江苏省2024-2025学年高一上学期数学期末专题复习讲义05：幂函数、指数函数、对数函数部分

21/212024-2025学年度江苏省高一上学期数学期末专题复习--幂函数、指数函数、对数函数部分一、幂函数1、幂函数的概念一般地，我们把形如y=xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.2、常见幂函数的图象与性质在同一平面直角坐标系内，画出函数(1)y=x；(2)y=x12；(3)y=x2；(4)y=x-1；(5)y=x33、常见幂函数的性质4、幂函数的共同特性（1）幂函数y=xα(α为常数)的性质①当α>0时，函数y=xα的图象都过点(0，0)和(1，1)，在第一象限内，函数的图象随x的增大而上升，函数在区间[0，+∞)上单调递增.②当α<0时，函数y=xα的图象都过点(1，1)，在第一象限内，函数的图象随x的增大而下降，函数在区间(0，+∞)上单调递减.5、幂函数的图象（1）根据幂函数在第一象限内的图象可确定幂的指数α与0，1的大小关系. （2）依据幂函数的图象的高低判断幂的指数的大小，相关结论如下：①在x∈(0，1)上，幂的指数越大，幂函数的图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)；②在x∈(1，+∞)上，幂的指数越大，幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”)6、幂函数性质的应用（1）幂函数的性质与α的相互确定幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性.反过来，也可由幂函数的性质去限制α的取值：利用幂函数的单调性求出α的取值范围；由幂函数的奇偶性结合所给条件确定α的值.（2）利用幂函数的单调性比较大小的方法①直接法：当幂函数中的幂的指数相同时，可直接利用幂函数的单调性比较大小；②转化法：当幂函数中的幂的指数不同时，可以先转化为相同的幂的指数，再运用幂函数的单调性比较大小；③中间量法：当幂函数中的底数和幂的指数均不同时，可选取适当的中间值(通常选用0或1)比较大小.二、指数函数1.定义：函数叫做指数函数，定义域为.2.性质：3、与指数函数有关的函数的定义域、值域问题（1）求与指数函数有关的函数的定义域时，要观察函数是y=af(x)(a>0，a≠1)型还是y=f(ax)(a>0，a≠1)型.（2）函数y=af(x)(a>0，且a≠1)的定义域与f(x)的定义域相同（3）求函数y=f(ax)(a>0，且a≠1)的定义域，先令u=ax(u>0)，然后确定y=f(u)的定义域，即u=ax的值域，由此构造关于x的不等式(组)，确定x的取值集合，即y=f(ax)的定义域.4、求与指数函数有关的函数的值域时，重点要注意指数函数的值域为(0，+∞).(1)求函数y=af(x)(a>0，且a≠1)的值域，需先确定f(x)的值域，再根据指数函数y=ax(a>0，a≠1)的单调性确定函数y=af(x)的值域.(2)求函数y=f(ax)(a>0，且a≠1)的值域，先令u=ax(u>0)，然后利用函数u=ax的单调性确定其值域，进而确定函数y=f(u)的值域，即y=f(ax)的值域.5、与指数函数有关的函数的单调性（1）形如y=af(x)(a>0，a≠1)的函数的单调性的判断方法（2）当a>1时，函数u=f(x)的单调递增(减)区间即为函数y=af(x)的单调递增(减)区间(3)当0<a<1时，函数u=f(x)的单调递减(增)区间即为函数y=af(x)的单调递增(减)区间.6、形如y=f(ax)(a>0，a≠1)的函数的单调性的判断方法通过内层函数u=ax的值域确定外层函数y=f(u)的定义域，在此定义域内讨论外层函数的单调区间，再根据复合函数“同增异减”的规律确定复合函数的单调性三、对数函数1.定义：函数叫做对数函数，定义域是.2.性质：3、对数函数的图象及其应用（1）对数型函数图象过定点问题求函数y=m+logaf(x)(a>0，且a≠1，f(x)>0)的图象所过定点时，只需令f(x)=1，求出x，即得定点为(x，m).（2）根据对数函数图象判断底数大小的方法作直线y=1，与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小.（3）函数图象的变换规律①一般地，函数y=f(x+a)+b(a，b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度后，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.②含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.4、比较对数值的大小(1)底数相同，真数不同：利用对数函数的单调性进行比较.(2)底数不同，真数相同：利用对数函数的图象或用换底公式转化进行比较.(3)底数不同，真数不同：利用中间量进行比较.(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论5、解对数不等式(1)形如logaf(x)>logab(a>0，且a≠1)的不等式，借助函数y=logax(a>0，且a≠1)的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论；(2)形如logaf(x)>b(a>0，且a≠1)的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(即b=logaab)，借助函数的单调性求解；(3)形如logf(x)a>logg(x)a的不等式，利用换底公式化为同底的对数进行求解或利用图象求解.6、与对数函数有关的函数的定义域、值域问题（1）对数型函数的定义域求对数型函数的定义域时，除了要遵循前面所学的求函数定义域的方法外，还要保证对数的真数大于0，底数大于0且不等于1.（2）求对数型函数的值域的常用方法①直接法：根据函数解析式的特征，直接得出函数的值域.②配方法：当所给的函数可化为二次函数形式(形如y=m[f(logax)]2+nf(logax)+c(m≠0，a>0，a≠1))时，可以用配方法求函数的值域.③单调性法：根据所给函数在其定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域.④换元法：求形如y=logaf(x)(a>0且a≠1，f(x)>0)的函数的值域时，先换元，令u=f(x)，利用函数的图象和性质求出u的范围，再利用y=logau(a>0，且a≠1)的单调性、图象求出y的取值范围.7、与对数函数有关的函数的单调性的判断方法（1）形如y=logaf(x)(a>0，a≠1，f(x)>0)的复合函数，当a>1时，y=logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同；当0<a<1时，y=logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性相反.（2）形如y=f(logax)(a>0且a≠1)的复合函数，一般用复合函数的单调性“同增异减”的规律判断，即令t=logax(a>0，a≠1)，只需研究t=logax与y=f(t)的单调性即可.一、单选题1．（23-24高一上·江苏镇江·期末）函数的定义域为，则值域为（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．3．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知函数若，则实数的取值范围是（

）A． B．或C． D．或4．（23-24高一上·江苏淮安·期末）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．5．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知函数是自然对数的底数，记，则（

）A． B．C． D．6．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知，且，则的取值范围是（

）.A． B． C． D．7．（23-24高一上·江苏南京·期末）在等式中，如果只给定三个数中的一个数，那么就成为另两个数之间的“函数关系”.如果为常数10，将视为自变量且，则为的函数，记为，那么，现将关于的函数记为.若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．8．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数定义域为，对任意的，当时，有.若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．（23-24高一上·江苏连云港·期末）下列说法正确的是（

）A．的最小值为B．的递减区间是C．的图象关于成中心对称D．函数在上单调递增，则a的取值范围是10．（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知函数，若的值域为R，则实数的值可以是（

）A． B． C． D．11．（23-24高一上·江苏常州·期末）若函数对于任意，都有，则称具有性质．下列函数中，具有性质的有（

）A． B．C． D．三、填空题12．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数，则的定义域为．13．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是.14．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知函数，则不等式的解集为.四、解答题15．（23-24高一上·江苏盐城·期末）画出下列函数的大致图象：(1)．(2)．16．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数.(1)求的定义域；(2)判断并证明的奇偶性；(3)讨论的单调性.17．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数是偶函数.(1)求实数的值；(2)若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.18．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知函数（且）在上的最大值与最小值之积等于8，设函数.(1)求的值，并证明为奇函数；(2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围.19．（23-24高一上·江苏无锡·期末）若函数y=fx对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.(1)判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；(2)若函数在定义域（）上为“依赖函数”，求的取值范围；(3)已知函数在定义域上为“依赖函数”.若存在实数，使得对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值.

参考答案：1．A【分析】根据题意先判断函数单调性，结合单调性求最值和值域.【详解】因为函数的定义域为，且在内单调递增，可知在内单调递增，可知在内的最小值为，最大值为，所以值域为.故选：A.2．D【分析】把点代入幂函数的解析式求出的值，进而可得在上单调递减，再结合对数函数的性质可知，从而比较出，，的大小．【详解】点在幂函数的图象上，，，，在上单调递减，，，，，，即故选：D.3．B【分析】根据确定其单调性，然后利用单调性求解不等式即可.【详解】当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递减；其中，所以在上单调递减；因为，所以，即，解得或，所以实数的取值范围或，故选B.4．D【分析】利用函数的奇偶性和函数值域判断即可得出结果.【详解】函数,即可知函数的定义域为R,即为偶函数，排除A、C，又由指数函数性质可以，即，排除B,故选：D.5．A【分析】根据给定条件，探讨其对称性和单调性，再利用性质比较大小.【详解】函数的定义域为，，因此函数的图象关于直线对称，当时，，函数在上单调递增，，显然，即，所以.故选：A【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.6．B【分析】由对数函数不等式解得，记，由条件得，则，构造函数，，利用函数单调性求值域即可求解.【详解】因为，所以，又，所以，记，则，从而，，令，，设，则，因为，所以，，所以，所以，所以在上单调递增，所以，即的取值范围是.故选：B7．D【分析】根据题意中函数的定义可得，由得，结合不等式的性质和对数的运算性质解不等式即可.【详解】由题意知，，则，得，即.由，得，即或，解得，所以原不等式的解集为.故选：D8．B【分析】根据题意，由条件可得，构造函数，即可得到函数在0,+∞上单调递增，结合函数的单调性求解不等式，即可得到结果.【详解】由题意可知，当时，有，即，即，令，则当时，，则函数在0,+∞上单调递减，由，可得，即，所以，解得，即实数的取值范围是.故选：B9．AC【分析】由指数函数的单调性可判断A正确；由复合函数的单调性和对数函数的性质可判断B错误；对函数变形后，利用反比例函数的对称性和函数图像的变换规律可得C正确；由复合函数的单调性可判断D错误.【详解】A：因为，所以，故A正确；B：设，因为在定义域上为增函数，则由复合函数的单调性和对数函数有意义可知，减区间为，故B错误；C：，对称中心为，故C正确；D：函数的对称轴为，因为函数在上单调递增，所以，即，故D错误；故选：AC.10．BD【分析】分别求出值域，根据值域的并集为R建立不等式，逐项判断即可.【详解】当时，单调递增，其值域为，当时，单调递增，其值域为，由题意的值域为R，所以R，所以，记，且，在一个坐标系内作出函数图象，如图：

因为，所以，又因为，所以，所以，要使，则，因为，所以，因为，所以，所以，结合选项可知，实数的值可以是，.故选：BD11．ACD【分析】根据条件得到函数图像应该是上凸的或者是直线，画出函数图像，根据图像得到答案.【详解】对于任意，，故函数图像应该是上凸的，此时，如图所示：或者函数图像是一条直线，此时，画出函数图像，如图所示：根据图像知：ACD满足条件.故选：ACD12．【分析】先求出函数的定义域，进而根据复合函数的定义域，即可求解．【详解】由题意得，，解得，令，则，故的定义域为.故答案为：13．【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，解之即可.【详解】因为函数在上单调递增，易知函数在上单调递增，函数在上单调递增，则，且有，解得，所以，，即实数的取值范围是.故答案为：.14．【分析】根据函数的解析式，分析得到函数的奇偶性及单调性，结合性质及题中条件列出不等式，解出即可.【详解】函数的定义域为或，关于原点对称，，所以为偶函数，又当时，，令，根据复合函数“同增异减”可知在1,+∞上单调递增，任取，，因为，所以，，所以，所以，所以，所以函数在1,+∞上单调递增，所以函数在1,+∞上单调递增，由对称性知，函数在上单调递减，因为，所以，解得.所以原不等式的解集为12故答案为：12【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于根据函数的奇偶性、单调性的定义证明为偶函数且在1,+∞上单调递增，再由单调性和奇偶性解不等式即可答案.15．(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）由函数为偶函数，结合对数函数的图象，利用对称性作图．（2）利用函数图象的对称变换，把的图象先关于y轴对称，再关于x轴对称即可.【详解】（1），易知函数为偶函数，所以函数的图象如图所示：（2）把的图象先关于y轴对称，再关于x轴对称，即可得的图象，如图所示：16．(1)(2)偶函数，证明见解析(3)在上单调递增，在上单调递减；【分析】（1）利用对数的真数大于零可求得函数的定义域；（2）判断出函数为偶函数，然后利用函数奇偶性的定义证明即可；（3）利用复合函数的单调性可得出函数的单调性.【详解】（1）对于函数，有，解得，所以，函数的定义域为.（2）函数为偶函数，证明如下：函数的定义域为，定义域关于原点对称，且，故函数为偶函数.（3）因为，令，因为内层函数在上单调递增，在上单调递减，外层函数为上的增函数，由复合函数的单调性可知