2024-2025学年安徽省合肥市高三上册第四次素质拓展数学检测试题（含解析）

2024-2025学年安徽省合肥市高三上学期第四次素质拓展数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．设集合，集合，则（

）A． B．C． D．2．函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（）A． B．C． D．3．已知△ABC满足2＝·＋·＋·，则△ABC是（）A．等边三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．钝角三角形4．已知直线与曲线切于点，则b的值为（

）A．3 B． C．5 D．5．下列叙述中正确的个数是：（

）①若，，为平面向量，则；②向量与垂直；③，，若与的夹角是钝角，则实数m的取值范围是④.记，则向量在向量上的投影向量为A．0 B．1 C．2 D．36．若一元二次不等式，的解集分别为、，、、、、、均不为0，、既不是也不是，则“”是“”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要7．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．定义域在R上的奇函数.若存在，使得成立，则实数k的取值范围为（

）.A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知，则下列不等式一定成立的有（

）A． B． C． D．10．已知函数的部分图象如图所示，则（

）

A．B．函数f(x)的图象关于对称C．函数f(x)的图象关于对称D．函数f(x)在上单调递增11．已知实数，满足，则（）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，三、填空题（本大题共3小题）12．已知是三角形的内角，若，则．13．已知函数在处有极小值，则实数．14．圆与圆半径分别为1和2，两圆外切于点P，点A，B分别为圆上的动点，，则的最小值为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知函数.(1)求函数的最小值，及取最小值时的x的值；(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值.16．在平面四边形中，.(1)求的长；(2)若为锐角三角形，求的取值范围.17．已知函数(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，.18．如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.设.(1)问：在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值.(2)克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求.(3)求面积的最大值.19．意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系.(1)求曲线在处的切线斜率；(2)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围：(3)（i）证明：当时，；（ii）证明.

答案1．【正确答案】B【详解】因为，所以，，，因为，所以，故选：B2．【正确答案】C【详解】根据函数过排除A;根据过排除B、D,故选C．3．【正确答案】C【详解】由题意得，故∴，△ABC是直角三角形故选：C4．【正确答案】A【详解】把代入直线中,得到,求导得：,所以,解得,把及代入曲线方程得：,则b的值为3.故选：A.5．【正确答案】C【详解】对于①，如，，，所以，，所以，而，所以，故①错误；对于②，因为，故②正确；对于③，由题意，，且与不共线，即，解得且，故③错误；对于④，由，即，所以向量在向量上的投影向量为，故④正确.综上，正确的为②④.故选：C.6．【正确答案】A【详解】若一元二次不等式，的解集分别为、，、、、、、均不为0，、既不是也不是，若，则，反之，若，则，例如，不等式的解集与不等式即的解集不一样，因此“”是“”的充分不必要条件.故选：A.7．【正确答案】A【详解】由题意可得,，，，．故A正确．考点：三角函数单调性．8．【正确答案】D【详解】∵是定义域在R上的奇函数，∴，解得，检验得时，是奇函数，∴，由指数函数的性质可得在R上为减函数.由得，∴，即存在，使得，记，，则，，∵，∴，∴，∴，∴，即实数k的取值范围为.故选：D.9．【正确答案】AB【详解】由，得，则，故A正确；选项B，因为，由基本不等式可得，由，等号取不到，则，故B正确；选项C，当时，则，此时，故C错误；选项D，当时，，此时，故D错误.故选：AB.10．【正确答案】ACD【详解】由图可知：,且,故，，故，，，故A正确；当时，，故B错误；当时，，故C正确；当时，，故D正确.故选：ACD11．【正确答案】ACD【详解】A选项，由得，因为，所以，两边取对数得，，故，令，，故，由于在0,+∞上单调递增，故，故，A正确；B选项，时，，故，故，令，，则，其中，当时，，当时，，故在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，因为不单调，故不一定等于，即不一定成立，B错误；CD选项，由AB选项知，时，，，令，则有，不妨设，故，下面证明，先证不等式右边，，令，即证，令，，则，故在上单调递减，又，故，所以，即，，故，C正确；再证不等式左边，，即证，令，即证，令，，则，故在1,+∞上单调递减，又，故，故，即，所以，故，所以，D正确.故选：ACD12．【正确答案】【详解】因为是三角形的内角，则，且，即，所以，，可得，故.故答案为.13．【正确答案】【详解】因为，所以，所以，而函数在处有极小值，所以，故，解得或，当时，，令f'x<0，，令f'故此时在上单调递增，在上单调递减，此时在处有极大值，不符合题意，排除，当时，，令f'x<0，，令f'故此时在上单调递增，在上单调递减，此时在处有极小值，符合题意，故答案为.14．【正确答案】【详解】如图建系，圆，圆设，则，.故答案为.15．【正确答案】(1)当，时，(2)【详解】（1）由题意得，令得，，.（2）由将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到，再向右平移个单位，得到，则，，∵，∴，由得，∴，∴.16．【正确答案】(1)或(2)【详解】（1）在中，，由余弦定理可得，即，解得或；（2）因为，所以，因为为锐角三角形，所以，解得，在中，因为，所以，由，得，所以，所以.17．【正确答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【详解】（1）由且，当，即，则，此时在上递减；当，即，则上，上，此时在上递增，上递减；综上，时在上递减；时在上递增，在上递减；（2）由（1）知：时，要证，即证，只需证在上恒成立，令且，则，当时，递减；当时，递增；所以，即在上恒成立，故时，得证.18．【正确答案】(1)时，四边形的面积取得最大值为(2)(3)【详解】（1）在中由余弦定理得，所以，，于是四边形的面积为，当，即时，四边形的面积取得最大值为.（2）因为，且为等边三角形，，，所以，所以，即的最大值为，取等号时，所以，不妨设，则，解得，所以，所以.（3）设，（，所以为锐角），在中，由正弦定理得，，，当，即时，的面积取得最大值为.19．【正确答案】(1)(2)(3)（i）证明见解析；（ii）证明见解析【详解】（1），则所以，可得在处的切线斜率为（2）令，则，下面证明：对任意恒成立,先证明：对任意.证明如下：设，则，当时，，函数单调递减，当x∈1,+∞时，，函数单调递增，故，故，继续证明：对任意.证明如下：令，则，因此在0,+∞上单调递增；所以，故当时，对，都有，函数在0,+∞上单调递增，则，解得；当时，对，都有，对，都有，函数Fx在上单调递减，在上单调递增，则对，都有成立，不符合题意，舍去.综上所述，实数的取值范围是.（