2024-2025学年广东省惠州市惠东县高三上册第二次联考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年广东省惠州市惠东县高三上学期第二次联考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．设复数，则（

）A． B． C．1 D．2．已知集合，集合，则（

）A． B．C． D．3．设，，，则（

）A． B．C． D．4．若正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．或5．在数列中，对任意都有，且，则（

）A．2 B．12 C．64 D．1266．所在平面内一点满足，若，则（

）A． B． C． D．7．《九章算术》是中国古代的数学瑰宝，其第五卷商功中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”翻译成现代汉语就是：今有三面皆为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体的隧道，前端下宽尺，上宽一丈，深尺，末端宽尺，无深，长尺（注：一丈十尺）．则该五面体的体积为A．立方尺 B．立方尺 C．立方尺 D．立方尺8．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，成等差数列，则的最小值为（

）A．3 B． C．4 D．5二、多选题（本大题共3小题）9．对于实数a，b，c，d，以下四个命题中正确的有（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．已知，是不同平面，，，是不同直线，则“”的充分条件是（

）A．，； B．，，；C．，，； D．，，11．音叉发出的纯音振动的数学模型是函数，其中表示时间，表示纯音振动时音叉的位移.我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音振动的数学模型是函数，则（

）A．的图象的一个对称中心为点B．在区间上单调递减C．的图象关于直线对称D．在上恰有2个零点三、填空题（本大题共3小题）12．已知函数（且）的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则.13．已知棱长为2的正方体，点是其表面上的动点，该正方体内切球的一条直径是，则的取值范围是.14．已知数列满足，，则；设数列的前项和为，则.四、解答题（本大题共5小题）15．请在①向量，，且；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足______.(1)求的大小；(2)若边上的高为，求面积的最小值.16．已知数列的前项和为，且，.(1)求的通项公式；(2)若，记数列的前项和，求并证明.17．如图1，在中，，分别为，的中点，，.将沿折起到的位置，使得，如图2.(1)求证：平面平面；(2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.18．已知函数，.(1)求的最小值；(2)若，求证：；(3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.19．人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有3种.设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离；余弦距离，其中（为坐标原点）.(1)若点，，求，之间的欧几里得距离，曼哈顿距离和余弦距离；(2)若点，，求的最大值；(3)已知点，曲线，问曲线上是否存在点使得，若存在，求的值，若不存在，请说明理由.

答案1．【正确答案】D【详解】解：因为复数，所以.故选：D.2．【正确答案】A【详解】因为y=log2x−1的定义域为1,+∞，由，得到所以的值域为，得到，，所以，故选：A.3．【正确答案】A【详解】，，，又在0,+∞上单调递增，故，即，所以.故选：A4．【正确答案】B【详解】因为且，是正实数，所以，当且仅当，即时等号成立，因为不等式恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：B.5．【正确答案】C【详解】因为对任意都有，所以，所以，故选：C.6．【正确答案】D【详解】由，得，所以，因为，所以，，则.故选：D.7．【正确答案】C如图，在，上取，，使得，连接，，，，，计算得到答案.【详解】如图，在，上取，，使得，连接，，，，故多面体的体积，故选：C．8．【正确答案】A【详解】因为，，成等差数列，所以，由正弦定理得，即，因为B∈0,π，则，所以，又，所以，即，得，又在中，最多有一个是钝角，所以，因为，由基本不等式得，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3.故选：A.9．【正确答案】AC【详解】对A，若，则有，所以，故A正确；对B，当时，若，则，故，故B错误；对C，若，，根据不等式性质有，故C正确；对D，当时，若，则，故D错误.故选：AC．10．【正确答案】BC【详解】对于A,由，，则,可能相交，可能异面，可能平行，故A错误，对于B，由线面平行的性质定理可知，，，则，B正确，对于C,若，，，则，C正确，对于D，若，，，则,异面或者平行，D错误，故选：BC11．【正确答案】ABC【详解】，对于A；因为，所以的图象的一个对称中心为点，故A错误；对于B，因为，所以，所以在区间上单调递减，故B正确；对于C，，所以的图象关于直线对称，故C正确；对于D，，解得，所以或，解得或，又，所以或或，所以在上恰有3个零点，故D错误.故选：ABC.12．【正确答案】【详解】当时，，所以定点，设，则，解得：，则，所以.故答案为.13．【正确答案】【详解】正方体的内切球球心为，则也是正方体的中心，则为的中点，，①，②，上面两式分别平方相减得到，点是正方体表面上的动点，当位于正方体和内切球的切点时，最小，最小值为1，当位于正方体的顶点时，最大，最大值为长方体体对角线的一半，即，故.故0,214．【正确答案】【详解】依题意，知数列满足，，所以，所以，，，，两式相加得，，设，则，所以数列是首项为为首项，公比为的等比数列，所以，故.所以，同时，所以.设的前项和为，则.故；15．【正确答案】(1)(2)3【详解】（1）选择①，因为向量，，且，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，又，所以；选择②，由，得，所以，所以，所以，所以，所以，又，所以；选择③，因为，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以，又，所以；（2）因为，所以，由余弦定理可得，当且仅当时取等号，所以，解得，所以，所以面积的最小值为.16．【正确答案】(1)(2)；证明见解析【详解】（1）因为，，当时，，故，当时，，两式作差可得，整理可得，则，又，所以是各项为的常数列，则，故.（2）由（1）可得，所以，类比复合函数的单调性可知为递增数列，又，所以的最小值为，又，所以，综上，.17．【正确答案】(1)证明见解析(2)存在，【详解】（1）设是的中点，是的中点，如下图，连接，则，则，，由于，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以平面平面；（2）由（1）以及已知条件可知两两相互垂直，则以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，假设在线段上存在点，使得直线和所成角的余弦值为，设，则，，，整理可得：，解得：，存在满足题意的点，此时.18．【正确答案】(1)最小值为(2)证明见解析(3)【详解】（1）由，可得，当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，所以；（2）由（1）知，，即，所以，所以，所以，，，，，所以，所以所以；（3）原命题等价于对一切恒成立，等价于对一切恒成立，令，可知，且，令，，则，可知在上单调递增，且，，所以，使，即①，当时，，当时，，即在内单调递减，在内单调递增，可知，，由①知，，可得，且函数在单调递增，由可得，所以，可得，所以实数的取值范围为.19．【正确答案】(1)；；(2)(3)存在；答案见解析【详解】（1）已知，，则由题意可得欧几里得距离为；曼哈顿距离为；因为，所以，则余弦距离为.（2）设，由题意得：，即，由，作出表示的图形，为如图所示的正方形，