（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+巩固训练+随堂检测01 基本不等式（教师版）

第页专题01基本不等式知识讲解基本不等式，当且仅当时取等号其中叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数通常表达为：（积定和最小）应用条件：“一正，二定，三相等”基本不等式的推论1（和定积最大）当且仅当时取等号基本不等式的推论2当且仅当时取等号其他结论①eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(ab＞0)．②eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a＞0，b＞0)．③已知a，b，x，y为正实数，若ax＋by＝1，则有eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝＝a＋b＋eq\f(by,x)＋eq\f(ax,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.若eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，则有x＋y＝＝a＋b＋eq\f(ay,x)＋eq\f(bx,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.注意1．使用基本不等式求最值时，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．注意2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．注意3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致．考点一、直接用基本不等式求最值【例1】已知实数，则的最小值为___________.【答案】【分析】运用基本不等式求和的最小值即可.【详解】∵，，，∴，当且仅当即时取等号.故答案为：.【变式1】的最小值为______.【答案】9【分析】利用基本不等式解出最小值即可.【详解】，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9.故答案为：9考点二、巧用“1”或常数关系求最值【例2】若，，，则的最小值为______．【答案】8【分析】由已知条件变形，然后利用基本不等式求解.【详解】若，，，则，当且仅当时取等号，则的最小值为8.故答案为：8.【变式2】已知，且，则的最小值为______．【答案】2【分析】根据基本不等式凑项法和“1”的巧用即可求得最值.【详解】因为，所以，又，所以则，当且仅当且，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.【变式3】若，且，则的最小值为（

）A．9B．3C．1D．【答案】C【分析】由基本不等式得，进而结合已知条件得的最小值为.【详解】解：因为，所以，因为所以，即，当且仅当，即时等号成立，所以，即的最小值为.故选：C考点三、变形为分式的“分母”形式求最值【例3】已知，则的最小值为（

）A．8B．9C．10D．11【答案】B【分析】运用基本不等式的性质进行求解即可.【详解】因为，所以由，当且仅当时取等号，即时取等号，故选：B【变式4】已知，则的最小值是（

）A．6B．8C．10D．12【答案】D【分析】利用基本不等式性质求解即可.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值为.故选：D【变式5】已知实数，且，则的最小值为___________.【答案】【分析】运用基本式中的“1”的活用，即可得出结果.【详解】，，，当且仅当时，取等号.故答案为：.考点四、两次应用基本不等式求最值【例4】已知实数，满足，则当取得最小值时，的值为（

）A．1B．C．2D．【答案】D【分析】两次应用基本不等式，根据两次不等式等号成立的条件列方程求解即可.【详解】因为实数，满足，所以，当且仅当时，，所以，当且仅当且时，等号成立；所以当且时，取得最小值4，此时解得，故选：D.【变式6】若，，则的最小值为___________.【答案】8【分析】，然后利用基本不等式求解即可.【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故答案为：8考点五、条件等式变形求最值【例5】若x，y满足，则（

）A．B．C．D．【答案】BC【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．故选：BC．【变式7】已知a>0，b>0，且a+b=1，则（

）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD【变式8】已知a，b，c均为正数，且满足，则的最小值为______．【答案】【分析】根据基本不等式进行化简求解即可.【详解】因为a，b，c均为正数，所以，当且仅当，时等号同时成立.故答案为：.考点六、构造法或换元法求最值【例6】已知，，，，则的最小值为（

）A．B．2C．6D．【答案】D【分析】基本不等式乘1法，构造法解决即可.【详解】，当且仅当时等号成立，（应用基本不等式时注意等号成立的条件）所以，当且仅当，即且时，等号成立，故最小值为，故选：D【变式9】已知正实数x，y满足，则的小值为______．【答案】【分析】利用待定系数法可得出，与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】设，可得，解得，所以，，当且仅当时，即等号成立，则的小值为.故答案为：9.【变式10】若，，则的最大值为____________．【答案】【分析】由，再利用基本不等式即可得解.【详解】，当且仅当且，即时，取等号，所以的最大值为.故答案为：.考点七、利用基本不等式判断或证明不等式关系【例7】已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】由不等式的性质判断A、B，根据基本不等式可判断C、D.【详解】因为且，所以或，对A：若，则，若，则，A错误；对B：∵，，∴，B错误；对C：由或，知且，∴，C正确；对D：当时，有，从而当，则且，∴，D错误.故选：C【变式11】已知，则m，n不可能满足的关系是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据对数的运算判断A，根据不等式的性质判断BCD.【详解】，即，即.对于A，成立.对于B，，成立.对于C，，即.故C错误；对于D，成立.故选：C.考点八、基本不等式多选题综合【例8】已知为实数，且，则下列不等式正确的是（

）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】对于A将两边平方即可；对于B举反例即可；对于C作差通分即可；对于D用基本不等式即可.【详解】由可知，所以A项正确；当时，不成立，B项错误；由0得，所以，所以，C项正确；1)，当且仅当，即当时取得等号，D项正确．故选：ACD．【变式12】已知正实数a，b满足，则（

）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】利用基本不等式可得A,B,D正误，利用1的妙用可得C的正误.【详解】对于A，因为，所以，当且仅当，即时，取到等号，故A正确；对于B，，当且仅当，即时，取到等号，故B正确；对于C，，当且仅当，即时，取到等号，故C正确；对于D，，所以，当且仅当，即时，取到等号，故D错误．故选：ABC.【基础过关】1.若正实数，满足．则的最小值为（

）A．12B．25C．27D．36【答案】C【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可；【详解】解：因为，所以．因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以，的最小值为27．故选：C2.已知，则的最小值为（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】用表示后，根据基本不等式可求出结果.【详解】因为，由，得，所以，当且仅当时，等号成立.故的最小值为.故选：D3.已知正实数，则“”是“”的（

）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用基本不等式由可得，可得充分性不成立；当时可得必要性不成立，即可得出结果.【详解】根据基本不等式可得，即，可得，所以充分性不成立；若，可令满足，此时；即必要性不成立；所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D二、多选题4．若，则下列不等式对一切满足条件恒成立的是（

）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】对于A，B，D，利用基本不等式即可求得答案；对于C，利用，求出，结合的范围，利用二次函数的性质即可求得.【详解】对于A，，即，当且仅当时等号成立，所以A正确；对于B，，，又，则，当且仅当时等号成立，所以B错误；对于C，，，所以，则，并且时等号成立.，所以C正确；对于D，，所以，则，当且仅当，即时等号成立，所以D正确.故选：ACD.三、填空题5.设，，若，则取最小值时a的值为______．【答案】【分析】根据题意可得、，结合基本不等式中“1”的用法计算即可求解.【详解】由，，得，由，得，∴，当且仅当即，时等号成立.故当，时取得最小值16.故答案为：.【能力提升】6.已知正实数满足，则的最小值为（

）A．2B．4C．8D．9【答案】C【分析】化简已知式可得，因为，由基本不等式求解即可.【详解】，而，当且仅当，即取等.故选：C.7.若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（

）A．2B．1C．D．【答案】A【分析】先利用条件得到，再利用均值不等式即可得出结果.【详解】因为，所以，又a，b，c均为正数，，当且仅当时取等号，所以，即，故选：A.二、多选题8.已知，且，则下列结论中正确的是（

）A．B．C．D．【答案】AC【分析】利用基本不等式可得，可判断A，C选项,特殊值法判断B，D选项错误.【详解】因为，，，，所以，当且仅当等号成立，故A正确，当,,则,故B错误；因为，所以，故C正确;当时,则，故D错误；故选：AC.9.已知且，则（

）A．的最大值为B．的最大值为2C．的最小值为6D．的最小值为4【答案】BC【分析】利用基本不等式可判断AB；先将化为，再妙用“1”可判断C；取特值可判断D.【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立，故错误；因为，所以，即，，当且仅当时，等号成立，故B正确；由得，所以，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故C正确；令，则，所以的最小值不是4，D错误.故选：BC.三、填空题10.已知正数满足，则的最小值为___________.【答案】18【分析】对等式进行变形，再根据基本不等式进行求解即可.【详解】因为，则，又，是正数，所以，当取得等号，即且时取等号，所以的最小值为，故答案为：.11.设，则的最小值为______.【答案】6【分析】对式子进行变形，然后利用基本不等式求解即可.【详解】，当且仅当取等号，即取等号，所以的最小值为6.故答案为：612.若，则的值可以是__________．【答案】5（答案不唯一，只要不小于即可）【分析】由基本不等式“1”的代换求解即可.【详解】因为，所以．因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，则.故答案为：5（答案不唯一，只要不小于即可）13.已知，且，则的最小值为___________.【答案】【分析】由基本不等式求解即可.【详解】，且，，当且仅当时等号成立.故答案为：.巩固训练1．（多选）已知，则下列不等式正确的是（

）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】作差法比较A、B、D的大小，利用基本不等式判断C即可.【详解】，则，A对；，而，所以，即，B错；且，仅当等号成立，而，故，C对；，而，所以，即，D对.故选：ACD2.已知，，且，则（

）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】对于A利用基本不等式可判断；对于B利用不等式的基本性质以及指数函数的单调性即可判断；对于C可用特殊值法判断；对于D直接根据不等式的基本性质判断即可．【详解】，，且，，，当且仅当取等号，故A正确；，，且，，故B正确；则，故D正确；取，则，故C错误.故选：ABD．3.已知为非零实数，，均为正实数，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.【详解】因为为非零实数，，，均为正实数，则，当且仅当且，即时取等号，则的最大值为．故选：B．4.若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（

）A．6 B． C． D．【答案】C【分析】利用因式分解法，结合基本不等式进行求解即可.【详解】，因为a，b，c均为正数，所以有，当且仅当时取等号，即时取等号，故选：C5.若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（

）A．2 B．1 C． D．【答案】A【分析】先利用条件得到，再利用均值不等式即可得出结果.【详解】因为，所以，又a，b，c均为正数，，当且仅当时取等号，所以，即，故选：A.6．已知实数，满足，则的最大值为_____________.【答案】【分析】利用重要不等式，转化为不等式，求的最大值.【详解】因为，所以，即，当时，等号成立，所以的最大值是.故答案为：7.设且，则的最小值为_________．【答案】【分析】由已知条件可知，且，再展开，并利用基本不等式求其最小值.【详解】因为，所以，，因为，所以，所以，当且仅当，即，时取得最小值．故答案为：.8.已知，若的最小值大于7，写出满足条件的一个a的值：__________．【答案】4（答案不唯一，只要即可）.【分析】根据基本不等式求出的最小值，得到不等式，得到，写出一个符合要求的a的值即可.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，由，得．故答案为：4（答案不唯一，只要即可）.9.已知正实数满足，则的最小值为___________.【答案】【分析】构造函数，利用单调性可得，再利用均值不等式即可求解.【详解】由，得，令，则在上单调递增，所以，即，又因为是正实数，所以，当且仅当，即时等号成立，故答案为：随堂检测1．若正数满足，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】利用基本不等式及不等式的性质即可求解.【详解】因为正数满足，所以.所以,当且仅当，即时，取等号，当时，取得的最小值为.故选：A.2.已知，，且，则的最小值是（

）A．2 B．4 C． D．9【答案】C【分析】根据“乘1法”，运用基本不等式即可求解.【详解】依题意，因为，所以，则，当且仅当，时，等号成立．故选：C.3．（多选）已知，则下列不等式成立的是（

）A．B．C．D．【答案】BD【分析】利用作差法与基本不等式，分别判断各不等式.【详解】A选项：由选项可知与同号，当且时，由基本不等式可知恒成立，当且时，，时，该不等式不成立，故A选项错误；B选项：当时，，则恒成立