2025届高考数学二轮总复习专题3数列第1讲等差数列等比数列课件

第1讲等差数列、等比数列领航高考风向标通览主干知识1.等差数列、等比数列的基本运算

2.等差数列、等比数列的性质

3.等差数列、等比数列的判断与证明

4.求数列通项公式的常用方法(1)公式法.(2)已知an+1-an=f(n),求an,用累加法:an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=f(n-1)+f(n-2)+…+f(1)+a1(n≥2,n∈N*).5.数列求和的常用方法

裂项相消求和法把数列的各项分解,使得相加后项与项之间能够相互抵消,前n项和变成首尾若干少数项之和,从而求出数列的前n项和错位相减求和法当数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法,一般是和式两边同乘等比数列{bn}的公比,然后作差求解拆项分组求和法如果一个数列的各项是由几个等差数列和等比数列的项相加减得到的,那么可以把数列的每一项拆成多个项或把数列的项重新分组,使其转化成等差数列或等比数列,然后利用等差数列、等比数列的求和公式求和并项转化求和法在求数列的前n项和时,如果一个数列的项是正负交错的,尤其是当各项的绝对值又构成等差数列时,可以先将相邻的两项或几项合并,再利用其他相关的方法进行求和链高考1.(2024新高考Ⅱ,12)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=

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95微点拨

在应用等比数列的此性质时,要注意Sm≠0,m为偶数且q=-1的情况不适用此公式.链高考2.(2024全国甲,文5)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=1,则a3+a7=(

)B链高考3.(2023新高考Ⅰ,7)设Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:为等差数列,则(

)A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件C当n≥2时,an=Sn-Sn-1=A(2n-1)+B=2An-A+B.当n=1时也符合上式,故an=2An-A+B,故{an}为等差数列,则甲是乙的必要条件.综上,甲是乙的充要条件.故选C.链高考4.(2021新高考Ⅰ,17节选)已知数列{an}满足a1=1,an+1=记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式.解

b1=a2=a1+1=2,b2=a4=a3+1=a2+2+1=5.由bn+1=a2n+2=a2n+1+1=a2n+2+1=a2n+3,得bn+1-bn=a2n+3-a2n=3.所以{bn}是首项为2,公差为3的等差数列,所以bn=2+(n-1)×3=3n-1.链高考5.(2024全国甲,理18)记Sn为数列{an}的前n项和,已知4Sn=3an+4.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=(-1)n-1nan,求数列{bn}的前n项和Tn.解

(1)因为4Sn=3an+4,所以4Sn+1=3an+1+4,两式相减,得4an+1=3an+1-3an,即an+1=-3an,又4S1=3a1+4,则a1=4,故数列{an}是首项为4,公比为-3的等比数列,则an=4×(-3)n-1.(2)bn=(-1)n-1nan=4n·3n-1,所以Tn=4(1×30+2×31+3×32+…+n·3n-1).3Tn=4(1×31+2×32+3×33+…+n·3n),考点一等差、等比数列基本量的运算例1(2023全国甲,理5)设等比数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,若a1=1,S5=5S3-4,则S4=(

)C9考点二等差、等比数列的性质(多考向探究预测)考向1等差数列性质的应用例2(1)(2023全国甲,文5)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5=(

)A.25 B.22 C.20 D.15C(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=15,S9=99,则S6=

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48解析

因为等差数列{an}的前n项和为Sn,所以S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,所以2(S6-S3)=S3+(S9-S6),因为S3=15,S9=99,所以2(S6-15)=15+(99-S6),解得S6=48.考向2等比数列性质的应用例3(1)(2023新高考Ⅱ,8)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8=(

)A.120 B.85 C.-85 D.-120C(2)已知等比数列{an}满足log2a2+log2a13=1,且a5a6a8a9=16,则数列{an}的公比为(

)B解析

设等比数列{an}的公比为q,由log2a2+log2a13=log2(a2a13)=1=log22,得a2a13=2且a2,a13>0,所以a13=a2q11>0,则q>0.又a5a6a8a9=16,a6a9=a2a13=2,所以a5a8=8,[对点训练2](1)在等比数列{an}中,a1+a2=6,a3+a4=12,则数列{an}的前8项和为(

)A解析

∵{an}是等比数列,∴a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8也成等比数列,∵a1+a2=6,a3+a4=12,∴a5+a6=24,a7+a8=48,∴前8项和为a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=90.故选A.(2)(2024山东淄博一模)已知等比数列{an}共有2n+1项,a1=1,所有奇数项的和为85,所有偶数项的和为42,则公比q=

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2解析

依题意,a1+a3+a5+…+a2n+1=85,即a2q+a4q+…+a2nq=84,而a2+a4+…+a2n=42,所以q=2.考点三两数列的公共项问题例4(2020新高考Ⅰ,14)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为

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3n2-2n解析

数列{2n-1}的项均为奇数,数列{3n-2}的所有奇数项均为奇数,所有偶数项均为偶数.并且显然{3n-2}中的所有奇数均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}与{3n-2}的所有公共项就是{3n-2}的所有奇数项,这些项从小到大排列构成的新数列{an}为以1为首项,以6为公差的等差数列.所以{an}的前n项和为Sn=n×1

×6=3n2-2n.规律方法求两个数列公共项的两种方法不定方程法列出两个项相等的不定方程,求出符合条件的项,并解出相应的通项公式周期法即寻找下一项:通过观察找到首项后,从首项开始向后,逐项判断,并找到规律(周期),分析相邻两项之间的关系,从而得到通项公式[对点训练3]已知数列{an},{bn}的通项公式分别为an=2n,bn=2n,现从数列{an}中剔除{an}与{bn}的公共项后,将余下的项按照从小到大的顺序进行排列,得到新的数列{cn},则数列{cn}的前150项之和为(

)A.23804 B.23946C.24100 D.24612