2025届高考数学二轮总复习专题5统计与概率专项突破5统计与概率解答题课件

专项突破五统计与概率解答题考点一相互独立事件例1(2024山东烟台一模)某大学举行中文知识竞赛决赛,决赛分为必答、抢答两个环节,两环节依次进行.必答环节共2道题,答对分别记30分、40分,答错均记0分;抢答环节包括多道题,每道题进行抢答,抢到并答对者得15分,若抢到后未答对,则对方得15分;两个环节总分先达到或超过100分者获胜,比赛结束.已知甲、乙两人参加决赛,且在必答环节,甲答对这2道题的概率分别为,乙答对这2道题的概率分别为;在抢答环节,任意一题甲、乙两人抢到的概率均为,甲答对的概率均为,乙答对的概率均为.假定甲、乙两人在各环节、各道题中答题相互独立.(1)在必答环节中,求甲、乙两人得分之和大于100分的概率;(2)在抢答环节中,求任意一题甲获得15分的概率;(3)若在必答环节甲得分为70分,乙得分为40分,设抢答环节经过X道题抢答后比赛结束,求随机变量X的分布列及数学期望.增分技巧求相互独立事件概率的两种方法[对点训练1](2024湖北武汉模拟)“中式八球”是受群众欢迎的台球运动项目之一.在一场“中式八球”邀请赛中,甲、乙、丙、丁4人角逐最后的冠军,本次邀请赛采取“双败淘汰制”.具体赛制如下:首先,4人通过抽签两两对阵,胜者进入“胜区”,败者进入“败区”;接下来,“胜区”的2人对阵,胜者进入最后的决赛,“败区”的2人对阵,败者获得第四名;紧接着,“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵,胜者晋级最后的决赛,败者获得第三名;最后,剩下的2人进行最后的冠亚军决赛,胜者获得冠军,败者获得第二名.现假定甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p(0<p<1),且不同对阵的结果相互独立.(1)经抽签,第一轮由甲对阵乙,丙对阵丁.若p=0.6,求:(ⅰ)甲连胜三场获得冠军的概率;(ⅱ)甲在“双败淘汰制”下获得冠军的概率.(2)除“双败淘汰制”外,“中式八球”也经常采用传统的“单败淘汰制”,即抽签决定两两对阵,胜者晋级,败者淘汰,直至决出最后的冠军.当p满足什么条件时,“双败淘汰制”比“单败淘汰制”更利于甲在此次邀请赛中获得冠军?解

(1)记Ai=“甲在第i场比赛获胜”(i=1,2,3,4),则P(Ai)=0.6,P()=0.4,且不同对阵的结果相互独立.(ⅰ)事件“甲连胜三场获得冠军”可表示为B=A1A2A4,所以P(B)=P(A1A2A4)=P(A1)P(A2)·P(A4)=0.6×0.6×0.6=0.216.因此,甲连胜三场获得冠军的概率为0.216.(2)由(1)可得“双败淘汰制”下甲获得冠军的概率为P1=p3+2p3(1-p).易知“单败淘汰制”下甲获得冠军的概率为P2=p2.令P1>P2,得p3+2p3(1-p)>p2,解得0.5<p<1,所以当0.5<p<1时,“双败淘汰制”比“单败淘汰制”更利于甲在此次邀请赛中获得冠军.考点二超几何分布例2(2024云南昆明诊断测试)某企业响应国家“强芯固基”号召,为汇聚科研力量,准备科学合理增加研发资金.为了解研发资金的投入额x(单位:千万元)对年收入的附加额y(单位:千万元)的影响,对2017年至2023年研发资金的投入额xi(i=1,2,…,7)和年收入的附加额yi进行研究,得到相关数据如下表所示.年份代码i1234567研发资金的投入额xi/千万元103040608090110年收入的附加额yi/千万元3.244.867.37.459.25(1)求y关于x的经验回归方程;(2)若年收入的附加额与研发资金的投入额的比值大于0.1,则称对应的年份为“优”,从上面的7个年份中任意取3个,记X表示这3个年份为“优”的个数,求X的分布列及数学期望.(2)由表格数据可得,7个年份中年收入的附加额与研发资金的投入额的比值大于0.1的有3个,即“优”的年份有3个.由题可知,X服从超几何分布,且N=7,M=3,n=3,则X的分布列为计算的具体结果如表所示.[对点训练2](2024山东聊城二模)随着互联网的普及、大数据的驱动,线上线下相结合的新零售时代已全面开启,新零售背景下,即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求,优化自身服务,提高客户满意度,在其A,B两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查(满分100分),评分结果如下:分公司A:66,80,72,79,80,78,87,86,91,91.分公司B:62,77,82,70,73,86,85,94,92,89.(1)求抽取的这20位客户评分的第一四分位数;(2)规定评分在75分以下的为不满意,从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议,设被抽到的3人中分公司B的客户人数为X,求X的分布列和数学期望.解

(1)将抽取的这20位客户的评分从小到大排列为62,66,70,72,73,77,78,79,80,80,82,85,86,86,87,89,91,91,92,94.因为20×25%=5,所以抽取的这20位客户评分的第一四分位数为(2)分公司A的客户中评分在75分以下的有2人;分公司B的客户中评分在75分以下的有3人,所以不满意的客户共5人.由题可知,X服从超几何分布,且N=5,M=3,n=3,则X的分布列为计算的具体结果如表所示.考点三二项分布例3(2024山东临沂一模)某学校举办了精彩纷呈的数学文化节活动,其中有个“掷骰子赢奖品”的登台阶游戏最受欢迎.游戏规则如下:抛掷一枚质地均匀的骰子一次,出现3的倍数,则一次上三级台阶,否则上二级台阶,再重复以上步骤,当参加游戏的学生位于第8、第9或第10级台阶时游戏结束.规定:从平地开始,结束时学生位于第8级台阶可获得一本课外读物,位于第9级台阶可获得一套智力玩具,位于第10级台阶则认定游戏失败.(1)某学生抛掷三次骰子后,按游戏规则位于第X级台阶,求X的分布列及数学期望E(X);(2)甲、乙两位学生参加游戏,求恰有一人获得奖品的概率.(2)由题可知,当某位学生恰好位于第10级台阶,且未曾位于第8、第9级台阶时,游戏失败.又因为每次上二级或三级台阶,所以其上一次掷骰子时位于第7级台阶.因为抛掷两次骰子,至多上六级台阶;抛掷三次骰子,至少上六级台阶;抛掷四次骰子,至少上8级台阶,所以位于第7级台阶时,恰好抛掷了三次骰子,位于第10级台阶时,第四次抛掷骰子上三级台阶,所以某位学生不能获得奖品的概率为P=P(X=7)P(A)=.两位同学参加游戏,用Z表示不能获得奖品的人数,(1)若p=,求甲、乙两队共投中5次的概率;(2)以甲、乙两队投中次数的数学期望为依据,若甲队获胜的期望更大,求p的取值范围.由分步乘法计数原理,乙队所有队员各投篮一次,共有8种可能的结果,它们两两互斥,每个结果都是3个相互独立事件的积.用Y表示乙队投中的次数,则Y的可能结果为0,1,2,3.考点四正态分布例4(2024四川成都二模)某省举办了一次高三年级化学模拟考试(满分100分),其中甲市有20000名学生参加.根据经验,本次模拟考试该省总体成绩及各市成绩都近似服从正态分布N(μ,σ2).(1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分,87分以上共有455人.甲市学生A的成绩为76分,试估计学生A在甲市的大致名次;(2)在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取40人,记Y表示在本次化学考试中成绩在[μ-3σ,μ+3σ]之外的人数,求P(Y≥1)及Y的数学期望.参考数据:0.997340≈0.8975.参考公式:若X~N(μ,σ2),有P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.解

(1)用X表示本次模拟考试甲市成绩,由题可知X近似服从正态分布,即X~N(μ,σ2).因为甲市平均成绩为65分,所以N=65.因为甲市学生A在该次考试中成绩为76分,所以甲市成绩高于学生A的学生人数约为20

000×P(X>76)=20

000×0.158

65=3

173,所以学生A在甲市的大致名次为3

174名.(2)由题可知该省成绩近似服从正态分布,所以在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取1人,其成绩在[μ-3σ,μ+3σ]之内的概率约为0.997

3,所以其成绩在[μ-3σ,μ+3σ]之外的概率约为0.002

7.由题可知随机变量Y服从二项分布,即Y~B(40,0.002

7),所以P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-0.997

340≈1-0.897

5=0.102

5,E(Y)=40×0.002

7=0.108.[对点训练4](2024四川泸州诊断测试)统计学中有如下结论:若X~N(μ,σ2),从X的取值中随机抽取k(k∈N*,k≥2)个数据,记这k个数据的平均数为Y,则随机变量Y:N(μ,).某人喜欢吃披萨,他每天都会到同一家披萨店购买一份披萨,该披萨店的老板声称自己所出售的披萨的平均质量是500g,上下浮动不超过25g,这句话用数学语言来表达就是:每份披萨的质量服从期望为500,标准差为25的正态分布.(1)假设老板的说法是真实的,若从该披萨店随机购买25份披萨,记这25份披萨的质量的平均值为Y,利用上述结论求P(Y<490);(2)此人每天都会将买来的披萨称重并记录,25天后,得到的数据都落在(475,525)上,并经计算得到25份披萨的质量的平均值为488.72,通过分析他举报了该老板.试从概率角度说明他举报该老板的理由.附:①若随机变量η服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤η≤μ+σ)≈0.682