2023-2024学年山东省德州市高一上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省德州市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故选：B.2.连续函数在定义域内有关数据如下：，，，则下列叙述正确的是（）A.函数在内一定不存在零点B.函数在内一定不存在零点C.函数在内一定存在零点D.函数在内一定存在零点【答案】D【解析】因为，，函数在内并不一定无零点，故A、C错误；因为，，，所以函数在内一定存在零点，故B错误，D正确.故选：D.3.函数（且）的图象过定点（）A. B. C. D.【答案】D【解析】对于函数（且），由，可得，又因为，故函数的图象过定点.故选：D.4.已知，，，则、、的大小关系为（）A B. C. D.【答案】A【解析】因为，则，，，故.故选：A.5.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为的扇形，它的周长是，则这个扇形所含弓形的面积是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】可得：扇形面积，三角形面积，可得弓形面积.故选：C.6.已知函数在区间上的最大值为，则的值可以为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，当时，，又因为函数在区间上的最大值为，则，若，则，此时，有，A合乎条件；若，则，又因为，则，即，BCD均不合乎题意.故选：A7.近年来，中国加大了电动汽车的研究与推广，预计到年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．已知蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式为，其中．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知，，则，所以，当放电电流时，放电时间为.故选：C.8.已知函数，函数与有四个交点，横坐标依次为，，，且，满足，则取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】画出的图象如下：由题意得，，令得，或4，故，其中，故，，所以.故选：D.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.已知函数，则（）A.最小正周期为 B.的定义域为C.的值域为 D.在其定义域上是增函数【答案】AC【解析】对A：的最小正周期为，又，故的最小正周期为，A正确；对B：若使得函数有意义，则，即，解得，故B错误；对C：，故可得，即的值域为，故C正确；对D：不妨取，显然，但，故在定义域上不是单调增函数，D错误.故选：AC.10.若，且，则下列说法正确的是（）A. B.C.的最小值为 D.的最小值为【答案】AB【解析】因为，且，对于A选项，，，A对；对于B选项，，则，B对；对于C选项，因为，所以，，即，当且仅当时，即当时，等号成立，因为，所以，C错；对于D选项，，当且仅当时，即当时，等号成立，即有最小值，又因为，所以，D错.故选：AB.11.函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（）A.B.函数的图象关于点对称C.函数的图象关于直线对称D.函数在上单调递减【答案】ABD【解析】函数，当，此时，，因为，所以，所以，故A正确；，所以关于点对称，故B正确；函数图象向左平移个单位长度后得到，，当时，，所以函数的图象不关于直线对称，故C错误；，当时，，所以函数在上单调递减，故D正确.故选：ABD.12.给定函数，若在其定义域内存在使得，则称为“函数”．下列给出的函数为“函数”的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】对于A项，，故A项错误；对于B项，由，得，则“函数”，故B项正确；对于C项，由，得，得，显然有非零解，则为“函数”，故C项正确；对于D项，当时，则，由，得，得，得，因为，则，则为“函数”，故D项正确.故选：BCD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.若角的终边上一点的坐标为，将角的终边按逆时针旋转得到角，则____________．【答案】【解析】因为角的终边上一点的坐标为，则，将角的终边按逆时针旋转得到角，则，故.故答案为：.14.若函数对任意都有意义，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】因为函数对任意都有意义，所以在恒成立，即在恒成立，因为在上单调递增，所以，所以.故答案为：.15.已知函数为幂函数，且，若，则实数a的取值范围是______________．【答案】【解析】设，则，解得，故，定义域为，且在定义域上单调递减，故，解得.故答案为：.16.已知函数，则______；若在上恒成立，则整数t的最小值为______．【答案】12【解析】因为，所以，因为，，所以，图象如图：，，，时，，时，，或，时，，所以时，恒成立，整数t的最小值为12.故答案为：12.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知角的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点．（1）若，且为第三象限角，求x，y的值；（2）若，求的取值范围．解：（1）因为，所以，因为为第三象限角，所以，，又，解得，．（2）由，所以，即，所以.18.已知：．（1）求的值；（2）若，求的值．解：（1）由，解得：或，由得或.（2）因为，所以，所以.19.已知幂函数在上满足，函数．（1）求的值；（2）当时，记、的值域分别为、，设，，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．解：（1）因为函数为幂函数，则，即，解得或，当时，，则在上为增函数，则，合乎题意，当时，，则在上为减函数，则，不合乎题意，综上所述，.（2）由（1）得，当时，，即，当时，，即，由是成立的必要不充分条件，则，显然，则，解得，验证当时，，当时，，所以实数的取值范围为．20.已知函数，当时，的最小值为．（1）求；（2）若，求a的值及此时的最大值．解：（1），因为，所以，①当，即时，则当时，取最小值，的最小值为；②当，即时，则当时，取最小值，的最小值为；③当，即时，则当时，取最小值，的最小值为，故.（2）当时，由解得：，不合题意，舍去；当时，由，解得：或（舍去），故；当时，由解得：，不合题意，舍去，综上可知：，此时，则当时，得，所以若，则有，此时的最大值是5.21.按照国务院节能减排综合工作方案的通知要求，到年，某地区化学需氧量排放总量要控制在万吨，要比年下降，假设这期间每一年化学需氧量排放总量下降的百分比都相等，年后第年的化学需氧量排放总量最大值为万吨．（1）求的解析式；（2）按此计划，到哪一年，可以将该地区的化学需氧量排放总量最大值控制在万吨以内？（参考数据，，）解：（1）设自年起，每一年化学需氧量排放总量下降的百分比为，年化学需氧量排放总量为，所以，则，又，即，所以.（2）由（1）知，，由，，即，所以，到年，将该地区的化学需氧量排放总量最大值控制在万吨以内.22.设函数的定义域为D，若存在，使得成立，则称x为的一个“准不动点”．已知函数．（1）若，求的准不动点；（2）若为的一个“准不动点”，且，求实数a的取值范围；（3）设函数，若，，使得成立，求实数a的取值范围．解：（1）若，由可得，，令，则，解或，所以或，故的不动点为0或1.（2）由可得，在上有解，令，由可得，则在上有解，故，当时，在上单调递增，所以，，解得，故a的取值范围．（3）由，则，又在上单调递增，则，，则，即，令，，则，从而，则，又，在上均为增函数，则，，所以，即．山东省德州市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故选：B.2.连续函数在定义域内有关数据如下：，，，则下列叙述正确的是（）A.函数在内一定不存在零点B.函数在内一定不存在零点C.函数在内一定存在零点D.函数在内一定存在零点【答案】D【解析】因为，，函数在内并不一定无零点，故A、C错误；因为，，，所以函数在内一定存在零点，故B错误，D正确.故选：D.3.函数（且）的图象过定点（）A. B. C. D.【答案】D【解析】对于函数（且），由，可得，又因为，故函数的图象过定点.故选：D.4.已知，，，则、、的大小关系为（）A B. C. D.【答案】A【解析】因为，则，，，故.故选：A.5.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为的扇形，它的周长是，则这个扇形所含弓形的面积是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】可得：扇形面积，三角形面积，可得弓形面积.故选：C.6.已知函数在区间上的最大值为，则的值可以为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，当时，，又因为函数在区间上的最大值为，则，若，则，此时，有，A合乎条件；若，则，又因为，则，即，BCD均不合乎题意.故选：A7.近年来，中国加大了电动汽车的研究与推广，预计到年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．已知蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式为，其中．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知，，则，所以，当放电电流时，放电时间为.故选：C.8.已知函数，函数与有四个交点，横坐标依次为，，，且，满足，则取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】画出的图象如下：由题意得，，令得，或4，故，其中，故，，所以.故选：D.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.已知函数，则（）A.最小正周期为 B.的定义域为C.的值域为 D.在其定义域上是增函数【答案】AC【解析】对A：的最小正周期为，又，故的最小正周期为，A正确；对B：若使得函数有意义，则，即，解得，故B错误；对C：，故可得，即的值域为，故C正确；对D：不妨取，显然，但，故在定义域上不是单调增函数，D错误.故选：AC.10.若，且，则下列说法正确的是（）A. B.C.的最小值为 D.的最小值为【答案】AB【解析】因为，且，对于A选项，，，A对；对于B选项，，则，B对；对于C选项，因为，所以，，即，当且仅当时，即当时，等号成立，因为，所以，C错；对于D选项，，当且仅当时，即当时，等号成立，即有最小值，又因为，所以，D错.故选：AB.11.函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（）A.B.函数的图象关于点对称C.函数的图象关于直线对称D.函数在上单调递减【答案】ABD【解析】函数，当，此时，，因为，所以，所以，故A正确；，所以关于点对称，故B正确；函数图象向左平移个单位长度后得到，，当时，，所以函数的图象不关于直线对称，故C错误；，当时，，所以函数在上单调递减，故D正确.故选：ABD.12.给定函数，若在其定义域内存在使得，则称为“函数”．下列给出的函数为“函数”的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】对于A项，，故A项错误；对于B项，由，得，则“函数”，故B项正确；对于C项，由，得，得，显然有非零解，则为“函数”，故C项正确；对于D项，当时，则，由，得，得，得，因为，则，则为“函数”，故D项正确.故选：BCD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.若角的终边上一点的坐标为，将角的终边按逆时针旋转得到角，则____________．【答案】【解析】因为角的终边上一点的坐标为，则，将角的终边按逆时针旋转得到角，则，故.故答案为：.14.若函数对任意都有意义，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】因为函数对任意都有意义，所以在恒成立，即在恒成立，因为在上单调递增，所以，所以.故答案为：.15.已知函数为幂函数，且，若，则实数a的取值范围是______________．【答案】【解析】设，则，解得，故，定义域为，且在定义域上单调递减，故，解得.故答案为：.16.已知函数，则______；若在上恒成立，则整数t的最小值为______．【答案】12【解析】因为，所以，因为，，所以，图象如图：，，，时，，时，，或，时，，所以时，恒成立，整数t的最小值为12.故答案为：12.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知角的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点．（1）若，且为第三象限角，求x，y的值；（2）若，求的取值范围．解：（1）因为，所以，因为为第三象限角，所以，，又，解得，．（2）由，所以，即，所以.18.已知：．（1）求的值；（2）若，求的值．解：（1）由，解得：或，由得或.（2）因为，所以，所以.19.已知幂函数在上满足，函数．（1）求的值；（2）当时，记、的值域分别为、，设，，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．解：（1）因为函数为幂函数，则，即，解得或，当时，，则在上为增函数，则，合乎题意，当时，，则在上为减函数，则，不合乎题意，综上所述，.（2）由（1）得，当时，，即，当时，，即，由是成立的必要不充分条件，则，显然，则，解得，验证当时，，当时，，所以实数的取值范围为．20.已知函数，当时，的最小值为．（1）求；（2）若，求a的值及此时的最