《电路应用基础》课件第5章

第5章谐振电路5.1串联谐振

5.2串联谐振电路的频率特性

5.3串联谐振电路的通频带

5.4并联谐振

5.5并联谐振电路的频率特性和通频带应用与训练本章小结习题五由于谐振是频率选择的基础，因此电路中的谐振对于某些类型的电子系统的工作，特别是通信领域的电子系统的工作而言尤为重要。例如，收音机或者电视机接收器选台的能力(选择某个电台的发射频率，同时屏蔽其他电台的频率)就是基于谐振原理的。

本章主要分析串联谐振电路和并联谐振电路的谐振条件、特征和频率特性。要充分理解谐振、谐振阻抗、品质因数、通频带的概念，掌握串联、并联谐振电路的工作特点，能熟练掌握基本谐振电路的分析计算方法。

学习任务：

(1)谐振的概念；

(2)串联谐振的条件；

(3)串联谐振的特征。

获取能力：

(1)掌握谐振的概念，以及串联谐振发生的条件，会通过调节L或C的大小来获得所需频率。

(2)理解电路发生串联谐振时的特征，会计算谐振电路的各种参数。5.1串联谐振

图5-1-1串联谐振电路所谓谐振(reronantce)，是指含电容和电感元件的线性无源二端网络对某一频率的正弦激励(达稳态时)所表现的端口电压与电流同相的现象。能发生谐振的电路称为谐振电路。谐振电路又分为串联谐振电路和并联谐振电路。本节讨论串联谐振电路。

串联谐振电路由电感线圈和电容器串联组成，其电路模型如图5-1-1所示。其中，R和L分别为线圈的电阻和电感，C为电容器的电容。在角频率为w的正弦电压作用下，该电路的复阻抗为

式中，感抗XL＝wL；容抗 ；电抗X＝XL－

XC及阻抗角

均为电源角频率w的函数。5.1.1串联谐振的条件

谐振时和同相，即y＝0，所有电路谐振时应满足

(5-1-2)5.1.2串联谐振的频率及电路的固有频率

当电源角频率w＝w0(或f＝f0)时，电路发生串联谐振，由式(5-1-2)得

(5-1-3)

上式说明，R、L、C串联电路谐振时w0(或f0)仅取决于电路参数L和C，当L、C一定时，w0(或f0)也随之而定，故称w0(或f0)为电路的固有频率。对于给定的R、L、C串联电路，当电源角频率等于电路的固有角频率时，电路发生谐振。

若电源频率w一定，要使电路谐振，可以通过改变电路参数L或C，以改变电路的固有频率w。使w＝w0时电路谐振。调节L或C使电路发生谐振的过程称为调谐。由谐振条件可知，调节L或C使电路谐振，电感元件与电容元件的关系为

(5-1-4)5.1.3串联谐振的特征

1．串联谐振时的阻抗及电路的特性阻抗

串联谐振时电路的电抗X＝0，因而电路的复阻抗

Z＝Z0＝R＋jX＝R

(5-1-5)

因此，串联谐振时，阻抗最小且为纯阻抗，而感抗和容抗分别为

(5-1-6)

(5-1-7)

(5-1-8)

其中，r称为电路的特性阻抗，单位为W，r的大小仅取决于L和C。式(5-1-8)说明谐振时感抗和容抗相等，并且等于电路的特性阻抗r。

2．谐振时的电流

串联电路谐振时，电路的复阻抗为纯电阻Z0＝R，若设端口正弦电压为(见图5-1-1)，则电路中的电流

(5-1-9)

与端口电压相同，其大小关系为

此时电流I0最大。

3．串联谐振时的电压及电路的品质因数

(1)电阻上的电压：

(5-1-10)

可见，串联谐振时电阻上的电压等于端口电压(即电源电压)。

(2)电感电压和电容电压：

(5-1-11)

(5-1-12)

其中

(5-1-13)

Q称为电路的品质因数。在实际电路中，Q值比较大(几十到几百)，所以串联谐振时，电感和电容上的电压往往高出电源电压很多倍(

)，因此串联电路也称为电压谐振。在实际应用中，应注意这一现象。

图5-1-2串联谐振时的电压、电流相量图

(3)串联谐振时，端口电压和电流的相量图如图5-1-2所示，从相量图可以看出电路中各电压间的关系为

4.串联谐振时的功率

串联电路谐振时，因为y＝0，所以电路的无功功率为零，即

Q＝QL－QC＝UsIsiny＝0

上式说明，谐振时电感和电容之间进行着能量的相互交换，而与电源之间无能量交换，电源只向电阻提供能量。

例5-1-1

图5-1-1所示电路中，R＝10W，L＝50mH，C＝200PF，求电路的谐振频率f0、特性阻抗r和品质因数Q；若电源电压Us＝1ｍV，求谐振时电路中的电流和电容两端的电压。

解由式(5-1-3)得

由式(5-1-7)得

由式(5-1-13)得

谐振时的电流为

谐振时的电容电压可由式(5-1-11)求得

UC0＝QUs＝50×1×10－3＝0.05V

或

UC0＝XC0I0＝rI0＝500×0.1×10－3＝0.05V

例5-1-2收音机的调谐回路由接收线圈和可变电容器串联组成，回路对于线圈中感应的电台信号可等效为R、L、C串联电路，见图5-1-3。若线圈电阻R＝20W，电感L＝250mH，当调节可变电容器收听到720kHz中央台的广播时，电容量为多大？电路的品质因数为多少？

图5-1-3例5-1-2用图

解由题意知电路的固有频率f0＝720×103Hz，由式(5-1-4)可得

由式(5-1-13)得

5-1-1串联谐振有哪些特点？为什么串联谐振又叫电压谐振？

5-1-2已知RLC串联电路中，R＝5W，L＝5ｍH，C＝2mF，则该串联谐振电路的固有谐振频率为多少？谐振的阻抗为多少？思考与练习

学习任务：

(1)串联谐振电路的幅频特性、相频特性；

(2)串联谐振电路的选频特性。5.2串联谐振电路的频率特性

获取能力：

(1)掌握串联谐振电路阻抗和导纳的频率特性，即理解幅频特性和相频特性；

(2)理解并掌握串联谐振电路选择所需频率信号的能力特性。

在RLC串联电路中，当外加电源电压的频率发生变化时，电路中的电流、电压、阻抗、导纳等都将随频率的变化而变化，这种随频率的变化关系称为频率特性，其中电流、电压与频率的关系曲线称为谐振曲线。5.2.1阻抗和导纳的频率特性

当电源频率变化时，串联谐振电路的复阻抗Z随频率变化，其中复阻抗的模值随频率的变化称为幅频特性，阻抗角随频率的变化称为相频特性，其特性曲线如图5-2-1(a)、(b)所示。

图5-2-1串联谐振电路复阻抗的频率特性曲线根据 ，可类似地画出复导纳的模值随频率变化的曲线，称为复导纳的幅频特性曲线，如图5-2-2所示。

图5-2-2串联谐振电路的电流谐振曲线5.2.2电流的谐振曲线

在串联电路中，回路电流

其模值为

(5-2-1)

由式(5-2-1)可知，由于Y随w变化，所以I也随w变化，电流的谐振曲线如图5-2-2所示。由曲线分析可知，在w＝w0时，回路中的电流最大，若w偏离w0，电流将减小，即远离w0的频率，回路产生的电流很小。这说明串联谐振电路具有选择所需频率信号的能力，即可通过调谐选出w0点附近的信号，同时对远离w0点的信号给予抑制。因此，串联谐振电路在实际电路中常作为选频电路。下面讨论当外加电压Us且电路参数L、C均不变时，以w／w0(或f／f0)为横坐标，I／I0为纵坐标，绘出不同Q值的回路电流的谐振曲线，如图5-2-2所示。从图5-2-2所示曲线可看出：Q值越大，谐振曲线越尖锐，回路的选择性越好；相反地，若Q值越小，则曲线越平坦，回路的选择性越差。下面再讨论回路电流的大小关系：

(5-2-2)

在实际应用中，回路的Q值一般满足Q≥1，因此电流的谐振曲线较尖锐。当信号频率w远离w0时，回路电流已经很小，即远离w0的信号对电路的影响可以忽略，此时只考虑w接近w0时的情况，认为w＋w0≈2w，则式(5-2-2)可简化为

(5-2-3)

式中，Δf＝f－f0是频率离开谐振点的绝对值，称为绝对失调，称为相对失调。

5-2-1串联谐振有哪些特点？为什么串联谐振又叫电压谐振？

5-2-2什么是选频特性？品质因数怎样影响谐振曲线的形状和电路的选频特性？

5-2-3已知R、L、C串联电路中，R＝5W，L＝5ｍH，C＝2mF，则该串联谐振电路的固有谐振频率为多少？谐振的阻抗为多少？思考与练习

学习任务：

(1)幅频失真和通频带；

(2)通频带与品质因数。

获取能力：

(1)理解幅频失真和通频带的概念；

(2)掌握通频带与品质因数的关系。5.3串联谐振电路的通频带5.3.1幅频失真和通频带

实际信号一般都含有多种频率成分而占有一定的频率范围，或者说占有一定的频带。例如，无线电调幅广播电台信号的频带宽度为9kHz，调频广播电台信号的频带宽度为200kHz。当实际信号电压作用于串联谐振电路时，由于电路的选频作用，电路中的电流和各元件的电压不可能保持实际信号中各频率成分振幅之间原有的比例，其中偏离谐振频率的成分会受到不同程度的抑制而被相对削弱，这种情况称为幅频失真。假设串联谐振电路的输入信号电压中含有振幅相等的几种不同频率成分，则由图5-2-2不难看出，电路的电流中这些频率成分的振幅是不可能相等的，即电流将产生幅频失真。电流谐振曲线的形状愈尖锐，即电路的Q值愈高，选择性愈好，即选用Q值较高的谐振回路有利于从众多的信号中选择所需的频率信号，抑制其他信号的干扰。

图5-3-1串联谐振电路的通频带为了限制信号的幅频失真，就要求电路对信号所包含的各种频率成分都不要过分抑制，或者说要求电路容许一定频率范围的信号通过，这个一定的频率范围称为电路的通频带。一般规定：在电路的电流谐振曲线上，I/I0不小于1/的频率范围为电路的通频带，用BW表示。图5-3-1中f1－f2之间的频率范围即为某电路的通频带，其中，f2和f1分别称为通频带的上边界频率和下边界频率。只要选择电路的通频带大于或等于信号的频带，使信号的频带落在电路的上、下边界频率之间，那么，由电路的选频作用引起的幅频失真就被认为是允许的，即

BW＝f2－f1＝(f2－f0)＋(f0－f1)≈Δf＋Δf＝2Δf5.3.2通频带与品质因数的关系

由通频带的定义可知，在通频带的边界频率上，有

当Q≥1时，有

则

可得到

(5-3-1)

上式表明，串联谐振电路的通频带BW与电路的品质因数Q成反比，Q值越大，谐振曲线越尖锐，通频带越窄，回路的选择性越好；相反，Q值越小，通频带宽了，回路的选择性越差。因此，在实际应用中，应根据需要适当选择BW和Q的取值。

例5-3-1

串联谐振电路谐振于770kHz，已知电路的电阻R＝10W，若要求电路的通频带BW＝10kHz，则电路的品质因数是多少？电路的参数L和C分别为何值？

解因为

所以

5-3-1什么是幅频失真？什么是通频带？谐振电路的通频带是如何规定的？

5-3-2谐振电路的通频带和品质因数有怎样的关系?

思考与练习

学习任务：

(1)并联谐振的条件；

(2)并联谐振的特征。5.4并联谐振

获取能力：

(1)能准确计算发生并联谐振时的频率和角频率；

(2)掌握发生并联谐振时的阻抗及电压、电流特征。

并联谐振电路由电感线圈和电容器并联组成。图5-4-1为并联谐振电路的模型，其中R和L分别为电感线圈的电阻和电感，C为电容器的电容。为了便于将并联谐振电路同串联谐振电路进行比较，对并联谐振电路定义其固有频率、特性阻抗和品质因数分别为

5.4.1并联谐振的条件

由图5-4-1所示电路可得电路的复导纳为

(5-4-1)

图5-4-1并联谐振电路

并联谐振时，端口电压与电流同相，此时电路表现为纯阻性，电路的电纳为零，即复导纳的虚部为零，则并联谐振的条件为

即

(5-4-2)

在实际电路中，由于均满足Q>>1的条件w0L>>R，式(5-4-2)可简化为

因此，当Q>>1时，并联谐振电路发生谐振时的角频率和频率分别为

调节L、C的参数值或者改变电源频率，均可使并联电路发生谐振。(5-4-3)5.4.2并联谐振的特征

1.谐振阻抗

并联谐振时，回路阻抗为纯电阻，端口电压与总电流同相，在Q>>1时，电路阻抗为最大值，电路导纳为最小值。谐振阻抗的模值记作|Z0|，得

(5-4-4)

在电子技术中，因为Q>>1，所以并联谐振电路的谐振阻抗很大，一般在几十千欧至几百千欧之间。

2．并联谐振时电路的端电压

若并联谐振电路外接电流源，如图5-4-2所示，则谐振时电路的端口电压为

由于谐振时电路的阻抗接近最大值，因而在电流源激励下电路两端的电压最大。

3．并联谐振时电路的电流

在图5-4-2所示电路中，设谐振时回路的端电压为，则

电感和电容支路的电流分别为

(5-4-5)

上式表明，并联谐振时，在Q>>1的条件下，电容支路电流和电感支路电流的大小近似相等，是总电流I0的Q倍，所以并联谐振又称为电流谐振，而它们的相位接近相反，其电压和电流的相量图如图5-4-3所示。

图5-4-2并联谐振电路外接电流源图5-4-3并联谐振的相量图

例5-4-1

电路如图5-4-2所示，已知电路参数R＝10W，L＝0.01H，C＝0.01mF，求电路的品质因数Q、并联谐振频率f0和谐振阻抗|Z0|；若电流源的电流Is＝1ｍＡ，求并联谐振时各支路的电流和电路两端的电压。

解

5-4-1并联谐振的频率与固有频率有怎样的关系？

5-4-2并联谐振有哪些特点？为什么并联谐振又叫做电流谐振？

思考与练习

学习任务：

(1)并联谐振电路的频率特性；

(2)并联谐振电路的通频带；

(3)电源内阻对通频带的影响。5.5并联谐振电路的频率特性和通频带

获取能力：

(1)理解并联谐振电路的幅频和相频特征；

(2)掌握并联谐振电路的通频带与选择性之间的关系；

(3)了解电源内阻对通频带的影响。5.5.1并联谐振电路的频率特性

并联谐振电路的幅频特性曲线和相频特性曲线如图5-5-1所示，信号源用电流源表示，假设内阻Rs为无穷大。

在Q>>1的条件下，电路在某一频率f下的回路端电压

和谐振时的端电压分别为

图5-5-1并联谐振电路的电压幅频特性曲线和相频特性曲线

它们的有效值之比为

(5-5-1)

(5-5-2)式(5-5-1)和式(5-5-2)分别为并联谐振回路的电压幅频特性曲线方程和相频特性曲线方程，它们的波形图分别如图5-5-1(a)、(b)所示。

并联谐振电路的电压幅频特性曲线与串联谐振电路的电流幅频特性曲线具有相同的形状，Q值愈大，曲线愈尖锐，选择性愈好。

相频特性曲线用来说明信号通过谐振回路产生的相位失真。实验表明，相频特性曲线在w0点附近愈接近直线，产生的相位失真愈小，由图5-5-1可知，Q值愈大，相位失真愈小。

式(5-5-1)在Q<<1的条件下，且w接近w0时，可进一步简化为

(5-5-3)5.5.2并联谐振电路的通频带

并联谐振电路的通频带的定义和串联谐振电路相同，一般规定：在电路的电压谐振曲线上

的范围称为该回路的通频带，用BW表示。在式(5-5-3)中，令

，可得并联谐振回路的通频带为

(5-5-4)

因此，并联谐振电路同样存在通频带与选择性之间的矛盾，应根据需要选择参数。例如，电视机在接收某频道射频信号时，其接收信号部分即要有较宽的通频带(8MHz)

，又要选择性好(抑制相邻频道信号)。5.5.3电源内阻对通频带的影响

从图5-5-2可知，如果考虑电源(信号源)内阻，电源内阻对并联谐振电路具有分流作用，当Rs很小时，分流较大，则流到并联谐振回路的电流很小，使得并联谐振回路的端电压随回路阻抗的变化很小，因而导致电压谐振曲线变得较平坦，Q值降低，且Rs越小，曲线越平坦，通频带越宽，选择性越差。在理想情况下，Rs很大，对并联谐振电路的影响可以忽略不计。

图5-5-2信号源内阻与并联谐振电路连接

例5-5-1

如图5-5-2所示的并联谐振电路，已知Us＝100V，R＝10W，L＝0.25ｍH，C＝100PF，求电路谐振时的角频率w0、品质因数Q、谐振阻抗|Z0|、谐振时的电流I0、支路电流IL0和IC0、通频带BW各为多少。

解

5-5-1试比较并联谐振与串联谐振电路特性。

5-5-2图5-5-2中，电阻R发生变化对谐振电路有何影响？

思考与练习麦克斯韦(JamesClerkMaxwel，1831—1879年)，英国物理学家。1862年他发表了论文《论物理力线》，不但进一步发展了法拉第的思想，扩充到磁场变化产生电场，而且得到了新的结果：电场变化产生磁场，由此预言了电磁波的存在，并证明了这种波的速度等于光速，揭示了光的电磁本质。1873年他出版的《电学和磁学论》一书是集电磁学大成的划时代著作，全面地总结了19世纪中叶以前对电磁现象的研究成果，建立了完整的电磁理论体系。这是一部可以同牛顿的《自然哲学的数学原理》、达尔文的《物种起源》和赖尔的《地质学原理》相媲美的里程碑式的著作。

谐振电路和滤波器的应用非常广泛，特别在电子学、电源系统和通信系统中。例如，截止频率高于60Hz的陷波器可以用来消除各种通信电路中的60Hz电源线噪声①。在通信系统中，要从一大堆同一频率范围内的信号中选出所要求的信号就必须对信号作滤波处理，滤波也能使噪声和干扰对所需信号的影响减到最小。这里考虑谐振电路和滤波器的两个应用问题，对每个应用的注意点应该放在所述的电路如何应用于实际设备上，而不是探求每种设备具体是如何工作的。应用与训练①该例是以美国电源工频60Hz为例。

1.电视接收机中的信号接收和分离

一个标准广播波段的电视接收机必须处理视频(图像)信号和声频(声音)信号。每个电视发射台分配6MHz的带宽。例如，2频道的带宽分配为54～59MHz，3频道的带宽分配为60～65MHz，一直到13频道，其频带为210～215MHz。我们可以通过使用调谐放大器调整电视接收机的前端，以选择这些频道中的一个。而无论需要调谐的频道是哪一个，接收机前端的信号输出的带宽均为41～46MHz。这个频带称为中频(IF)，包含视频信号和声频信号。调整至IF频带的放大器先放大信号，再将信号输入视频放大器。视频放大器的输出应当用在阴极射线管之前，声频信号由4.5MHz的带阻滤波器(称为陷波器)滤波，如附图5.1所示。视频放大器的输出也输入到带通电路，此带通电路调整至声频载波频率即4.5MHz，如附图5.1所示。然后声音信号经过处理，并输入到扬声器。

附图5.1表明滤波器用途的电视接收机的简化部分

2.超外差式收音机

滤波器应用的另一个很好的例子是普通AM(调幅)收音机。AM广播波段的范围为535～1605kHz，每个AM电台都将分配到这个频率范围内的某个狭窄的带宽。超外差式AM收音机的简化框图如附图5.2所示。

接收机的前端主要有三个并联的谐振带通滤波器。每个滤波器都是由电容器连动调谐的。也就是说，这些电容器是机械的或电子的连接在一起，使选台时可以一块变化。前端可以调谐来接收所期望的电台，例如在600kHz发射的信号。来自天线的输入滤波器和RF(无线电频率)放大器从天线接收到的所有频率中过滤，仅选择出大小为600kHz的频率。

附图5.2超外差式AM广播收音机的简化框图实际的声频信号是通过调制载波的振幅使载波的振幅显示出跟随声音信号的变化，再由600kHz的载波频率传输的。载波振幅相应于声频信号的变化称为包络。将600kHz的载波信号输入到电路中称为混频。

本机振荡器(LO)调谐至高于选频455kHz的频率(这种情况下是1055kHz)，通过外差法或差频法信号处理，AM信号与本机振荡器信号相互混频，从而使600kHz的AM信号转换为455kHz的AM信号(1055－600＝455kHz)。对于标准的AM收音机而言，455kHz为中频(IF)。无论选择广播频带中的哪一个电台，总是将其频率转换为455kHz的中频(IF)。调幅中频被应用至声频检波器后移除了中频，仅余下包络信号或声频信号。然后声频信号被放大，输出到扬声器。

【训练】

1.附图5.3所示电路为调谐放大器的原理图，读者可自行读图分析它是如何从较宽频率范围的信号获得放大后的较窄范围的频率的。

2.附图5.4所示为接收机的选频原理图，读者可自行读图分析它是如何从众多的信号中选出所需频率并放大信号的。

附图5.3基本的调谐带通放大器附图5.4来自天线的谐振耦合

一、串联谐振电路和并联谐振电路的比较

串联和并联谐振电路定义固有频率、特性阻抗和品质因数分别为

串联和并联谐振电路的特点列表比较如下：本章小结

二、并联谐振电路复阻抗的相频特性

反映了电路的电压与电流的相位差随频率的变化情况。电路的Q值愈高，相频特性曲线在谐振频率f0附近的斜率愈陡，愈容易发生相移。

三、双电感或双电容并联谐振电路

双电感或双电容并联谐振电路的固有频率、特性阻抗和品质因数分别为

其中R＝R1＋R2，对双电感电路，L＝L1＋L2；对双电容电路，

。由R、L、C组成的简单并联谐振电路的谐振阻抗则为

当Q>>1时，双电感或双电容并联谐振频率为wp≈w0。

5-1收音机的输入调谐回路可等效为R、L、C串联电路。若其电阻R＝25W，电感L＝300mH，当