2024-2025学年北师大版九年级上册期末考试数学复习卷

2024-2025学年北师大版九年级上册期末考试数学复习卷一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）1．（4分）如图，几何体的左视图是（）A． B． C． D．2．（4分）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（）A．y=1x2 B．yx=−3 C．y＝5x3．（4分）关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＞1且k≠2 C．k≠2 D．k≥1且k≠24．（4分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，且AD＝2，BD＝1，DE∥BC，则下列说法不正确的是（）A．AE：EC＝2：1 B．△ADE∽△ABC C．DE=23BC D．S△ADE：S△5．（4分）已知点（﹣2，a），（2，b），（3，c）在函数y=kx（A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a6．（4分）如图，在宽为20m，长为38m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为xm，根据题意，所列方程正确的是（）A．（20﹣x）（38﹣x）＝540 B．（20﹣x）（38﹣x）＝38×20﹣540 C．（20﹣2x）（38﹣2x）＝540 D．（20﹣2x）（38﹣2x）＝38×20﹣5407．（4分）已知点P、点Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10，那么PQ的长为（）A．5（3−5） B．10（5−2） C．5（5−1） 8．（4分）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（）A．5 B．6 C．163 D．二．填空题（共10小题，满分40分，每小题4分）9．（4分）已知ab=cd=ef=2，且b+d+f≠0，若a+c+e＝12，则10．（4分）如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是．11．（4分）如图，在矩形ABCD中，E是边BC边上一点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝6，AD＝8，BE＝2，则AF的长为．12．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交边AB、AC于点M、N；②分别以点M和点N为圆心、大于MN一半的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D．若△DAC∽△ABC，则∠B的大小为度．13．（4分）如图，点M为双曲线y=kx上一点，MP⊥x轴于点B，且S△MOP=32，则14．（4分）已知x1，x2是方程x2﹣（2k﹣1）x+（k2+3k+5）＝0的两个实数根，且x12+x22＝39，则k的值为．15．（4分）设α，β是方程x2+x﹣2018＝0的两个实数根，则−β−α+12αβ16．（4分）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为：．17．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，F为AC中点，D是线段AB上一动点，连接CD，将线段CD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接EF，则点D在运动过程中，EF的最大值为，最小值为．18．（4分）如图，直线y=−12x+5与坐标轴交于A，B两点，交反比例y=kx（x＞0）的图象于C，D两点，且CD＝3AC，点E是直线AB上一点，连接OE，以OE为边在OE右侧作直角三角形OEF，∠OEF＝90°，∠OFE＝∠ABO，若边OF交反比例函数图象于点G，OG＝GF，则k值为，点三．解答题（共8小题，满分78分）19．（12分）（1）计算：|1−23（2）解不等式组：x−3(x−2)≥41+2x（3）解方程：x2x−1（4）解方程：x2﹣4x+4＝3x﹣6．20．（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．（1）点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为．（2）以原点O为位似中心，将△ABC放大，使变换后得到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为2：1，请在网格内画出△A1B1C1．（3）求出△A1B1C1的面积．21．（8分）如图，小华和同伴在春游期间，发现在某地小山坡的点E处有一颗盛开着桃花的小桃树，他想利用平面镜测量的方式计算一下小桃树到山脚下的距离，即DE的长度，小华站在点B的位置，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E，且BC＝3米，CD＝11.5米，∠CDE＝120°，已知小华的身高AB为2米，请你利用以上的数据求出DE的长度．（结果保留根号）22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象相交于A（1，2m﹣4），B（（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）连接AO并延长与反比例函数图象交于点E，连接BE，求△AEB的面积．（3）直接写出kx＜ax+23．（10分）如图，矩形ABCD中，已知AB＝6．BC＝8，点E是射线BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B的对应点为点B′．（1）如图1，延长AB′交CD于点M，求证：AM＝FM；（2）如图2，若点B′恰好落在对角线AC上，求BECE（3）若BECE=32，延长AB′交CD于点24．（8分）在2022年的中考中，我校600分以上人数为300人，到了2024年中考时，全校600分以上人数达到了507人．（1）求这两年中考成绩为600分以上的人数的年平均增长率？（2）校门外的博士文具店购进600个大运会吉祥物，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售，仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，第三周商店对剩余吉祥物清仓处理，以每个4元的价格全部售出，最终这批吉祥物共获利1250元．①设第二周销售利润为y元，请求出y关于x的函数关系式；②请求出第二周每个吉祥物的销售价格为多少元？25．（10分）如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，连接DE、DC，DE交AC于点G，且DE＝DC．（1）请证明∠ACD＝∠BDE；（2）若AB＝mAD，求DGGE的值（用含m（3）如图2，将△ABC沿BC翻折，若点A的对应点A'恰好落在DE的延长线上，求BEEC26．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB：y=−12x+3与直线CD：y＝kx﹣2相交于点M（4，a），分别交坐标轴于点A、B、C、D，点P是线段CD延长线上的一个点，△（1）求直线CD解析式和点P的坐标；（2）如图2，当点P为线段CD上的一个动点时，将BP绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接PQ与OQ．点Q随着点P的运动而运动，请求出点Q运动所形成的线段所在直线的解析式，以及OQ的最小值．（3）在（1）的条件下，直线AB上有任意一点F，平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点B、D、F、N为顶点的四边形是菱形，如果存在，请直接求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析题号12345678答案CBDDCABC一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）1．（4分）如图，几何体的左视图是（）A． B． C． D．【分析】找到从左面看所得到的图形，比较即可．【解答】解：如图，几何体的左视图是．故选：C．2．（4分）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（）A．y=1x2 B．yx=−3 C．y＝5x【分析】直接利用反比例函数的定义分析得出答案．【解答】解：A、y=1x2，是y与B、yx=−3，y是xC、y＝5x+6是一次函数关系，故此选项错误；D、x=故选：B．3．（4分）关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＞1且k≠2 C．k≠2 D．k≥1且k≠2【分析】由一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有实数根，则k﹣2≠0，即k≠2，且△≥0，即Δ＝22﹣4（k﹣2）×（﹣1）＝4k﹣4≥0，然后解两个不等式得到k的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有实数根，∴k﹣2≠0，即k≠2，△≥0，即Δ＝22﹣4（k﹣2）×（﹣1）＝4k﹣4≥0，解得k≥1，∴k的取值范围是k≥1且k≠2．故选：D．4．（4分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，且AD＝2，BD＝1，DE∥BC，则下列说法不正确的是（）A．AE：EC＝2：1 B．△ADE∽△ABC C．DE=23BC D．S△ADE：S△【分析】由DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，可得结论．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC∴AEEC=2，DE=∴S△ADE：S△ABC＝4：9．故选项A，B，C正确，故选：D．5．（4分）已知点（﹣2，a），（2，b），（3，c）在函数y=kx（A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a【分析】根据反比例函数的性质得到函数y=kx（k＞0）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，则b＞c＞0，【解答】解：∵k＞0，∴函数y=kx（k＞0）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随∵﹣2＜0＜2＜3，∴b＞c＞0，a＜0，∴a＜c＜b．故选：C．6．（4分）如图，在宽为20m，长为38m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为xm，根据题意，所列方程正确的是（）A．（20﹣x）（38﹣x）＝540 B．（20﹣x）（38﹣x）＝38×20﹣540 C．（20﹣2x）（38﹣2x）＝540 D．（20﹣2x）（38﹣2x）＝38×20﹣540【分析】由小路的宽为xm，可得出种植草坪的部分可合成长为（38﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，再利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：∵小路宽为xm，∴种植草坪的部分可合成长为（38﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形．依题意得：（20﹣x）（38﹣x）＝540．故选：A．7．（4分）已知点P、点Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10，那么PQ的长为（）A．5（3−5） B．10（5−2） C．5（5−1） 【分析】先由黄金分割的比值求出BP＝AQ＝5（5−1），再由PQ＝AQ+BP﹣AB【解答】解：如图，∵点P、Q是线段AB的黄金分割点，AB＝10，∴BP＝AQ=5−12AB∴PQ＝AQ+BP﹣AB＝10（5−1）﹣10＝10（5故选：B．8．（4分）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（）A．5 B．6 C．163 D．【分析】证明△ABE∽△CDE，求得AE：CE，再根据三角形的面积关系求得结果．【解答】解：∵CD∥AB，∴△ABE∽△CDE，∴AECE∴S阴影故选：C．二．填空题（共10小题，满分40分，每小题4分）9．（4分）已知ab=cd=ef=2，且b+d+f≠0，若a+c+e＝12，则【分析】根据已知条件求出a＝2b，c＝2d，e＝2f，根据a+c+e＝12得出2b+2d+2f＝12，再求出答案即可．【解答】解：∵ab∴a＝2b，c＝2d，e＝2f，∵a+c+e＝12，∴2b+2d+2f＝12，等式两边都除以2，得b+d+f＝6，故答案为：6．10．（4分）如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是4.45m．【分析】此题首先要知道在同一时刻任何物体的高与其影子的比值是相同的，所以竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，利用这个结论可以求出树高．【解答】解：如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x，根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得：CBBD=1∴BD＝0.96，∴树在地面的实际影子长是0.96+2.6＝3.56，再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得x3.56∴x＝4.45，∴树高是4.45m，故答案为：4.45m．11．（4分）如图，在矩形ABCD中，E是边BC边上一点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝6，AD＝8，BE＝2，则AF的长为407【分析】由勾股定理可求AC的长，通过证明△CEF∽△ADF，可得ECAD【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，∠B＝90°，AD∥BC，∴AC=AB∵BE＝2，∴EC＝6，∵AD∥BC，∴△CEF∽△ADF，∴ECAD∴68∴AF=40故答案为40712．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交边AB、AC于点M、N；②分别以点M和点N为圆心、大于MN一半的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D．若△DAC∽△ABC，则∠B的大小为30度．【分析】先利用基本作图得到AD平分∠BAC，所以∠CAD=12∠BAC，再根据相似三角形的性质得到∠CAD＝∠B，则∠B=12∠【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，∴∠CAD=12∠∵△DAC∽△ABC，∴∠CAD＝∠B，∴∠B=12∠∵∠C＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，即∠B+2∠B＝90°，∴∠B＝30°．故答案为：30．13．（4分）如图，点M为双曲线y=kx上一点，MP⊥x轴于点B，且S△MOP=32，则【分析】由k＜0，S△MOP=|k|2求得【解答】解：∵MP⊥x轴，∴S△MOP=|k|∴|k|＝3，∵函数图象经过第二象限，∴k＜0，∴k＝﹣3．故答案为：﹣3．14．（4分）已知x1，x2是方程x2﹣（2k﹣1）x+（k2+3k+5）＝0的两个实数根，且x12+x22＝39，则k的值为﹣3．【分析】先根据判别式的意义得到Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3k+5）≥0，解得k≤−1916，再根据根与系数的关系得到x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2+3k+5，接着把已知条件变形得到（x1+x2）2﹣2x1x2＝39，则（2k﹣1）2﹣2（k2+3k+5）＝39，解得k1＝﹣3，k2＝8，然后根据k的范围确定【解答】解：根据题意得Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3k+5）≥0，解得k≤−19∵x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2+3k+5，而x12+x22＝39，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝39，∴（2k﹣1）2﹣2（k2+3k+5）＝39，整理得k2﹣5k﹣24＝0，解得k1＝﹣3，k2＝8，而k≤−19∴k＝﹣3．故答案为﹣3．15．（4分）设α，β是方程x2+x﹣2018＝0的两个实数根，则−β−α+12αβ【分析】根据根与系数的关系得α+β＝﹣1，αβ＝2018，再把−β−α+12αβ变形为﹣（α+β）【解答】解：根据根与系数的关系得α+β＝﹣1，αβ＝﹣2018，所以−β−α+12αβ=−（α+β）+1故答案为：﹣1008．16．（4分）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为：(3，12【分析】由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，设P（3，a），则AP＝a，BP＝4﹣a；分两种情况：①若∠CPM＝90°，②若∠CMP＝90°，根据勾股定理分别求出CP2、MP2、CM2，并根据图形列出关于a的方程，解得a的值，则可得答案．【解答】解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，∴设P（3，a），则AP＝a，BP＝4﹣a；①若∠CPM＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9，在Rt△MPA中，由勾股定理得：MP2＝MA2+AP2＝1+a2，在Rt△MPC中，由勾股定理得：CM2＝MP2+CP2＝1+a2+（4﹣a）2+9＝2a2﹣8a+26，又∵CM2＝OM2+OC2＝4+16＝20，∴2a2﹣8a+26＝20，∴（a﹣3）（a﹣1）＝0，解得：a＝3或a＝1，∴P（3，3）或（3，1）；②若∠CMP＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9，在Rt△MPA中，由勾股定理得：MP2＝MA2+AP2＝1+a2，∵CM2＝OM2+OC2＝20，在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM2+MP2＝CP2，∴20+1+a2＝（4﹣a）2+9，解得：a=1∴P（3，12综上，P（3，12故答案为：P(3，117．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，F为AC中点，D是线段AB上一动点，连接CD，将线段CD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接EF，则点D在运动过程中，EF的最大值为45，最小值为22【分析】取BC的中点G，连接DG，依据△DCG≌△ECF（SAS），即可得出EF＝DG，再根据点D是线段AB上一动点，利用勾股定理即可得到EF的最大值以及最小值．【解答】解：如图所示，取BC的中点G，连接DG，由旋转可得DC＝EC，∠DCE＝90°，又∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，F为AC中点，∴CG＝CF，∠DCG+∠ACD＝∠ECF+∠ACD＝90°，∴∠DCG＝∠ECF，∴△DCG≌△ECF（SAS），∴EF＝DG，①如图1所示，当GD⊥AB时，DG最短，此时△BDG是等腰直角三角形，∴DG＝BG×sin45°＝4×22=即EF的最小值为22；②当D与B重合时，DG＝BG＝4；③如图2所示，当D与A重合时，DG=C即EF的最大值为45故答案为：45，2218．（4分）如图，直线y=−12x+5与坐标轴交于A，B两点，交反比例y=kx（x＞0）的图象于C，D两点，且CD＝3AC，点E是直线AB上一点，连接OE，以OE为边在OE右侧作直角三角形OEF，∠OEF＝90°，∠OFE＝∠ABO，若边OF交反比例函数图象于点G，OG＝GF，则k值为8，点E的坐标是（18【分析】根据题意，首先根据直线表达式以及坐标轴上点的特征求出A（0，5），B（10，0）；设点C的坐标为（a，b），过点C作CM⊥y轴于点M，过点D作DN⊥y轴于点N，则△AMC∽△AND，由相似三角形的性质，结合CD＝3AC求出出点D的坐标为（4a，4b﹣15），根据反比例函数上点的坐标之积相等，即可求出k值；连接BF，结合已知可得O、B、F、E四点共圆，所以点G是圆心，OF是直径，∠OBF＝90°；接下来求出点G的坐标，进而即可得到点F的坐标，设出点E的坐标，再利用勾股定理进行求解即可．【解答】解：直线y=−12x+5与坐标轴交于A，∴A（0，5），B（10，0），设点C的坐标为（a，b），过点C作CM⊥y轴于点M，过点D作DN⊥y轴于点N，∴b=−12a+5，CM＝a，AM＝5﹣b，△AMC∽△∴AMAN又∵CD＝3AC，AD＝AC+CD，∴5−bAN∴AN＝4（5﹣b），∴ON＝OA﹣AN＝5﹣4（5﹣b）＝4b﹣15，∴点D的坐标为（4a，4b﹣15），∵点C、D在反比例函数y=kx（∴k＝ab＝4a（4b﹣15），解得，b＝4，将b＝4代入b=−12a+5，得∴k＝4×2＝8．如图，连接BF．∵∠OFE＝∠ABO，∴O、B、F、E四点共圆，∵∠OEF＝90°，OG＝GF，∴点G是圆心，OF是直径，∴∠OBF＝90°．∵B（10，0），∴点G的横坐标为5，当x＝5时，y=8∴点G的坐标为（5，85∵OG＝GF，∴点F的坐标为（10，165设点E的坐标为（x，−12由勾股定理可得OE2+EF2＝OF2，∴x2+（−12x+5）2+（10﹣x）2+（−12x+5−165）2＝10解得x=1825或∴点E的坐标为（1825，116故答案为：8；（1825，116三．解答题（共8小题，满分78分）19．（12分）（1）计算：|1−23（2）解不等式组：x−3(x−2)≥41+2x（3）解方程：x2x−1（4）解方程：x2﹣4x+4＝3x﹣6．【分析】（1）原式利用负整数指数的意义、零指数的意义，绝对值的意义化简，把二次根式转化为最简二次根式，然后合并后即可得到结果；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案；（3）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（4）利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）原式＝23−1﹣2﹣1﹣2＝﹣4；（2）x−3(x−2)≥4①1+2x解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＜4，则不等式组的解集为x≤1；（3）方程整理得：x2x−1=2去分母得：x＝4x﹣2+3，解得：x=−1经检验x=−1（4）整理，得：（x﹣2）2＝3（x﹣2），（x﹣2）2﹣2（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣2﹣，3）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣5＝0，∴x1＝2，x2＝5．20．（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．（1）点A的坐标为（﹣2，1），点B的坐标为（﹣3，﹣2），点C的坐标为（1，﹣2）．（2）以原点O为位似中心，将△ABC放大，使变换后得到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为2：1，请在网格内画出△A1B1C1．（3）求出△A1B1C1的面积．【分析】（1）利用点的坐标的表示方法求解；（2）把A、B、C的横纵坐标都乘以﹣2（或乘以2）得到A1、B1、C1的坐标（或A′1，、B′1、C′1的坐标），然后描点即可；（3）根据三角形面积公式求解．【解答】解：（1）A（﹣2，1），B（﹣3，﹣2），C（1，﹣2）；故答案为（﹣2，1），（﹣3，﹣2），（1，﹣2）；（2）如图，△A1B1C1为所作；（3）△A1B1C1的面积=121．（8分）如图，小华和同伴在春游期间，发现在某地小山坡的点E处有一颗盛开着桃花的小桃树，他想利用平面镜测量的方式计算一下小桃树到山脚下的距离，即DE的长度，小华站在点B的位置，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E，且BC＝3米，CD＝11.5米，∠CDE＝120°，已知小华的身高AB为2米，请你利用以上的数据求出DE的长度．（结果保留根号）【分析】过E作EF⊥BC于F．证明△ABC∽△EFC，根据相似三角形的性质解答即可．【解答】解：过E作EF⊥BC于F．∵∠CDE＝120°，∴∠EDF＝60°，设DF为x米，DE＝2x米，EF=3x∵∠B＝∠EFC＝90°，∵∠ACB＝∠ECD，∴△ABC∽△EFC，∴ABBC∴23∴x＝33+∴DE＝（63+答：DE的长度为（63+22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象相交于A（1，2m﹣4），B（（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）连接AO并延长与反比例函数图象交于点E，连接BE，求△AEB的面积．（3）直接写出kx＜ax+【分析】（1）把A（1，2m﹣4），B（m，1）两点代入y=kx，根据k＝xy得到关于m的方程，解方程求得m的值，即可求得A、（2）根据A的坐标求得直线OA：y＝4x，由题意求得E（﹣1，﹣4），过B点作BC∥x轴，交AE于C，即可求得C（14，1），然后根据S△ABE＝S△ABC+S△BCE（3）根据图象即可求得．【解答】解：（1）A（1，2m﹣4），B（m，1）两点代入y=kx中，得2m﹣4＝解得，m＝4，∴A（1，4），B（4，1），∵k＝1×4＝4，∴反比例函数的解析式为y=4把A（1，4），B（4，1）代入y＝ax+b得，a+b=44a+b=1解得a=−1b=5∴一次函数的表达式为y＝﹣x+5；（2）由题意可知，点A与点E关于原点对称，∴E（﹣1，﹣4），过B点作BC∥x轴，交AE于C，∵A（1，4），∴直线OA的解析式为y＝4x，∴C（14∴S△ABE＝S△ABC+S△BCE=12×（3）由图象可知，kx＜ax+b的解集是1＜x＜4或23．（10分）如图，矩形ABCD中，已知AB＝6．BC＝8，点E是射线BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B的对应点为点B′．（1）如图1，延长AB′交CD于点M，求证：AM＝FM；（2）如图2，若点B′恰好落在对角线AC上，求BECE（3）若BECE=32，延长AB′交CD于点【分析】（1）由折叠的性质及等腰三角形的判定可得出答案；（2）由勾股定理求出AC＝10，证明△ABE∽△FCE，由比例线段BECE（3）分两种情况讨论：①点E在线段BC上，②点E在BC的延长线上，分别设DM＝x，根据Rt△ADM中，AM2＝AD2+DM2，得到关于x的方程，求得x的值，据此即可得解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠F＝∠BAF，由折叠可知：∠BAF＝∠MAF，∴∠F＝∠MAF，∴AM＝FM；（2）解：由（1）可知△ACF是等腰三角形，AC＝CF，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∴AC=A∴CF＝AC＝10，∵AB∥CF，∴△ABE∽△FCE，∴BECE（3）解：①当点E在线段BC上时，AB'的延长线交CD于点M，由AB∥CF可得：△ABE∽△FCE，∴ABCF∵BECE∴ABCF即6CF∴CF＝4，由（1）可知AM＝FM，设DM＝x，则MC＝6﹣x，则AM＝FM＝10﹣x，在Rt△ADM中，AM2＝AD2+DM2，即（10﹣x）2＝82+x2，解得：x=9∴AM＝10﹣x＝10−9∴DMAM②当点E在BC的延长线上时，由AB∥CF可得：△ABE∽△FCE，∴ABCF∵BECE∴ABCF即6CF∴CF＝4，则DF＝6﹣4＝2，设DM＝x，则AM＝FM＝2+x，在Rt△ADM中，AM2＝AD2+DM2，即（2+x）2＝82+x2，解得：x＝15，∴AM＝2+x＝17，∴DMAM综上所述：DMAM的值为941或24．（8分）在2022年的中考中，我校600分以上人数为300人，到了2024年中考时，全校600分以上人数达到了507人．（1）求这两年中考成绩为600分以上的人数的年平均增长率？（2）校门外的博士文具店购进600个大运会吉祥物，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售，仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，第三周商店对剩余吉祥物清仓处理，以每个4元的价格全部售出，最终这批吉祥物共获利1250元．①设第二周销售利润为y元，请求出y关于x的函数关系式；②请求出第二周每个吉祥物的销售价格为多少元？【分析】（1）由题意得：300（1+x）2＝507，求解即可；（2）①由题意得：y＝（10﹣6﹣x）（200+50x）＝﹣50x2+800，即可求解；②利用三周销售利润之和为1250可得：（10﹣6）×200+（﹣50x2+800）+（4﹣6）[600﹣200﹣（200+50x）]＝1250，即可求解．【解答】解：（1）这两年中考成绩为600分以上的人数的年平均增长率为x，由题意得：300（1+x）2＝507，解得x＝﹣2.3（舍去）或0.3，故这两年中考成绩为600分以上的人数的年平均增长率为30%；（2）①由题意得：y＝（10﹣6﹣x）（200+50x）＝﹣50x2+800；②由题意得：（10﹣6）×200+（﹣50x2+800）+（4﹣6）[600﹣200﹣（200+50x）]＝1250，解得x＝1，故第二周每个吉祥物的销售价格为10﹣1﹣9（元）．25．（10分）如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，连接DE、DC，DE交AC于点G，且DE＝DC．（1）请证明∠ACD＝∠BDE；（2）若AB＝mAD，求DGGE的值（用含m（3）如图2，将△ABC沿BC翻折，若点A的对应点A'恰好落在DE的延长线上，求BEEC【分析】（1）由DE＝DC，得∠DEC＝∠DCE，即∠B+∠BDE＝∠ACB+∠ACD，而∠B＝∠ACB，故∠BDE＝∠ACD；（2）通过证明△DAG∽△CAD，可得DGDC=ADAC，可求（3）先证四边形ABA′C是菱形，即AB＝BA′＝A′C＝AC，由△DAC∽△A′BD，可得ADAB=ABBD，可知A是BD的黄金分割点ADAB=ABBD=5−12，设AD＝（5−1）k，则AB＝2k＝BA′，BD＝（5+1）k，由△DAG∽△DBA′，可得AG＝（3−5【解答】（1）证明：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，∴∠B+∠BDE＝∠ACB+∠ACD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠BDE＝∠ACD；（2）解：∵∠DCA＝∠BDE，∠DAG＝∠DAC，∴△DAG∽△CAD，∴DGDC∵AB＝mAD，AB＝AC，DE＝DC，∴DGDE∴DE＝mDG，∴GE＝DE﹣DG＝（m﹣1）DG，∴DGCE（3）解：∵将△ABC沿BC翻折，点A的对应点A′恰好落在DE的延长线上，∴∠ABC＝∠GBC，∠ACB