《电工基础及测量》课件第5章

第5章非正弦周期电流电路5.1非正弦周期电流电路5.2非正弦周期电流电路的有效值、平均值和平均功率5.3非正弦周期电流电路的计算习题 5.1非正弦周期电流电路

5.1.1非正弦周期信号

在生产实践和科学实验中，通常会遇到按非正弦规律变化的电源和信号。例如，在电力工程中，交流发电机发出的电压波形实际上是一种近似正弦波，如图5-1所示。电子线路中的信号源的电压很多情况下也是非正弦的。例如，收音机天线同时接收几个不同频率的正弦信号，他们叠加起来却是非正弦信号；计算机、自动控制等技术领域内大量应用的脉冲电路中，电压和电流的波形是脉冲波、方波，电子示波器中扫描电压的波形是锯齿波；在无线电工程和其他电子工程中，由语音、音乐、图像转换过来的电信号也是非正弦信号。常见的非正弦波形，如图5-2所示。图5-1交流发电机发出的电压波形图5-2非正弦波形图5.1.2非正弦周期函数分解为傅里叶级数

从高等数学中知道，凡是满足狄里赫利条件的周期函数可分解为傅里叶级数。在电工技术中所遇到的周期函数通常都满足这个条件，因此都可以分解为傅里叶级数。

设f(t)为一个非正弦周期函数，其周期为T，角频率

则f(t)的傅里叶级数展开式为

式中，a0为f(t)的直流分量；akcoskwt为余弦项，bksinkwt为正弦项；a0、ak、bk为傅里叶系数。(5-1)傅里叶系数(a0、ak、bk)的计算公式如下:

可见，将周期函数分解为傅里叶级数，实质上就是计算傅里叶系数a0、ak、bk。若把式(5-1)中同频率的正弦项与余弦项合并，就可以得到傅里叶级数的另一种常用表达方式:(5-2)

式(5-2)与(5-3)要满足下列关系：(5-4)(5-3)式(5-3)中，A0是不随时间变化的常数，称为f(t)的直流分量或恒定分量，它就是f(t)在第一个周期内的平均值；第二项A1msin(wt+q1)，其周期或频率与原函数f(t)的周期或频率相同，称为基波或一次谐波；其余各项的频率为基波频率的整数倍，分别为二次、三次、…、k次谐波，统称为高次谐波，k为奇数的谐波称为奇次谐波，k为偶数的谐波为偶次谐波。

将一个非正弦周期函数f(t)分解为直流分量和无穷多个频率不同的谐波分量之和，称为谐波分析。此谐波分析可利用式(5-1)～(5-4)进行，实际工程中很少用这种计算方法，而是直接查有关资料中的相关表格，对照其波形直接查出展开式。电工技术中常见的几种周期函数波形及其傅里叶级数展开式如表5-1所示。

由于傅里叶级数通常收敛很快，所以在工程实际中，对非正弦信号进行谐波分析时，只取其傅里叶级数展开式的前几项就能满足其准确度的要求，所取项数的多少，应根据波形情况和所需要计算的精确度来决定。表5-1几种周期函数

例5-1求图5-3所示矩形波的傅里叶级数。

解图示周期函数在一个周期内的表达式为

根据式(5-2)得图5-3例5-3图

当k为奇数时，coskp=－1，；当k为偶数时，coskp=1，bk=0。

由此可知，该函数的傅里叶级数表达式为

可见，其傅里叶级数收敛很快，在实际分析时只取前几项，计算结果就已经满足实际工程要求了。

5.2非正弦周期电流电路的

有效值、平均值和平均功率

5.2.1有效值

一个非正弦周期量的有效值，根据周期量有效值的定义，等于其方均根值。

设一个非正弦周期电流i的傅里叶级数表达式为则该电流i(t)有效值应为

同理，可得

所以可以得到，非正弦周期量的有效值等于直流分量的平方与各次谐波有效值的平方和的平方根。(5-6)(5-5)

例5-2有一非正弦周期电压

求电压的有效值。

解根据式(5-6)，可得非正弦周期电压的有效值为

5.2.2平均值

在实际工程中，不仅用到有效值，还用到平均值。在高等数学中，对于函数f(t)的平均值的定义为然而，对于一个非正弦周期量f(t)的傅里叶级数展开式中直流分量为零，仅剩下正弦变化的周期分量，平均值总为零。但为了便于测量与分析，一般定义周期量的平均值为它的绝对值的平均值。

在任意一个周期T的时间内，非正弦周期量A(t)平均值的定义为

(5-7)例如，当i(t)=Imsinωt时，其平均值为

5.2.3平均功率

非正弦周期电路中的平均功率为瞬时功率在一个周期内的平均值。其定义为

与求非正弦周期量有效值时的积分类似，不同频率电压电流乘积的积分为零，同频率电压电流乘积的积分不为零。可得

即非正弦周期电路的平均功率等于各次谐波的平均功率之和(包括直流分量U0I0)。(5-8)同理，非正弦周期电路的无功功率等于各次谐波的无功功率之和，即

非正弦周期电路的视在功率则定义为

应当注意：视在功率不等于各次谐波的视在功率之和。

非正弦周期电路的功率因数则定义为(5-9)(5-10)(5-11)

例5-3已知某电路的电压、电流分别为

求该电路的平均功率、无功功率和视在功率。

解平均功率为

无功功率为视在功率为 5.3非正弦周期电流电路的计算

非正弦周期电流电路的分析计算方法，主要是利用傅里叶级数将非正弦周期激励信号分解成恒定分量和不同频率的正弦量之和，然后分别计算恒定分量和各频率正弦量单独作用下电路的响应，最后利用线性电路的叠加原理，就可以得到电路的实际响应。这种分析电路的方法称为谐波分析法。其分析电路的一般步骤如下：

(1)将给定的非正弦周期激励信号分解为傅里叶级数，并根据计算精度的要求，取有限项高次谐波。

(2)分别计算各次谐波单独作用下电路的响应。计算方法与直流电路及正弦交流电路的计算方法完全相同。对直流分量，电感元件相当于短路，电容元件相当于开路；对各次谐波，电路成正弦交流电路。但应当注意：由于各次谐波的频率不同，电感元件、电容元件具有不同的电抗，谐波次数越高，频率越大，感抗就越大，容抗就越小。

(3)应用叠加原理，将各次谐波作用下的响应解析式进行叠加。需要注意的是，必须先将各次谐波分量响应写成瞬时值表达式才可以叠加，而不能把表示不同频率的谐波的正弦量的相量进行加减。最后所求响应的解析式是用时间函数来表示的。

例5-4如图5-4(a)所示电路，已知：uS(t)=10+100

sinwt+50

sin(3wt+30°)V且w=103rad/s，R1=5W,C=100mF，R2=2W，L=1mH。求各支路电流和电源发出的功率及I2。图5-4例5-4图

解

(1)直流分量作用下，电容元件相当于断路，电感元件相当于短路，如图5-4(b)所示，则

(2)基波分量作用下，如图5-4(c)所示。

(3)三次谐波分量作用下，如图5-4(d)所示。

(4)叠加

(5)电源发出的功率通过对本节内容的学习，应当充分注意到电容元件和电感元件对不同次谐波的作用。电感元件对高次谐波具有较强的抑制作用，这是因为，谐波的次数越高，在电感元件上产生的感抗(XL=nwL)就越大;同理，电容元件对高次谐波有畅通的作用。反之，电感元件对于次数较低的谐波具有畅通的作用，电容元件对于次数较低的谐波具有抑制的作用。同时，要特别注意电路中所隐含的谐振现象。感抗和容抗对谐波作用不同的这种特性在工程实际中被广泛应用。例如，利用电感和电容的电抗随频率变化的特点可以组合成各种形式的电路，将这种电路连接在输入和输出之间时，可以让某些所需要的频率分量顺利地通过而抑制某些不需要的分量，这种电路称为滤波器电路，如图5-5所示。滤波器在通信工程中应用很广，一般按照它的功用可以分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器等。图5-5滤波器电路图5-5(a)所示为一个简单的低通滤波器，图中电感元件对高频电流有很强的抑制作用，而电容元件对高频电流有很强的分流作用，这样输出信号中的高频成分小，而低频成分大。图5-5(b)所示为最简单的高通滤波器，其作用原理可进行类似分析。不过，实际滤波器电路的结构要复杂得多，如图5-5所示的简单滤波器电路将难以满足更好滤波特性的要求。

习题

5.1求如图5-6所示周期信号的傅里叶级数展开式。图5-6题5.1图

5.2将如图5-7所示的方波信号f(t)展开为傅里叶级数。图5-7题5.3图

5.3如图5-8所示，已知二端网络的电压u=311sin314tV，电流i=0.8sin(314t－85°)+0.25sin(942t－105°)A。求该网络接收的平均功率。图5-8题5.3图

5.4在RLC串联电路中，已知R=100W，L=2.26mH，C=10mF，基波角频率为w=100prad/s，试求对应于基波、三次谐波、五次谐波时的谐波阻抗。

5.5当wL=4W的电感与1/wC=36W的电容并联后，外加电压为u(t)=(18sinwt+3cos3wt)V，求出总电流的解析式和有效值。

5.6如图5-9所示，电流流过一个R=20W、wL=30W的串联电路，求电路的平均功率、无功功率和视在功率。图5-9题5.6图

5.7如图5-10所示的电路中，已知R=6W，wL=2W，1/wC=18W，u(t)=10+80sin(wt+30°)+18sin3wtV，求电磁系电压表、电磁系电流