2024-2025学年江苏省南通市如皋市部分学校高二上学期11月期中联考数学数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南通市如皋市部分学校2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知为抛物线上一点，则抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为为抛物线上一点，所以，解得，所抛物线的方程为，所以准线方程为.故选：C.2.已知正项等比数列的前和为，，则（）A.85 B.62 C.32 D.31【答案】B【解析】根据题意设等比数列公比为，由可得，即；因此，解得，所以；可得.故选：B3.已知双曲线一条渐近线斜率为2，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由双曲线可知：其中一条渐近线的斜率为，所以该双曲线的离心率为.故选：A.4.过点与圆相切的两条直线的夹角为，则点到原点距离的最小值为（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】圆，设圆心，圆的半径为，因为过点与圆相切的两条直线的夹角为，则，所以，又因为，所以，则，设点Px,y，可得，化简可得，设，则点到原点距离，当时，点到原点距离最小值为，故选：B.5.已知等差数列的前和为，，则（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】在中取得，故，所以.故选：A.6.已知为坐标原点，双曲线的左，右焦点分别为．若为双曲线上一点，为的角平分线，过右焦点的直线与直线垂直，垂足为，则（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】由双曲线的对称性不妨设点在双曲线的右焦点，如图，延长交于点，因为为的角平分线，，所以为线段的中点，且，又为线段的中点，所以.故选：B.7.在平行六面体中，，，，则下列说法不正确的是().A.平面 B.平面C.直线与平面所成角为 D.的余弦值为【答案】ABD【解析】对于A选项：设，由题意可知且，所以四边形为平行四边形，因此，连接和，因为且，所以四边形为平行四边形，故，又因为平面，平面，所以平面，故A正确；对于B选项：设，因为平行六面体，所以，，则，，，，因为且，即垂直于平面内相交直线和，所以平面.故B正确；对于C选项：设，因为平行六面体，，则由对称性知道在平面的投影一定在上，则为直线与平面所成角.又，两边平方，则，又因为，所以.故直线与平面所成角为，则，所以不是，故C错误；对于D选项：设，，所以，又因为，点是中点，所以，由题可知，所以，故为二面角的平面角，因为，则，则，因为，所以，则，由题可知，故则，故D正确.故选：ABD.8.已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过上顶点和右焦点的直线与椭圆的另一个交点为，且的面积为，则的周长为（）A.4 B. C. D.【答案】D【解析】如下图所示：由已知，则，，所以，椭圆的方程为，易知点、，，所以，直线的方程为，联立，解得或，即点，所以，，解得，所以，，则的周长为，故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知数列的首项为1，前和为，且，则（）A.数列是等比数列 B.是等比数列C. D.数列的前项和为【答案】BD【解析】因为①，所以，当时，②，由①②得，即，又，所以数列是从第二项开始，以为公比的等比数列，故A错误；对于C；当时，，所以，故C错误；对于B，当时，，当时，，符合上式所以，则，所以数列是等比数列，故B正确；对于D，由C选项知，所以数列的前项和为，故D正确.故选：BD.10.在正三棱台中，为线段上一动点，，则（）A.存在点，使得 B.存在点，使得C.当平面时，为中点 D.的最小值为【答案】BCD【解析】对于A，如图1由正三棱台的定义知，与必相交，故与平面必相交，而平面,故与不可能平行，即A错误；对于B，设正三棱台的上下底面中心分别为,连接，则平面，因平面，则；连接并延长交于，则，由正棱台结构性之可知与延长线交于一点，所以过与的平面有且只有一个记为平面，又平面，故平面，又平面，故，即当点与点重合时，成立，故B正确；对于C，若平面，因平面,则，又平面，且为正三角形，故为的中点，即C正确；对于D，绕着边翻折至与共面时，连接交于点(如图2所示)，由图可知当三点共线时的值最小.如图3，在梯形中，作于点，则，因，则，在中，由余弦定理，，同理,故，又，故的最小值为，即D正确.故选：BCD.11.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左，右焦点分别为，上顶点，且°．为椭圆上任意一点（异于左，右顶点），直线分别与椭圆交于A.椭圆的离心率为B.内切圆的半径为C.△的外接圆方程为D.△与△内切圆半径之和的最大值为【答案】ABD【解析】A选项，由题意，是等腰直角三角形，因此，，离心率为，A正确；B选项，由上知，，直线的方程为，椭圆方程为，由，解得或，∴，，，而，则，即为直角三角形，∴△内切圆的半径为，B正确；C选项，由题意设△的外接圆圆心坐标为，则，解得，即圆心坐标为，半径为，圆方程为，C错；D选项，设，的内切圆在三边上的切点分别为，如图，一方面，，另一方面，记的内切圆半径为，，所以，，事实上，不论点在轴上方还是下方，都有与同号，所以，从而，则的内切圆半径为，内切圆半径为，△与△内切圆半径之和为，设直线方程为，由得，，，所以当，即时，取得最大值，D正确，故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在正四面体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_______．【答案】【解析】取的中点，连接如图所示：因为点分别是的中点，所以，即与所成的角为异面直线与所成角，设正四面体的棱长为，则，在中，，所以异面直线与所成角的余弦值为，故答案为：.13.已知，则数列前11项之和为_______．【答案】249【解析】由题意：，，所以前11项之和为，故答案为：24914.已知为坐标原点，为双曲线上一点，分别为双曲线的左，右顶点，且直线与直线的斜率之积为，则______.【答案】30【解析】由题意，，，为双曲线上一点，则，解得，又点在双曲线上，则，解得，，，则，，所以.故答案为：30.四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，且直线与直线斜率之和为0．（1）求抛物线的方程；（2）若为抛物线上一动点，直线，且，求到直线距离的最小值．解：（1）抛物线的焦点因为直线与直线斜率之和为0，所以点关于轴对称点与三点在同一直线上，设直线的方程为，与抛物线联立可得，消去得，由是方程的两根，所以，解得，所以抛物线的方程为；（2）因为在抛物线上，所以，所以，所以，又，所以，又且直线，所以的方程为，设，所以点到直线距离；当时，到直线距离取最小值，最小值为.16.已知等比数列的前项和为，且．（1）求；（2）若，求数列的前项和．解：（1）设等比数列的公比为，由题意，得，解得，∴或（2）∵，由（1）知，，，令①则②得即所以.17.如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面是直角三角形，，点分别在上，且．（1）证明：平面；（2）若平面，求．解：（1）因为侧棱底面，底面，所以，又，，平面，所以平面；（2）因为，所以确定唯一平面，设平面，连接，因为平面，所以，又因为，底面，底面，所以底面，又平面，平面底面，所以，所以，所以，又因为，，所以四边形是平行四边形，所以，所以，所以.18.已知数列的前项和为，，且．（1）求；（2）若从数列中删除中的项，余下的数组成数列．①求数列的前项和；②若成等比数列，记数列的前项和为，证明：．解：（1）∵，∴当时，，两式相减得，，整理得，即，∴当时，，满足此式，∴.（2）①由（1）得，，∴，，∴数列是首项为，公差为的等差数列.当为奇数时，为偶数，为的整数倍，是数列中的项，当为偶数时，为奇数，不是数列中的项，∴数列中的项为数列的偶数项，且，∴数列是首项为，公差为的等差数列，∴，∴，，∴.②由①得，，∴，∵成等比数列，∴，即，∴，∴，∴.19.已知圆与双曲线只有两个交点，过圆上一点的切线与双曲线交于两点，与轴交于点．当与重合时，．（1）求双曲线的方程；（2）若直线的斜率为，求；（3）当时，求的最小值．解：（1）由圆与双曲线只有两个交点可知：，又根据题意，双曲线过点，所以，所以双曲线的标准方程为：.（2）如图：因为直线的斜率为，且直线与直线垂直，所以直线的斜率为，设直线的方程为：，即，由，不妨令，则直线的方程为：，代入得：，整理得：，设Ax1,y1，B所以，所以，若，亦可得，综上：.（3）设直线的方程为，由，不妨设点在第二象限，因为，则的两个端点为，，则，因为，所以，，将代入双曲线可得：，整理得：，设Ax1,y1，B因为，所以，所以，所以，又，所以，因为，所以，即的最小值为.江苏省南通市如皋市部分学校2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知为抛物线上一点，则抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为为抛物线上一点，所以，解得，所抛物线的方程为，所以准线方程为.故选：C.2.已知正项等比数列的前和为，，则（）A.85 B.62 C.32 D.31【答案】B【解析】根据题意设等比数列公比为，由可得，即；因此，解得，所以；可得.故选：B3.已知双曲线一条渐近线斜率为2，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由双曲线可知：其中一条渐近线的斜率为，所以该双曲线的离心率为.故选：A.4.过点与圆相切的两条直线的夹角为，则点到原点距离的最小值为（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】圆，设圆心，圆的半径为，因为过点与圆相切的两条直线的夹角为，则，所以，又因为，所以，则，设点Px,y，可得，化简可得，设，则点到原点距离，当时，点到原点距离最小值为，故选：B.5.已知等差数列的前和为，，则（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】在中取得，故，所以.故选：A.6.已知为坐标原点，双曲线的左，右焦点分别为．若为双曲线上一点，为的角平分线，过右焦点的直线与直线垂直，垂足为，则（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】由双曲线的对称性不妨设点在双曲线的右焦点，如图，延长交于点，因为为的角平分线，，所以为线段的中点，且，又为线段的中点，所以.故选：B.7.在平行六面体中，，，，则下列说法不正确的是().A.平面 B.平面C.直线与平面所成角为 D.的余弦值为【答案】ABD【解析】对于A选项：设，由题意可知且，所以四边形为平行四边形，因此，连接和，因为且，所以四边形为平行四边形，故，又因为平面，平面，所以平面，故A正确；对于B选项：设，因为平行六面体，所以，，则，，，，因为且，即垂直于平面内相交直线和，所以平面.故B正确；对于C选项：设，因为平行六面体，，则由对称性知道在平面的投影一定在上，则为直线与平面所成角.又，两边平方，则，又因为，所以.故直线与平面所成角为，则，所以不是，故C错误；对于D选项：设，，所以，又因为，点是中点，所以，由题可知，所以，故为二面角的平面角，因为，则，则，因为，所以，则，由题可知，故则，故D正确.故选：ABD.8.已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过上顶点和右焦点的直线与椭圆的另一个交点为，且的面积为，则的周长为（）A.4 B. C. D.【答案】D【解析】如下图所示：由已知，则，，所以，椭圆的方程为，易知点、，，所以，直线的方程为，联立，解得或，即点，所以，，解得，所以，，则的周长为，故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知数列的首项为1，前和为，且，则（）A.数列是等比数列 B.是等比数列C. D.数列的前项和为【答案】BD【解析】因为①，所以，当时，②，由①②得，即，又，所以数列是从第二项开始，以为公比的等比数列，故A错误；对于C；当时，，所以，故C错误；对于B，当时，，当时，，符合上式所以，则，所以数列是等比数列，故B正确；对于D，由C选项知，所以数列的前项和为，故D正确.故选：BD.10.在正三棱台中，为线段上一动点，，则（）A.存在点，使得 B.存在点，使得C.当平面时，为中点 D.的最小值为【答案】BCD【解析】对于A，如图1由正三棱台的定义知，与必相交，故与平面必相交，而平面,故与不可能平行，即A错误；对于B，设正三棱台的上下底面中心分别为,连接，则平面，因平面，则；连接并延长交于，则，由正棱台结构性之可知与延长线交于一点，所以过与的平面有且只有一个记为平面，又平面，故平面，又平面，故，即当点与点重合时，成立，故B正确；对于C，若平面，因平面,则，又平面，且为正三角形，故为的中点，即C正确；对于D，绕着边翻折至与共面时，连接交于点(如图2所示)，由图可知当三点共线时的值最小.如图3，在梯形中，作于点，则，因，则，在中，由余弦定理，，同理,故，又，故的最小值为，即D正确.故选：BCD.11.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左，右焦点分别为，上顶点，且°．为椭圆上任意一点（异于左，右顶点），直线分别与椭圆交于A.椭圆的离心率为B.内切圆的半径为C.△的外接圆方程为D.△与△内切圆半径之和的最大值为【答案】ABD【解析】A选项，由题意，是等腰直角三角形，因此，，离心率为，A正确；B选项，由上知，，直线的方程为，椭圆方程为，由，解得或，∴，，，而，则，即为直角三角形，∴△内切圆的半径为，B正确；C选项，由题意设△的外接圆圆心坐标为，则，解得，即圆心坐标为，半径为，圆方程为，C错；D选项，设，的内切圆在三边上的切点分别为，如图，一方面，，另一方面，记的内切圆半径为，，所以，，事实上，不论点在轴上方还是下方，都有与同号，所以，从而，则的内切圆半径为，内切圆半径为，△与△内切圆半径之和为，设直线方程为，由得，，，所以当，即时，取得最大值，D正确，故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在正四面体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_______．【答案】【解析】取的中点，连接如图所示：因为点分别是的中点，所以，即与所成的角为异面直线与所成角，设正四面体的棱长为，则，在中，，所以异面直线与所成角的余弦值为，故答案为：.13.已知，则数列前11项之和为_______．【答案】249【解析】由题意：，，所以前11项之和为，故答案为：24914.已知为坐标原点，为双曲线上一点，分别为双曲线的左，右顶点，且直线与直线的斜率之积为，则______.【答案】30【解析】由题意，，，为双曲线上一点，则，解得，又点在双曲线上，则，解得，，，则，，所以.故答案为：30.四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，且直线与直线斜率之和为0．（1）求抛物线的方程；（2）若为抛物线上一动点，直线，且，求到直线距离的最小值．解：（1）抛物线的焦点因为直线与直线斜率之和为0，所以点关于轴对称点与三点在同一直线上，设直线的方程为，与抛物线联立可得，消去得，由是方程的两根，所以，解得，所以抛物线的方程为；（2）因为在抛物线上，所以，所以，所以，又，所以，又且直线，所以的方程为，设，所以点到直线距离；当时，到直线距离取最小值，最小值为.16.已知等比数列的前项和为，且．（1）求；（2）若，求数列的前项和．解：（1）设等比数列的公比为，由题意，得，解得，∴或（2）∵，由（1）知，，，令①则②得即所以.17