大学科目《通信原理》课后习题答案

第二章

错误!未定义书签。•设是任意的复信号，、(/),S2(/)分别是邑(/)的

傅氏变换。证明

匚「⑺”(0力=「s；⑺S2(/)4

O

证：

口;(小2⑺〃=口匚耳⑺/包［匚S?(〃)个同力

=「匚S；⑺S2⑷［口处…4#

二1工5：(/电(〃)5c“

=「5；(/)5"皿

注：Paserval定理的一般形式是

口；(少2(，)力=匚5；(/)S(/闻

其中M(r)，$2(f)是任意的复信号，5(7),52(/)分别是》(。,$2。)的傅氏变换。

它的一个特例是'(')="⑺=，此时

〕¥(—)「中

其中S(/)是S。)的傅氏变换。

错误!未定义书签。.已知信号U以3七

(1)求其傅氏变换G(/)

⑵门G⑺|力=?

解：⑴令

g(r)=j22

0else

则

J

/\,{\itg'”)(玲~T

g(t)=g(t)cos-=—^-e^+e，

sI>

g’(/)的傅氏变换为

G'⑺=7>inc(")

因此g“）的傅氏变换为

i(iA(I>

G(f}=-G'f---+G，/+—

2[(2TS)I」2Tj

TscosTVJTScosTTfl\Tscos7tjTs1

---------z---------------T---------:---------------r-=——X--------------------

22"⑺七

2(cos乃〃；

乃(1一4/7；2)

(2)由Paserval定理

「|G⑺％⑺力=与

$■）=Sg（，fT）

错误!未定义书签。.已知周期信号—,其中

/、［2/T-T/4<t<T/4

g（'）=0else

求s（’）的功率谱密度。

解：s（'）可看成是冲激序列〃'）通过一个冲激响应为g（"）的线性系统的

输出。将展成傅氏级数，得

8100・,巴

M，)=£^(r-«T)=-XJ、

W=-00/JW=-<30

所以*“）的功率谱密度为

尸⑺寸

/XG（/）=sinc|^j

gUJ的傅氏变换是I2人因此

18tn

<(7)=FZsinc

1/W=-co

Iid42k-\

=­72<^(f]+—rV-------

T/£(2i)27V-T

错误!未定义书签。.对任意实信号&（'）&（）令O=&（，）+g2«）、

W)=&。求响与X)正交的条件。

解：

口(。0dT：［g|(f)+g2(f)］［g"(-g2(用力

=i：［g；(Ag；(川力"-马

因此，〃⑺与VW正交的条件就是&(')和g20等能量。

错误味定义书签。.匚sinc(”y)sinc(y)叱？

解：令s(')=sinc()则其傅氏变换是

5(/)=-1〃层

0esle

〃(卜匚sine(一亦inc(y)办是加⑴和sine")的卷机时域卷积对应领域乘积,所

以的傅氏变换是

t/(7)=s(7)s(7)=s(/)

因此〃⑺=sinc⑺

Vsinc(&+£)=1

错误!未定义书签。.证明h-s,其中04£<1。

k

/\t=1~£=kTK+g

证：对直流信号机U)以<=lHz的采样速率在fs时刻进行理想采样，得

到的采样信号是

s(f)=力—+£”("=-£)=之火-k［一£)

A=-00JI=-00

再将s(')通过一个带宽为戏一°5Hz的理想低通滤波器，则输出还是直流〃7(。=1。

8

/\Vsinc(r-A：-^)

另外，此理想低通的冲激响应是smeU人因此滤波器输出是人口,令f=0,

30

Vsinc(&+£)=l

W是偶函数，得£>o

错误!未定义书签。.设基带信号“(')的频谱范围是其Hilberl变换是应“)。求

下列信号的Hilbert变换(刀》3)o

⑴.(f)=m(，)cos(2%0+e)

（2）W（，）=M）+的⑺

(r)=w(r)cos27rfct-m(t)sinIjvfj

..42万Hr)dr]

r

x4(r)=Re<Ae~'，»

⑷

解：设相⑺的傅氏变换为M（/）

（1卢（，）的频谱为

M("幻

/<0

X(/)=；[M(­)+M(/+£)]=2

)

/>0

2

因此其Hilbert变换身⑺的频谱为

产("£)

」/<0

X(/)=2

~J-2-/>0

也即

X（小疼”心联I

做傅氏反变换得一一

ij==w(r)sin2,z^/

注：窄带信号的Hilbert变换就是将载波相位后移90°

（2）名。）=病⑺+论。）=病⑴一加（，）二一用。）

⑶X(')=加Q)sin2乃fct+w(/)cos2冗fj

Z(/)=R/JSLM可=cos12乃〃+2/rK/〃2(z)dr

(4)

^2jtfcl+2nK^zn(r)f/r^

x4(r)=sin2%，f+24Kjm(r

注：对窄带信号进行Hilbert变换就是对复包络乘

错误!未定义书签。.已知某带通信号为

5（。=班。）cos（iTrfj--wio（r）sin（21fj一。）=Re{%（f）-2s}

其中基带信号叫（'）和色（。的带宽都是W旦卬、是MO的狂包络。

⑴求出天⑺的实部?"）=ReR（3

⑵当吗（。和S"）之间满足何种美系时，"（'）的频谱在3<£,范围内是0?

解：⑴

$（/）=见（/）cos（2乃〃一0）-吗（I）sin（2乃fct-（p）

=Re｛［但（r）+jn^（f）］e'（2S-@）｝=Re｛［叫（r）+/也

因此，复包络是

■0=.（。+加z（川"”

其实部为

mo（/）=（z）j=町（z）cos^+/n2（z）sin（p

⑵s（’）的频谱在加<力范围内是0,说明■（'）只具有正频率分量,也即町（'）+力只

具有正频率分量。满足这种情况的情形是：色（’）是町"）的Hilbert变换，此时由于

町«）+/%«）是解析信号，所以只有正频率分量。

错误!未定义书签<>.若带通信号s（’）的复包络%W的傅氏变换是.（/），求$"）的傅氏

变换s（〃

s（f）=ReR（»/｝=犯…十辿e-，2”

解：22

由于5；（'）的傅氏变换是*（一））,所以

s（/）=；s//-幻+：岑（-/-力）

错误!未定义书签。.求以下带通信号傅氏变换，已知基带信号"（‘）是实信号，其傅氏变换

是"（/）,带宽为W,力》卬，应⑺是“⑺的希尔伯特变换。

（l）s"）=根（r）c0s2乃工乙

⑵5（r）=/n（r）cos2^/.z-w（r）sin2冗fj

解：⑴豆⑺=加（’），所以

5⑺/（一）+""」

2

又由于"（一/）="（7）,所以

S⑺）+

也可以这样做：

S⑺手—+乎…

利用傅氏变换的频移特性得到

s(/)=

2

（2）■。）=加。）+，应G）是解析信号，其傅氏变换为

2M⑺/>()

&(7)=

0/<0

2“<)/>012M(-/)/>0

耳⑺==

0/<0­[0/<0

S；（-小仁。⑺/<0

/>0

因此

S"+r)+s"—r—f)[M(j)f>fc

s⑺二J，%/一/一g=M("A)f<-fc

0else

HU）/年玩

错误!未定义书签。.在下图所示的线性系统中，'0蜃€。若在图中A点加

上一个激励5。），求B点的波形＞（'）及其频谱丫（，），并请画出输出信号的振幅谱图。

Af------

------------——►HS-----------►刈

-HXI—

解:

y(/)=H⑺(1+叽)="⑺卜M+ef加卜-用外

=2四)/小054兄

2The^cos^JTh\f\<^-

0

其振幅频谱图如下

心/）|

"(/)对应的冲激响应是

/X

7z(r)=sinc—

所以

,，，、Gft-Ty

jy(/)=//(/)+A(/-7；,)=sine—+sinc—

\^bJI4"

.兀t.Nf).7Ct.TCt

sin——sinrsin—7；,sin——

:\K.b£b£

三万("4)加%

又~^T

T.Tit✓T2•冗1

71sin—x71hsin—

=b1_1LTb

冗V加(T，T)

错误!未定义书签。.设有周期信号"‘）"2""一"’），其中是带宽为W的任意实

信号。请问

2加八

/、a+bcos——+0

（i）w满足何种条件时，具名T的形式？

⑵w满足何种条件时，"（’）是直流？

解:〃（'）是〃丁）通过冲激响应为〃（0=/（/）后的输出。”=Y>b（'〃丁）的傅氏

■是谨《局

。设响的频谱是'（/）,则咐的频谱"⑺是）（/）和

'（/）的卷积，因此"⑺的带宽是2W。

2W1§

⑴若"⑺的带宽小于（，即若（，则三,经过“⑺后的输出不包含

2

—/\a+bcos

频率为T或更高的谐波。此时矶9必然具有*的形式。

II8

W<

H（八亍9T（x

（2）若"U）的带宽小于7s,即若2/v,则3r经过“UJ后的不包任何谐

波分量，此时"（'）是直流。

Acos2冗于10<r<T/、[Acos2”，0<r<T

4(1)='else^W=l0

错误!未定义书签。.设0else

工〉人,工+人是下的整倍数，求

（1）5,（）与⑴的自相关函数«（r）、“（了）；

（2卢⑺应«）的归一化互相关函数Az⑺；

（3）/一人满足何种关系时，自2（0）=0?

解：⑴

/?!(r)=jjAcos2nfxtxAcos(t+2/r/；r)dl

=g[j：cos2兀于«出+jjcos(4乃工,+24/r)力]=^-cos2乃工汇

A2T

/?2（工）二cos2万人「

同理，2

Q)

IAcos27rf}txAcos(17rf2t+27rf2T)dt

①⑺-阿0)((0)

1

J：cos[2乃(工一人)/一2乃"]dt+£cos[2/(/+£)f+2乃*]dt

T-

i

l

-COS2乃力rJ：cos2"(工一人)自+sin2万人zj：sin2方(工一人"力

-T

1

-8s2.5.2：(工一&),十(l-c°s2万(工-力)T)

.TL22乃(/「6)2P'U，7)

_cos2冗的sin[2万(J；-W)打+2sin2冗打sin?[乃(工一年)7]

2乃

⑼=sm[2：（工蓝）T]=sinc[2（工一人）T]

⑶小）2P-加LU，J2）」

1

当2（工一人）,为正整数时，月2（°）=0,即要求/一人是2r的整数倍。

Acos2冗于)0<t<T

错误味定义书签。.带通信号S"巧

0else通过一个冲激响应为〃（'）的

2cos2/rfj0<t<T

f=—2）=，

线性系统，输出为）'⑺。若'T,0else,试求

（l）s（。的复包络“（，）；

⑵y⑺的复包络”S；

⑶画出y”）的波形。

A0<r<7；

%（，）=,

解：⑴0else

(2)〃(‘)的等效低通响应是

owy

/?(/)=—/2/(/)=*

eq\)2心0else

因此

At0<t<T

=<47(2-勺T<t<2T

IT)

0else

Arcos2^fet0<t<T

AT\2-^\cos27rft

y(z)=Re{%("S}=cT<t<2T

⑶

其图形如下

Asin2〃£f0</<T

错误味定义书签。.带通信号也1

0else通过一个冲激响应为'（‘）的

2cos17Vfct0<t<T

/\f=—〃（，）=«

else

线性系统，输出为）'U人若'T,0,试求

⑴s（0的复包络”⑺：

⑵y(,)的复包络九(，)；

⑶画出y(’)的波形。

⑷写出「时刻了⑺及其包络D的瞬时值丁⑺及瓦⑺L

\-jA0<t<Ts

解:⑴0else

(2)〃(‘)的等效低通响应是

%（，）=;%（/）=<10<r<7；

0else

因此

”）=1％（—）九⑺八=J：%（i"

九

■▲八—

一加0<t<T

-jATT<t<2T

0else

4sin2兀fj0<t<T

y（，）=Re｛九（，）"2sb.^Tl2--lsin2^/T<t<2T

0else设

(3)

其图形如下

▲

(4”)=。，屏⑺卜.

J27哂

错误!未定义书签。.请证明，”Z=Tf士

f--

乙[J是频率的周期函数，周期为Ui。可将它展开为傅氏级数:

解：因为"=e

=z力6小，次

3"CO/n=-<o

其中

I

72M4=灯［5⑺e-J2amfr'df=T、

因此

“MF\1s)/WS-OO

错误!未定义书签。.已知实信号的傅氏变换是X（.f）

分别定义其等效矩形时宽。和

+84-XJ

JMO3小⑺俯

aiw_______p3三__________

等效矩形带宽4为k（'）Lx,1X（/）L。

（1）证明的21

（2）指出等号成立的条件，举出满足条件的工（'）

=X

解：设「是M'）达到绝对值最大的时间,即卜"）|IWLO设广是x（f）达到绝对值

|x(r)|=|X⑺』

最大的频率，即

（I）因为

•HO+00-KO

\\x{t\dt=\\x{t}e-i2,tfi\dt>\x(t)e~j2,rfidt=x(f)

—co-CO-00

+00+00-1-00

-00-00-<30

+00+00

f|x(r)|J/>|x(7)|f|x(/)|#>|x(r)|

故e,同理可得y。于是

斓匚必）何」?⑺k|x⑺|匹）|

kSL匿⑺L—M）Llx（/）L

这个不等式对所有/^l-00,00）及所有f£（-00,00）都成立，自然也对f=f*及/=/成立,

由此得。口之1。

（2）由刚才的推导知

0、⑺仁工卜（山'

6KTWL

且有

门x（/）的匚“）|力

KOL-,lx（/）L-

故欲s=i,必须同时满足

+O>

门x（/忖小SL.!必忖平⑺匕

依前面对尸的定义，因⑺虫⑺L,即x（r）=|x（/）L—,其中。是x（r）

的相位.由Lk（'）l"Tx（/）L知

「卜（/）|力=x（r）产（山山％

即

匚响e-心小。）八匚响一”⑼力

1（山一3/“）=皿）/叱叫‘八一代“）

这只能是，说明“UN必然是非负的实函数，这

样必然有/*=°,且“（'）非负（6=0）或者非正（夕=万）。

假设小）之。，则W）=k（r）L,由门x（./>=|w）Lx知：

£|x（7）|#=x（f）=£x（/）e^#

即

匚|x⑺户［研=匚X⑺e，2Mdf

BP

即X（/"，M"是非负的实函数.令X（/）=A（/）E）,其中A（/）=|X（/）|,则

A⑺』2d"加是非负的实函数，这必然有r=0,X（/）=|X（f）|.X⑺是实函数

表明X”）是偶函数。

若假设x（f）4°,同理也可得到r=0,X（/）是非正的实函数，刈。是偶函数。

总结起来就是要求：M'）是非负或者非正的偶函数，且在，=°处达到绝对值最大；同时

X（『）也必须是非负或非正的实函数。

符合这种情况的实例如三角信号：

必）

Air

由k（'）L=A、£>（冰="可求得a,7由X（f）=4sinc2（"）、

EJx⑺人匚X⑺"x(O)=A、|x⑺可求得八五二因此

g=1。

第三章随机过程

错误!未定义书签。.设y（/）=x0cos（2〃〃+e）,其中x⑺与e统计独立，X"）为0

均值的平稳随机过程，自相关函数与功率谱密度分别为&（7），&（，）。

（1）若e在（&2））均匀分布，求y（r）的均值、自相关函数和功率谱密度

（2）若e为常数，求丫（’）的均值、自相关函数和功率谱密度

解：无论是(1)还是Q),都有

E[y(r)]=E\_X(r)]E[COS(27打+e)]=o

/?Jr)=E[y(/)y(/+r)]

=E[X(r)cos(2^4/+夕)X(z+r)cos(2乃〃+夕+

=E[X(r)X(/+r)]E[cos(2乃〃+6)cos(2万〃+6+2乃＜子)]

=—R(r)E[cosITIfr+cos(4^/,r+26+2%£叫]

2xc

=g&⑺cos24Q+；Rx(r)七]cos(44。+26-2万工.7)]

在（1）的条件下，。的概率密度函数为

同。如

P3）=<

0else

于是

E[cos(4万//+20+2乃力7)]=——jcos(4兀fj+20+2rufcv)d0=0

因此2乃。

%(7)=gRx(7)cos2乃力了

PY(f)=]Ry⑺…4=]一⑺cos2”““

-X—302

4

在Q)的条件下

%(r)=；&⑺cos2冗g0(r)cos(4乃。+2。+2/加)

表明是循环平稳过程。对时间/平均，由于cos(4i〃+2^+2S)=0,所以Nr)

的平均自相关函数是

/?Jr)=1/?x(r)cos2^

因此平均功率谱密度是

D二科(/,-4)+&(7+力)

错误!未定义书签。.双边功率谱密度为2的白噪声经过传递函数为"（7）的滤波器后成为

X"）,若

“⑺卡（1+C0S也）年年

0else

求X。）的功率谱密度及功率。

解：X"）的功率谱密度为

尸,（小郛⑺『/亨…切6号

0else

X（。的功率为

错误!未定义书签。.丫。）是平稳白噪声〃（’）通过图〃所示电路的输出，图。中滤波器的传

递函数"（/）如图力示，求y（’）的同相分晟及正交分量的功率谱密度，并画出图形。

图伽

解：首先平稳过程通过线性系统还是平稳过程。所以丫（’）是窄带平稳过程，其带宽为瓦

若丫（’）的功率谱密度为巴（，），则根据窄带平稳过程的性质可知y"）的同相分量与（“）、

正交分量K⑺的功率谱密度耳（/）及夕；（/）满足

&(/+，)+?(/一£)\f\^

”.(7)，(7)=

0else

其中

2N.^f)2\f±f\<^

弓⑺吟I"⑺加2M2nc

0else

因此

2

2N^\f+fc)\2N^\f-fc)\f\<^

《.(，)=先(7)=

0else

_4乂/（尸+幻年日

—z

0else

其图形如卜

错误味定义书签。.设*f〃（抽⑺力，髀仙⑺/⑴力，其中确是双边功率

N。

谱密度为2白高斯噪声，四（,）和伤（’）为确定函数，求。和＜2统计独立的条件。

解：〃（'）是白噪声意味着E［〃"）］=°，否则其功率谱密度将在/二°处有冲激。所以

电］=E/：/）/（。力=£X〃（3外⑺&二。

七阎=E£"⑺小。）小卜J：耳"（川仍⑺“=0

又因为〃（'）是高斯过程，所以〈看2是服从联合高斯分布的随机变量，故欲刍和42统计独

立，需可能］9

研京2]=EJn(t)(P\(。力J〃⑴小(。力

-0o_

=可「(少(「)"⑺仍W)didf

=£[〃(/"(r)]的3%V)dldf

Cl争(〜)例⑺仍⑺力”

吟Jo”仍。)%(，)力

所以&和么统计独立的条件为

T

J例⑺例(M=o

0

即1(。，例”)正交。

注：本题的结果表明，白高斯噪声在任意两个正交信号上的投影是独立的两个高斯

No

随机变量。进而还能证明，如果利。)和心“)的能量为1,则投影的方差是2。

更一般化的结论是：白高斯噪声在多维正交信号空间中各维上的投影是独立同分布

N。

的高斯随机变量，其均值是0,方差是2(参见课本第六章)

错误!未定义书签。.设X")=”.(，)cos2;rfct-Xs(r)sin24工1为窄带高斯平稳随机过程,

其均值为0,方差为b：。信号Acos2%力r+X(，)经过下图所示的相乘低通电路后成

为丫(。=〃(。+0,其中〃①是Acos2万〃对应的输出，v(/)是X(f)对应的输

出。假设&(1)Xs(')的带宽等于低通滤波器通频带。

(1)若。为常数，求〃(')和M')的平均功率之比：

(2)若，是与X(’)独立的0均值高斯随机变量，其方差为b?,求〃(‘)和U”)的平

均功率之比。

/cos2;r〃+X(/)--------------►LPF------------►/(/)=//(/)+),(/)

cos(27.〃+6)

解:

A

〃(f)=[Acos2万fctxcos(2万"+。)J分.=5cos0

v(0=[(X,«)cos2^fet-Xx⑴sin2乃〃)xcos(2乃〃+。儿"

二/,“）85。+9、小111夕

给定。时"W的功率为

A2cos20

“（’）的平均功率为

2

Pv=—cos^+

1444

故在（1）的条件下

v

在（2）的条件下，M'）的平均功率仍然是4,但此时“（’）的平均功率是

2

A2cos20_A2/8cos26o

22

Pf4匕也於e0dO

4

所以

针等［co现二A2

£[l+cos20]

2才

■卜匚翳高

啜(2)

6

n（t\^-=10-W/HZ

错误!未定义书签。.设〃Ml是均值为0、双边功率谱密度为2的白噪声,

/）_力中）

-dt，将Nt）通过一个截止频率为B=10Hz的理想低通滤波器得到

求

（i）y（”）的双边功率谱密度；

（2）”（’）的平均功率。

解⑴A(/)=与I〃//[2二26NO『=3.95X10-5/2W/HZ

⑵G"f/v(/)#=2r2^2NJ2df=W产=0.0263W

错误!未定义书签。.设g（‘）是高斯白噪声通过截止频率为/，的理想低通滤波器后的输出，

今以的速率对4（，）抽样，34，，,是其中的〃个抽样值，求这〃个抽样值的联

合概率密度。

解：首先，因为0（'）是白高斯过程通过线性系统的输出，故4”）是。均值的高斯过程。设

N。

白噪声的功率谱密度为2,则以'）的功率是N（J〃，所以的一维概率密度是

;（'）的功率谱密度为

4(0=2

0esle

其自相关函数为

/⑺=「勺⑺/"W=NJHsinc(2^r)

对任意整数女有

1k=O

0女工0

说明对于40的任何两个不相同的样值，如果其时间间隔是2儿的整倍数，则这两个样值

是不相关的，因而是独立的。于是＜，$，，,的联合概率密度为

以品4（不孙…，5）=偿G）七⑸…〃金5）=（2叫/炉e2Nof，1

N°

错误!未定义书签。.已知"⑺的波形如下图示，"（’）所受的干扰是功率谱密度为2的白

高斯噪声。

（1）画出对"（’）匹配的匹配滤波器的冲激响应波形；

（2）求匹配滤波器的最大输出信噪比九小；

（3）求输出信噪比最大时刻输出值的概率密度。

解：

⑴在白噪声干扰下，对励匹配的匹配滤波器的冲激响应为〃（，）="（7。一’），考虑到因果性,

取最佳抽样时刻为‘。二/，于是"（,）=人（丁一。，冲激响应波形如下：

ft(r)

（2）匹配滤波器的输出的噪声分量是平稳过程，在任何抽样点上，其平均功率都是

，=匚3同/）力吟匚阳⑺力

二与,：〃2（/）力2r

信号分量在最佳取样点，二r时刻最大，为

^b（T-t）h（r）dr=^b（T-T）＞b（T-T）dT=A2T

故最大输出信噪比3c

(47)~2*7

=—

（3）最佳取样时刻的输出值是

其中4是噪声分量，它是均值为o方差为2的高斯随机变量。因此》的概率密

度函数为

1

e刈屋7

RN°A2T

错误!未定义书签。.已知毛为瑞利分布的随机变量，其概率密度函数为

、

Pxia）=.e

、2为莱斯分布的随机变量，其概率密度函数为

Px2㈤=亲62,I。与，电？0

另外已知X|，X2统计独立。求毛＞、2的概率。

解：

P（X,＞X2）=jjp%xG，W）如必=JJ心血

x\>x2x\>x2

工加⑷仁兀⑷四恢HP%㈤「土”色