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文档简介
天津市宁河区芦台第一中学2025届高三第一次模拟考试数学试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,在平面四边形中,满足,且,沿着把折起,使点到达点的位置,且使,则三棱锥体积的最大值为()A.12 B. C. D.2.木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件,则该木件的体积()A. B. C. D.3.已知函数的最小正周期为的图象向左平移个单位长度后关于轴对称,则的单调递增区间为()A. B.C. D.4.国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是()A.12个月的PMI值不低于50%的频率为B.12个月的PMI值的平均值低于50%C.12个月的PMI值的众数为49.4%D.12个月的PMI值的中位数为50.3%5.执行下面的程序框图,如果输入,,则计算机输出的数是()A. B. C. D.6.设为虚数单位,复数,则实数的值是()A.1 B.-1 C.0 D.27.已知数列对任意的有成立,若,则等于()A. B. C. D.8.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,则双曲线的离心率为()A. B. C.3 D.49.执行程序框图,则输出的数值为()A. B. C. D.10.已知角的终边经过点,则的值是A.1或 B.或 C.1或 D.或11.记单调递增的等比数列的前项和为,若,,则()A. B. C. D.12.已知定点都在平面内,定点是内异于的动点,且,那么动点在平面内的轨迹是()A.圆,但要去掉两个点 B.椭圆,但要去掉两个点C.双曲线,但要去掉两个点 D.抛物线,但要去掉两个点二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(5分)国家禁毒办于2019年11月5日至12月15日在全国青少年毒品预防教育数字化网络平台上开展2019年全国青少年禁毒知识答题活动,活动期间进入答题专区,点击“开始答题”按钮后,系统自动生成20道题.已知某校高二年级有甲、乙、丙、丁、戊五位同学在这次活动中答对的题数分别是,则这五位同学答对题数的方差是____________.14.已知各项均为正数的等比数列的前项积为,,(且),则__________.15.已知双曲线的左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点,则双曲线C的离心率为________.16.已知正数a,b满足a+b=1,则的最小值等于__________,此时a=____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数f(x)=x-2a-x-a(Ⅰ)若f(1)>1,求a的取值范围;(Ⅱ)若a<0,对∀x,y∈-∞,a,都有不等式f(x)≤(y+2020)+18.(12分)如图,在矩形中,,,点分别是线段的中点,分别将沿折起,沿折起,使得重合于点,连结.(Ⅰ)求证:平面平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.19.(12分)某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况,从生产线上随机抽取了个零件进行测量,根据所测量的零件尺寸(单位:mm),得到如下的频率分布直方图:(1)根据频率分布直方图,求这个零件尺寸的中位数(结果精确到);(2)若从这个零件中尺寸位于之外的零件中随机抽取个,设表示尺寸在上的零件个数,求的分布列及数学期望;(3)已知尺寸在上的零件为一等品,否则为二等品,将这个零件尺寸的样本频率视为概率.现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售,每箱个.企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验,已知每个零件的检验费用为元.若检验,则将检验出的二等品更换为一等品;若不检验,如果有二等品进入买家手中,企业要向买家对每个二等品支付元的赔偿费用.现对一箱零件随机抽检了个,结果有个二等品,以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据,该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验?请说明理由.20.(12分)在极坐标系中,曲线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为,设与交于、两点,中点为,的垂直平分线交于、.以为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系.(1)求的直角坐标方程与点的直角坐标;(2)求证:.21.(12分)已知等差数列的前n项和为,,公差,、、成等比数列,数列满足.(1)求数列,的通项公式;(2)已知,求数列的前n项和.22.(10分)已知函数,.(1)当时,求不等式的解集;(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
过作于,连接,易知,,从而可证平面,进而可知,当最大时,取得最大值,取的中点,可得,再由,求出的最大值即可.【详解】在和中,,所以,则,过作于,连接,显然,则,且,又因为,所以平面,所以,当最大时,取得最大值,取的中点,则,所以,因为,所以点在以为焦点的椭圆上(不在左右顶点),其中长轴长为10,焦距长为8,所以的最大值为椭圆的短轴长的一半,故最大值为,所以最大值为,故的最大值为.故选:C.【点睛】本题考查三棱锥体积的最大值,考查学生的空间想象能力与计算求解能力,属于中档题.2、C【解析】
由三视图知几何体是一个从圆锥中截出来的锥体,圆锥底面半径为,圆锥的高,截去的底面劣弧的圆心角为,底面剩余部分的面积为,利用锥体的体积公式即可求得.【详解】由已知中的三视图知圆锥底面半径为,圆锥的高,圆锥母线,截去的底面弧的圆心角为120°,底面剩余部分的面积为,故几何体的体积为:.故选C.【点睛】本题考查了三视图还原几何体及体积求解问题,考查了学生空间想象,数学运算能力,难度一般.3、D【解析】
先由函数的周期和图象的平移后的函数的图象性质得出函数的解析式,从而得出的解析式,再根据正弦函数的单调递增区间得出函数的单调递增区间,可得选项.【详解】因为函数的最小正周期是,所以,即,所以,的图象向左平移个单位长度后得到的函数解析式为,由于其图象关于轴对称,所以,又,所以,所以,所以,因为的递增区间是:,,由,,得:,,所以函数的单调递增区间为().故选:D.【点睛】本题主要考查正弦型函数的周期性,对称性,单调性,图象的平移,在进行图象的平移时,注意自变量的系数,属于中档题.4、D【解析】
根据图形中的信息,可得频率、平均值的估计、众数、中位数,从而得到答案.【详解】对A,从图中数据变化看,PMI值不低于50%的月份有4个,所以12个月的PMI值不低于50%的频率为,故A正确;对B,由图可以看出,PMI值的平均值低于50%,故B正确;对C,12个月的PMI值的众数为49.4%,故C正确,;对D,12个月的PMI值的中位数为49.6%,故D错误故选:D.【点睛】本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算,考查数据处理能力,属于基础题.5、B【解析】
先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数,再利用辗转相除法计算即可.【详解】本程序框图的功能是计算,中的最大公约数,所以,,,故当输入,,则计算机输出的数是57.故选:B.【点睛】本题考查程序框图的功能,做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么,本题是一道基础题.6、A【解析】
根据复数的乘法运算化简,由复数的意义即可求得的值.【详解】复数,由复数乘法运算化简可得,所以由复数定义可知,解得,故选:A.【点睛】本题考查了复数的乘法运算,复数的意义,属于基础题.7、B【解析】
观察已知条件,对进行化简,运用累加法和裂项法求出结果.【详解】已知,则,所以有,,,,两边同时相加得,又因为,所以.故选:【点睛】本题考查了求数列某一项的值,运用了累加法和裂项法,遇到形如时就可以采用裂项法进行求和,需要掌握数列中的方法,并能熟练运用对应方法求解.8、A【解析】
根据题意,由抛物线的方程可得其焦点坐标,由此可得双曲线的焦点坐标,由双曲线的几何性质可得,解可得,由离心率公式计算可得答案.【详解】根据题意,抛物线的焦点为,则双曲线的焦点也为,即,则有,解可得,双曲线的离心率.故选:A.【点睛】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程,关键是求出抛物线焦点的坐标,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9、C【解析】
由题知:该程序框图是利用循环结构计算并输出变量的值,计算程序框图的运行结果即可得到答案.【详解】,,,,,满足条件,,,,,满足条件,,,,,满足条件,,,,,满足条件,,,,,不满足条件,输出.故选:C【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构,属于简单题.10、B【解析】
根据三角函数的定义求得后可得结论.【详解】由题意得点与原点间的距离.①当时,,∴,∴.②当时,,∴,∴.综上可得的值是或.故选B.【点睛】利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量:角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x,纵坐标y,该点到原点的距离r,然后再根据三角函数的定义求解即可.11、C【解析】
先利用等比数列的性质得到的值,再根据的方程组可得的值,从而得到数列的公比,进而得到数列的通项和前项和,根据后两个公式可得正确的选项.【详解】因为为等比数列,所以,故即,由可得或,因为为递增数列,故符合.此时,所以或(舍,因为为递增数列).故,.故选C.【点睛】一般地,如果为等比数列,为其前项和,则有性质:(1)若,则;(2)公比时,则有,其中为常数且;(3)为等比数列()且公比为.12、A【解析】
根据题意可得,即知C在以AB为直径的圆上.【详解】,,,又,,平面,又平面,故在以为直径的圆上,又是内异于的动点,所以的轨迹是圆,但要去掉两个点A,B故选:A【点睛】本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定,圆的性质,轨迹问题,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、2【解析】
由这五位同学答对的题数分别是,得该组数据的平均数,则方差.14、【解析】
利用等比数列的性质求得,进而求得,再利用对数运算求得的值.【详解】由于,,所以,则,∴,,.故答案为:【点睛】本小题主要考查等比数列的性质,考查对数运算,属于基础题.15、【解析】
由等腰三角形及双曲线的对称性可知或,进而利用两点间距离公式求解即可.【详解】由题设双曲线的左、右焦点分别为,,因为左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点,当时,,由可得,等式两边同除可得,解得(舍);当时,,由可得,等式两边同除可得,解得,故答案为:【点睛】本题考查求双曲线的离心率,考查双曲线的几何性质的应用,考查分类讨论思想.16、3【解析】
根据题意,分析可得,由基本不等式的性质可得最小值,进而分析基本不等式成立的条件可得a的值,即可得答案.【详解】根据题意,正数a、b满足,则,当且仅当时,等号成立,故的最小值为3,此时.故答案为:3;.【点睛】本题考查基本不等式及其应用,考查转化与化归能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)(-∞,-1)∪(1,+∞);(Ⅱ)-1010,0.【解析】
(Ⅰ)由题意不等式化为|1-2a|-|1-a|>1,利用分类讨论法去掉绝对值求出不等式的解集即可;(Ⅱ)由题意把问题转化为[f(x)]max≤[|y+2020|+|y-a|]min,分别求出【详解】(Ⅰ)由题意知,f(1)=|1-2a|-|1-a|>1,若a≤12,则不等式化为1-2a-1+a>1,解得若12<a<1,则不等式化为2a-1-(1-a)>1,解得若a≥1,则不等式化为2a-1+1-a>1,解得a>1,综上所述,a的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞);(Ⅱ)由题意知,要使得不等式f(x)≤|(y+2020)|+|y-a|恒成立,只需[f(x)]max当x∈(-∞,a]时,|x-2a|-|x-a|≤-a,[f(x)]max因为|y+2020|+|y-a|≥|a+2020|,所以当(y+2020)(y-a)≤0时,[|y+2020|+|y-a|]min即-a≤|a+2020|,解得a≥-1010,结合a<0,所以a的取值范围是[-1010,0).【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解问题,含有绝对值的不等式恒成立应用问题,以及绝对值三角不等式的应用,考查了分类讨论思想,是中档题.含有绝对值的不等式恒成立应用问题,关键是等价转化为最值问题,再通过绝对值三角不等式求解最值,从而建立不等关系,求出参数范围.18、(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)根据,,可得平面,故而平面平面.(Ⅱ)过作于,则可证平面,故为所求角,在中利用余弦定理计算,再计算.【详解】解:(Ⅰ)因为,,,平面,平面所以平面,又平面,所以平面平面;(Ⅱ)过作于,则由平面,且平面知,所以平面,从而是直线与平面所成角.因为,,,所以,从而.【点睛】本题考查了面面垂直的判定,考查直线与平面所成角的计算,属于中档题.19、(1);(2)分布列见详解,期望为;(3)余下所有零件不用检验,理由见详解.【解析】
(1)计算的频率,并且与进行比较,判断中位数落在的区间,然后根据频率的计算方法,可得结果.(2)计算位于之外的零件中随机抽取个的总数,写出所有可能取值,并计算相对应的概率,列出分布列,计算期望,可得结果.(3)计算整箱的费用,根据余下零件个数服从二项分布,可得余下零件个数的期望值,然后计算整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值,进行比较,可得结果.【详解】(1)尺寸在的频率:尺寸在的频率:且所以可知尺寸的中位数落在假设尺寸中位数为所以所以这个零件尺寸的中位数(2)尺寸在的个数为尺寸在的个数为的所有可能取值为1,2,3,4则,,所以的分布列为(3)二等品的概率为如果对余下的零件进行检验则整箱的检验费用为(元)余下二等品的个数期望值为如果不对余下的零件进行检验,整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值为(元)所以,所以可以不对余下的零件进行检验.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用,掌握中位数,平均数,众数的计算方法,中位数的理解应该从中位数开始左右两边的频率各为0.5,考验分
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