复变函数课程标准

复变函数课程标准

一、课程概况

课程名称复变函数课程代码20101703

适用专业数学与应用数学开课学期第5学期

课程性质专业必修课程学时/学分68/3

预修课程《数学分析》、《高等代数》、《解析几何》

二、课程目标

课程目标1:学生掌握复变函数中的基本概念、基础知识与基本理论，并会对概念进行

举例、区分和判断。学生需要熟练掌握复数与复变函数的基本概念、定理和思想方法，提升

学生的专业知识素质，进一步培养学生的分析学功底，为后续课程及其它相关学科的学习奠

定知识基础。

课程目标2：学生能够理解复变函数课程中重要性质和定理的结论和证明思路，并且可

以综合应用复变函数中的性质和定理到实际计算中来解决问题。结合数学分析帮助学生理解

复变函数中的部分证明、计算与结论，同时也通过学习复变函数进一步巩固和深入理解、掌

握一些数学分析的内容。培养学生严密的数学语言表达能力、抽象的逻辑思维能力、严谨的

推理论证能力以及熟练的运算能力，为后续课程的学习和深造打下坚实的分析基础。

课程目标3：了解复变函数课程的相关历史背景以及国内外最新发展状况，并具有一定

的数学文化素养。了解更变函数课程在近（现）代数学中的基础地位和作用，以及与相关学

科（如概率统计、拓扑学、热力学、电学等）的联系。

课程目标4：具有终身学习与持续发展的意识和能力，能够利用复变的相关理论指导中

学数学中复数方面的教学实践，以便能够高屋建瓶地掌握和处理中学数学教材，并能够在中学数

学教学实践中客观、真实地介绍复变函数相关的现代数学学科。

三、课程目标与毕业要求的关系

1、课程目标与毕业要求的对应关系

毕业要求指标点课程目标

目标1

学会3.1掌握数学学科的基本原理、基础知识、基本方法、基本思

学科素养课程目标2

教学想，了解现代数学分支的基本知识和专业发展趋势

目标3

3.2善于整合运用数学知识分析问题、解决问题，具备对数学课程目标1

问题进行抽象概括化和逻辑推理的能力，具备良好的数学表达课程目标2

能力程目标4

3.3了解数学与物理和计算机等其他相关学科的联系，理解数呈目标3

学在社会生活的实际应用价值目标4

4.3会用恰当的方法对学生的学习过程、学习进展和学习效果

目标1

教学能力进行多元化评价，并能依据评价结果改进教学，不断提高教学

课程目标2

研究能力。

6.1接受数学学科独有的谨慎细腻，思维严密的训练，能够将课程目标1

学会

综合育人数学课堂教学与思政教育紧密结合。能有效掌握教学案例设课程目标2

育人

计、学生情感价值观察和分析、掌握灵活多样化的教学方法课程目标4

7.1学捱数学教学专业发展规律，具有数学教学反思意识，树

课程目标1

学会立终身学习理念。能够利用反思改进教学手段、针对教育教学

学会反思课程目标2

发展工作中的现实需要与问题和国内外学科发展趋势做纵深对比，

目标4

进行探索和研究，初步具备数学教学研究能力

2、•课程目标与目口业要求的矩阵关系图

践行师德学会教学学会育人学会发展

名称师德规范教育情怀学科素养教学能力班级管理综合育人学会反思沟通合作

1.11.21.32.12.22.33.13.23.34.14.24.35.15.25.36.16.26.37.17.27.38.18.28.3

复变函数HHLMML

复变函数HMML

课程目标1HHMML

课程目标2HHMML

课程目标3ML

课程目标4MLML

注：H表示高支撑，M表示中支撑，L表示低支撑。

四、课程教学要求与重难点

序课程内

教学要求教学重点教学难点

号容框架

复数与用三角形式与指数

更数运算几何

1复变函（1）学生熟悉复数以及复数的四则运算法则。形式表示复数以及

意义、用复数完

数用二者运算乘除法、

（2）学生熟练掌握用三角形式、指数形式表示乘辕运算、复数的方成几何题的证

复数以及用二者运算乘法、除法、乘暴运算，熟根、复变函数极限明。

练掌握复数的求正整数次方根的计算。与连续性。

（3）学生初步理解和掌握复数四则运算以及乘

方的几何意义，会用复数完成一些简单几何题

的证明。

（4）学生了解区域（单连通、多连通）与若尔

当曲线的概念，能用复数方程或不等式表示常

见的曲线和区域，

（5）学生理解复变函数的基本概念，掌握复变

函数极限与连续性。

（6）学生了解复平面和无穷远点。

（1）学生理解复变函数导数和解析函数的概

念，弄清可导和解析之间的关系与区别。

（2）学生熟练掌握解析函数的Cauchy—

Riemann条件，能够运用C-R条件判定函数的

解析性，会用C-R条件证明一些解析复变函数

的简单性质。

解析函数的C-R条根式函数、对数

解析函（3）学生熟练掌握和运用解析函数的求导与求

2件、函数的解析性、函数的单值解

数导公式。

初等函数的计算。析分支、支点。

（4）学生掌握指数函数、三角函数的定义、运

算、基本性质以及简单映射性质，会运用欧拉

公式和复数的指数运算.

（5）学生掌握初等多值函数（根式函数、对数

函数、一般幕函数、一般指数函数）的定义、运

算以及基本性质，了解其多值性。

积分的路

（1）学生了解复变函数沿条逐段光滑的曲线

径相关性、复

积分的定义，掌握其基本性质和计算方法。复变函数的曲线积

周线的积分计

复变函（2）学生了解Cauchy积分定理证叽熟练掌握其应分的计算、柯西积分

算、解析函数的

3数的积用。公式与高阶导数公

无穷可微性、理

分（3）学生理解解析函数在单连通区域内的不定式、解析函数的构

解积分估值公

枳分概念，以及该条件下积分与路径无关的性造。

式、柯西不等

质。

式、刘维尔定理

（6）学生了解解析函数在无穷远的性质，并知

道整函数与亚纯函数等函数特征、分类。

无穷远点的留

（1）学生了蒯R立奇点（包含无穷远点）留数的概数计算、利用留

念，熟练掌握留数的求法。数计算复变函

留数的计算方法、利

（2）学生掌握留数定理，能较熟练地运用留数数在周线上的

留数理用留数计算复变函

计算闭曲线积分，积分、将实积分

6论及应数在周线上的积分、

（3）学生能理解并运用留数定理计算几类实积转化为复变函

用利用留数定理计算

分。数在周线上的

几类实积分。

（4）学生理解酶角原理并能应用其做一些简单积分并利用留

证明题。数定理计算该

积分,

（1）学生理解并掌握解析娜的保域性、保角性、单叶

解析变换的保域性、

解析期的共形性。

保角性、单叶解析变

（2）学生掌握分期蟆换的概念、分解、共形性、保解析变换与分

共形映换的共形性;分式线

7交比性、幽1周（圆）性、网称性。时线性变换的

射性变换的共形性、保

（3）学生了解希函数、根式函数、指数函数与）（微国数性质，

交比性、保圆周（圆）

构成冰火形映射，并知道由圆弧构成的两角形区域的共

性、保对称性。

五、课程教学内容、教学方式、学时分配及对课程目标的支撑情况

序课程内支撑课程

教学内容教学方式学时

号容框架目标

复数：复数的概念，复数直角坐标的表示、四讲授、课堂讨腿目标1

2

则运算。论、课后练习牌目标4

复数与

课®目标1

1复变函复数的三角表示：复数的模与辐角，复数的三

讲授、课堂讨课S目标2

数角表示、指数表示，复数的乘法、除法、开方4

论、课后练习目标3

运算，复数在匚何上的应用。

嵋目标4

平面上的点集：平面点集的若干概念（内点、

讲授、课堂讨课S目标1

开集、闭集、孤立点、区域），画出简单的平面2

论、课后练习课程目标4

点集的图形，简单曲线、单连通区域。

复变函数:复变函数的概念，复变函数极限的概讲授、课堂讨课S目标1

1

念以及性质，复变函数连续的概念以及性质。论、课后练习课程目标3

复球面与无穷远点：复球面，无穷远点，扩充讲授、课堂讨课8目标1

1

复平面的几个概念。论、课后练习课程目标3

解析函数的概念：复变函数的导数，复变函数

的微分，解析函数的概念，函数解析与可导、课®目标1

讲授、课堂讨

可微的区别和联系，解析函数的Cauchy-4牌目标2

论、课后练习

Riemann条件，运用C-R条件判定函数的解析课程目标3

解析函性。

2

数%目标1

初等解析函数；指数函数，三角函数的定义、讲授、课堂讨

2课S目标3

运算、基本性质。论、课后练习

课©目标4

初等多值函数：对数函数，根式函数，一般号讲授、课堂讨课目标1

3

函数，一般指数函数的定义、运算、基本性质。论、课后练习目标3

谢S目标1

复积分的概念：复变函数积分的定义以及性讲授、课堂讨

2课6目标2

质，用曲线的参数方程计算复变函数积分。论、课后练习

课程目标3

柯西积分定理：闭曲线积分为零的条件，复变蝇目标1

讲授、课堂讨

函数积分与积分路径无关条件，不定积分，柯3课®目标2

复变函论、课后练习

西积分定理推广，复周线的柯西积分定理。雕目标3

3数的积

柯西积分公式及其推论：柯西积分公式及应

分课8目标1

用，解析函数的平均值定理，解析函数的无穷讲授、课堂讨

4课6目标2

次可微性，柯西积分不等式与刘维尔定理证明论、课后练习

课程目标3

及应用。

讲授、课堂讨课®目标1

解析函数与调和函数的关系：构造解析函数。2

论、课后练习课^目标3

目标1

解析函复数项级数：复数项级数的基本概念，绝对收讲授、课堂讨

43课8目标2

数的耗敛、条件收敛，复函数项级数的一致收敛，函论、课后练习

腿目标3

级数表数项级数求和与极限、求导、积分交换顺序的

示法条件，解析函数项级数。

森级数：制级数的基本性质，收敛半径，幕级课®目标1

讲授、课堂讨

数在收敛域内的内闭一致收敛性与所定义函2课^目标2

论、课后练习

数的解析性。课S目标3

解析函数的Taylor展式：泰勒定理，函数/⑵

课®目标1

在Z。点解析展开为Taylor级数的方法及收敛讲授、课堂讨

3明目标2

半径，用直接法、间接法把初等函数展成幕级论、课后练习

邮目标3

数形式。

解析函数零点的孤立性及惟一性定理：解析函

课8目标1

数零点的孤立性，零点的阶数的判定，惟一性讲授、课堂讨

3课S目标2

定理证明及应用，最大（小）模原理证明及应论、课后练习

课®目标3

用。

解析函数的洛朗展式：双边基级数收敛的概

讲授、课堂讨

念、运算及性质、收敛域，求出一些简单函数3课S目标1

论、课后练习

的洛朗展式。目标3

解析函解析函数的孤立奇点：孤立奇点的定义与分讲授、课堂讨课8目标1

4

5数的洛类，零点与极点关系，极点阶数的判别。论、课后练习课®目标3

朗展式解析函数在无穷远点的性质：判断无穷远点作讲授、课堂讨嵋目标1

2

为解析函数的奇点的类型。论、课后练习课8目标2

整函数与亚纯函数的概念：整函数与亚纯函数讲授、课堂讨蝇目标1

1

的概念。论、课后练习课®目标2

留数：孤立奇点（包含无穷远点）留数的定义、

讲授、课堂讨课^目标1

留数定理，留数的求法，用留数计算闭曲线积3

论、课后练习^8目标3

分。

留数理用留数定理计算实枳分：“算6"3"，歹必点

课程目标1

6论及应讲授、课堂讨

型积分，计算窗改）/«功心型积分，计算5腿目标2

用论、课后练习

课程目标3

亡［Pg/QW尸山野扮。

辐角原理及其用用：对数留数，辐角原理，鲁讲授、课堂讨课®目标1

3

歇定理。论、课后练习课^目标2

解析变换的特性：解析变换的保域性、保角性、讲授、课堂讨课®目标1

2

单叶解析变换的共形性。论、课后练习雕目标2

分式线性变换：分式线性变换的概念与分解、课®目标1

讲授、课堂讨

共形映共形性、保交比性、保圆周（圆）性、保对称2课^目标2

7论、课后练习

射性。课程目标3

某些初等函数所构成的共形映射：寤函数、根

讲授、课堂讨课®目标1

式函数、指数函数与对数函数构成的共形映2

论、课后练习雕目标2

射，由圆弧构成的两角形区域的共性映射。

六、课程目标与考核内容

课程目标考核内容

课程目标1：学生掌握复变函数1、复数的概念，复数直角坐标的表示、四则运算，复数的模与

中的基本概念、基础知识与基本辐角，复数的三角表示、指数表示，复数的乘法、除法、开方

理论，并会对概念进行举例、区运算，复数在几何上的应用，平面点集的若干概念（内点、开

分和判断。学生需要掌握复数集、闭集、孤立点、区域），画出简单的平面点集的图形，简单

域、复平面、复数的模与幅角、曲线、单连通区域，复变函数的概念，复变函数极限的概念以

复数的乘辕与方根等基本概念，及性质，复变函数连续的概念以及性质，复球面，无穷远点，

并学会一些复数在几何上的简扩充复平面的几个概念，复变函数的导数，复变函数的微分，

单应用；掌握复平面上点集的基解析函数的概念，函数解析与可导、可微的区别和联系，解析

本概念、复变函数的概念、复变函数的Cauchy-Riemann条件，运用C-R条件判定函数的解析

函数的极限与连续性；掌握更变性，指数函数，三角函数、对数函数，根式函数，一般幕函数，

函数的导数与微分、解析函数的一般指数函数的定义、运算、基本性质，复变函数积分的定义

概念及其简单性质；掌握柯西-以及性质，用曲线的参数方程计算复变函数积分，闭曲线积分

黎曼方程并会用该条件判断函为零的条件，复变函数枳分与积分路径无关条件，不定积分，

数解析性；掌握初等解析函数中柯西积分定理推广，复周线的柯西积分定理，柯西积分公式及

的单值函数与多值函数（多值函应用，解析函数的平均值定理，解析函数的无穷次可微性，柯

数主要包括根式函数与对数函西枳分不等式与刘维尔定理证明及应用，解析函数与调和函数

数），并掌握根式函数的单值解的关系；构造解析函数，复数项级数的基本概念，绝对收敛、

析分支、支点、支割线；掌握复条件收敛，复函数项级数的一致收敛，函数项级数求和与极限、

变函数积分的概念、简单计算与求导、积分交换顺序的条件，解析函数项级数，辕级数为基本

基本性质；掌握柯西枳分定理及性质，收敛半径，累级数在收敛域内的内闭一致收敛性与所定

其推广（包括推广到复周线情

义函数的解析性，泰勒定理，函数人z）/0点解析展开为Taylor

况）、不定积分、柯西积分公式、

级数的方法及收敛半径，用直接法、间接法把初等函数展成呆级

解析函数的无穷可微性；掌握解

数形式，解析函数零点的孤立性，零点的阶数的判定，惟一性

析函数与调和函数及其之间的定理证明及应用，最大（小）模原理证明及应用，双边暴级数收

关系；掌握复数顶级数、•致收敛的概念、运算及性质、收敛域，求出•些简单函数的洛朗展

敛的复函数项级数；掌握累级数式，孤立奇点的定义与分类，零点与极点关系，极点阶数的判

敛散性、冢级数收敛半径求法、别，判断无穷远点作为解析函数的奇点的类型，整函数与亚纯

察级数和函数的解析性、泰勒定函数的概念，孤立奇点（包含无穷远点）留数的定义、留数定理，

理、泰勒展式求法；掌握解析函留数的求法，用留数计算闭曲线积分，计算原"@30Md6型

数零点孤立性、唯一性与最大模

原理；掌握洛朗级数、解析函数不盼股）/则山型积分，计MU齐面型积

在孤立奇点邻域的洛朗展式；掌分，对数留数，辐知原理，鲁歇定理，解析变换的保域性、保角性、

握解析函数孤立奇点的分类与单叶解析变换的共形性，分式线性变换的概念与分解、失形性、

判断；掌握留数的概念与计算，保交比性、保圆周（圆）性、保对称性，哥函数、根式函数、

并掌握利用留数计算实积分：掌指数函数与对数函数构成的共形映射，由圆弧构成的两龟形区

握辐角原理与鲁歇定理。提升学域的共性映射等。

生的专业知识素质，为后续课程2、课堂出勤和课堂表现、平时作业等

及其它相关学科的学习奠定知

识基础。

课程目标2：学生能够理解复变1、复数的模与辐角，复数的三角表示、指数表示，复数的乘法、

函数课程中重要性质和定理的除法、开方运算，复数在几何上的应用，扩充复平面的几个概

结论和证明思路，并且可以综合念，复变函数的导数，复变函数的微分，解析函数的概念，函

应用复变函数中的性质和定理数解析与可导、可微的区别和联系，解析函数的Cauchy-

到实际计算中来解决问题。结合Riemann条件，运用CR条件判定函数的解析性，复变函数积

数学分析帮助学生更好理解复分的定义以及性质，用曲线的参数方程计算复变函数积分，闭

变函数中的部分证明、计算与结曲线积分为零的条件，复变函数积分与积分路径无关条件，不

论，同时也通过学习复变函数进定积分，柯西积分定理推广，复周线的柯西积分定理，阿西积

一步巩固和深入理解、掌握一些分公式及应用，解析函数的平均值定理，解析函数的无穷次可

数学分析的内容。培养学生严密微性，柯西积分不等式与刘维尔定理证明及应用，复数项级数

的数学语言表达能力、抽象的逻的基本概念，绝对收敛、条件收敛，复函数项级数的一致收敛，

辑思维能力、严谨的推理论证能函数项级数求和与极限、求导、积分交换顺序的条件，解析函

力以及熟练的抽象运算能力，为数项级数，幕级数的基本性质，收敛半径，基级数在收敛域内

后续课程的学习和深造打下坚的内闭一致收敛性与所定义函数的解析性，泰勒定理，函数火z）在

实的分析基础。

2。点解析展开为Taylor级数的方法及收敛半径，用直接法、间接

法把初等函数展成暴级数形式，解析函数零点的孤立性，零点

的阶数的判定，惟一性定理证明及应用，最大（小）模原理证明

及应用，判断无穷远点作为解析函数的奇点的类型，整函数与

亚纯函数的概念，计算S「R（8sd,sin0）d6型积分，计算

以改）/则血型积分,计鼠5陞）/我）］个助蜴盼对数留

数，辐角原理，鲁歇定理等，判断无穷远点作为解析函数的奇点的

类型，解析变换的保域性、保角性、单叶解析变换的共形性，

分式线性变换的概念与分解、共形性、保交比性、保圆周（圆）

性、保对称性，辕函数、根式函数、指数函数与对数函数构成

的共形映射，由圆弧构成的两角形区域的共性映射等。

2、课堂出勤和课堂表现、平时作业等

课程目标3：了解复变函数课程的%关历I、复数的模与辐角，复数的三角表示、指数表示，复数由

史背景以及国内外最新发展状况，并具乘法、除法、开方运算，复数在几何上的应用，复变函数

有一定的数学文化素养。了解复变函数的概念，复变函数极限的概念以及性质，爱变函数连续的

课程在近（现）代数学中的基础地位和概念以及性质，复球面，无穷远点，扩充复平面的几个概

作用，以及与相关学科（如概率统计、念，复变函数的导数，复变函数的微分，解析函数的概念，

拓扑学、热力学、电学等）的联系。函数解析与可导、可微的区别和联系，解析函数的Cauchy-

Riemann条件，运用条件判定函数的解析性，指数函

数，三角函数、对数函数，根式函数，一般辕函数，一般

指数函数的定义、运算、基本性质，复变函数枳分的定义以

及性质，用曲线的参数方程计算复变函数积分，闭曲线积

分为零的条件，复变困数积分与积分路径无关条件，不定

积分，柯西积分定理推广，复周线的柯西积分定理,柯西积

分公式及应用，解析函数的平均值定理，解析函数的无穷

次可微性，柯西积分不等式与刘维尔定理证明及应用，解

析函数与调和函数的关系：构造解析函数，复数顶级数的

基本概念，绝对收敛、条件收敛，更函数项级数的一致收

敛，函数项级数求和与极限、求导、积分交换顺序的条件，

解析函数项级数,幕级数的基本性质，收敛半径，幕级数在

收敛域内的内闭一致收敛性与所定义函数的解析性，泰勒

定理,函数Az）/。点解析展开为Taylor级数的方法^收敛半

径，用直接法、间接法把初等函数展成鬲级数形式,解析函

数零点的孤立性，零点的阶数的判定，惟一性定理证明及

应用，最大（小）模原理证明及应用，双边幕级数收敛的概

念、运算及性质、收敛域，求出一些简单函数的洛朗展

式,孤立奇点的定义与分类，零点与极点关系，极点阶数的

判别，孤立奇点（包含无穷远点）留数的定义、留数定理，留

数的求法，用留数计算闭曲线积分，计算优R（必也功⑼成

型积分，计算以股）/«无）小型积分，计算

以［pg/a©］产小型积分，分式线性变换的概念与分

解、共形性、保交比性、保圆周（圆〉性、保对称性等。

2、课堂出勤和课堂表现、平时作业等

课程目标4：具有终身学习与持续发展1、复数的概念，复数直角坐标的表示、四则运算,复数的

的意识和能