中考数学《相似三角形》基本知识点及例题

相似三角形知识点知识点1有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形。(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边长度的比叫做相似比相似系数。知识点2比例线段的相关概念(1)如果选用同一单位量得两条线段a,b的长度分别为m,nabmn的比是，或写成a:bm:n。注：在求线段比时，线段单位要统一。(2)在四条线段a,b,c,d中，如果a和b的比等于和d的比，那么这四条线段a,b,c,d①bcdaa是b,c,d的第四比例项，那么应得比例式为：。ac②在比例式(bda、d叫比例外项，b、c叫比例内项，a、cbd叫比例前项，bd叫比例后项，d叫第四比例项，如果b=c，即：b：d那么b叫做、d的比例中项，@初中生家长此时有b2。(3)分成两条线段AC,BC(BC)是AB和251叫做线段的C51黄金分割点，其中≈0.618。即简记为：22长全短长51＝＝2360的矩形知识点3比例的性质注意性质立的条件：分母不能为0)(1)基本性质：注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如，除了可化为a:bc:d，还可化为a:cb:d，c:da:b，b:da:c，b:ad:c，c:ad:b，d:cb:a，d:bc:a。ab)cddcabc(2)更比性质(交换比例的内项或外项：)dbdab)caacbd(3)反比性质(把比的前项、后项交换：。bdacabcabcd(4)合、分比性质：。dbd注：实际上，比例的合比性质可扩展为：@初中生家长比例式中等号左右两个比的前项，后项之间badcabcac发生同样和差变化比例仍成立。如：等等。abcddabcdabcem(5)等比性质：如果bdfn0)，那么dfnacembdfnab。注：①此性质的证明运用了“设k法”(即引入新的参数k)这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法。②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零。③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用abcefab2ce2d3fa2ceb2d3fab等比性质也成立。如：；其中db2d3f0。知识点4比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得的对应线段成比例.由DE∥可得：或或注：①重要结论：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截的三角．．形的三边与原三角形三边对应成比例。．．．．．．．．．．②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法，即：利用比例式证平行线。③@初中生家长辅助线往往做平行线，但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比。2.平行线分线段成比例定理已知∥BE∥CF，可得或或或或等。注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。知识点5相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。相似用符号“∽表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)。相似三角形对应角相等，对应边成比例。注：①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。②形的相似比是有顺序的。③两个三角形形状一样，但大小不一定一样。④全等三角形是相似比为1的相似三角形。二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例。知识点6三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理(1)相似三角形的等价关系：①反身性：对于任一有∽。②对称性：若∽'B'C'，则'B'C'∽。③传递性：若∽'B'C，且'B'C∽ABC，则∽ABC(2)或两边延长线相交，@初中生家长所构成的三角形与原三角形相似。定理的基本图形：用数学语言表述是：，知识点7三角形相似的判定方法∴ADE∽。1.定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似。2.平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线的三角形与原三角形相似。3.判定定理1么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。4.判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。@初中生家长简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。5.判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。6.判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用。(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边上的高，则AD=BD·DC，AB=BD·BC，AC=CD·BC。知识点8相似三角形常见的图形1.下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：(1)如图：@初中生家长称为“平行线型的相似三角形有“A型”与“X型图)(2)∠1=∠2△ADE∽△称为“斜交型”的相似三角形。有反A共角型、“反A共角共边型、“蝶型ADA1ECE4E1AD1DC22C2BBB(3)“垂直型”(有双垂直共角型”“双垂直共角共边型也称“射影定理型、“三垂直型(4)如图：∠1=∠2∠B=∠D△ADE∽△ABC“旋转型的相似三角形。2.几种基本图形的具体应用：(1)若DE∥型和X型，则△ADE∽△(2)射影定理若CD为Rt△斜边上的高(双直角图形)则Rt△ABC∽Rt△ACD∽△CBD且AC=AD·AB，CD=AD·BD，BC=BD·AB；(3)满足①AC=AD·AB，②∠ACD=∠B，③∠ACB=∠，都可判定△ADC∽△ACB。(4)当或AD·AB=AC·AE时，△ADE∽△ACB。@初中生家长知识点9：全等与相似的比较：三角形全等三角形相似相似判定的预备定理@初中生家长两角夹一边对应相等(ASA)两角一对边对应相等(AAS)两边及夹角对应相等(SAS)三边对应相等(SSS)两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例直角三角形中一直角边与斜边对应相等直角三角形中斜边与一直角边对应成(HL)比例知识点10相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例。(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。(3)相似三角形周长的比等于相似比。(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方。注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等。知识点11相似三角形中有关证解)题规律与辅助线作法1.证明四条线段成比例的常用方法：(1)线段成比例的定义(2)三角形相似的预备定理(3)利用相似三角形的性质(4)利用中间比等量代换(5)利用面积关系2.证明题常用方法归纳：(1)总体思路:“等积变比例”，比例找“相似”(2)找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，@初中生家长然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论。(3)即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三)转移”(或“替换替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换。即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。(4)通常是添加平行线构成比例。以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止。注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。@初中生家长平面直角坐标系中通常是作垂线即得平行线构造相似三角形或比例线段。(5)一份”看着k设公比”为k。(6)(或基本图形)“分离出来的办法处理。知识点12相似多边形的性质(1)相似多边形周长比，对应对角线的比都等于相似比。(2)相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比。(3)相似多边形面积比等于相似比的平方。注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和关键。知识点13位似图形有关的概念与性质及作法1.如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形。2.这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。注：(1)位似图形是相似图形的特例，@初中生家长位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点。(2)位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。(3)位似图形的对应边互相平行或共线。3.位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。注：位似图形具有相似图形的所有性质.4.画位似图形的一般步骤：(1)确定位似中心(位似中心可以是平面中任意一点)(2)分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长(或截取).(3)根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.(4)顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形。①②③④⑤注：①位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，或在图形上图形边上或顶点上。②外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为外位似”(即同向位似图形)③@初中生家长称为“内位似即反向位似图形)(4)k(k>0)，原图形上点的坐标为(xy)(kxky)，反向位似图形对应点的坐标为(-kx，-ky)经典例题透析类型一相似三角形的概念1.判断对错：(1)两个直角三角形一定相似吗？为什么？(2)两个等腰三角形一定相似吗？为什么？(3)两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？(4)两个等边三角形一定相似吗？为什么？(5)两个全等三角形一定相似吗？为什么？思路点拨：要说明两个三角形相似，@初中生家长要同时满足对应角相等，对应边成比例.要说明不相似，则只要否定其中的一个条件。解：(1)不一定相似。反例：直角三角形只确定一个直角，其他的两对角可能相等，也可能不相等。所以直角三角形不一定相似。(2)不一定相似。反例：等腰三角形中只有两边相等，而底边不固定.因此两个等腰三角形中有两边对应成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，所以等腰三角形不一定相似。(3)一定相似。在直角三角形与直角三角形A′B′C′中设AB=a，A′B′=b，则BC=a，B′C′=b，AC=a，A′C′=b∴∴ABC∽A′B′C′(4)一定相似。60等，对应边成比例，因此两个等边三角形一定相似。(5)一定相似。@初中生家长所以对应边比为1等三角形一定相似，且相似比为1。举一反三【变式1】两个相似比为1的相似三角形全等吗？解析：全等.因为这两个三角形相似，所以对应角相等。又相似比为1，所以对应边相等。因此这两个三角形全等。总结升华：由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不一定相似。(1)两个直角三角形，两个等腰三角形不一定相似。(2)两个等腰直角三角形，两个等边三角形一定相似。(3)两个全等三角形一定相似，且相似比为1；相似比为1的两个相似三角形全等.【变式2】下列能够相似的一组三角形为()A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形解析：根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应.而A不可知；B中什么条件都不满足；DC中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.类型二相似三角形的判定2.如图所示，已知中，E为延长线上的一点，AB=3BE，与BC相交于，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.思路点拨：由可知AB∥CD，∥BC，再根据平行线找相似三角形。解：∵四边形ABCD是平行四边形@初中生家长，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.∴△BEF∽△CDF∽△AED.∴当△BEF∽△CDF时，相似比；；当△BEF∽△AED时，相似比当△CDF∽△AED时，相似比.总结升华：本题中△BEF、△CDF、△AED都相似，共构成三对相似三角形.求相似比不仅要找准对应边，还需注意两个三角形的先后次序，若次序颠倒，则相似比成为原来的倒数。3.已知在△ABC中，∠C=90°AB=10BC=6.在△EDF中，∠F=90°DF=3，EF=4，则△ABC和△EDF相似吗？为什么？思路点拨：已知△ABC和△EDF勾股定理分别求出第三边AC和DE，@初中生家长再看三边是否对应成比例。解：在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°。由勾股定理得.在△DEF中，DF=3，EF=4，∠F=90°.由勾股定理，得.在△和△EDF中，，，，∴，∴△ABC∽△EDF(三边对应成比例，两三角形相似总结升华：(1)本题易错为只看3，6，4，10四条线段不成比例就判定两三角形不相似。利用三边判定两三角形相似，应看三角形的三边是否对应成比例，而不是两边。(2)本题也可以只求出AC的长，利用两组对应边的比相等，且夹角相等，判定两三角形相似@初中生家长。4.D在△ABC的边AB△ACD与△ABC相似？试分别加以列举.△ACD与△ABC已有公共角∠个条件即可。解：当满足以下三个条件之一时，△ACD∽△ABC.条件一：∠1=∠B.条件二：∠2=∠ACB.条件三：，即..在探索两个三角形相似时，用分析法，可先假设△ACD∽△ABC，然后寻找两个三角形中边的关系或角的关系即可.本题易错为出现条件四：最小化原则，因为条件三能使问题成立，@初中生家长所以出现条件四是错误的。举一反三【变式1ABCD中，P是BP=3PCQ是的中点。求证：△∽△QCP。△ADQ与△QCPAQ与PQABCDQ是CDBP=3PC@初中生家长所以可用对应边成比例夹角相等的方法来判定。具体证明过程如下：证明：在正方形ABCD中，∵Q是CD的中点，∴∵=3，∴又∵BC=2DQ，∴在△和△QCP中，∴△∽△QCP。=，∠C=∠D=90°，内一点P，求证：【变式2】如图，弦和弦CD相交于.思路点拨：题目中求证的是等积式，我们可以转化为比例式，从而找到应证哪两个三角形相似.同时圆当中同弧或等弧所对的圆周角相等要会灵活应用.证明：连接在，.∴∴∽.【变式3】已知：如图，是△的高，E、F分别是、的中点。求证：△DFE∽△ABC。思路点拨：EF为△的中位线，BC和都是直角三角形斜DE=ABDF=AC@初中生家长因此考虑用三边对应成比例的两个三角形相似。证明：在△ABD中，DE为斜边AB上的中线，∴DE=，即=。同理=。∵EF为△的中位线，∴BC，即=。∴==。∴△DFE∽△ABC。总结升华：∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠∠∠BAC证夹这个角的两边成比例，即=，也可证明∠FED=∠EDB=∠B，同理∠EFD=∠FDC=∠C，都可以证出△DEF∽△ABC。类型三相似三角形的性质5.△ABC∽△DEF△ABC的边长分别为5cm6cm7cm4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由。思路点拨：@初中生家长因没有说明长4cm的线段是△DEF的最大边或最小边，因此需分三种情况进行讨论。解：设另两边长是xcm，ycm，且(1)当△DEF中长4cm线段与△中长5cm线段是对应边时，有，从而x=cm，cm.(2)当△DEF中长4cm线段与△中长6cm线段是对应边时，有从而x=cm，cm.，，(3)当△DEF中长4cm线段与△中长7cm线段是对应边时，有从而x=cm，cm.综上所述，△DEF的另外两边的长度应是cm，或cm，或cm，三种可能。总结升华：一定要深刻理解“对应”，若题中没有给出图形，要特别注意是否有图形的分类。6.如图所示，已知△中，是高，矩形内接于△中，且长边在12BC=30cmAD=10cm.求矩形EFGH的面积.思路点拨：利用已知条件及相似三角形的判定方法及性质求出矩形的长和宽，从而求出矩形的面积@初中生家长。解：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC.∵AD⊥BC，∴⊥EH，∵矩形两邻边之比为1：2，设EF=xcm，则EH=2xcm.由相似三角形对应高的比等于相似比，得，∴，∴，.∴EF=6cm，EH=12cm.∴.总结升华：解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相似三角形对应高的比等于相似比和“面积比等于相似比的平方没有高可以先作出高@初中生家长。举一反三【变式1△ABC中，DE∥BCM为DE中点，CM交AB于，求.解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC∴∵M为中点，∴∵DM∥，∴△NDM∽△∴∴=1：2.“AD与AB的比和要求的线段ND与NB的比分别在这两个“字形，@初中生家长利用M为DE中点的条件将条件由一个“字形转化到另一个“字形，从而解决问题。类型四相似三角形的应用7.如图，我们想要测量河两岸相对应两点、B之间的距离即河宽，你有什么方法？方案1：如上左图，构造全等三角形，测量CD，得到AB=CD，得到河宽.方案2：思路点拨：这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条。如上右图，先从B点出发与成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到CC处转90°CD方向再走17m到达D处，使得、、D在同一条直线上。那么A、B之间的距离是多少？解：∵AB⊥BC，CD⊥∴∠ABO=∠DCO=90°又∵∠AOB=∠∴△AOB∽△∴∵BO=50m，CO=10m，CD=17m∴AB=85m答：河宽为85m。2利用了“”“型基本图形，借助相似；@初中生家长也可用等腰三角形等等。举一反三【变式1】如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18m，已知小明的身高是1.6，他的影长是2m。(1)图中△与△是否相似?为什么?(2)求古塔的高度。解：(1)△ABC∽△ADE。∵BC⊥AE，DE⊥∴∠ACB=∠AED=90°∵∠∠A∴△ABC∽△(2)由(1)得△ABC∽△∴∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m∴∴DE=16m答：古塔的高度为16m.【变式2】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE。@初中生家长亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC？AD//BE⊥交于则比例关系求出BC.解：作⊥交于因为∥，所以又因为，所以，所以.因为AB∥，∥BEEF=AB=1.8m.所以类型五相似三角形的周长与面积8.已知：如图，在△与△CAD中，∥BC，CD与相交于E点，且AE︰EB=1︰2EF∥交于F点，△的面积为1△BCE和△AEF的面积。思路点拨：利用△ADE∽△BCE，以及其他有关的已知条件，可以求出△BCE的面积。△ABC的边AB上的高也是△BCEAB︰BE=3︰2△ABC的面积。@初中生家长最后利用△AEF∽△ABC△AEF的面积。解：∵DA∥BC，∴△ADE∽△BCE。∴△︰S△=AE︰BE。∵AE︰BE=1︰2，∴△︰S△=1︰4。∵△=1，∴△=4。∵△︰S△=AB︰BE=3︰2，∴△=6。∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC。∵AE︰AB=1︰3，∴△︰S△︰AB=1︰9。∴△==。总结升华：注意，同底(或等底)三角形的面积比等于这底上的高的比；同高(或等高)三角形的面积比等于对应底边的比。@初中生家长当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方。举一反三【变式11∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.解：设原地块为△ABC，地块在甲图上为△ABC，在乙图上为△ABC.111222∴△ABC∽△ABC∽△ABC111222且，，∴，∴.【变式2△中，AB=5BC=3AC=4PQ//ABP点在上与点、C不重合