为2的正方形沿对角线折成一个直二面角，且平面，.(1)若，（i）求证：平面；（ii）求直线与平面所成角的正弦值；(2)求实数的值，使得二面角的大小为60°.20．已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，．（1）求圆的圆心坐标；（2）求线段的中点的轨迹的方程；（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

答案1．【正确答案】D【详解】当直线与轴垂直，斜率不存在，A正确；截距是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为负，B正确；由斜率与倾斜角的关系知C正确；直线l的斜率为1，则它的倾斜角为，D错．故选：D．2．【正确答案】C【详解】，的斜率为,故直线的倾斜角为，故选：C3．【正确答案】B【详解】由题意，所以，故选：B．4．【正确答案】A【详解】设直线l上任意一点，将直线l沿x轴正方向平移2个单位，则P点移动后为，再沿y轴负方向平移3个单位，则点移动后为．∵都在直线l上，∴直线l的斜率．故选：A．5．【正确答案】A【详解】因为，，，所以，解得，所以.故选A.6．【正确答案】D【分析】考虑直线是否过坐标原点，设出直线方程，分别求解出直线方程.【详解】当直线过原点时，其斜率为，故直线方程为y＝2x；当直线不过原点时，设直线方程为，代入点（1，2）可得，解得a＝－1，故直线方程为x-y+1＝0.综上，可知所求直线方程为y＝2x或x-y+1＝0，故选：D.本题主要考查直线方程的截距式以及分类讨论思想的应用，考查逻辑推理和数学运算.在利用直线方程的截距式解题时，一定要注意讨论直线的截距是否为零.7．【正确答案】A【分析】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程.【详解】解：，圆心，半径，，圆心，半径，因为，所以两圆相内切，公共切线只有一条，因为圆心连线与切线相互垂直，，所以切线斜率为，由方程组解得，故圆与圆的切点坐标为，故公切线方程为，即．故选：A.8．【正确答案】A【详解】.故选：A9．【正确答案】D【详解】圆：，所以圆心，半径为.由点到直线距离公式得：，且，所以.又圆的圆心，半径为：1.所以，.由，所以两圆内含.故选：D10．【正确答案】A【分析】由题意圆的标准方程为，如图，又，所以，又由圆心到直线的距离可求出的最小值，进而求解.【详解】如下图所示：

由题意圆的标准方程为，，又因为，所以，所以，又圆心到直线的距离为，所以，所以不妨设，则，又因为在单调递增，所以当且仅当即，即当且仅当直线垂直已知直线时，有最大值.故选：A.11．【正确答案】【详解】由题意，设所求直线方程为：，因为过，所以，解得，从而所求直线方程为.故答案为.12．【正确答案】【详解】设直径的端点分别为，因为圆的圆心为点，所以，解得，所以圆的半径，所以该圆的标准方程为.故答案为.13．【正确答案】【详解】因为不平行，且、、三向量共面，所以存在实数x，y，使，所以，解得，故14．【正确答案】【详解】易知直线过定点，是该直线的斜率，又，，由图可知的取值范围是．故．15．【正确答案】【详解】，，所以，，所以，.所以，与所成角的余弦值为.故答案为.16．【正确答案】(1)见解析(2)[0，＋∞).【详解】(1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为1＋2k，要使直线l不经过第四象限，则解得k的取值范围是[0，＋∞).17．【正确答案】(1)(2)(3)证明见解析【详解】（1）以为坐标原点，以、、的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图由题意得,故．（2）依题意得,故,则（3）,,由于,故，即．18．【正确答案】（1）；（2）；（3）【详解】试题分析：（1）由所在直线的方程求出直线的斜率，再由点斜式写出的直线方程；（2）先求出点，点的坐标，再写出的直线方程；（3）由点到直线的距离求出到的距离，以及到的距离，计算即可或求出到的距离，计算.试题解析：(1)由已知得直线AB的斜率为2，∴AB边所在的直线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.(2)由，得.即直线AB与直线BE的交点为B(，2)．设C(m，n)，则由已知条件得，解得，∴C(2,1)．∴BC边所在直线的方程为＝，即2x＋3y－7＝0.(3)∵E是线段AC的中点，∴E(1,1)．∴|BE|＝＝，由，得.∴D(，)，∴D到BE的距离为d＝＝，∴S△BDE＝·d·|BE|＝.19．【正确答案】(1)（i）证明见解析，（ii）(2)【详解】（1）（i）证明：如图建立空间直角坐标系，设正方形的对角线相交于，由于则,所以设平面的一个法向量为，取时，，由于，故，又不在平面内，所以平面；（ii）平面的一个法向量为，,设直线与平面所成角为，则（2）如图建立空间直角坐标系，，设平面的一个法向量为，则有取时，，，设平面的一个法向量为，则有取时，，由于二面角的大小为60°，故，即，解得，又，所以．20．【正确答案】（1）；（2）；（3）