《1.4-1.5.1两条直线的交点、平面上两点间的距离》(含答案)学案

高中数学精编资源PAGE2/2§1.4~§1.5.1两条直线的交点、平面上两点间的距离目标要求1、理解并掌握求两条直线的交点坐标的方法．2、理解并掌握过定点的直线．3、理解并掌握两点间的距离公式及应用．4、理解并掌握坐标法证题的方法．学科素养目标本章内容的呈现，除了注意体现解析几何研究问题的方法和特点以外，同时又考虑到学生的认知规律，通过设计相关的问题情景，降低学习的难度，使学生形成对知识的认识．如在直线斜率的呈现过程中，从学生最熟悉的例子——坡度入手，通过类比，使学生认识到斜率刻画直线倾斜程度和直线上两点刻画直线倾斜程度的一致性和内在联系．数形结合是本章重要的数学思想．这不仅是因为解析几何本身就是数形结合的典范，而且在研究几何图形的性质时，也充分体现“形”的直观性、“数”的严谨性．重点难点重点：两点间的距离公式及应用．难点：坐标法证题的方法．教学过程基础知识点1.两条直线的交点方程组A1一组无数组无解直线l1,l2的公共点__一个_无数个__零__个直线l1,l2的位置关系相交__重合___平行2.两点间的距离公式(1)公式:两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式P1P2=(x2-x1)2+(y2-y1(2)本质:用代数方法求平面内两点之间的距离.【思考】两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式能否表示为P1P2=(x提示:能,因为(x2-3.中点坐标公式对于平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段P1P2的中点M(x0,y0),则x【课前基础演练】题1.下列命题正确的是()A.求两直线的交点就是解由两直线方程组成的方程组.B.两直线l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0相交的充要条件是A1B2-A2B1≠0.C.方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,表示经过直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的所有直线.D.两点间的距离公式与两点的先后顺序无关.【答案】ACD【解析】A√.由两直线方程组成的方程组的解同时满足两个方程,在两条直线上,所以是交点坐标.B√.两直线l1与l2相交,需A1A2≠B1B2(分母不为零),转化为整式即为A1B2C×.无论λ取什么实数,都得不到A2x+B2y+C2=0,因此它不能表示直线l2.D√.两点间的距离公式包含差的平方,所以与两点的先后顺序无关.题2.直线x=1与直线y=2的交点坐标是()A.(1,2) B.(2,1)C.(1,1) D.(2,2)【解析】选A.直线x=1与直线y=2是互相垂直的直线,其交点坐标是(1,2).题3.已知M(2,1),N(-1,5),则MN等于()A.5 B.37C.13 D.4【解析】选A.MN=(2+1题4.已知两条直线l1:ax+3y-3=0,l2:4x+6y-1=0,若l1与l2相交,则实数a满足的条件是.

【解析】l1与l2相交,则有:a4≠36,所以答案:a≠2【课堂合作提高】类型一求两条直线的交点坐标(数学运算)【课堂题组训练】题5.直线4x+2y-2=0与直线3x+y-2=0的交点坐标是()A.(2,2) B.(2,-2) C.(1,-1) D.(1,1)【解析】选C.解方程组4x+2y题6.(多选题)若三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0不能围成三角形,则a的取值为()A.a=1 B.a=-1 C.a=-2 D.a=2【解析】选ABC.由题意可得l1和l3平行,或l2和l3平行,或l1和l2平行.若l1和l3平行,则a1=11,求得若l2和l3平行,则11=a1,求得若l1和l2平行,则a1=1a,求得a当三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0交于同一个点时,a=-2;综上可得,实数a所有可能的值为-1,1,-2.题7.经过两直线l1:3x+4y-2=0和l2:2x+y+2=0的交点且过坐标原点的直线l的方程是.

【解析】方法一:由方程组3解得x=-2,y=2,因为直线过坐标原点,所以其斜率k=2-2=-1.故直线方程为y=-x,即x+方法二:因为l2不过原点,所以可设l的方程为3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0(λ∈R),即(3+2λ)x+(4+λ)y+2λ-2=0.将原点坐标(0,0)代入上式,得λ=1,所以直线l的方程为5x+5y=0,即x+y=0.答案:x+y=0【解题策略】过两条直线交点的直线方程求法求过两条直线交点的直线方程,一般是先解方程组求出交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.也可用过两条直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,再根据其他条件求出待定系数,写出直线方程.过直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系有两种:①λ1(A1x+B1y+C1)+λ2(A2x+B2y+C2)=0可表示过l1,l2交点的所有直线;②A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0不能表示直线l2.题8.两条直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,那么k的值是()A.-24B.6C.±6D.24【解析】选C.设交点P(0,y),代入2x+3y-k=0,得y=k3,所以P0,k3,代入x-ky+12=0,得0-k题9.若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0,x+ky=0相交于一点,则k的值为()A.-2 B.-12 C.2 D.【解析】选B.易求直线2x+3y+8=0与x-y-1=0的交点坐标为(-1,-2),代入x+ky=0,得k=-12类型二过定点的直线(数学运算,直观想象)【典例】题10.求证:不论λ为何实数,直线(λ+2)x-(λ-1)y=-6λ-3都恒过一定点.四步内容理解题意条件:直线方程:(λ+2)x-(λ-1)y=-6λ-3结论:直线恒过定点思路探求给λ任取两个特殊值,得两条直线的方程,联立得交点;也可整理为关于λ的一次式,令系数与常数项都为零解得交点.书写表达证明:方法一:(特殊值法)取λ=0,得到直线l1:2x+y+3=0,取λ=1,得到直线l2:x=-3,故l1与l2的交点为P(-3,3).将点P(-3,3)代入方程左边,得(λ+2)×(-3)-(λ-1)×3=-6λ-3,所以点(-3,3)在直线(λ+2)x-(λ-1)y=-6λ-3上.所以直线(λ+2)x-(λ-1)y=-6λ-3恒过定点(-3,3).方法二:(分离参数法)由(λ+2)x-(λ-1)y=-6λ-3,整理得(2x+y+3)+λ(x-y+6)=0.则直线(λ+2)x-(λ-1)y=-6λ-3通过直线2x+y+3=0与x-y+6=0的交点.由方程组2x+所以直线(λ+2)x-(λ-1)y=-6λ-3恒过定点(-3,3).题后反思交点一定是二元一次方程组的解.【解题策略】解决过定点问题常用的三种方法(1)特殊值法:给方程中的参数取两个特殊值,可得关于x,y的两个方程,从中解出的x,y的值即为所求定点的坐标;(2)点斜式法:将含参数的直线方程写成点斜式y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);(3)分离参数法:将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0的形式,则该方程表示的直线必过直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点,而此交点就是定点.【跟踪训练】题11.求证:不论m取什么实数,直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一定点,并求出这个定点坐标.【解析】方法一:对于方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0,令m=0,得x-3y-11=0;令m=1,得x+4y+10=0.解方程组x-将点(2,-3)代入直线方程,得(2m-1)×2+(m+3)×(-3)-(m-11)=0.这表明不论m取什么实数,所给直线均经过定点(2,-3).方法二:将已知方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0,整理为(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0.由于m取值的任意性,有2x+所以不论m取什么实数,所给直线均经过定点(2,-3).类型三两点间的距离(数学运算,直观想象)【典例】题12.已知△ABC三顶点坐标A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断△ABC的形状.【思路导引】计算三角形的各边长,通过长度获得关系;或者由斜率获得关系.【解析】方法一:因为AB=(3+3)2AC=(1+3)2又BC=(1-3所以AB2+AC2=BC2,且AB=AC,所以△ABC是等腰直角三角形.方法二:因为kAC=7-11-(-3)=32,kAB=-3-13-(-3)又AC=(1+3)2AB=(3+3)2所以AC=AB,所以△ABC是等腰直角三角形.【解题策略】判断三角形形状的方法在分析三角形的形状时,要从两方面考虑:一是要考虑角的特征,主要考察是否为直角或等角;二是要考虑三角形边的长度特征,主要考察边是否相等或满足勾股定理.【跟踪训练】题13.已知点A(-2,-1),B(-4,-3),C(0,-5).求证:△ABC是等腰三角形.【证明】因为AB=(-4+2)2AC=(0+2)2BC=(0+4)2所以AC=BC.又因为点A,B,C不共线,所以△ABC是等腰三角形.类型四坐标法证题(直观想象,逻辑推理)【典例】题14.在△ABC中,D是BC边上任意一点(D与B,C不重合),且AD2+BD·DC=AB2,求证:△ABC为等腰三角形.【思路导引】在图形中建立坐标系,设点,说明AB=AC.【证明】如图,作AO⊥BC,垂足为O,以BC所在直线为x轴,以OA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系xOy.设A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0).因为AD2+BD·DC=AB2,所以由两点间距离公式,可得d2+a2+(d-b)(c-d)=b2+a2,化简得(c+b)(d-b)=0.又d-b≠0,所以c+b=0,即-b=c,所以OB=OC,所以AB=AC,即△ABC为等腰三角形.【解题策略】坐标法解决几何问题关键坐标法解决几何问题时,关键要结合图形的特征,建立平面直角坐标系.坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有两点:①让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算;②如果条件中有互相垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果图形为中心对称图形,可考虑将中心作为原点;如果有轴对称性,可考虑将对称轴作为坐标轴.【跟踪训练】题15.已知:等腰梯形ABCD中,AB∥DC,对角线为AC和BD.求证:AC=BD.【证明】如图所示,建立直角坐标系,设A(0,0),B(a,0),C(b,c),则点D的坐标是(a-b,c).所以AC=(b-0BD=(a-b-a)2+【课堂检测达标】题16.已知直角坐标平面上连接点(-2,5)和点M的线段的中点是(1,0),那么点M到原点的距离为()A.41B.41C.39D.39【解析】选B.设M(x,y),由题意得1=-2+x2,0=5+y2,解得x题17.若直线ax+by-11=0与3x+4y-2=0平行,并且经过直线2x+3y-8=0和x-2y+3=0的交点,则a,b的值分别为()A.-3,-4 B.3,4C.4,3 D.-4,-3【解析】选B.由2x+3y-8=0,题18.过直线2x-y+2=0和x