教学课件1-《等比数列的前n项和》

等比数列的前n项和上节课我们学习了等比数列的有关知识，现在请同学们首先回顾一下等比数列的有关内容：在等比数列中，公比q是不能为0的。那它能为1吗？若能，则是一个什么数列?定义式等

比

数

列通项公式

q

(n≥2，q≠0)an=

a1qn-1

(a1≠0且q≠0）即：…=

q(n≥2，q≠0)

传说古代印度有一国王喜爱国际象棋，中国智者云游到此，国王得知智者棋艺高超，于是派人请来智者与其对弈，并傲慢地说：“如果你赢了我将答应你的任何要求。”智者心想，我应该治一治国王的傲慢，当国王输棋后，智者说：“陛下只须派人用麦粒填满象棋盘上的所有空格，第1格1粒，第2格2粒，第3格4粒，……依此下去，以后每格是前一格粒数的2倍。”国王听后：哈哈大笑，这个问题也太简单了罢！于是国王吩咐手下马上去办，可是过了好多天，手下惊慌地报到国王，大事不好了，即使我们印度近几十年来生产的所有麦子加起来也还不够啊！国王呆了！即求：

+++++=?1212223263…

分析：由等比数列的通项公式可知，任一项皆可用首项及公比来表示，因此上式可变为：如果将等式①两边同乘q，则得到一个新的等式

我们注意观察相邻两项的结构，有何特点？提出问题：已知等比数列{an}，公比为q，

求

Sn=a1+a2+…+an

Sn

=a1+a1q+a1q2+…+a1qn—1 ①qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn

②从第二项起，每一项为前一项的q倍Sn=a1+a2+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1……①qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn……②①

-

②得Sn-qSn=a1-a1qn(1-q)Sn=a1-a1qn

⑴当q≠1时

⑵当q=1时Sn=Sn=na1即：当q≠1时

Snan=

a1qn-1以上推导公式的方法我们称之为“错位相减法”

等比数列的前n项和公式可不只有上面这种方法啊！它的推导方法还有好多种,有兴趣的同学可别忘了下去研究啊！等比数列的前n项和公式为：以下问题你能回答吗？①公式中的qn的n是项数n吗？是②在公式（1）中，当q≠1时，分母是1－q时，分子是，分母是q－1时，分子是

。当公比q不确定时，应当分q=1和q≠1两种情况讨论。练习：①等比数列1，21，22，23，…，263的所有项的和是（

）

A.264B.263－1C.264＋1D.264－1

②数列a，a2，a3，…，an的前n项和为（）

A.B.0C.nD.以上都不对③等比数列，，，…

前8项和为_____________DD264-1，这个数很大,超过了1.84×1019,假定千粒麦子的质量为40g，则填满棋盘所需麦粒的总质量约为7000亿吨。++++=?“

，，”………一尺之棰日取其半万世不竭n天之后取得的木棒的总长呢？1n天之后，我们总共取的木棒长度为：Sn=例1：远望巍巍塔七层，分析：这首古诗前三句给大家展现了一幅美丽的夜景，最后一句把它变成了一个数学问题？你能用今天的知识求出这首古诗的答案吗？

红光点点倍加增，其灯三百八十一，请问尖头几盏灯？这首古诗的答案是什么？？解：设尖头有灯a1盏，则由题意得：

S7=

解得

a1

=3，故尖头有灯3盏

数学建模：已知等比数列，公比q=2n=7，S7=381求a1

通过上面例题与习题的求解，可以看出，在公式中涉及到了五个量，我们只要知道其中的三个量，利用等比数列的通项公式，及等比数列的前n项和公式就可以求出另外两个量。即“知三求二”。

例2：求和：

Sn=分析：上面各括号内的式子均由两项组成，其中各括号内的前一项与后一项分别组成等比数列。分别求这两个等比数列的和，就能得到所求式子的和。

Sn==（x+x2+…+xn）+()

==解:∵引申：（1）当把x≠1这个条件去掉时，上式该如何求和呢？（2）当把x≠1，y≠1这两个条件去掉时，上式又该如何求和呢？Sn=分析：应该分x=1和x≠1两种情况讨论分析：应该分①x=1，y=1②x=1，y≠