第二章222向量减法运算及其几何意义讲义教材

§2.2.2

平面向量的线性运算情境设疑小鸟在空中飞行，从A树上飞到B树上，再飞到C树上，这个飞行过程与直接从A树上飞到C树上有什么关系？§2.2.2向量减法运算及其几何意义课前自主探究温故夯基1．向量的有关概念(1)所谓向量是__________________的量，其三要素是起点、长度、方向．(2)相等向量应满足大小相等，方向相同；所谓共线向量是指________________的向量．2．实数的加法对于实数a、b、c其加法交换律为a＋b＝b＋a，其加法结合律为(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．既有大小又有方向方向相同或相反知新益能1．向量的加法向量加法的定义求两个向量和的运算叫做向量的加法．向量求和的法则三角形法则已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作AB＝a,BC＝b，则向量AC叫做a与b的和，记作_____，即a＋b＝AB＋BC＝AC，这种求向量和的方法叫做向量加法的三角形法则．平行四边形法则以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线____就是a与b的和，这种求两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．a＋bOC向量加法的定义求两个向量和的运算叫做向量的加法．向量加法的运算律交换律

a＋b＝______结合律a＋b＋c＝______＋c＝a＋_____向量加法的性质

a＋0＝0＋a＝ab＋a(a＋b)(b＋c)相反向量定义我们规定与a长度______，方向____的向量叫做a的相反向量．性质－(－a)＝_，a＋(－a)＝(－a)＋_＝0，零向量的相反向量仍是0，即0＝－0.向量的减法我们定义：a－b＝a＋_____，即减去一个向量相当于加上这个向量的___________向量减法的几何意义已知a、b，在平面内任取一点O，作OA＝a,OB＝b，则BA＝a－b，即a－b可以表示为从向量b的_____指向向量a的____的向量.相等相反aa(－b)相反向量．终点终点问题探究1．如何求共线向量的和？提示：由于三角形法则运用时要求“首尾相接”，这一点对共线向量仍然适用．课堂互动讲练考点一利用法则求作向量用有向线段表示向量，根据三角形法则作图时，使向量平移到“首尾相接”的位置，根据平行四边形法则作图时，使向量平移到“共起点”的位置，在图形中找到相应的有向线段．例1【点评】运用三角形法则，作两个向量和的关键是作平移，首尾连；作两个向量差的关键是作平移，共起点，两尾连，指被减．当两向量不共线时，也可采用平行四边形法则．多个向量相加减时要注意灵活运用运算律．考点二利用法则化简向量表达式利用向量的运算律合理交换各向量的位置使之符合三角形法则或平行四边形法则，从而将表达式化简．例2【分析】向量的加减法运算有时需去括号或添括号重组．【点评】通过去括号或者相反向量变为加法，使之首尾相接，按三角形法则求和，是化简常用的方法．考点三利用法则求向量的模向量的三角形法则或平行四边形法则，体现了三角形中或平行四边形中的边角关系，利用边长求某些向量的模．已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|.【思路点拨】两个向量不共线，则a、b、a＋b、a－b组成一个平行四边形的边与对角线．求模的运算往往与模的平方有关．例3【思维总结】在▱ABCD中可以看出，a、b、a－b、a＋b构成平行四边形的两边和两条对角线．由两对角线相等，知平行四边形为矩形．结合|a|、|b|、|a±b|的关系，挖掘平行四边形的其它特征．如果本例条件改为：|a|＝|b|＝|a＋b|＝6，则应如何求|a－b|?互动探究向量的加减法运算应注意的问题(1)向量加法的三角形法则适用于任意两个非零向量相加，并且可以推广到两个以上的非零向量连加，称为多边形法则，一般能围成一个封闭图形．向量加法的多边形法则(含