点击解决最值问题的常用方法

PAGE2PAGE5点击解决最值问题的常用方法建湖县颜单中学陈国华[内容提要]在生活实际中常要考虑在一定条件下怎样使成本最低，消耗最少，使收益最大，方案最优，行走路径最短，周长面积最小等问题。这类生活问题一般可转化为求函数或线段的最小值或最大值的数学问题，此类问题涉及知识面广，综合性强，解法有一定技巧性。通过这类问题的解决可以培养学生的数学思想方法，提高学生的数学思维能力。本文举例介绍解决初中数学中有关最值问题一些常用方法。【关键词】生活问题数学问题最值数学思想方法数学思维能力一、配方法配方法是数学中的一种重要解题思想方法，将已知代数式（等式）配成若干个完全平方式的形式，结合非负数性质，从而使问题得到解决。例1设x、y为实数，代数式5x2+4y2－8xy+2x+4的最小值为_______。解析：配方得原式=2（x2－2xy+y2）+x2+2x+4=4（x－y）2+（x+1）2+3显见，当x=－1，y=－1时，原式有最小值3。二、分类讨论法当解决的问题存在一些不确定因素，这时常用分类讨论法按一定的标准或原则分为若干类、然后逐类求解，再综合这几点的结论从而求解。例2已知0≤a≤4，那么的最大值等于（）（A）1（B）5（C）8（D）3解析：根据已知条件采用取零点分段讨论法求最大值。根据绝对值的几何意义，a=2,a=3是两个零点，结合0≤a≤4分成0≤a≤2，2＜a≤3，3＜a≤4三段讨论：①当0≤a≤2时，原式=5－2a，当a=0时达到最大值5；②当2＜a≤3时，原式=1；③当3＜a≤4时，原式=2a－5，当a=4时达到最大值3.综合①②③在0≤a≤4范围，原式的最大值为5，所以选B。三、数形结合法有些代数问题条件中的数量关系有明显的几何意义，或以某种方式与几何图形相关联，则可以通过作出与其相关的几何图形，将代数问题的条件及数量关系直接在图形中表现出来，从而利用几何关系来求解。例3使取最小值的实数x的值为_________。解析：通过观察不难发现，题设条件中有明显的几何意义。即可将、分别视为x、2和（8－x）、4为直角边的直角三角形的斜边，进而构造如图所示的几何图形。AC⊥AB，BD⊥AB，且AC=2，BD=4，AB=8。（2）设点Q的坐班为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G。由，得∴B的坐标为（－2，0），∴AB=6，BQ=m+2.∵QE∥AC，∴△BQE~△BAC，∴，即∴EG=，∴S△CQE=S△CBQ－S△EBQ=×CO－×EG=（m+2）()=∵a=－＜0，∴S△CQE有最大值。即当m=1时，S△CQE有最大值为3，此时Q（1，0）。五、不等式法一些要求最大利润，最优方案生活问题，可根据题意把实际问题转化为不等式模型，从而求出某些量的取值范围，再结合函数性质求解。例6：某加工厂以每吨3000元的价格购进50吨原料进行加工，若进行粗加工，每吨加工费为600元，需天，每吨售价4000元；若进行精加工，每吨加工费用为900元，需天，每吨售价为4500元，现将这50吨原料全部加工完。（1）设其中粗加工x吨，获利y元，求y与x的函数关系式。（2）如果必须在20天内完，如何安排生产才能获得最大利润？最大利润是多少？解析：粗加工x吨，则细加工为（50－x）吨，粗加工每吨利润为（4000－3000）元，细加工每吨利润为（4500－3000）元。则y=（4000－3000）x－600x+（4500－3000）（50－x）－900（50－x）=－200x+30000由题意知：x+（50－x）≤20，得x≥30，∴30≤x≤50。当x=30时，最大值y=－200×30+3000=2400（元）。故粗加工=10（天），精加工=10（天）所以10天粗加工，10天精加工可获得最大利润，最大利润是24000元。六、垂线段法在一些几何问题中要求线段、周长、面积最小值时，可通过把相关线段特殊化，化为垂线段，根据垂线段最短的性质从而得解。例7：边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AD上异于A、D两点的一个动点，F是CD上的动点，且满足AE+CF=a，如图。（1）证明：不论E、F怎样移动，△BEF总是正三角形，求出△BEF面积最小值。解析：连结BD，可证△BED≌△BFC，易得∠EBF=60°，且EB=BF，故△BEF为正三角形。（2）由于△BEF面积大小是由BE边所决定，根据垂线段最短，当BE⊥AD时，BE最短，这时E为AD中点，因此，为所求最小值。S△BEF=×=七、判别式法求某些字母代数式的最值时可设整个代数式为一个新的字母再变形转化为某个字母的一元二次方程，进而根据一元二次方程根的判别式去求出新字母的取值范围，即确定原代数式的取值范围，从而得解。例8：设a，b为实数，那么代数式的最小值是多少？解析：设t=，变形得关于a的一元二次方程，。因为a、b、t为实数，因此有，△=≥0，即4t≥∴4t≥－4，t≥－1.故当a=0，b=1时，t有最小值，即代数式有最小值－1。八、对称变换法求某些几何图形中的线段的和的最小值时，可采用轴对称变换的方法将其中一条线段变换，进而把两条线段合并成一条线段根从而求出最值。例9：如图，正方形ABC的边长为3，点E在BC上，且BE=2，点P在BD上移动，则PE+PC的最小值是多少？解析：作E点关于直线BD的对称点E′，则E′点在AB上，且BE′=2，PE′=PE。又PE+PC=PE′+PC≥E′C（当E′、P、C三点共线时取等号），所以PE+PC的最小值为：E′C==九、换元法对于形如的函数，一般可考虑用换元法将其转化为二次函数，通过求二次函数的最值来达到求原函数的最值的目的。例10求函数y=x－的最值。解析：设，则，∴，∴当t＝0，即x=时，y最大值＝，y无最小值。十、消元法对于有条件等式的多元问题，常通过消元法把多个元素转化为以某一元素为主元的等式，再结合已知条件，经过合理的运算，使问题逐步简化，再求解。例11a、b、c是非负实数，并且满足3a+2b+c=5,2a+b－3c=1,设m=3a解析：把视c为主元，由已知，求得a=7c－3,b=7－11c。由于a、b、c是非负实数，则有：从而有≤c≤又m＝3a+b－7c=3c－2∴－≤m≤于是x=－，y=－,∴xy=十一、枚举法有些求最值问题可根据已知条件列举所有可能出现的情形，再通过计算后进行比较结果从而求出。例12：若a、b、c、d是四个不相等的自然数，且abcd=2583，求S=a+b+c+d的最值。解析：∵2583=1×7×9×41=1×3×21×41=1×3×7×123，∴a、b、c、d的值为1，7，9，41或1，3，21，41或1，3，7，123.∴S=a+b+c+d=58或66或134，∴S最大值=134，S最小值=58十二、估算法对所要考察的代数式的取值情况，进行恰当的估算，确定其范围，可促使问题简明快捷地获解。例13：五个互不相等自然的平均数是15，中位数是18，这五个数中最大数的最大值为（）（A）35（B）36（C）37（D）38解析：设这五个数中其余四个数分别为a、b、c、