（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+巩固训练+随堂检测04 三角恒等变换（教师版）

第页第04讲三角恒等变换（和差公式、倍角公式）知识讲解正弦的和差公式余弦的和差公式正切的和差公式正弦的倍角公式余弦的倍角公式升幂公式：，降幂公式：，正切的倍角公式半角公式(1)sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2)).(2)coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2)).(3)taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).以上称之为半角公式，符号由eq\f(α,2)所在象限决定．和差化积与积化和差公式推导公式辅助角公式，，其中，考点一、两角和与差的三角函数综合应用【例1】若，则（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；选C.[方法三]：三角恒等变换所以即故选：C.【变式1】已知，则（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.【详解】由题意可得：，则：，，从而有：，即.故选：B.【变式2】已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（

）A．–2B．–1C．1D．2【答案】D【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.【详解】，，令，则，整理得，解得，即.故选：D.考点二、倍角公式的综合应用【例2】（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.【详解】由题意，.故选：D.【变式3】已知=，则的值是.【答案】【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.【详解】故答案为：【变式4】若，则（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：．故选：C．【变式5】若，则，．【答案】【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求．【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理∵，∴，即，即，令，，则，∴，即，∴，则.故答案为：；.[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程∵，∴，即，又，将代入得，解得，则.故答案为：；.考点三、半角公式的综合应用【例3】已知为锐角，，则（

）．A．B．C．D．【答案】D【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【详解】因为，而为锐角，解得：．故选：D．【变式6】已知，若是第二象限角，则（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据诱导公式求，再利用平方关系可求，然后利用公式即可求解.【详解】解：因为，所以，又是第二象限角，所以，所以.故选：B．【变式7】数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图，点为半圆上一点，，垂足为，记，则由可以直接证明的三角函数公式是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据直角三角形中的定义写出，用表示出，然后分析可得．【详解】由已知，则，，又，，，，因此，故选：C．考点四、辅助角公式的综合应用【例4】若函数的一个零点为，则；．【答案】1【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可.【详解】∵，∴，∴，故答案为：1，【变式8】函数的最小正周期和最大值分别是（

）A．和B．和2C．和D．和2【答案】C【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.【详解】由题，，所以的最小正周期为，最大值为.故选：C．【变式9】若函数的最大值为2，则常数的一个取值为．【答案】（均可）【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得，可得，即可解出.【详解】因为，所以，解得，故可取.故答案为：（均可）.考点五、三角恒等变换的综合应用【例5】下列化简不正确的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用三角恒等变换的知识进行化简，从而确定正确答案.【详解】A选项，，所以A选项正确.B选项，，B选项正确.C选项，，C选项正确.D选项，，D选项错误.故选：D【变式10】若，则（

）A．0B．C．1D．【答案】C【分析】根据题意和正弦的倍角公式，化简得到，再由余弦的倍角公式，得到，令，求得，结合，即可求解.【详解】解：由，可得，又由正弦的倍角公式，可得，即，令，则，解得，所以.故选：C.【变式11】已知为第二象限角，，则（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】由平方关系和辅助角公式可求解.【详解】为第二象限角，，原式..故选：B.【变式12】函数的最小值为.【答案】【分析】根据二倍角公式化简，即可求解最值.【详解】因为，所以当时，，此时的最小值为.故答案为：【基础过关】一、单选题1．设，则等于（

）A．-2B．2C．-4D．4【答案】C【分析】先用两角差的正切公式可求出的值，再用两角和的正切公式即可求解【详解】因为，所以，故，故选：C．2．已知，则（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式计算可得.【详解】因为，所以.故选：C3．已知，，则（

）A．4B．6C．D．【答案】D【分析】由正弦和正切的和差角公式即可代入求值.【详解】由得，进而可得，所以，故选：D4．已知直线的倾斜角为，则（

）A．-3B．C．D．【答案】B【分析】利用直线的斜率的定义及二倍角的余弦公式，结合同角三角函数的平方关系和商数关系即可求解.【详解】因为直线的倾斜角为，所以.所以.故选：B.5．若，，则（

）A．1B．C．D．【答案】C【分析】首先求出，即可得到，再根据计算可得.【详解】因为，所以，，，又，所以，即，所以.故选：C6．已知，，则（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用二倍角公式，两角和的正弦公式化简求解即可.【详解】由题意得，，因为，所以，所以，即，所以.故选：B7．已知锐角，满足，则的值为（

）A．1B．C．D．【答案】C【分析】利用二倍角公式公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再根据两角差的正切公式计算可得.【详解】因为，所以，所以，所以，即，即，所以.故选：C8．已知，，，则（

）A．B．C．D．1【答案】B【分析】先根据二倍角公式化简条件得：，再根据角的范围及诱导公式得，利用正弦函数的单调性可得，化简求值即可.【详解】由，得，①化简①式，得，又，所以，即，因为，，所以，且在上单调递增，所以，所以，则，所以.故选：B．二、填空题9．已知，则.【答案】/-0.8【分析】根据正切的差角公式得出，再结合同角三角函数的平方关系，构造齐次式化简弦为切计算即可.【详解】由，又，代入得.故答案为：10．若，则的值为．【答案】或【分析】根据给定条件，利用齐次式法求出，再利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解作答.【详解】因为，则，则，即，解得，所以的值为或.故答案为：或【能力提升】一、单选题1．已知角，满足，，则（

）A．B．C．D．2【答案】A【分析】根据积化和差公式可得，结合二倍角公式以及弦切互化得齐次式即可求解.【详解】由得，进而，则所以，则.故选：A.2．已知，则（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据角的变换及诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系求解.【详解】，，.故选：D3．设，，，则有（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用辅助角公式化简a，正切二倍角公式和放缩放化简b，余弦二倍角公式化简c，然后根据正弦函数的单调性比较可得.【详解】，，，当，单调递增，所以，所以.故选：C4．已知锐角满足，则（

）A．B．C．D．1【答案】D【分析】先根据求出，再利用二倍角得正切公式求出，再根据两角和得正切公式即可得解.【详解】由，得，即，解得，又为锐角，所以，又，即，解得（舍去），所以，所以.故选：D.5．若，，则等于（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用二倍角和两角差的余弦公式，再结合角的范围，即可求解.【详解】依题意可知，，即，即，得，因为，，所以，即.故选：D课后训练2．的值为（

）A．B．1C．D．【答案】A【分析】运用正切两角和公式变形求解即可.【详解】，令，则，所以，即.故选：A.2．已知，则（

）．A．B．C．D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为，而，因此，则，所以.故选：B3．已知，则（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用二倍角的余弦公式求解.【详解】解：因为，所以，即，所以．，故选：B．4．函数的最小正周期为（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据平方关系结合二倍角的正弦公式及降幂公式化简，再根据余弦函数的周期性即可得解.【详解】解：，因为函数的最小正周期.故选：B.5．已知，则的近似值为（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】首先求出，再根据利用两角差的正、余弦公式展开，最后利用诱导公式变形，代入计算可得.【详解】因为，所以，所以.故选：B6．已知，，若，则（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用已知条件和两角和的正切公式，先求出角，再利用已知条件即可求解.【详解】因为，又因为，，所以，所以因为，所以，所以，所以当为奇数时，，，当为偶数时，，，因为，所以，因为，所以.故选：C.7.若为锐角，且，则．【答案】2【分析】根据两角和的正切公式变形即可得解.【详解】因为，所以，故答案为：28．若函数的最小值为，则常数的一个取值为.（写出一个即可）【答案】（答案不唯一）.【分析】化简函数解析式，由条件结合正弦函数性质求常数的一个取值即可.【详解】可化为，所以，设，则，设，则，因为函数的最小值为，所以，，所以或，其中，故答案为：（答案不唯一）.随堂检测1．（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用两角差的余弦公式即可求解.【详解】．故选：A.2．若tanα＝3，tanβ＝，则tan(α－β)等于（

）A．3 B．－3 C． D．【答案】C【分析】由两角差的正切公式即可求解.【详解】解：tan(α－β)＝＝＝，故选：C.3．的值等于（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据二倍角的正弦公式化简计算即可.【详解】解：.故选：B.4．已知，则（

）A．0B．C．D．【答案】A【分析】利用两角和差的正弦公式将题给条件化简，得到关于的方程，解之即可求得的值.【详解】，，又，则，则故选：A5．若，则（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】，，，，解得，，.故选：A.6．函数是A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2C．奇函数，且最大值为D．偶函数，且最大值为【答案】D【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，又，所以当时，取最大值.故选：D.7.若，是第三象限的角，则＝（）A．2B．