2023-2024学年广东省汕尾市高二上学期1月期末教学质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省汕尾市2023-2024学年高二上学期1月期末教学质量监测数学试题注意事项：1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处.2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.计算复数（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，故选：A.2.已知，，且，则（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】由，可得：，因，则，即：，解得：.故选：B.3.已知直线，直线，，且，则（）A.1 B.2 C.1或 D.或【答案】C【解析】由直线，直线，因为，可得，解得或.故选：C.4.已知点，动点到点的距离是它到点的距离的2倍，则动点的轨迹方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】设是所求轨迹上的任意一点，因为，且，可得，整理得，即所求轨迹方程为.故选：B.5.现有随机选出的20个数据，统计如下，则（）7243954616673828282879195898102102108114120A.该组数据的众数为102 B.该组数据的极差为112C.该组数据的中位数为87 D.该组数据的80%分位数为102【答案】D【解析】将数据按从小到大的顺序排列：7，8，24，39，54，61，66，73，82，82，82，87，91，95，98，102，102，108，114，120，对于A，出现次数最多的是82，所以众数是82，故A错误；对于B，极差为，故B错误；对于C，，第10个数和第11个数的平均数为中位数，即，故C错误；对于D，，第16个数和第17个数的平均数为80%分位数，即，故D正确.故选：D.6.已知椭圆的左、右焦分别为、，过点的直线交该椭圆于、两点，若，则（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】椭圆，，，、在圆上，，，的周长为，，.故选：C.7.若事件满足，，，则下列说法不正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】对于A中，由，可得，所以A正确；对于B中，由，可得，所以B错误；对于C中，由，可得，所以C正确；对于D中，由，所以，所以D正确.故选：B.8.已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于两点（其中点落在第一象限），若，则直线的斜率为（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】如图，因可知点在直线上，设，则由可得：，即得：.设直线的方程为，代入中，整理得：，则把代入①整理得：，将其代入②：，解得：，即：.当时，直线的斜率为，此时点落在第一象限，符合题意；当时，直线的斜率为，此时点落在第四象限，不符合题意.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为，为上异于顶点的动点，则下列说法正确的有（）A.双曲线的离心率为B.双曲线的渐近线方程为C.点到渐近线的距离为4D.直线与直线的斜率乘积为【答案】BD【解析】由双曲线知，，，对于A，双曲线的离心率为，故A错误；对于B，双曲线的渐近线方程为，即，故B正确；对于C，点到渐近线的距离为，故C错误；对于D，设，则，即，所以，即直线与直线的斜率乘积为，故D正确；故选：BD.10.已知函数（，）的周期为，若，则（）A.B.函数的图象关于点对称C.在区间上单调递增D.方程在区间内有3个解【答案】ACD【解析】由函数，因为函数的周期为，可得，即，又因为，可得，即，因为，可得，所以，所以A正确；又因为，所以函数不关于对称，所以B不正确；由，可得，根据正弦函数的性质，可得在区间上单调递增，所以C正确；又由，可得，由方程，即，可得，可得，解得或或，所以D正确.故选：ACD.11.已知圆，圆，则（）A.若圆与圆相交，则B.当时，圆与圆有两条公切线C.当时，两圆的公共弦所在直线的方程为D.当时，过直线上任意一点分别作圆、圆切线，则切线长相等【答案】AD【解析】由圆，可得圆心，半径为，圆，可得圆心，半径为，且，对于A中，若圆与圆相交，可得，解得，所以A正确；对于B中，当时，可得，此时两圆项外切，可得圆与圆有三条公切线，所以B错误；对于C中，当时，可得圆，两圆的方程相减，可得，即两圆的公共弦所在直线的方程为，所以C错误；对于D中，当时，两圆相外离，过点引圆和圆的切线分别为，由，可得，即，整理得，可得过直线上任意一点分别作圆、圆切线，则切线长相等，所以D正确故选：AD.12.设抛物线的焦点为，从抛物线上点出发的光线过点后，从抛物线上的点（异于原点）反射，反射光线经过点，则A.直线的斜率为B.和的面积之比为4C.以为直径的圆与直线相交D.若直线与该抛物线相切，则【答案】AB【解析】对A：由题意知与轴平行，，所以可得，所以直线的斜率为，故A正确；对B：由A知直线斜率，可得直线方程：，与抛物线联立,得，解得或，所以，所以，故B正确；对C：由抛物线定义知，设的中点为,所以以为直径的圆的半径为，因为点到直线的距离，所以该圆与直线相切，故C错误；对D：由直线，即，得直线过定点，又因为点在抛物线上，所以点为切点，设切线方程为，联立，得，由直线与抛物线相切，则，即，所以,所以切线方程为,即，所以，故D错误.故选：AB.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知抛物线与椭圆有公共的焦点，则________.【答案】2【解析】由知椭圆焦点在轴上，，故椭圆的焦点为，所以，解得.故答案为：2.14.汕尾市某中学高二年级共有学生800人，其中男生有580人，为了了解他们的视力状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，若样本中共有女生11人，则__________.【答案】40【解析】由分层抽样可得，解得.故答案：40.15.已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆过点，圆与双曲线在第一象限交于点，若的面积为9，则该双曲线的离心率________.【答案】##1.25【解析】如图，因以为直径的圆过点，故,即，又圆与双曲线在第一象限交于点，则,不妨设，则有：消去解得：，故双曲线的离心率.故答案为：.16.如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，则二面角的余弦值为__________.【答案】【解析】在棱上有两个点，线段与在这个二面角的两个面内，且，因为，可得，设二面角的平面角为，则，且，则，即，解得.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知点，，，直线与轴交于点.（1）求点的坐标；（2）求的外接圆的标准方程.解：（1）由题意，，故直线的斜率，所以直线的方程为.因为点在轴上，令，得，所以点的坐标为.（2）因为的顶点坐标分别为，，，所以，所以的外接圆是以为直径的圆.又中点为，所以外接圆的圆心为，半径为，所以的外接圆的方程为.18.在中，角，，所对的边分别是，，，且.（1）求角；（2）若，，求的面积.解：（1）在中，由正弦定理可得，因为，所以.在中，由余弦定理得.因为，所以.（2）由（1）可知，又，，所以由余弦定理，可得，即，所以，，又，所以.19.如图，正方体的棱长为2，为的中点，平面与棱相交于点.（1）求点到平面的距离；（2）求证：是的中点.解：（1）在正方体中，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，所以，，设平面的一个法向量为，则，取，可得，，所以，又由向量，所以点到平面的距离为.（2）因为，设，则，可得，由平面与棱相交于点，可得四点共面，所以，即，可得，解得，所以，故是的中点.20.新高考数学试题设置有4道多选题，在每小题给出的A，B，C，D四个选项中，有两项或者三项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.在某次考试中，根据过往经验，小明做对第一道多选题的概率为，做对第二道多选题的概率为，做对第三道多选题的概率为，每道答题互不影响.（1）求小明前三道多选题恰好做对两道的概率；（2）若最后一道多选题正确选项为ABC，小明和小宇对该题目不理解，只能通过随机选取完成作答，每个选项是否被选到都是等可能的.小明从四个选项中随机选择一个选项进行作答，而小宇从四个选项中随机选择两个选项进行作答，求此题作答中，小宇得分比小明得分高的概率.解：（1）记事件表示“小明第道题做对”，，各事件之间相互独立，事件为“小明前三道多选题恰好做对两道”，则，，，三个事件为互斥事件，则，故小明前三道多选题恰好做对两道的概率为；（2）因为最后一道多选题有三个正确的选项，即ABC，记“小宇得分比小明得分高”为事件，则小宇得2分，小明得0分，若从四个选项中随机选择两个选项，则有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种情况，记“小宇得2分”为事件，事件包含AB，AC，BC3种情况，则，记“小明得0分”为事件，从四个选项中任选一个选项，有A，B，C，D，共4个基本事件，事件包含一个基本事件，所以，易知事件，相互独立，则，故最后一道多选题小宇得分比小明得分高的概率为.21.在图甲所示的四边形中，，，，，沿将进行翻折，使得，得到如图乙所示的四棱锥.四棱锥的体积为，为边上的动点（不与端点，重合）.（1）若为的中点，求证：；（2）设，试问：是否存在实数，使得锐二面角的余弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.解：（1）因为在四边形中，，，，所以，在四棱锥中，，即，，.又平面，平面，，所以平面，即是四棱锥的高，因此，所以.以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.又为的中点，所以，因此，，所以，所以，即.（2）由（1）知，，，设平面的一个法向量为，则即令，则，所以是平面的一个法向量.因，所以，，所以，所以.设平面的一个法向量为，则即令，则，，所以是平面的一个法向量，所以，可得，解得或.又，所以，即存在实数，使得锐二面角的余弦值为.22.动点与定点的距离和点到定直线的距离之比是常数.记点的轨迹为，过点且不与轴重合的直线交于，两点.（1）求点的轨迹方程；（2）设的左顶点为，直线，和直线分别交于点，，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.解：（1）设点，依题意，，化简整理得，即，所以点的轨迹方程为.（2）由（1）知，，设，直线的方程为，由消去得，显然，则，直线的方程为，由，得，同理，则，所以为定值.广东省汕尾市2023-2024学年高二上学期1月期末教学质量监测数学试题注意事项：1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处.2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.计算复数（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，故选：A.2.已知，，且，则（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】由，可得：，因，则，即：，解得：.故选：B.3.已知直线，直线，，且，则（）A.1 B.2 C.1或 D.或【答案】C【解析】由直线，直线，因为，可得，解得或.故选：C.4.已知点，动点到点的距离是它到点的距离的2倍，则动点的轨迹方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】设是所求轨迹上的任意一点，因为，且，可得，整理得，即所求轨迹方程为.故选：B.5.现有随机选出的20个数据，统计如下，则（）7243954616673828282879195898102102108114120A.该组数据的众数为102 B.该组数据的极差为112C.该组数据的中位数为87 D.该组数据的80%分位数为102【答案】D【解析】将数据按从小到大的顺序排列：7，8，24，39，54，61，66，73，82，82，82，87，91，95，98，102，102，108，114，120，对于A，出现次数最多的是82，所以众数是82，故A错误；对于B，极差为，故B错误；对于C，，第10个数和第11个数的平均数为中位数，即，故C错误；对于D，，第16个数和第17个数的平均数为80%分位数，即，故D正确.故选：D.6.已知椭圆的左、右焦分别为、，过点的直线交该椭圆于、两点，若，则（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】椭圆，，，、在圆上，，，的周长为，，.故选：C.7.若事件满足，，，则下列说法不正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】对于A中，由，可得，所以A正确；对于B中，由，可得，所以B错误；对于C中，由，可得，所以C正确；对于D中，由，所以，所以D正确.故选：B.8.已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于两点（其中点落在第一象限），若，则直线的斜率为（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】如图，因可知点在直线上，设，则由可得：，即得：.设直线的方程为，代入中，整理得：，则把代入①整理得：，将其代入②：，解得：，即：.当时，直线的斜率为，此时点落在第一象限，符合题意；当时，直线的斜率为，此时点落在第四象限，不符合题意.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为，为上异于顶点的动点，则下列说法正确的有（）A.双曲线的离心率为B.双曲线的渐近线方程为C.点到渐近线的距离为4D.直线与直线的斜率乘积为【答案】BD【解析】由双曲线知，，，对于A，双曲线的离心率为，故A错误；对于B，双曲线的渐近线方程为，即，故B正确；对于C，点到渐近线的距离为，故C错误；对于D，设，则，即，所以，即直线与直线的斜率乘积为，故D正确；故选：BD.10.已知函数（，）的周期为，若，则（）A.B.函数的图象关于点对称C.在区间上单调递增D.方程在区间内有3个解【答案】ACD【解析】由函数，因为函数的周期为，可得，即，又因为，可得，即，因为，可得，所以，所以A正确；又因为，所以函数不关于对称，所以B不正确；由，可得，根据正弦函数的性质，可得在区间上单调递增，所以C正确；又由，可得，由方程，即，可得，可得，解得或或，所以D正确.故选：ACD.11.已知圆，圆，则（）A.若圆与圆相交，则B.当时，圆与圆有两条公切线C.当时，两圆的公共弦所在直线的方程为D.当时，过直线上任意一点分别作圆、圆切线，则切线长相等【答案】AD【解析】由圆，可得圆心，半径为，圆，可得圆心，半径为，且，对于A中，若圆与圆相交，可得，解得，所以A正确；对于B中，当时，可得，此时两圆项外切，可得圆与圆有三条公切线，所以B错误；对于C中，当时，可得圆，两圆的方程相减，可得，即两圆的公共弦所在直线的方程为，所以C错误；对于D中，当时，两圆相外离，过点引圆和圆的切线分别为，由，可得，即，整理得，可得过直线上任意一点分别作圆、圆切线，则切线长相等，所以D正确故选：AD.12.设抛物线的焦点为，从抛物线上点出发的光线过点后，从抛物线上的点（异于原点）反射，反射光线经过点，则A.直线的斜率为B.和的面积之比为4C.以为直径的圆与直线相交D.若直线与该抛物线相切，则【答案】AB【解析】对A：由题意知与轴平行，，所以可得，所以直线的斜率为，故A正确；对B：由A知直线斜率，可得直线方程：，与抛物线联立,得，解得或，所以，所以，故B正确；对C：由抛物线定义知，设的中点为,所以以为直径的圆的半径为，因为点到直线的距离，所以该圆与直线相切，故C错误；对D：由直线，即，得直线过定点，又因为点在抛物线上，所以点为切点，设切线方程为，联立，得，由直线与抛物线相切，则，即，所以,所以切线方程为,即，所以，故D错误.故选：AB.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知抛物线与椭圆有公共的焦点，则________.【答案】2【解析】由知椭圆焦点在轴上，，故椭圆的焦点为，所以，解得.故答案为：2.14.汕尾市某中学高二年级共有学生800人，其中男生有580人，为了了解他们的视力状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，若样本中共有女生11人，则__________.【答案】40【解析】由分层抽样可得，解得.故答案：40.15.已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆过点，圆与双曲线在第一象限交于点，若的面积为9，则该双曲线的离心率________.【答案】##1.25【解析】如图，因以为直径的圆过点，故,即，又圆与双曲线在第一象限交于点，则,不妨设，则有：消去解得：，故双曲线的离心率.故答案为：.16.如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，则二面角的余弦值为__________.【答案】【解析】在棱上有两个点，线段与在这个二面角的两个面内，且，因为，可得，设二面角的平面角为，则，且，则，即，解得.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知点，，，直线与轴交于点.（1）求点的坐标；（2）求的外接圆的标准方程.解：（1）由题意，，故直线的斜率，所以直线的方程为.因为点在轴上，令，得，所以点的坐标为.（2）因为的顶点坐标分别为，，，所以，所以的外接圆是以为直径的圆.又中点为，所以外接圆的圆心为，半径为，所以的外接圆的方程为.18.在中，角，，所对的边分别是，，，且.（1）求角；（2）若，，求的面积.解：（1）在中，由正弦定理可得，因为，所以.在中，由余弦定理得.因为，所以.（2）由（1）可知，又，，所以由余弦定理，可得，即，所以，，又，所以.19.如图，正方体的棱长为2，为的中点，平面与棱相交于点.（1）求点到平面的距离；（2）求证：是的中点.解：（1）在正方体中，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，所以，，设平面的一个法向量为，则，取，可得，，所以，又由向量，所以点到平面的距离为.（2）因为，设，则，可得，由平面与棱相交于点，可得四点共面，所以，即，可得，解得，所以，故是的中点.20.新高考数学试题设置有4道多选题，在每小题给出的A，B，C，D四个选项中，有两项或者三项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.在某次考试中，根据过往经验，小明做对第一道多选题的概率为，做对第二道多选题的概率为，做对第三道多选题的概率为，每道答题互不影响.（1）求小明前三道多选题恰好做对两道的概率；（2）若最后一道多选题正确选项为ABC，小明和小宇对该题目不理解，只能通过随机选取完成作答，每个选项是否被选到都是等可能