高一上期末压轴题解答（江苏）

第第页特训10高一上期末压轴题解答（江苏期末精选）一、解答题1．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知函数，其中.(1)判断的奇偶性（直接写出结论，不必说明理由）；(2)证明：当时，；(3)若函数有三个零点，求的取值范围.2．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知函数，，定义函数(1)设函数，，求函数的值域；(2)设函数（，为实常数），，当时，恒有，求实常数的取值范围；3．（23-24高一上·江苏南京·期末）若存在实数对，使等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为型函数.(1)若函数是型函数，求的值；(2)若函数是型函数，求和的值；(3)已知函数定义在上，恒大于0，且为型函数，当时，.若在恒成立，求实数的取值范围.4．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若对于实数，，关于的方程在函数y=fx的定义域上有实数解，则称为函数的“可消点”.又若存在实数，，对任意实数，都为函数的“可消点”，则称函数为“可消函数”，此时，有序数对称为函数的“可消数对”.(1)若是“可消函数”，求函数的“可消数对”；(2)若为函数的“可消数对”，求的值；(3)若函数的定义域为，存在实数，使得同时为该函数的“可消点”与“可消点”，求的取值范围.5．（23-24高一上·江苏常州·期末）中心对称函数指的是图形关于某个定点成中心对称的函数，我们学过的奇函数便是一类特殊的中心对称函数，它的对称中心为坐标原点.类比奇函数的代数定义，我们可以定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为.(1)判断是否为中心对称函数（不用写理由），若是，请写对称中心；(2)若定义在上的函数为中心对称函数，求的值；(3)判断函数是否为中心对称函数，若是，求出其对称中心；若不是，请说明理由.6．（23-24高一上·江苏徐州·期末）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“-利普希兹条件函数”.(1)判断函数，是否为“2-利普希兹条件函数”，并说明理由；(2)若函数是“-利普希兹条件函数”，求的最小值；(3)设，若是“2024-利普希兹条件函数”，且的零点也是的零点，.证明：方程在区间上有解.7．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，，，使得（其中，，，，），则称为的“重覆盖函数”.(1)判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由．(2)若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围.8．（22-23高一上·江苏南京·期末）已知函数，.(1)利用函数单调性的定义，证明：在区间上是增函数；(2)已知，其中是大于1的实数，当时，，求实数的取值范围；(3)当，判断与的大小，并注明你的结论.9．（22-23高一上·江苏徐州·期末）对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数和”生成的.(1)若是由“基函数和”生成的，求实数的值；(2)试利用“基函数和”生成一个函数，使之满足为偶函数，且.①求函数的解析式；②已知，对于区间上的任意值，，若恒成立，求实数的最小值.（注：.）10．（22-23高一上·江苏淮安·期末）对于定义域为的函数，区间。若满足条件：使在区间上的值域为，则把称为上的闭函数.若满足条件：存在一个常数，对于任意，如果，那么，则把称为上的压缩函数.(1)已知函数是区间上的压缩函数，请写出一个满足条件的区间，并给出证明；(2)给定常数，以及关于的函数，是否存在实数，，使是区间上的闭函数，若存在，请求出a，b的值，若不存在，请说明理由；(3)函数是区间上的闭函数，且是上的压缩函数，求满足题意的函数在上的一个解析式.11．（22-23高一上·江苏泰州·期末）已知函数(1)利用函数单调性的定义，判断并证明函数在区间上的单调性；(2)若存在实数且，使得在区间上的值域为，求实数的取值范围.12．（23-24高一上·江苏镇江·期末）已知函数的定义域为.(1)如果不等式恒成立，求实数的取值范围；(2)如果函数存在两个不同的零点.①求实数的取值范围；②求的最大值.13．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知非常值函数的定义域为，如果存在正实数，使得，都有恒成立，则称函数具有性质.(1)判断下列函数是否具有性质？并说明理由；①；②.(2)若函数具有性质，求的最小值；14．（22-23高一上·江苏南通·期末）已知指数函数满足．(1)求的解析式；(2)设函数，若方程有4个不相等的实数解．（i）求实数的取值范围；（ii）证明：．15．（22-23高三上·江苏扬州·期末）已知函数的最小正周期为，且直线是其图像的一条对称轴.(1)求函数的解析式；(2)将函数的图像向右平移个单位，再将所得的图像上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图像对应的函数记作，已知常数，，且函数在内恰有2021个零点，求常数与的值.16．（22-23高一上·江苏盐城·期末）已知函数，其中.(1)若，求解方程；(2)求当时，函数的零点；(3)求证：当时，函数至多只有一个零点.17．（22-23高一上·江苏苏州·期末）已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且．(1)求和的解析式；(2)若函数在上的值域为，求正实数a的值；(3)证明：对任意实数k，曲线与曲线总存在公共点．18．（22-23高一上·江苏常州·期末）已知函数在区间上有最大值和最小值，设.(1)求、的值；(2)不等式在上恒成立，求实数的范围；(3)方程有三个不同的实数解，求实数的范围.19．（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知偶函数和奇函数满足，为自然对数的底数.(1)从“①；②”两个条件中选一个合适的条件，使得函数与的图象在区间上有公共点，并说明理由；(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围特训10期末解答压轴题（江苏期末精选）一、解答题1．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知函数，其中.(1)判断的奇偶性（直接写出结论，不必说明理由）；(2)证明：当时，；(3)若函数有三个零点，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据题意，分和，两种情况，结合函数奇偶性的定义，即可求解；（2）根据题意，得到，分，和，三种情况讨论，分别得到，即可得证；（3）设，问题可转化为函数有三个大于0的零点，分，和，三种情况讨论，转化为在有且仅有1个零点，在上有且仅有2个零点，列出不等式组，即可求解.【解析】（1）当时，，其定义域为，且，所以函数为偶函数；当时，函数，可得且，所以函数既不是奇函数又不是偶函数.（2）由函数，可得，当时，因为，，所以；当时，；当时，，综上可得，当时，.（3）设，因为是关于的单调增函数，问题可转化为函数有三个大于0的零点，当时，，所以只有一个零点为0，不符合题意；当时，，所以无零点，不符合题意；当时，，因为的图象的对称轴为，所以在上递增，所以在上至多有1个零点；又因为的图象对称轴为，所以在上至多有2个零点，问题等价于在有且仅有1个零点，在上有且仅有2个零点，则满足，即，解得，所以实数的取值范围为.【点睛】关键点睛：本题第3问解决的关键是先分析得，再分类讨论去掉绝对值，结合二次函数的性质与根的分布即可得解.2．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知函数，，定义函数(1)设函数，，求函数的值域；(2)设函数（，为实常数），，当时，恒有，求实常数的取值范围；【答案】(1)(2)【分析】（1）结合函数图象和题目要求写出函数解析式，并求出值域.（2）由当时，恒有可得:当时，，即当时恒成立.然后整理得到当时恒成立.再根据单调性求最值，解决恒成立问题.【解析】（1）因为在单调递增，在单调递减，且，所以，因为时时，所以函数的值域为（2）由当时，恒有可得:当时，，即当时恒成立.即当时恒成立.即当时恒成立.即当时恒成立.即当时恒成立.因为在单调递增，所以在时取得最大值，因为在单调递减，所以在时取得最小值，所以.3．（23-24高一上·江苏南京·期末）若存在实数对，使等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为型函数.(1)若函数是型函数，求的值；(2)若函数是型函数，求和的值；(3)已知函数定义在上，恒大于0，且为型函数，当时，.若在恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）根据给定的定义，结合指数运算计算即得.（2）利用给定的定义，建立恒成立的等式，借助恒等式求解即得.（3）利用新定义建立关系，再分段讨论并借助函数不等式恒成立求解即得.【解析】（1）由是型函数，得，即，所以.（2）由是型函数，得，则，因此对定义域内任意恒成立，于是，解得，所以.（3）由是型函数，得，①当时，，而，则，满足；②当时，恒成立，令，则当时，恒成立，于是恒成立，而函数在单调递增，则，当且仅当时取等号，因此；③当时，，则，由，得，令，则当时，，由②知，则只需时，恒成立，即恒成立，又，当且仅当时取等号，因此，所以实数的取值范围是.【点睛】结论点睛：函数的定义区间为，①若，总有成立，则；②若，总有成立，则；③若，使得成立，则；④若，使得成立，则.4．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若对于实数，，关于的方程在函数y=fx的定义域上有实数解，则称为函数的“可消点”.又若存在实数，，对任意实数，都为函数的“可消点”，则称函数为“可消函数”，此时，有序数对称为函数的“可消数对”.(1)若是“可消函数”，求函数的“可消数对”；(2)若为函数的“可消数对”，求的值；(3)若函数的定义域为，存在实数，使得同时为该函数的“可消点”与“可消点”，求的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）结合题目给的新的定义，求出的“可消数对”即可.（2）利用题目给的定义，根据为函数的“可消数对”，得到,都有，从而求出（3）结合题意得到关系：,利用进一步转化得到,求出结果.【解析】（1）因为函数是“可消函数”,所以,对,使得,整理得,当时,;当时,,解得.经检验,满足条件,所以所求函数的“可消数对”为0,2.（2）因为为函数的“可消数对”,所以为函数的“可消数对”,所以,对,都有,整理得,所以,所以.（3）因为存在,使得同时为函数的“可消点”与“可消点”,所以,化简可得,因为则,所以,故的取值范围为.【点睛】关键点点睛：新结构题目结合题目给的条件表示出是解决（3）的关键.5．（23-24高一上·江苏常州·期末）中心对称函数指的是图形关于某个定点成中心对称的函数，我们学过的奇函数便是一类特殊的中心对称函数，它的对称中心为坐标原点.类比奇函数的代数定义，我们可以定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为.(1)判断是否为中心对称函数（不用写理由），若是，请写对称中心；(2)若定义在上的函数为中心对称函数，求的值；(3)判断函数是否为中心对称函数，若是，求出其对称中心；若不是，请说明理由.【答案】(1)是中心对称函数，对称中心为(2)(3)是中心对称函数，对称中心为.【分析】（1）根据题意，由函数的解析式可得，即可得结论；（2）若定义在上的函数为中心对称函数，其对称中心的横坐标必为，由可知，，即可得出的值；（3）根据题意，由函数的解析式可得，即可得结论．【解析】（1）根据题意，的定义域为，，若对，都有，所以中心对称函数，对称中心为；（2）若定义在上的函数为中心对称函数，明显定义域仅关于点对称，其对称中心的横坐标必为，则，因为为中心对称函数，则为定值，则，即，所以关于点对称.（3）函数的图象是中心对称图形，其对称中心为点解方程得，所以函数的定义域为明显定义域仅关于点对称所以若函数的图象是中心对称图形，则其对称中心横坐标必为设其对称中心为点，则由题意可知有，令，可得，所以所以若函数为中心对称图形，其对称中心必定为点下面论证函数的图象关于点成中心对称图形：即只需证明，，得证.【点睛】结论点睛：函数的对称性：（1）若，则函数关于中心对称；（2）若，则函数关于对称.6．（23-24高一上·江苏徐州·期末）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“-利普希兹条件函数”.(1)判断函数，是否为“2-利普希兹条件函数”，并说明理由；(2)若函数是“-利普希兹条件函数”，求的最小值；(3)设，若是“2024-利普希兹条件函数”，且的零点也是的零点，.证明：方程在区间上有解.【答案】(1)函数是“2-利普希兹条件函数”；函数不是“2-利普希兹条件函数”；(2)2(3)证明见解析【分析】（1）根据函数新定义得和，即可判断；（2）由题知均有成立，不妨设，得恒成立，由，得，即可求解；（3）由题得，即，不妨设，根据零点的定义可得、，进而，则，设，有，结合零点的存在性定理即可证明.【解析】（1）由题知，函数，定义域为R，所以，所以函数是“2-利普希兹条件函数”；函数，所以，当时，则，函数不是“2-利普希兹条件函数”；（2）若函数是“利普希兹条件函数”，则对于定义域上任意两个，均有成立，不妨设，则恒成立，因为，所以，得，所以的最小值为2．（3）因为函数是“利普希兹条件函数”，所以在R上恒成立，即在R上恒成立，由，得.因为是函数的零点，则，又是函数的零点，则，又，所以，而，故，设，，由，，得，由零点的存在性定理知函数在上有零点，即方程在上有解.【点睛】本题考查运用所学的函数知识解决新定义等相关问题，关键在于运用所学的函数知识，紧紧抓住定义，构造所需要达到的定义式，此类题目综合性强，属于难度题.7．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，，，使得（其中，，，，），则称为的“重覆盖函数”.(1)判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由．(2)若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围.【答案】(1)是，(2)【分析】（1）根据定义，结合单调性即可求解；（2）先求出的值域，然后将问题转化为y=gx的图象与直线有两个交点的问题，然后对a【解析】（1）由定义可得，对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），即，由，故当时，，此时不存在使成立，当时，，且在1,4上单调递增，故对于任意，都有唯一一个，使得，综上所述，对于任意，都有唯一一个，使得，是的“重覆盖函数”，且；（2）由可得，故，，即，存在2个不同的实数，使得，其中，由时，，故，即，故，故对任意x0∈0,+∞，即对任意，都有2个实根，当时，，且在上递增，故时，都有唯一确定的实根，故当时，亦有且有一个实根，当时，，且在上单调递减，符合题意，当时，为开口向下的抛物线，不符合要求，故舍去。当时，则需对称轴，且，即，且，即，综上，实数的取值范围是.8．（22-23高一上·江苏南京·期末）已知函数，.(1)利用函数单调性的定义，证明：在区间上是增函数；(2)已知，其中是大于1的实数，当时，，求实数的取值范围；(3)当，判断与的大小，并注明你的结论.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】按照函数单调性的定义的证明步骤：设值，作差，变形，定号，下结论，即可证明；（2）先换元，再分离常数，最后再利用基本不等式即可求出实数的取值范围；（3）采用作差法，结合基本不等式和指数函数的值域即可比较出大小.【解析】（1）解：，因为，所以，，所以，即在上是增函数.（2）解：由已知设，由（1）得在上单调递增，即，所以，①时，，即，当且仅当时取等，此时要满足恒成立，即，所以；②时，，此时在上单调递减，即，此时要满足恒成立，即，化简得，此时因为，此时恒成立综上所述，实数的取值范围是.（3）解：因为（当且仅当时取等），所以，即，由已知，所以，又因为，所以，即，因此，所以.9．（22-23高一上·江苏徐州·期末）对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数和”生成的.(1)若是由“基函数和”生成的，求实数的值；(2)试利用“基函数和”生成一个函数，使之满足为偶函数，且.①求函数的解析式；②已知，对于区间上的任意值，，若恒成立，求实数的最小值.（注：.）【答案】(1)；(2)①；②.【分析】(1)根据题意，可得，化简，利用对应项的系数相等即可求解；①设，根据函数为偶函数得出，再结合，即可求出的值，进而求出函数的解析式；②利用定义证明函数的单调，将式子化简为，然后根据条件求解即可.【解析】（1）由已知，可得，则，则，解得，所以实数的值为.（2）①设，因为为偶函数，所以，由，可得，整理可得，即，所以，所以对任意恒成立，所以，所以，又因为，所以，所以，故函数的解析式为.②由①知.在内任取，且，则，因为，，所以，，所以，所以，即，所以，即，所以函数在上是增函数，同理可证，函数在上是减函数.设，则，所以，当且仅当或时，有最大值，故的最小值为.【点睛】“新定义”主要是指新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.10．（22-23高一上·江苏淮安·期末）对于定义域为的函数，区间。若满足条件：使在区间上的值域为，则把称为上的闭函数.若满足条件：存在一个常数，对于任意，如果，那么，则把称为上的压缩函数.(1)已知函数是区间上的压缩函数，请写出一个满足条件的区间，并给出证明；(2)给定常数，以及关于的函数，是否存在实数，，使是区间上的闭函数，若存在，请求出a，b的值，若不存在，请说明理由；(3)函数是区间上的闭函数，且是上的压缩函数，求满足题意的函数在上的一个解析式.【答案】(1)（答案不唯一，符合题意即可），证明见详解(2)见详解(3)（答案不唯一，符合题意即可），证明见详解【分析】（1）取，，结合题意证明；（2）假定存在，根据的定义域、值域以及零点，分，两种情况，结合函数的单调性、零点分析判断；（3）取，，结合题意证明.【解析】（1）设，则函数是区间上单调递增，不妨设任意，令，则，故，则，∵，则，∴，则，故函数是区间上的压缩函数.（2）不存在，理由如下：假定存在实数，，使是区间上的闭函数，函数的定义域为，值域为，且函数的零点为，则或，当时，则在区间上单调递减，则可得，整理得，两式相减得，不合题意，舍去；当时，则在区间上单调递增，则可得，即有两个零点，则，故函数在区间上有两个零点，则必须满足，解得，∵函数的零点为，符合题意；综上所述：若，不存在实数，，使是区间上的闭函数；若，存在实数，，使是区间上的闭函数.（3）若，则函数在区间上单调递增，且，则函数在区间上的值域为，故函数是区间上的闭函数；不妨设任意，令，则，即，则函数是上的压缩函数；综上所述：函数是区间上的闭函数，且是上的压缩函数.11．（22-23高一上·江苏泰州·期末）已知函数(1)利用函数单调性的定义，判断并证明函数在区间上的单调性；(2)若存在实数且，使得在区间上的值域为，求实数的取值范围.【答案】(1)在区间上是减函数，详见解析；(2)．【分析】（1）根据函数单调性的定义按步骤证明即可；（2）根据函数的单调性结合条件可将问题变转化为在上有两解的问题，采用换元法，利用一元二次方程在给定区间有解的条件解答即可.【解析】（1）由题可得，在区间上是减函数，任取，且，则，则，由题设知，故，所以，所以在区间上是减函数；（2）由（1）知在区间上是减函数，所以当时，在区间上单调递减，所以函数在区间上的值域为，所以，所以在上有两解，所以在上有两解，令，则，则关于的方程在上有两解，即在上有2解，所以，解得，所以的取值范围为．12．（23-24高一上·江苏镇江·期末）已知函数的定义域为.(1)如果不等式恒成立，求实数的取值范围；(2)如果函数存在两个不同的零点.①求实数的取值范围；②求的最大值.【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）利用换元法，令，将恒成立，转化为在上恒成立，然后分离参数，结合基本不等式，即可求得答案；（2）①将函数y=fx存在两个不同的零点，转化为存在两个不同的零点问题，结合一元二次方程的根的分布，列出不等式组，即可求得答案；②将化为，结合对数运算和根与系数的关系，求出的最大值，即可求得答案.【解析】（1）由题意知函数的定义域为，故，令，则，即为，则不等式恒成立，等价于函数在上恒成立，由于，故在上恒成立，即在上恒成立，因为，当且仅当，即时取等号，故；（2）①由于为增函数，故函数y=fx存在两个不同的零点等价于存在两个不同的零点，且，则，即，即，故实数的取值范围为；②由于，则，因为，所以，即，故的最大值为，则，当取最大值时，取到最大值.【点睛】关键点点睛：本题综合考查了函数不等恒成立以及零点和最值问题，综合性强，难度较大，解答的难点在于根据函数的零点求解最值问题，解答时要注意换元，减少变量，从而将两变量问题转化为一元函数的最值问题.13．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知非常值函数的定义域为，如果存在正实数，使得，都有恒成立，则称函数具有性质.(1)判断下列函数是否具有性质？并说明理由；①；②.(2)若函数具有性质，求的最小值；【答案】(1)不具有性质，具有性质，理由见解析(2)【分析】（1）根据函数新定义建立方程求解，即可判断函数是否具有性质；（2）根据函数新定义知恒成立，令，则对恒成立，根据和分类讨论求得，然后根据余弦函数的周期性建立不等式求解即可.【解析】（1）不具有性质，具有性质，理由如下：①假设具有性质，即存在正数，使得恒成立，则对恒成立，则此时无解，故假设不成立，所以不具有性质.②取，则，即存在正数使对恒成立，所以具有性质；（2）因为函数具有性质，所以存在正数，使都有：恒成立，令，则对恒成立.下证若，取，则，矛盾，若，取，则，矛盾，所以.即，又因为当且仅当，时，对恒成立，因为，所以，所以的最小值为.【点评】方法点睛：与函数的新定义有关的问题的求解策略：①通过给出一个新的函数的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；②遇到新函数问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.14．（22-23高一上·江苏南通·期末）已知指数函数满足．(1)求的解析式；(2)设函数，若方程有4个不相等的实数解．（i）求实数的取值范围；（ii）证明：．【答案】(1)(2)（i）；（ii）证明详见解析【分析】（1）根据指数函数的知识求得的解析式.（2）利用换元法，结合指数函数二次函数的性质以及基本不等式求得的取值范围.结合图象、对称性以及放缩法证得.【解析】（1）设（且），由于，所以，由于且，所以解得，所以.（2）（i），方程有4个不相等的实数解．即①有4个不相等的实数解．令，则，，当且仅当时等号成立.所以①化为②，对于函数，，所以是偶函数，图象关于轴对称，当时，令，，，任取，，其中，，所以在上递增，根据复合函数单调性同增异减可知在上递增；由于是偶函数，所以在上递减.所以的最小值是.所以方程②在上有两个不同的实数根，所以，解得，所以的取值范围是.（ii）由于是偶函数，图象关于轴对称，所以不妨设，所以要证明，即证明，即证明.设方程②的两个不同的实数根为，则，，由整理得，解得（对应，所以舍去），所以，则，，由于，所以，即，所以．【点睛】本题的主要难点有两个，一个是根据方程的根的个数求参数的取值范围，涉及到了二次函数的性质、指数型复合函数以及函数的奇偶性.第二个难点是不等式的证明，首先根据奇偶性将所证明的不等式简化，然后通过解复杂的指数方程，再结合基本不等式、放缩法等知识来证得结论成立.基本不等式的变形：，右侧部分还可变形为.15．（22-23高三上·江苏扬州·期末）已知函数的最小正周期为，且直线是其图像的一条对称轴.(1)求函数的解析式；(2)将函数的图像向右平移个单位，再将所得的图像上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图像对应的函数记作，已知常数，，且函数在内恰有2021个零点，求常数与的值.【答案】(1)(2)，.【分析】(1)由最小正周期得,由是其图像的一条对称轴得,进而得答案；（2）根据题意得，进而整理得，令，得，根据判别式得关于的二次方程必有两不等实根且异号，再分当且时,当得，当时，则，此时,当有一根绝对值大于1，则另一根绝对值大于0且小于1，四种情况讨论求解.【解析】（1）由三角函数的周期公式可得，，令，得，由于直线为函数的一条对称轴，所以，得，由于，，则，因此，.（2）将函数的图像向右平移个单位，得到函数，再将所得的图像上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图像对应的函数为..令，可得，令，得，，则关于t的二次方程必有两不等实根､，则，，异号.当且时，则方程和在区间均有偶数个根，从而方程在也有偶数个根，不合题意当，则，此时，当时，只有一根，有两根，所以，关于的方程在上有三个根，由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上只有一个根，在区间上无实解，方程在区间上无实数解，在区间上有两个根，因此，关于x的方程在区间上有2020个根，在区间上有2022个根，不合题意当时，则，此时，当时，只有一根，有两根，所以，关于x的方程在上有三个根，由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上无实数根，在区间上只有一个实数根，方程在区间上有两个实数解，在区间上无实数解，因此，关于x的方程在区间上有2021个根，满足题意.若有一根绝对值大于1，则另一根绝对值大于0且小于1，有偶数个根，不合题意综上所述：，.16．（22-23高一上·江苏盐城·期末）已知函数，其中.(1)若，求解方程；(2)求当时，函数的零点；(3)求证：当时，函数至多只有一个零点.【答案】(1)(2)，(3)证明见解析【分析】（1）对方程变形，根据绝对值的定义分类讨论，结合一元二次方程求解即可；（2）把求函数零点问题转化为求方程的根的问题，根据绝对值的定义分类讨论，结合一元二次方程求解即可；（3）分和取绝对值化简函数，利用函数的单调性结合零点存在性定理判断证明即可.【解析】（1）由题意，所以，即，当时，，即，，又，所以；当时，，，方程无解，所以方程的解为.（2），当即时，有，即，解得，所以，当即时，有，所以，所以，解得或，所以，综上：函数的零点为，.（3）当即时，，因为和在上单调递减，所以在上单调递减，又，所以无零点；当即时，，令，由对勾函数的性质知在单调递增，在单调递减，当时，，当时，，当时，，所以函数在上无零点，在上有一个零点，综上函数至多只有一个零点.【点睛】方法点睛：函数零点（方程的根）的求解与判断方法：（1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点.（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.17．（22-23高一上·江苏苏州·期末）已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且．(1)求和的解析式；(2)若函数在上的值域为，求正实数a的值；(3)证明：对任意实数k，曲线与曲线总存在公共点．【答案】(1)，(2)a(3)证明见详解【分析】（1）利用解方程组法即可求得解析式.（2）构造函数通过换元法利用二次函数的最值即可求得的值.（3）分类讨论利用