第3章：整式及其加减章末重点题型复习-七年级数学上册同步课堂（北师大版）

PAGE1（北师大版）七年级上册数学第3章：整式及其加减章末重点题型复习题型一代数式1．（2024秋•郴州期中）下列各式中符合代数式书写要求的有（）①167x2y；②4m×n；③mn；④a2−b2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据代数式的书写要求判断各项．【解答】解：167x4m×n应写成4mn，mna22×（a+b）应写成2（a+b），ah•2应写成2ah．故选：B．【点评】本题考查代数式的书写习惯，掌握代数式的书写习惯是解题的关键．2．（2024秋•夏邑县月考）第5号台风“杜苏芮”造成福建省88万余人受灾，甚至波及到河南地区．为了帮助受灾地区重建家园，某班全体师生积极捐款，捐款金额共2350元，其中8名教师人均捐款a元，则该班学生共捐款（）A．（2350+8a）元 B．（2350﹣8a）元 C．8a元 D．2350元【分析】根据题意可知，学生捐款总数+老师捐款总数＝总的捐款数，然后即可用含a的代数式表示出该班学生的捐款总数．【解答】解：由题意可得，该班学生共捐款为（2350﹣8a）元，故选：B．【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．3．（2024秋•邢台月考）已知x2﹣2x﹣4的值为2，则代数式4x2﹣8x﹣10的值是（）A．8 B．10 C．12 D．14【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可．【解答】解：∵x2﹣2x﹣4＝2，∴x2﹣2x＝6，∴当x2﹣2x＝6时，原式＝4（x2﹣2x）﹣10＝4×6﹣10＝14．故选：D．【点评】本题考查代数式求值，把代数式中的字母用具体的数代替，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．4．（2023秋•龙川县校级期末）某种商品原价是每件a元，商店老板为了增加销量，减少库存，第一次降价打“八折”，第二次降价每一件又减8元．两次降价后的每件售价是元．【分析】根据题目中的数量关系列式即可．【解答】解：∵原价是每件a元，∴第一次降价打“八折”后为：0.8a元．∵第二次降价每一件又减8元，∴两次降价后的每件售价是：（0.8a﹣8）元，故答案为：（0.8a﹣8）．【点评】本题考查了列代数式，理解题目中的数量关系是解决问题的关键．5．（2024秋•青秀区校级月考）已知代数式ax2﹣x+1，请按照下列要求分别求值：（1）当a＝2，x＝﹣3时，求代数式的值；（2）当a＝1，x﹣x2＝1时，求代数式的值．【分析】（1）将a＝2，x＝﹣3代入求值即可；（2）将x﹣x2＝1整理，可得x2﹣x＝﹣1，然后将a＝1代入原式，再利用整体代入法计算求值即可获得答案．【解答】解：（1）当a＝2，x＝﹣3时，ax2﹣x+1＝2×（﹣3）2﹣（﹣3）+1＝22；（2）整理得x2﹣x＝﹣1，则当a＝1时，ax2﹣x+1＝x2﹣x+1＝﹣1+1＝0．【点评】本题主要考查了代数式求值，熟练掌握“整体代入法”是解题关键．题型二单项式、多项式、整式相关概念1．（2024秋•玉溪期中）在x+y2A．5 B．4 C．3 D．2【分析】数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式．【解答】解：式子﹣πx，﹣5a2b，﹣3，mnπ式子x+y2故单项式有4个．故选：B．【点评】本题考查单项式的定义，较为简单，要准确掌握定义．2．（2024秋•海城市期中）在下列说法中，正确的是（）A．m2n不是整式 B．abc2系数是2，次数是3C．多项式3x2y2﹣xy﹣1是四次二项式 D．0是单项式【分析】数或字母的积叫单项式．（单独的一个数或一个字母也是单项式）．其中单项式中的数字因数称这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．单项式与多项式统称为整式．根据整式的定义，单项式的系数与次数，以及多项式的定义逐项分析判断即可求解．【解答】解：A．m2n是单项式，是整式，故该选项不正确，不符合题意；B．abc2的系数是1C．3x2y2﹣xy﹣1是四次三项式，故该选项不正确，不符合题意；D．0是单项式，故该选项正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查了整式的定义，单项式的系数与次数，以及多项式的定义，掌握以上知识是解题的关键．3．（2023秋•禹州市期末）在代数式x2+23，﹣xy，6x+1π，A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【分析】根据整式的定义求解．【解答】解：式子x2+23，﹣xy式子6x，5故整式有4个．故选：B．【点评】此题主要考查了整式的概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．判断整式时，式子中含有等号和分母中含有字母的式子一定不是整式．4．（2023秋•富平县期末）多项式6x2+5xy2﹣4xy﹣3y2中所有二次项系数的和是（）A．4 B．3 C．2 D．﹣1【分析】多项式的每个单项式叫做多项式的项．其中次数是2次的单项式是多项式的二次项．【解答】解：多项式6x2+5xy2﹣4xy﹣3y2中所有二次项是6x2，﹣4xy，﹣3y2，它们系数的和是6﹣4﹣3＝﹣1，故选：D．【点评】本题考查多项式的有关概念，关键是掌握多项式的项的概念．5．下列说法：①2xπ的系数是2；②多项式2x2+xy2+3是二次三项式；③x2﹣x﹣2的常数项为2；④在1x，2x+y，13A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据单项式、多项式和整式的有关概念解答即可．【解答】解：①2xπ的系数是2②多项式2x2+xy2+3是三次三项式，原说法错误；③x2﹣x﹣2的常数项为﹣2，原说法错误；④在1x，2x+y，13a2b，其中正确的有1个．故选：A．【点评】本题考查了单项式和多项式的有关概念，能熟记定义是解此题的关键，注意：①表示数与数或数与字母的积的形式，叫单项式；单项式中的数字因数，叫单项式的系数；单项式中所有字母的指数的和，叫单项式的次数；②两个或两个以上的单项式的和，叫多项式；多项式中的每个单项式，叫多项式的项；多项式中次数最高的项的次数，叫多项式的次数，③单项式和多项式统称整式．题型三综合利用单项式、多项式的相关概念求值1．若单项式−35xy3的系数是m，次数是nA．75 B．115 C．175【分析】根据单项式的次数与系数的定义解决此题．【解答】解：由题意得：m=−35，∴m+n=−35+故选：C．【点评】本题主要考查单项式，熟练掌握单项式的系数与次数的定义是解决本题的关键．2．（2023秋•高安市期末）若3xym+（n+1）x是关于x、y的三次二项式，则m、n的值是（）A．m≠2，n≠﹣1 B．m＝2，n≠﹣1 C．m≠2，n＝﹣1 D．m＝2，n≠1【分析】根据多项式的项数：“多项式中单项式的个数”，次数：“最高项的次数”，进行求值即可．【解答】解：由题意，得：m+1＝3，n+1≠0，∴m＝2，n≠﹣1；故选：B．【点评】此题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．3．（2023秋•秦都区期末）若关于x，y的多项式3x2﹣2xm+1y﹣1的次数是5，单项式﹣x的系数是n，求m+n的值．【分析】根据单项式的系数和多项式的次数求出字母的值，即可求解．【解答】解：由题意得：m+1+1＝5，且n＝﹣1，解得：m＝3，∴m+n＝2．【点评】本题考查了代数式求值，理解单项式的系数和多项式的次数是解题的关键．4．（2024秋•嵩县期中）已知关于x的整式（|k|﹣3）x3+（k﹣3）x2﹣k．（1）若是二次式，求k2+2k+1的值：（2）若是二项式，求k的值．【分析】（1）由整式为二次式，根据定义得到|k|﹣3＝0且k﹣3≠0，求出k的值，再代入计算求出k2+2k+1的值；（2）由整式为二项式，得到①|k|﹣3＝0且k﹣3≠0；②k＝0；依此即可求解．【解答】解：（1）∵关于x的整式是二次式，∴|k|﹣3＝0且k﹣3≠0，解得k＝﹣3，∴k2+2k+1＝9﹣6+1＝4；（2）∵关于x的整式是二项式，∴①|k|﹣3＝0且k﹣3≠0，解得k＝﹣3；②k＝0．故k的值是﹣3或0．【点评】此题考查了多项式，关键是熟悉几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．5．（2024秋•白城月考）已知多项式x3ym+1+xy3﹣3x4﹣5是五次四项式，且单项式5x3n﹣2y4﹣m的次数与该多项式的次数相同．（1）求m、n的值；（2）把这个多项式按x的降幂排列．【分析】（1）根据多项式的项数和次数的定义，可得m＝1，再由单项式5x3n﹣2y4﹣m的次数与该多项式的次数相同，可得n=4（2）按x的指数从大到小排列即可．【解答】解：（1）由条件可知：m+1+3＝5，解得：m＝1，∵单项式5x3n﹣2y4﹣m的次数与该多项式的次数相同，∴3n﹣2+4﹣m＝5，即3n﹣2+4﹣1＝5，解得：n=4（2）由（1）得该多项式为x3y2+xy3﹣3x4﹣5，∴把这个多项式按x的降幂排列为﹣3x4+x3y2+xy3﹣5．【点评】本题考查了多项式，多项式的升幂排列或降幂排列，熟练掌握几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数是解题的关键．题型四合并同类项1．（2024秋•原阳县月考）下列各组单项式是同类项的是（）A．x与y B．6a2b与﹣3b2a C．34x2y3z4与D．5t与7【分析】根据同类项定义逐项分析判断即可．【解答】解：A、不符合同类项的定义，结论错误，不符合题意；B、不符合同类项的定义，结论错误，不符合题意；C、符合同类项的定义，结论正确，符合题意；D、不符合同类项的定义，结论错误，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了同类项的定义，理解定义“所含字母相同，相同字母的指数相同的单项式叫做同类项”是解题的关键．2．（2023秋•管城区期末）下列整式中，不是同类项的是（）A．m2n与﹣nm2 B．1与﹣2 C．3x2y和−13yx2【分析】根据同类项的定义进行判断即可．【解答】解：A．m2n与﹣nm2是同类项，故选项不符合题意；B．1与﹣2是同类项，故选项不符合题意；C．3x2y和−1D．13a2故选：D．【点评】此题考查了同类项，所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．3．（2024秋•邢台月考）若3an﹣2b4与﹣2ab2m是同类项，则mn的值为（）A．4 B．6 C．8 D．9【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可．【解答】解：由同类项的定义可知n﹣2＝1，2m＝4，解得m＝2，n＝3，∴mn＝23＝8．故选：C．【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．4．（2024秋•西城区校级期中）合并同类项：（1）﹣5x+x2+4x﹣3x2；（2）x2【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；据此解答各题即可．【解答】解：（1）原式＝﹣2x2﹣x；（2）原式＝﹣x2y2−52【点评】本题考查合并同类项，熟练掌握其运算法则是解题的关键．5．（2023秋•赤坎区校级期中）已知两个关于x，y的单项式mxay3与﹣2nx3y3b﹣6是同类项（其中xy≠0）．（1）求a，b的值；（2）如果它们的和为零，求（m﹣2n﹣1）2017的值．【分析】（1）根据同类项的定义得到a，b的关系式，即可求解；（2）根据整式的加减运算法则得到合并后的系数为0，故可求解．【解答】解：（1）根据题意知：3b﹣6＝3，a＝3，∴a＝3，b＝3．（2）∵单项式mxay3与﹣2nx3y3b﹣6的和为零，∴m﹣2n＝0，∴（m﹣2n﹣1）2019＝（﹣1）2019＝﹣1．【点评】此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知同类项的定义与整式的加减运算法则．题型五去括号1．（2024秋•蒙城县期中）下列式子正确的是（）A．﹣2a﹣（b﹣c）＝2a﹣b﹣c B．a﹣3（b+c）＝a﹣3b﹣3c C．a+2（b﹣c）＝a+2b﹣c D．a﹣（b﹣c）＝a﹣b﹣c【分析】根据去括号的法则直接求解即可．【解答】解：A、﹣2a﹣（b﹣c）＝﹣2a﹣b+c≠2a﹣b﹣c，错误；B、a﹣3（b+c）＝a﹣3b﹣3c，正确；C、a+2（b﹣c）＝a+2b﹣2c≠a+2b﹣c，错误；D、a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c≠a﹣b﹣c，错误．故选：B．【点评】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去掉括号．2．（2024秋•长春月考）下列添括号正确的是（）A．a﹣b+c＝a﹣（b+c） B．a﹣b+c＝a﹣（﹣b﹣c） C．a﹣b+c＝a﹣（b﹣c） D．a﹣b+c＝a+（b﹣c）【分析】根据添括号法则计算．【解答】解：A、a﹣b+c≠a﹣（b+c），故A错误；B、a﹣b+c≠a﹣（﹣b﹣c），故B错误；C、a﹣b+c＝a﹣（b﹣c），故C正确；D、a﹣b+c≠a+（b﹣c），故D错误．故选：C．【点评】此题考查了添括号，熟练掌握添括号法则是解本题的关键．3．（2024秋•雨城区校级期中）去括号，并合并同类项：（1）（3a+1.5b）﹣（7a﹣2b）（2）（8xy﹣x2+y2）﹣4（x2﹣y2+2xy﹣3）【分析】（1）先去掉括号，再找出同类项进行合并即可；（2）先把4与括号中的每一项分别进行相乘，再去掉括号，然后合并同类项即可；【解答】解：（1）（3a+1.5b）﹣（7a﹣2b）＝3a+1.5b﹣7a+2b＝﹣4a+3.5b；（2）（8xy﹣x2+y2）﹣4（x2﹣y2+2xy﹣3）＝8xy﹣x2+y2﹣4x2+4y2﹣8xy+12＝﹣5x2+5y2+12；【点评】此题考查了去括号和合并同类项，根据去括号法则若括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号和合并同类项法则进行解答是解题的关键．4．（2023秋•罗湖区校级期末）先去括号，再合并同类项（1）2（2b﹣3a）+3（2a﹣3b）（2）4a2+2（3ab﹣2a2）﹣（7ab﹣1）【分析】（1）根据括号前是正号去括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号，可去掉括号，根据合并同类项，可得答案；（2）根据括号前是正号去括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号，可去掉括号，根据合并同类项，可得答案；【解答】解：（1）2（2b﹣3a）+3（2a﹣3b）＝4b﹣6a+6a﹣9b＝﹣5b；（2）4a2+2（3ab﹣2a2）﹣（7ab﹣1）＝4a2+6ab﹣4a2﹣7ab+1＝﹣ab+1．【点评】本题考查了去括号与添括号，合并同类项，括号前是正号去掉括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号．5．（2023秋•尧都区期末）以下是马小虎同学化简代数式（a2b+4ab）﹣3（ab﹣a2b）的过程．（a2b+4ab）﹣3（ab﹣a2b）＝a2b+4ab﹣3ab﹣3a2b…………第一步，＝a2b﹣3a2b+4ab﹣3ab…………第二步，＝ab﹣2a2b…………第三步，（1）马小虎同学解答过程在第步开始出错，出错原因是．（2）马小虎同学在解答的过程用到了去括号法则，去括号的依据是．（3）请你帮助马小虎同学写出正确的解答过程．【分析】（1）根据去括号法则得出答案即可；（2）根据去括号法则得出答案即可；（3）先根据去括号法则去括号，再合并同类项即可．【解答】解：（1）马小虎同学解答过程在第一步开始出错，出错原因是去掉括号时，没有变号；故答案为：一；去掉括号时，没有变号；（2）乘法分配律；故答案为：乘法分配律；（3）（a2b+4ab）﹣3（ab﹣a2b）＝a2b+4ab﹣3ab+3a2b＝4a2b+ab．【点评】本题考查了整式加减和去括号法则能正确根据知识点进行计算是解此题的关键．题型六整式的加减1．（2024秋•万柏林区校级月考）下列运算正确的是（）A．3（x+4）＝3x+4 B．2x+2y＝2xy C．﹣y2﹣y2＝0 D．﹣（3x+2y）＝﹣3x﹣2y【分析】根据整式的加减运算法则，先去括号，然后合并同类项．【解答】解：A、3（x+4）＝3x+12≠3x+4，故A错误；B、2x+2y≠2xy，故B错误；C、﹣y2﹣y2＝﹣2y2≠0，故C错误；D、﹣（3x+2y）＝﹣3x﹣2y，故D正确．故选：D．【点评】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则．2．（2023秋•抚松县期末）已知一个多项式与3x2+4x﹣1的和等于3x2+9x，则这个多项式为（）A．5x+1 B．5x﹣1 C．﹣5x+1 D．﹣5x﹣1【分析】直接根据题意，去括号合并同类项得出答案．【解答】解：由题意可得：3x2+9x﹣（3x2+4x﹣1）＝3x2+9x﹣3x2﹣4x+1＝5x+1．故选：A．【点评】此题主要考查了整式的加减，正确去括号合并同类项是解题关键．3．（2024秋•松江区校级月考）计算：（1）5x2y﹣7xy2﹣xy2﹣3x2y．（2）3（﹣3a2﹣2）a﹣[a2﹣2（5a﹣4a2+1）﹣3a]．【分析】（1）原式合并同类项即可；（2）先去括号，再根据整式的加减运算法则运算即可．【解答】解：（1）5x2y﹣7xy2﹣xy2﹣3x2y＝（5﹣3）x2y+（﹣7﹣1）xy2；＝2x2y﹣8xy2；（2）3（﹣3a2﹣2）a﹣[a2﹣2（5a﹣4a2+1）﹣3a]＝﹣9a3﹣6a﹣（a2﹣10a+8a2﹣2﹣3a）＝﹣9a3﹣6a﹣（9a2﹣13a﹣2）＝﹣9a3﹣6a﹣9a2+13a+2＝﹣9a3﹣9a2+7a+2．【点评】本题考查了整式的加减运算，单项式乘多项式，掌握整式的加减运算法则是解题的关键．4．（2023秋•太湖县期末）王明在准备化简代数式3（3x2+4xy）﹣■（2x2+3xy﹣1）时一不小心将墨水滴在了作业本上，使得（2x2+3xy﹣1）前面的系数看不清了，于是王明就打电话询问李老师，李老师为了测试王明对知识的掌握程度，于是对王明说：“该题标准答案的结果不含有y．”请你通过李老师的话语，帮王明解决如下问题：（1）■的值为；（2）求出该题的标准答案．【分析】（1）设■的值为a，代入准备化简的代数式，根据李老师的话得到关于a的方程，求解即可．（2）把a的值代入准备化简的代数式，计算得标准答案．【解答】解：（1）设■的值为a．则3（3x2+4xy）﹣a（2x2+3xy﹣1）＝9x2+12xy﹣2ax2﹣3axy+a＝（9﹣2a）x2+（12﹣3a）xy+a．由于结果不含有y，所以12﹣3a＝0．所以a＝4．故答案为：4．（2）3（3x2+4xy）﹣4（2x2+3xy﹣1）＝9x2+12xy﹣8x2﹣12xy+4＝x2+4．所以该题的标准答案为：x2+4．【点评】本题考查了整式的加减，掌握去括号法则与合并同类项法则是解决本题的关键．5．（2024秋•武陵区期中）已知多项式A＝3x2﹣x+2y﹣4xy，B＝2x2﹣3x﹣y+xy．（1）求2A﹣3B；（2）如果A+2B+C＝0，求多项式C．【分析】（1）把多项式A，B代入原式中，去括号合并同类项即可得到结果；（2）把多项式A，B代入已知等式，去括号合并同类项即可得到C的多项式．【解答】解：（1）∵A＝3x2﹣x+2y﹣4xy，B＝2x2﹣3x﹣y+xy，∴2A﹣3B＝2（3x2﹣x+2y﹣4xy）﹣3（2x2﹣3x﹣y+xy）＝6x2﹣2x+4y﹣8xy﹣6x2+9x+3y﹣3xy＝7x+7y﹣11xy；（2）∵A+2B+C＝0，∴C＝0﹣A﹣2B＝﹣A﹣2B，∵A＝3x2﹣x+2y﹣4xy，B＝2x2﹣3x﹣y+xy，∴C＝﹣（3x2﹣x+2y﹣4xy）﹣2（2x2﹣3x﹣y+xy）＝﹣3x2+x﹣2y+4xy﹣4x2+6x+2y﹣2xy＝﹣7x2+7x+2xy．【点评】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键．题型七整式的化简求值直接代入求值1．（2024秋•岳阳县期中）已知a＝﹣2024，b=12024，则多项式3a2+2ab﹣a2﹣3ab﹣2aA．1 B．﹣1 C．2024 D．b=【分析】先合并同类项，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．【解答】解：3a2+2ab﹣a2﹣3ab﹣2a2＝3a2﹣a2﹣2a2+2ab﹣3ab＝﹣ab，当b=12024时，原式＝﹣（﹣2024）故选：A．【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．2．（2023秋•东丰县期末）先化简，后求值：3（a2﹣ab+7）﹣2（3ab﹣a2+1）+3，其中a＝2，b=1【分析】直接去括号，进而合并同类项，再把已知代入即可．【解答】解：原式＝3a2﹣3ab+21﹣6ab+2a2﹣2+3＝5a2﹣9ab+22，当a＝2，b=1原式＝5×4﹣9×2×1＝36．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确合并同类项是解题关键．3．（2024秋•防城港期中）先化简，再求值：﹣a2b+（﹣8ab2﹣a2b）﹣2（5ab2﹣a2b），其中a＝﹣1，b=【分析】原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝﹣a2b﹣8ab2﹣a2b﹣10ab2+2a2b＝﹣18ab2，将a＝﹣1，b=1原式=−18ab【点评】本题考查整式的加减﹣化简求值，掌握整式的加减﹣化简求值的方法是关键．4．（2023秋•利辛县期中）先化简，再求值：3a2−[2b2【分析】先去括号，再合并同类项得到化简的结果，再把a＝1，b＝﹣1代入化简后代数式进行计算即可．【解答】解：3＝3a2﹣（2b2﹣2ab+3a2+ab）+3b2＝3a2﹣2b2+2ab﹣3a2﹣ab+3b2＝b2+ab；∵a为最小的正整数，b为最大的负整数，∴a＝1，b＝﹣1．∴原式＝b2+ab＝（﹣1）2+（﹣1）×1＝0．【点评】本题考查的是整式的加减混合运算，解题的关键是掌握整式的加减法则．5．0．【分析】原式去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出a与b的值，代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝5ab2﹣2a2b+4ab2﹣2a2b＝9ab2﹣4a2b，∵|a﹣2|+（b+1）2＝0，∴a＝2，b＝﹣1，则原式＝18+16＝34．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．题型八整式的化简求值整体代入求值1．（2024秋•会宁县期中）已知x﹣3y＝4，那么代数式x﹣y﹣2（y﹣x）﹣2（x﹣3）的值为（）A．12 B．13 C．10 D．14【分析】先根据整式的加减运算法则进行化简，然后再把x﹣3y＝4整体代入计算即可．【解答】解：∵x﹣3y＝4，∴x﹣y﹣2（y﹣x）﹣2（x﹣3）＝x﹣y﹣2y+2x﹣2x+6＝x﹣3y+6＝4+6＝10．故选：C．【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，掌握整式的加减运算法则，利用整体代入是解题的关键．2．（2023秋•承德期末）已知：a﹣b＝5，c+b＝3，则（b+c）﹣（a﹣b）的值等于（）A．﹣2 B．2 C．6 D．8【分析】原式去括号整理后将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵a﹣b＝5，c+b＝3，∴原式＝b+c﹣a+b＝﹣（a﹣b）+（c+b）＝﹣5+3＝﹣2．故选：A．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．（2023秋•永福县期中）已知A＝3x2﹣x+2y﹣4xy，B＝2x2﹣3x﹣y+xy．（1）化简：2A﹣3B；（2）若x+y=−67，xy＝1，求2A﹣3【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可．（2）由（1）可得2A﹣3B＝7（x+y）﹣11xy，直接将x+y=−67，【解答】解：（1）2A﹣3B＝2（3x2﹣x+2y﹣4xy）﹣3（2x2﹣3x﹣y+xy）＝6x2﹣2x+4y﹣8xy﹣6x2+9x+3y﹣3xy＝7x+7y﹣11xy．（2）2A﹣3B＝7x+7y﹣11xy＝7（x+y）﹣11xy，当x+y=−67，2A﹣3B＝7×（−6【点评】本题考查整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．4．（2023秋•平定县期末）综合与探究【阅读理解】“整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛．比如，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a﹣b）看成一个整体，则4（a﹣b）﹣2（a﹣b）+（a﹣b）＝（4﹣2+1）（a﹣b）＝3（a﹣b）．【尝试应用】根据阅读内容，运用“整体思想”，解答下列问题：（1）化简8（a+b）+6（a+b）﹣2（a+b）的结果是．（2）化简求值，9（x+y）2+3（x+y）+7（x+y）2﹣7（x+y），其中x+y=1【拓展探索】（3）若x2﹣2y＝4，请求出﹣3x2+6y+2的值．【分析】（1）把（a+b）看作一个整体，利用合并同类项的运算法则进行化简；（2）分别将（x+y）2和（x+y）看作一个整体，利用合并同类项的运算法则进行化简，然后利用整体思想代入求值；（3）将原式变形后，利用整体思想代入求值．【解答】解：（1）8（a+b）+6（a+b）﹣2（a+b）＝12（a+b），故答案为：12（a+b）；（2）9（x+y）2+3（x+y）+7（x+y）2﹣7（x+y）＝（9+7）（x+y）2+（3﹣7）（x+y）＝16（x+y）2﹣4（x+y）．当x+y=1原式=16×(（3）因为x2﹣2y＝4，所以﹣（x2﹣2y）＝﹣4．所以3×[﹣（x2﹣2y）]．＝3×（﹣4）＝﹣12，即﹣3x2+6y＝﹣12．所以﹣3x2+6y+2＝﹣12+2＝﹣10．【点评】本题考查了整式的加减—化简求值，掌握合并同类项和去括号的运算法则是关键．5．（2024秋•兴宁区校级月考）人教版七年级上册数学教材109页的部分内容如下：把（a+b）和（x+y）各看作一个整体，对下列式子进行化简：4（a+b）+2（a+b）﹣（a+b）＝（4+2﹣1）（a+b）＝5（a+b）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．（1）【问题解决】把（x﹣y）2看成一个整体，求将2（x﹣y）2﹣5（x﹣y）2+（x﹣y）2合并的结果；（2）【简单应用】①已知a2+a＝1，则2a2+2a+2020＝；②已知a+b＝﹣3，求5（a+b）+7a+7b+111的值；（3）【拓展提高】已知a2﹣2ab＝5，ab+2b2＝3，求代数式2a2﹣3ab+2b2的值．【分析】（1）把（x﹣y）2看成一个整体，根据乘法分配律的逆运算，即可进行化简；（2）①把a2+a看成一个整体进行化简，再代入值计算即可；②把a+b＝﹣3看成一个整体进行化简，再代入值计算即可；（3）将代数式变形为2a2﹣4ab+2b2+ab，再化为2（a2﹣2ab）+ab+2b2，再将a2﹣2ab＝5，ab+2b2＝3整体代入计算即可．【解答】解：（1）2（x﹣y）2﹣5（x﹣y）2+（x﹣y）2＝（2﹣5+1）（x﹣y）2，＝﹣2（x﹣y）2；（2）①∵a2+a＝1，∴2a2+2a+2020＝2（a2+a）+2020＝2×1+2020＝2022，故答案为：2022；②∵a+b＝﹣3，∴5（a+b）+7a+7b+111＝5（a+b）+7（a+b）+111＝（5+7）（a+b）+111＝12×（﹣3）+111＝﹣75；（3）∵a2﹣2ab＝﹣5，ab+2b2＝﹣3，∴2a2﹣3ab+2b2＝2a2﹣4ab+2b2+ab＝2（a2﹣2ab）+ab+2b2＝2×5+3＝10+3＝13．【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，代数式求值，掌握整式的加减﹣化简求值的运算法则以及整体代入思想是关键．题型九整式加减中的错看问题1．（2023秋•内江期末）黑板上有一道题，是一个多项式减去3x2﹣5x+1，某同学由于大意，将减号抄成加号，得出结果是5x2+3x﹣7，这道题的正确结果是（）A．8x2﹣2x﹣6 B．14x2﹣12x﹣5 C．2x2+8x﹣8 D．﹣x2+13x﹣9【分析】根据整式的加减运算先求出这个多项式，然后再根据题意列出算式即可求出答案．【解答】解：该多项式为：（5x2+3x﹣7）﹣（3x2﹣5x+1）＝5x2+3x﹣7﹣3x2+5x﹣1＝2x2+8x﹣8，∴正确结果为：（2x2+8x﹣8）﹣（3x2﹣5x+1）＝2x2+8x﹣8﹣3x2+5x﹣1＝﹣x2+13x﹣9，故选：D．【点评】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．2．（2024秋•衡阳县期中）某同学在做计算2A+B时，误将“2A+B”看成“2A﹣B”，求得的结果是9x2﹣2x+7，已知B＝x2+3x+2，则2A+B的正确答案为（）A．11x2+4x+11 B．17x2﹣7x+12 C．15x2﹣13x+20 D．19x2﹣x+12【分析】根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果．【解答】解：根据题意得：2A+B＝2A﹣B+2B＝9x2﹣2x+7+2（x2+3x+2）＝9x2﹣2x+7+2x2+6x+4＝11x2+4x+11．故选：A．【点评】本题考查了整式的加减，整式加减的实质就是去括号、合并同类项．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．3．（2024秋•吉安期中）在计算：A﹣（5x2﹣3x﹣6）时，小明同学将括号前面的“﹣”号抄成了“+”号，得到的运算结果是﹣2x2+3x﹣4，则多项式A是．【分析】根据题意列出算式，去括号后求出即可．【解答】解：根据题意得：A＝（﹣2x2+3x﹣4）﹣（5x2﹣3x﹣6）＝﹣2x2+3x﹣4﹣5x2+3x+6＝﹣7x2+6x+2，故答案为：﹣7x2+6x+2．【点评】本题考查了整式的加减，能根据题意列出算式是解此题的关键．4．（2024秋•长沙县期中）已知多项式A，B，其中B＝5x2+3x﹣4，马小虎同学在计算“A+B”时，误将“A+B”看成了“A﹣B”，求得的结果为12x2﹣6x+7．（1）求多项式A；（2）求出A+B的正确结果．【分析】（1）根据A﹣B的结果及B表示的整式求出多项式A即可；（2）根据整式的加减运算法则计算即可．【解答】解：（1）∵A﹣B＝12x2﹣6x+7，B＝5x2+3x﹣4，∴A＝12x2﹣6x+7+B＝12x2﹣6x+7+5x2+3x﹣4，＝17x2﹣3x+3；（2）∵A＝17x2﹣3x+3，B＝5x2+3x﹣4，∴A+B＝17x2﹣3x+3+5x2+3x﹣4＝22x2﹣1．【点评】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．5．（2024秋•中站区期中）有一道题目是一个多项式A减去x2+14x﹣6，小强误当成了加法计算，结果得到3x2﹣x+3．（1）求多项式A；（2）求出正确的计算结果．【分析】（1）根据题意，列出算式，把所列的算式化简即可解答；（2）根据题意列出正确的算式，然后进行计算即可．【解答】解：（1）∵一个多项式A加上x2+14x﹣6得到3x2﹣x+3，∴A＝3x2﹣x+3﹣（x2+14x﹣6），＝3x2﹣x+3﹣x2﹣14x+6，＝2x2﹣15x+9；，（2）由题可得：2x2﹣15x+9﹣（x2+14x﹣6）＝2x2﹣15x+9﹣x2﹣14x+6，＝x2﹣29x+15．【点评】本题考查整式的加减，熟练掌握合并同类项是解题的关键．题型十整式加减中与某个字母（某项）无关问题1．（2023秋•莲池区期末）将“多项式“（x2﹣3xy﹣y2）﹣2（x2+mxy+2y2）化简后不含xy的项，则m的值是（）A．−32 B．6 C．−【分析】根据整式的加减运算进行化简，然后根据“多项式“（x2﹣3xy﹣y2）﹣2（x2+mxy+2y2）化简后不含xy的项，可知xy的系数为0，从而可以求得m的值．【解答】解：（x2﹣3xy﹣y2）﹣2（x2+mxy+2y2）＝x2﹣3xy﹣y2﹣2x2﹣2mxy﹣4y2＝﹣x2﹣（3+2m）xy﹣5y2，∵该多项式化简后不含xy的项，∴﹣（3+2m）＝0，解得m=−3故选：A．【点评】本题考查整式的加减，解题的关键是明确多项式化简后不含xy的项，也就是化简后xy的系数为0．2．（2023秋•十堰期中）若代数式x2+ax﹣（bx2﹣x﹣3）的值与字母x无关，则a﹣b的值为（）A．0 B．﹣2 C．2 D．1【分析】原式去括号合并后，根据结果与字母x无关，确定出a与b的值，代入原式计算即可求出值．【解答】解：∵x2+ax﹣（bx2﹣x﹣3）＝x2+ax﹣bx2+x+3＝（1﹣b）x2+（a+1）x+3，且代数式的值与字母x无关，∴1﹣b＝0，a+1＝0，解得：a＝﹣1，b＝1，则a﹣b＝﹣1﹣1＝﹣2，故选：B．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．（2023秋•禹州市期中）若多项式（2k+3）x2y+3x﹣7x2y﹣5y+1中不含x2y的项，则k的值为．【分析】先合并同类项，使x2y项的系数为0即可．【解答】解：（2k+3）x2y+3x﹣7x2y﹣5y+1＝（2k+3﹣7）x2y+3x﹣5y+1，∵不含x2y的项，∴2k+3﹣7＝0，∴k＝2，故答案为：2．【点评】本题考查合并同类项，掌握整式加减的法则是解题的关键．4．（2024秋•简阳市期中）已知多项式A＝2x2+xy+3y，B＝x2﹣2xy．（1）求3A﹣2B的值；（2）若3A﹣2B的值与y的取值无关，求x的值．【分析】（1）将A＝2x2+xy+3y，B＝x2﹣2xy代入3A﹣2B，按照整式加减运算法则计算即可；（2）根据3A﹣2B的值与y的取值无关时，y的系数为0，列出关于x的方程，解方程即可．【解答】解：（1）3A﹣2B＝3（2x2+xy+3y）﹣2（x2﹣2xy）＝6x2+3xy+9y﹣2x2+4xy＝4x2+7xy+9y；（2）∵3A﹣2B＝4x2+7xy+9y＝4x2+（7x+9）y，3A﹣2B的值与y的取值无关，∴7x+9＝0，∴x=−9【点评】本题主要考查了整式加减运算，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则，准确计算．5．（2024秋•越秀区校级期中）已知关于x的多项式mx4﹣3x3+nx2+mx3﹣2x2+4x﹣n﹣1．（1）若m是最大的负整数，n﹣2的相反数是它本身，求m，n的值，并写出化简后的这个多项式；（2）若该多项式不含三次项和常数项，求m2+n2﹣2mn的值．【分析】（1）先根据已知条件，求出m，n，然后把m，n的值代入多项式mx4﹣3x3+nx2+mx3﹣2x2+4x﹣n﹣1化简即可；（2）根据已知条件，列出关于m，n的方程，解方程，求出m，n，再代入所求代数式进行计算即可．【解答】解：（1）∵m是最大的负整数，n﹣2的相反数是它本身，∴m＝﹣1，n﹣2＝0，解得：m＝﹣1，n＝2，当m＝﹣1，n＝2时，关于x的多项式mx4﹣3x3+nx2+mx3﹣2x2+4x﹣n﹣1为：﹣x4﹣3x3+2x2﹣x3﹣2x2+4x﹣2﹣1＝﹣x4﹣3x3﹣x3+2x2﹣2x2+4x﹣2﹣1＝﹣x4﹣4x3+4x﹣3；（2）mx4﹣3x3+nx2+mx3﹣2x2+4x﹣n﹣1＝mx4+mx3﹣3x3+nx2﹣2x2+4x﹣n﹣1＝mx4+（m﹣3）x3+（n﹣2）x2+4x﹣n﹣1，∵多项式不含三次项和常数项，∴m﹣3＝0，﹣n﹣1＝0，解得：m＝3，n＝﹣1，∴m2+n2﹣2mn＝32+（﹣1）2﹣2×3×（﹣1）＝9+1+6＝16．【点评】本题主要考查了多项式和实数的有关概念，解题关键是熟练掌握合并同类项法则和多项式的有关概念．题型十一整式加减与数轴、绝对值的结合1．（2023秋•龙山区期末）已知a、b、c在数轴上位置如图，则|a+b|+|a+c|﹣|b﹣c|＝（）A．0 B．2a+2b C．2b﹣2c D．2a+2c【分析】先根据各点在数轴上的位置判断出其符号，再去绝对值符号，合并同类项即可．【解答】解：由图可知，c＜a＜0＜b，|c|＞|b|＞|a|，则|a+b|+|a+c|﹣|b﹣c|＝a+b﹣a﹣c﹣b+c＝0．故选：A．【点评】本题考查的是整式的加减、数轴和绝对值，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解答此题的关键．（2023秋•洪山区校级期末）数轴上，有理数a、b、﹣a、c的位置如图，则化简|a+c|+|a+b|+|c﹣b|的结果为（）A．2a+2c B．2a+2b C．2c﹣2b D．0【分析】根据数轴上a、b、﹣a、c的位置去掉绝对值符号，再合并同类项即可．【解答】解：由图可知a＜0＜b＜﹣a＜c，∴a+c＞0，a+b＜0，c﹣b＞0，∴|a+c|+|a+b|+|c﹣b|＝a+c﹣a﹣b+c﹣b＝2c﹣2b．故选：C．【点评】本题考查的是整式的加减，数轴，绝对值，熟知整式的加减法则和绝对值的性质是解答此题的关键．3．（2024秋•滨海新区校级期中）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，求|a﹣b|﹣|b+c|﹣|c﹣b|的值．【分析】根据点的位置，可得a，b，c的关系，利用绝对值的性质化简，再合并同类项即可得答案．【解答】解：由数轴得a＜0＜b＜c，∴a﹣b＜0，b+c＞0，c﹣b＞0．∴原式＝（b﹣a）﹣（b+c）﹣（c﹣b）＝b﹣a﹣b﹣c﹣c+b＝﹣a+b﹣2c．【点评】本题考查了数轴，整式的加减，绝对值的化简，正确进行计算是解题关键．4．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|﹣2|b﹣1|﹣|a﹣c|+3|1﹣c|．【分析】由图可得a+b＜0，b﹣1＜0，a﹣c＜0，1﹣c＞0，根据绝对值的性质化简绝对值，然后去括号，合并同类项进行化简即可．【解答】解：由图可得a+b＜0，b﹣1＜0，a﹣c＜0，1﹣c＞0，∴|a+b|﹣2|b﹣1|﹣|a﹣c|+3|1﹣c|＝﹣（a+b）+2（b﹣1）+a﹣c+3（1﹣c）＝﹣a﹣b+2b﹣2+a﹣c+3﹣3c＝b﹣4c+1．【点评】本题考查了数轴，绝对值，整式的加减，掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0是解题的关键．5．如图，数a，b在数轴上的位置如图所示．（1）判断符号①a0；②b0；③a+b0；④a﹣b0．（2）化简：|a|+|a﹣b|﹣|a+b|．【分析】（1）由数轴可知a＜0＜b，且|a|＜|b|，据此判断即可；（2）根据（1）的结论去绝对值符号，再合并同类项即可．【解答】解：（1）由题意可得，a＜0＜b，且|a|＜|b|，①a＜0；②b＞0；③a+b＞0；④a﹣b＜0；故答案为：＜；＞；＞；＜；（2）|a|+|a﹣b|﹣|a+b|＝﹣a﹣（a﹣b）﹣（a+b）＝﹣a﹣a+b﹣a﹣b＝﹣3a．【点评】本题考查绝对值、数轴和整式的加减，解题的关键是去绝对值符号时，判断绝对值内式子的值的正负．题型十二利用整式加减进行新定义运算1．（2023秋•六盘水月考）对于有理数a，b，定义a⊙b＝2a﹣b，则[（x﹣y）⊙（x+y）]⊙3x化简后得（）A．﹣x+y B．﹣x﹣6y C．﹣x+6y D．﹣x+4y【分析】根据新定义运算列式，去括号，合并同类项进行化简，注意先算括号里面的，再算括号外面的．【解答】解：原式＝[2（x﹣y）﹣（x+y）]⊙3x＝（2x﹣2y﹣x﹣y）⊙3x＝（x﹣3y）⊙3x＝2（x﹣3y）﹣3x＝2x﹣6y﹣3x＝﹣x﹣6y，故选：B．【点评】本题考查整式的加减，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“﹣”号，去掉“﹣”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键．2．（2024秋•老城区期中）定义一种新运算，规定：a⊕b＝3a﹣b，若a⊕（﹣6b）＝﹣214，请计算（2a+b）⊕（2a﹣5bA．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4【分析】根据定义的新运算，求出a+b的值；再对（2a+b）⊕（2a﹣5b）进行运算，转化成关于a+b的形式，即可求出结果．【解答】解：∵a⊕（﹣6b）＝3a﹣（﹣6b）＝3a+6b，∴3a+6b＝﹣214∴a+2b＝﹣214÷3则：（2a+b）⊕（2a﹣5b）＝3（2a+b）﹣（2a﹣5b）＝6a+3b﹣2a+5b＝4a+8b＝4（a+2b）＝4×（−3＝﹣3，故选：B．【点评】本题考查了整式的加减，解题的关键是根据新定义进行运算和计算．3．（2024秋•南召县月考）定义abcd为二阶行列式，规定它的运算法则为abcd【分析】根据所给例题可得a+2a+3a−2a+3=（a+2）（a+3）﹣（【解答】解：∵ab∴a+2＝（a+2）（a+3）﹣（a+3）（a﹣2）＝（a+3）（a+2﹣a+2）＝4（a+3）．故答案为：4（a+3）．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握定义二阶行列式．4．（2024秋•湖北月考）我们定义：对于数对（a，b），若a+b＝ab，则（a，b）称为“和积等数对”．如：因为2+2＝2×2，﹣3+34=−3×（1）下列数对中，是“和积等数对”的是；（填序号）①（3，1.5）；②（34，1）；③（−12（2）若（﹣5，x）是“和积等数对”，求x的值；（3）若（m，n）是“和积等数对”，求代数式4[mn+m﹣2（mn﹣3）]﹣2（3m2﹣2n）+6m2的值．【分析】（1）根据“和积等数对”的定义即可得到结论；（2）根据“和积等数对”的定义列方程即可得到结论；（3）将原式去括号，合并同类项进行化简，然后根据新定义内容列出等式并化简，最后代入求值．【解答】解：（1）∵3+1.5＝3×1.5＝4.5，∴数对（3，1.5）是“和积等数对”，符合题意；∵34+1∴（34∵−1∴数对（−12，故答案为：①③；（2）∵（﹣5，x）是“和积等数对”，∴﹣5+x＝﹣5x，6x＝5，解得：x=5（3）4[mn+m﹣2（mn﹣3）]﹣2（3m2﹣2n）+6m2＝4mn+4m﹣8（mn﹣3）﹣6m2+4n+6m2＝4mn+4m﹣8mn+24﹣6m2+4n+6m2＝﹣4mn+4m+4n+24，∵（m，n）是“和积等数对”∴m+n＝mn，∴原式＝﹣4mn+4（m+n）+24＝﹣4mn+4mn+24＝24．【点评】本题考查了合并同类项，整式的加减—化简求值，掌握整式的加减—化简求值的方法是关键．5．（2024秋•合肥期中）我们定义新运算“△”：对于任意的有理数a和b，a△b＝a+b﹣ab．（1）分别求出2△3，3△（﹣5）的值；（2）若m△n＝0，求代数式4[mn+m﹣2（mn﹣3）]﹣2（3m2﹣2n）+6m2的值；（3）若a＝3，b＝m2+3mn+2n，c＝2m2﹣mn+n，且a△b﹣a△c的运算结果与n的取值无关，求m的值及a△b﹣a△c的值．【分析】（1）根据新定义列出式子，然后根据有理数的混合运算法则计算即可；（2）先根据新定义，得出m+n﹣mn＝0，即m+n＝mn，然后把原代数式去括号，合并同类项化简为﹣4mn+4（m+n）+24，最后把m+n＝mn整体代入计算即可；（3）原式利用新定义化简，根据结果与n的取值无关，使n的系数为0，求出m的值，进而得出答案．【解答】解：（1）∵a△b＝a+b﹣ab，∴2△3＝2+3﹣2×3＝2+3﹣6＝﹣1，3△（﹣5）＝3+（﹣5）﹣3×（﹣5）＝3﹣5+15＝13；（2）∵m△n＝0，∴m+n﹣mn＝0，∴m+n＝mn，∴4[mn+m﹣2（mn﹣3）]﹣2（3m2﹣2n）+6m2＝4（mn+m﹣2mn+6）﹣6m2+4n+6m2＝4mn+4m﹣8mn+24﹣6m2+4n+6m2＝﹣4mn+4m+4n+24＝﹣4mn+4（m+n）+24＝﹣4mn+4mn+24＝24；（3）a△b﹣a△c＝a+b﹣ab﹣（a+c﹣ac）＝a+b﹣ab﹣a﹣c+ac＝b﹣c+ac﹣ab＝（b﹣c）+（ac﹣ab）＝（b﹣c）﹣a（b﹣c）＝（b﹣c）（1﹣a），当a＝3，b＝m2+3mn+2n，c＝2m2﹣mn+n，∴原式＝[（m2+3mn+2n）﹣（2m2﹣mn+n）]×（1﹣3）＝﹣2×（m2+3mn+2n﹣2m2+mn﹣n）＝﹣2×（﹣m2+4mn+n）＝2m2﹣8mn﹣2n＝2m2﹣（8m+2）n，∵a△b﹣a△c的运算结果与n的值无关，∴﹣（8m+2）＝0，解得：m=−1此时a△b﹣a△c=2×(−1【点评】本题考查了新定义，整式的加减﹣化简求值，有理数的混合运算，理解新定义，熟练掌握有理数的加减运算法则，有理数的混合运算法则是解题的关键．题十三整式中的规律探究问题1．（2023秋•九龙坡区校级月考）用围棋子按下面的规律摆放图形，则摆放第2024个图形需要围棋子的枚数是（）A．6069 B．6070 C．6071 D．6074【分析】根据题目中的图形，可以发现棋子的变化规律，从而可以解答本题．【解答】解：由图可得，第一个图形棋子的个数为：2+3×1＝5，第二个图形棋子的个数为：2+3×2＝8，第三个图形棋子的个数为：2+3×3＝11，第四个图形棋子的个数为：14，第五个图形棋子的个数为：17，……，∴第n个图形需要围棋子的枚数是：3n+2，∴第2024个图形需要围棋子的枚数是：2+3×2024＝6074，故选：D．【点评】本题考查图形的变化类，发现规律是关键．2．（2024秋•齐齐哈尔月考）下列图形都是由同样大小的桃心按一定的规律组成，其中第①个图形共有5个桃心，第②个图形共有8个桃心，第③个图形共有11个桃心，…，则第⑦个图形中桃心的个数为（）A．17 B．20 C．23 D．26【分析】根据前三个图形可得到第n个图形一共有（3n+2）个桃心，当n＝7代入计算即可．【解答】解：第①个图形一共有5＝3×1+2个桃心；第②个图形一共有8＝3×2+2个桃心；第③个图形一共有11＝3×3+2个桃心……，∴可知第n个图形一共有（3n+2）个桃心，∴第⑦个图形一共有3×7+2＝23个桃心．故选：C．【点评】本题主要考查了图形类的规律探索，解题的关键是找到规律．3．（2024秋•武陵区期中）将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形…如此下去，则第2023个图中共有正方形的个数为（）A．2021 B．2020 C．6067 D．6061【分析】探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．据图形的变化，后一个图形的正方形的个数都比前一个图形的正方形的个数多3个，第n个图形的正方形的个数为1+3（n﹣1）＝3n﹣2，即可求解．【解答】解：图①中共有1正方形，图②中共有4个正方形，图③中共有7个正方形，即3×2+1；图④中共有10个正方形，即3×3+1；……，图n中共有正方形的个数为3（n﹣1）+1；所以第2023个图中共有正方形的个数为：3×（2023﹣1）+1＝6067．故选：C．【点评】本题考查了图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．4．（2024秋•裕安区月考）小茗同学用小木棍按如图方式进行排列．回答下列问题：（1）第4个图形用根小木棍；（2）第n个图形需要多少根小木棍？（3）第几个图形需要2027根小木棍？【分析】（1）根据所给图形，依次求出图形中小木棍的根数，发现规律即可解决问题．（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．（3）根据（1）中发现的规律即可解决问题．【解答】解：（1）由所给图形可知，第1个图形用的小木棍根数为：7＝1×5+2；第2个图形用的小木棍根数为：12＝2×5+2；第3个图形用的小木棍根数为：17＝3×5+2；…，所以第n个图形用的小木棍根数为（5n+2）根．当n＝4时，5n+2＝22（根），即第4个图形用的小木棍根数为22根．故答案为：22．（2）由（1）知，第n个图形用的小木棍根数为（5n+2）根．（3）令5n+2＝2027，解得n＝405，所以第405个图形需要2027根小木棍．【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现所需小木棍的根数依次增加5是解题的关键．5．（2023秋•连山区期中）下列图形按一定规律排列，观察并回答：（1）依照此规律，第4个图形共有个★，第7个图形共有个★；（2）第n个图形中有★个；（3）根据（2）中的结论，第几个图形中有2023个★？【分析】（1）把五角星分成两部分，顶点处的一个不变，其它的分三条线，每一条线上后一个图形比前一个图形多一个，据此可得；（2）根据（1）中规律找出第n个图形中五角星的个数的关系式；（3）然后把2023代入（2）进行计算即可求解．【解答】解：（1）观察发现，第1个图形五角星的个数是，1+3＝4，第2个图形五角星的个数是，1+3×2＝7，第3个图形五角星的个数是，1+3×3＝10，…，第4个图形五角星的个数是，1+3×4＝13，第6个图形五角星的个数是，1+3×6＝19，第6个图形五角星的个数是，1+3×7＝22，故答案为：13，22；（2）第n个图形五角星的个数是，1+3×n＝3n+1，故答案为：1+3n；（3）3n+1＝2023，解得n＝674．答：第674个图形中有2023个★．【点评】本题考查了图形变化规律的问题，把五角星分成两部分进行考虑，并找出第n个图形五角星的个数的表达式是解题的关键．题型十四利用整式加减解决实际问题1．（2023秋•临沭县期中）已知B，C，D三个车站的位置如图所示，B，C两站之间的距离是2a﹣b，B，D两站之间的距离是72a﹣2b﹣1，则C，DA．112a﹣3b﹣1 B．32a+b+1 C．32a﹣b﹣1 D．32【分析】根据题意列出算式（72a﹣2b﹣1）﹣（2a﹣b【解答】解：根据题意，知C，D两站之间的距离是（72a﹣2b﹣1）﹣（2a﹣b=72a﹣2b﹣1﹣2a=32a﹣故选：C．【点评】本题主要考查整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．2．（2023秋•涧西区校级期末）如图，两个矩形的一部分重叠在一起，重叠部分是面积是4的正方形，则阴影部分的面积为（）A