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文档简介

培优拓展(十五)隐形圆问题在解决某些解析几何问题时,题设条件看似与圆无关,但通过对题目条件的分析、转化后,会发现满足条件的点的轨迹是一个圆,进而可得出圆的方程,再利用圆的知识求解,我们一般称这类问题为隐形圆问题.角度一利用圆的定义或几何性质确定隐形圆例1(1)已知圆C:x2+y2-4x=0,点A(-1,0),B(1,2),则圆C上使得|PA|2+|PB|2=12成立的点P有(

)A.0个 B.1个 C.2个 D.3个C解析

如图,假设圆C上存在点P,设P(x,y),圆C的方程可化为(x-2)2+y2=4,圆心为(2,0).|PA|2+|PB|2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=12,即x2+y2-2y-3=0,整理得x2+(y-1)2=4,点P的轨迹是以(0,1)为圆心,2为半径的圆.(2)舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具,如图,O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处的铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动.当点D在滑槽AB内做往复移动时,带动点N绕O转动,点M也随之而运动.若ON=DN=1,MN=3,AB=4,则|MA|的最小值为

.

解析

以滑槽AB所在的直线为x轴,O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0).[对点训练1](2024江苏徐州一模)已知点A(1,0),B(5,0),若≤4,则点P到直线3x-y+1=0距离的最小值为

.

角度二由圆周角的性质确定隐形圆例2(2024浙江嘉兴二模)已知圆C:(x-5)2+(y+2)2=r2(r>0),A(-6,0),B(0,8),若圆C上存在点P使得PA⊥PB,则r的取值范围为(

)A.(0,5] B.[5,15] C.[10,15] D.[15,+∞)B解析

由PA⊥PB可知点P的轨迹是以AB为直径的圆,设为圆M.因为A(-6,0),B(0,8),故圆M:(x+3)2+(y-4)2=25.依题意知圆M与圆C至少有一个公共点.因为C(5,-2),M(-3,4),则|CM|==10,由|r-5|≤|CM|≤5+r,解得5≤r≤15.故选B.[对点训练2]在平面直角坐标系xOy中,点A(-6,-2),B(4,-2),直线kx-y+8k-2=0(k∈R)上存在点M(x0,y0)满足∠AMB=90°,则实数k的一个可能取值是

.

角度三阿波罗尼斯圆例3(2024湖南岳阳模拟)数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为“阿波罗尼斯圆”,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),动点M满足|MA|=2|MO|,得到动点M的轨迹是阿氏圆C.若对任意实数k,直线l:y=k(x-1)+b与圆C恒有公共点,则实数b的取值范围是(

)C解析

设点M(x,y),因为|MA|=2|MO|,所以(x+2)2+y2=4x2+4y2,所以动点M的轨迹为阿波罗尼斯圆C:3x2+3y2-4x-4=0,又直

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