高二上学期期末数学考试卷03（【含答案解析】）

绝密★考试结束前2023-2024学年高二上学期期中数学考试卷03（试卷满分150分，考试用时120分钟）（考试范围：选择性必修第一册至选择性必修第二册）姓名___________班级_________考号_______________________注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（2023·四川眉山·高二校联考阶段练习）直线的倾斜角是（

）A．或 B． C． D．或【答案】B【解析】直线方程可化为：，所以直线的斜率为：.设倾斜角为，则且，故.故选：B2．（2023·河北保定·高二定兴第三中学校联考期中）已知，是平面的一个法向量，且是平面内一点，则点A到平面的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知，又，则点A到平面的距离为.故选：D.3．（2023·山东烟台·高二校考期末）已知数列满足，，则（

）A． B． C．2 D．1【答案】B【解析】由，因，则，，，，，，由此不难发现，数列的项具有周期性，且最小正周期为3，故故选：B.4．（2023·新疆伊犁·高二统考期中）已知函数的导函数为，且满足，则（

）A． B．-1 C． D．0【答案】A【解析】，因此有，故选：A5．（2023·江西宜春·高二校考阶段练习）已知点在抛物线上，是抛物线的焦点，点为直线上的动点，则的最小值为（

）A．8 B． C． D．【答案】D【解析】由抛物线，可得焦点为，准线方程为，如图所示，设点关于的对称点为，则，可得，当且仅当点为直线与的交点时，取得最小值，则，即的最小值为.故选：D.6．（2023·重庆江北·高二重庆十八中校考期末）已知是的重心，是空间中的一点，满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知是的重心，则，即，所以，又因为，所以.故选：C.7．（2023·湖北武汉·高二武汉市第三中学校考阶段练习）已知数列满足，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于数列满足，当时，，当时，，故，即，也适合，故，则，由于数列为单调递增数列，即，即，则恒成立，令，则，当时，，当时，，故是数列的最大值的项，故时，取得最大值，故，则的取值范围为，故选：C8．（2023·江苏泰州·高二校联考期中）已知椭圆与双曲线共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】不妨设双曲线的标准方程为，则双曲线的实半轴长为，由双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，可得椭圆的长半轴为，半焦距为，设椭圆与双曲线的公共焦点为，且分别为双曲线的左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限的交点为，第三象限的交点为，，则，可得，且两曲线的交点与两焦点共圆，则在以为直径的圆上，所以，即，所以，则双曲线的离心率为.故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（2023·广东佛山·高二校联考阶段练习）已知是空间中不共面的三个向量，则下列向量能构成空间的一个基底的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】对于选项：因为，所以三个向量共面，故不能构成空间的一个基底，故A错误；对于选项：因为，所以三个向量共面，故不能构成空间的一个基底，故D错误；因为是空间中不共面的三个向量，对于选项B：设，显然不存在实数使得该式成立，所以不共面，可以作为基底向量，故B正确；对于选项C：设，则，方程无解，即不存在实数使得该式成立，所以不共面，可以作为基底向量，故C正确；故选：BC.10．（2023·浙江台州·高二期末）已知直线，直线，则下列结论正确的是（

）A．在轴上的截距为 B．过定点C．若，则或 D．若，则【答案】ABD【解析】由易知，故A正确；由，故B正确；若两直线平行，则有且，解得，故C错误；若两直线垂直，则有，故D正确.故选：ABD11．（2023·福建莆田·高二仙游一中校联考期末）已知点是椭圆上一点，为其左、右焦点，且△的面积为3，则下列说法正确的是（

）A．P点到轴的距离为 B．C．△的周长为 D．△的内切圆半径为【答案】ACD【解析】由已知条件得，，，设，则，解得，则P点到轴的距离为，故正确；将代入得，则，则，且两向量所成角的范围为，则为锐角，故错误；由椭圆的定义可知，，△的周长为，故正确；设△的内切圆半径为，圆心为,则，解得，故正确；故选：.12．（2023·江西宜春·高二上高中学校考期末）设，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】，，，，对于A，设，则，令，则恒成立，所以在上单调递增，则恒成立，所以在上单调递增，则，即，所以，故A正确；对于B，设，则，故在上单调递增，则，整理得，所以，故B不正确；对于D，设，则，当时，，所以在上单调递增，所以有，即，所以，则，故D正确；由前面可知，所以，故C正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2023·吉林长春·高二校考期末）等差数列前项和为，，则．【答案】【解析】等差数列，由，解得，则.14．（2023·陕西宝鸡·高二校联考期末）抛物线：与直线交于，两点，且的中点为，则的斜率为.【答案】【解析】已知的中点为，设，两点坐标分别为，，则，可得，即，即又，所以.15．（2023·山东威海·高二统考期末）写出曲线过坐标原点的一条切线方程.【答案】或（任写一个即可）【解析】，设切点为，故切线方程为，由于切线过原点，故，整理得，解得或.当时，切线方程为，即.当时，切线方程为，即.16．（2023·云南昆明·高二昆明市第三中学校考期中）已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为【答案】【解析】圆：可化为，，，，是圆的两条切线，则，，、、、四点共圆，且，，，，当最小，即时，取得最小值，此时方程为，联立，解得，，即，以为直径的圆的方程为，即，圆：，两圆相交，两圆方程相减即为的方程.四．解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2023·四川凉山·高二校联考期末）已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点.（1）求直线的方程.（2）直线恒过定点，求点到直线的距离.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题可得，，则，，∴直线的斜率，且直线过点，∴由直线的点斜式方程得，即，∴所求直线的方程为；（2）∵直线化简得：，∴定点，则点到直线的距离，∴到直线的距离为.18．（2023·江西·高二校联考阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点．（1）求圆的标准方程；（2）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．【答案】（1）；（2）或【解析】（1）因为圆心在直线上，设圆心，则与直线垂直，且直线的斜率为，则，可得，解得，所以，圆心的坐标为，则圆的半径为，所以，圆的标准方程为.（2）由题意可知，圆心到直线的距离为，若直线轴，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意；若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为，可得，解得，此时，直线的方程为，即.综上所述，直线的方程为或.19．（2023·重庆·高二重庆十八中校考期末）已知等比数列的前n项和.（1）求数列的通项公式.（2）若为数列的前项和，求使成立的最小正整数.【答案】（1）；（2）10【解析】（1）因为，所以当时，，当时，.因为数列为等比数列，首项也满足上式，所以，即，得，所以数列的通项公式为.（2）由（1）得.所以令，即，所以，即，因为，且在上单调递增，，所以的最小值为.故满足条件的最小正整数为.20．（2023·全国·高二期末）如图，在三棱柱中，四边形为菱形，，，，平面平面，Q在线段上移动，P为棱的中点.（1）若Q为线段AC的中点，H为BQ中点，延长AH交BC于D，求证：平面；（2）若二面角的平面角的余弦值为，求点P到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）如图，取中点E，连接AE，EH，由H为BQ中点，则.在平行四边形中，P、E分别为，的中点，则，由面，面，所以面，面，又，面，所以面面，而面，面.（2）连接，，由四边形为菱形，则.又，则为正三角形，P为的中点，即.因为面面，面面，面，面，在面内过P作交于点R.建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，设，，则，，，，则，.设面的法向量为，则，令，则，设面的法向量为，二面角的平面角为，则，解得或（舍），∴且，又，∴，故，，故.所以，即，连接BP，设P到平面的距离为h，则，∴，即点P到平面的距离为.21．（2023·安徽合肥·高二统考期末）已知双曲线：的右焦点为，过且斜率为1的直线与的渐近线分别交于，两点（在第一象限），为坐标原点，．（1）求的方程；（2）过点且倾斜角不为0的直线与交于，两点，与的两条渐近线分别交于，两点，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）由已知得：，联立解得，同理可得．∵，∴，整理得．又，∴，，∴的方程为．（2）要证明，只需证明的中点与的中点重合．设的中点为，直线：，联立得，设，，则，，，即，双曲线：的渐近线方程为，由得可得，由得可得，∴的中点为，∴点与点重合，∴．22．（2023·湖南衡阳·高二校考期末）已知函数，.（1）若的极大值为