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文档简介
宁夏银川市三校2025届高三冲刺模拟数学试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,若所有点,所构成的平面区域面积为,则()A. B. C.1 D.2.已知的部分图象如图所示,则的表达式是()A. B.C. D.3.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是()A.(-∞,2] B.[2,+∞)C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]4.已知直线与圆有公共点,则的最大值为()A.4 B. C. D.5.已知函数的零点为m,若存在实数n使且,则实数a的取值范围是()A. B. C. D.6.已知,,,则()A. B.C. D.7.已知数列的首项,且,其中,,,下列叙述正确的是()A.若是等差数列,则一定有 B.若是等比数列,则一定有C.若不是等差数列,则一定有 D.若不是等比数列,则一定有8.的二项展开式中,的系数是()A.70 B.-70 C.28 D.-289.下列命题是真命题的是()A.若平面,,,满足,,则;B.命题:,,则:,;C.“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件;D.命题“若,则”的逆否命题为:“若,则”.10.在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩比乙高.乙:丙的成绩比我和甲的都高.丙:我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙11.若非零实数、满足,则下列式子一定正确的是()A. B.C. D.12.已知平面向量满足,且,则所夹的锐角为()A. B. C. D.0二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知向量,,若,则______.14.直线与抛物线交于两点,若,则弦的中点到直线的距离等于________.15.已知集合,其中,.且,则集合中所有元素的和为_________.16.六位同学坐在一排,现让六位同学重新坐,恰有两位同学坐自己原来的位置,则不同的坐法有________种(用数字回答).三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(Ⅰ)当时,讨论函数的单调区间;(Ⅱ)若对任意的和恒成立,求实数的取值范围.18.(12分)在平面直角坐标系中,已知椭圆:()的左、右焦点分别为、,且点、与椭圆的上顶点构成边长为2的等边三角形.(1)求椭圆的方程;(2)已知直线与椭圆相切于点,且分别与直线和直线相交于点、.试判断是否为定值,并说明理由.19.(12分)等差数列的前项和为,已知,.(Ⅰ)求数列的通项公式及前项和为;(Ⅱ)设为数列的前项的和,求证:.20.(12分)如图,在中,已知,,,为线段的中点,是由绕直线旋转而成,记二面角的大小为.(1)当平面平面时,求的值;(2)当时,求二面角的余弦值.21.(12分)已知点,且,满足条件的点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)是否存在过点的直线,直线与曲线相交于两点,直线与轴分别交于两点,使得?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.22.(10分)记无穷数列的前项中最大值为,最小值为,令,则称是“极差数列”.(1)若,求的前项和;(2)证明:的“极差数列”仍是;(3)求证:若数列是等差数列,则数列也是等差数列.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
依题意,可得,在上单调递增,于是可得在上的值域为,继而可得,解之即可.【详解】解:,因为,,所以,在上单调递增,则在上的值域为,因为所有点所构成的平面区域面积为,所以,解得,故选:D.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,理解题意,得到是关键,考查运算能力,属于中档题.2、D【解析】
由图象求出以及函数的最小正周期的值,利用周期公式可求得的值,然后将点的坐标代入函数的解析式,结合的取值范围求出的值,由此可得出函数的解析式.【详解】由图象可得,函数的最小正周期为,.将点代入函数的解析式得,得,,,则,,因此,.故选:D.【点睛】本题考查利用图象求三角函数解析式,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.3、B【解析】由f(1)=得a2=,∴a=或a=-(舍),即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.4、C【解析】
根据表示圆和直线与圆有公共点,得到,再利用二次函数的性质求解.【详解】因为表示圆,所以,解得,因为直线与圆有公共点,所以圆心到直线的距离,即,解得,此时,因为,在递增,所以的最大值.故选:C【点睛】本题主要考查圆的方程,直线与圆的位置关系以及二次函数的性质,还考查了运算求解的能力,属于中档题.5、D【解析】
易知单调递增,由可得唯一零点,通过已知可求得,则问题转化为使方程在区间上有解,化简可得,借助对号函数即可解得实数a的取值范围.【详解】易知函数单调递增且有惟一的零点为,所以,∴,问题转化为:使方程在区间上有解,即在区间上有解,而根据“对勾函数”可知函数在区间的值域为,∴.故选D.【点睛】本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难.6、C【解析】
利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得,即可求得结果.【详解】,所以,即.故选:C.【点睛】本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易.7、C【解析】
根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可.【详解】A:当时,,显然符合是等差数列,但是此时不成立,故本说法不正确;B:当时,,显然符合是等比数列,但是此时不成立,故本说法不正确;C:当时,因此有常数,因此是等差数列,因此当不是等差数列时,一定有,故本说法正确;D:当时,若时,显然数列是等比数列,故本说法不正确.故选:C【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的定义,考查了推理论证能力,属于基础题.8、A【解析】试题分析:由题意得,二项展开式的通项为,令,所以的系数是,故选A.考点:二项式定理的应用.9、D【解析】
根据面面关系判断A;根据否定的定义判断B;根据充分条件,必要条件的定义判断C;根据逆否命题的定义判断D.【详解】若平面,,,满足,,则可能相交,故A错误;命题“:,”的否定为:,,故B错误;为真,说明至少一个为真命题,则不能推出为真;为真,说明都为真命题,则为真,所以“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件,故C错误;命题“若,则”的逆否命题为:“若,则”,故D正确;故选D【点睛】本题主要考查了判断必要不充分条件,写出命题的逆否命题等,属于中档题.10、A【解析】
利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确,则乙、丙预测错误,则甲比乙成绩高,丙比乙成绩低,故3人成绩由高到低依次为甲,乙,丙;若乙预测正确,则丙预测也正确,不符合题意;若丙预测正确,则甲必预测错误,丙比乙的成绩高,乙比甲成绩高,即丙比甲,乙成绩都高,即乙预测正确,不符合题意,故选A.【点睛】本题将数学知识与时政结合,主要考查推理判断能力.题目有一定难度,注重了基础知识、逻辑推理能力的考查.11、C【解析】
令,则,,将指数式化成对数式得、后,然后取绝对值作差比较可得.【详解】令,则,,,,,因此,.故选:C.【点睛】本题考查了利用作差法比较大小,同时也考查了指数式与对数式的转化,考查推理能力,属于中等题.12、B【解析】
根据题意可得,利用向量的数量积即可求解夹角.【详解】因为即而所以夹角为故选:B【点睛】本题考查了向量数量积求夹角,需掌握向量数量积的定义求法,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1【解析】
根据向量加法和减法的坐标运算,先分别求得与,再结合向量的模长公式即可求得的值.【详解】向量,则,则因为即,化简可得解得故答案为:【点睛】本题考查了向量坐标加法和减法的运算,向量模长的求法,属于基础题.14、【解析】
由已知可知直线过抛物线的焦点,求出弦的中点到抛物线准线的距离,进一步得到弦的中点到直线的距离.【详解】解:如图,直线过定点,,而抛物线的焦点为,,弦的中点到准线的距离为,则弦的中点到直线的距离等于.故答案为:.【点睛】本题考查抛物线的简单性质,考查直线与抛物线位置关系的应用,体现了数学转化思想方法,属于中档题.15、2889【解析】
先计算集合中最小的数为,最大的数,可得,求和即得解.【详解】当时,集合中最小数;当时,得到集合中最大的数;故答案为:2889【点睛】本题考查了数列与集合综合,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.16、135【解析】
根据题意先确定2个人位置不变,共有种选择,再确定4个人坐4个位置,但是不能坐原来的位置,计算得到答案.【详解】根据题意先确定2个人位置不变,共有种选择.再确定4个人坐4个位置,但是不能坐原来的位置,共有种选择,故不同的坐法有.故答案为:.【点睛】本题考查了分步乘法原理,意在考查学生的计算能力和应用能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)见解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)首先求得导函数,然后结合导函数的解析式分类讨论函数的单调性即可;(Ⅱ)将原问题进行等价转化为,,恒成立,然后构造新函数,结合函数的性质确定实数的取值范围即可.【详解】解:(Ⅰ)当时,,当时,在上恒成立,函数在上单调递减;当时,由得:;由得:.∴当时,函数的单调递减区间是,无单调递增区间:当时,函数的单调递减区间是,函数的单调递增区间是.(Ⅱ)对任意的和,恒成立等价于:,,恒成立.即,,恒成立.令:,,,则得,由此可得:在区间上单调递减,在区间上单调递增,∴当时,,即又∵,∴实数的取值范围是:.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性和恒成立问题,考查分类讨论的数学思想,等价转化的数学思想等知识,属于中等题.18、(1)(2)为定值.【解析】
(1)根据题意,得出,从而得出椭圆的标准方程.(2)根据题意设直线方程:,因为直线与椭圆相切,这有一个交点,联立直线与椭圆方程得,则,解得①把和代入,得和,,的表达式,比即可得出为定值.【详解】解:(1)依题意,,,.所以椭圆的标准方程为.(2)为定值.①因为直线分别与直线和直线相交,所以,直线一定存在斜率.②设直线:,由得,由,得.①把代入,得,把代入,得,又因为,所以,,②由①式,得,③把③式代入②式,得,,即为定值.【点睛】本题考查椭圆的定义、方程、和性质,主要考查椭圆方程的运用,考查椭圆的定值问题,考查计算能力和转化思想,是中档题.19、(Ⅰ),(Ⅱ)见解析【解析】
(Ⅰ)根据等差数列公式直接计算得到答案.(Ⅱ),根据裂项求和法计算得到得到证明.【详解】(Ⅰ)等差数列的公差为,由,得,,即,,解得,.∴,.(Ⅱ),∴,∴,即.【点睛】本题考查了等差数列的基本量的计算,裂项求和,意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.20、(1);(2).【解析】
(1)平面平面,建立坐标系,根据法向量互相垂直求得;(2)求两个平面的法向量的夹角.【详解】(1)如图,以为原点,在平面内垂直于的直线为轴所在的直线分别为轴,轴,建立空间直角坐标系,则,设为平面的一个法向量,由得,取,则因为平面的一个法向量为由平面平面,得所以即.(2)设二面角的大小为,当平面的一个法向量为,综上,二面角的余弦值为.【点睛】本题考查用空间向量求平面间的夹角,平面与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法,难度一般.21、(1)(2)存在,或.【解析】
(1)由得看成到两定点的和为定值,满足椭圆定义,用定义可解曲线的方程.(2)先讨论斜率不存在情况是否符合题意,当直线的斜率存在时,设直线点斜式方程,由,可得,再直线与椭圆联解,利用根的判别式得到关于的一元二次方程求解.【详解】解:设,由,,可得,即为,由,可得的轨迹是以为焦点,且的椭圆,由,可得,可得曲线的方程为;假设存在过点的直线l符合题意.当直线的斜率不存在,设方程为,可得为短轴的两个端点,不成立;当直线的斜率存在时,设方程为,由,可得,即,可得,化为,由可得,由在椭圆内,可得直线与椭圆相交,,则化为,即为,解得,所以存在直线符合题意,且方程为或.【点睛】本题考查求轨迹方程及直线与圆锥曲线位置关系问题.
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