高考数学总复习《平面向量的概念及线性运算》专项测试卷及答案

第第页高考数学总复习《平面向量的概念及线性运算》专项测试卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单项选择题1．(2024·河北廊坊第一次联考)在△ABC中，eq\o(BD,\s\up15(→))＝2eq\o(DC,\s\up15(→))，E是AD的中点，则eq\o(AE,\s\up15(→))＝()A．eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up15(→)) B．eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up15(→))C．eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up15(→)) D．eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up15(→))2．设a是任一向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表示形式中正确的是()A．e＝eq\f(a,|a|) B．a＝|a|eC．a＝－|a|e D．a＝±|a|e3．在平行四边形ABCD中，|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝3，∠ABC＝120°，若eq\f(\o(BA,\s\up15(→)),|\o(BA,\s\up15(→))|)＋eq\f(\o(BC,\s\up15(→)),|\o(BC,\s\up15(→))|)＝eq\f(\o(BD,\s\up15(→)),|\o(BD,\s\up15(→))|)，则|eq\o(AC,\s\up15(→))|＝()A．2eq\r(3) B．3eq\r(3)C．4eq\r(3) D．34．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则Oeq\o(P,\s\up15(→))＋Oeq\o(Q,\s\up15(→))＝()A．Oeq\o(H,\s\up15(→)) B．Oeq\o(G,\s\up15(→))C．Eeq\o(O,\s\up15(→)) D．Feq\o(O,\s\up15(→))5．已知M是△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是()A．|Meq\o(A,\s\up15(→))|＝|Meq\o(B,\s\up15(→))|＝|Meq\o(C,\s\up15(→))|B．Meq\o(A,\s\up15(→))＋Meq\o(B,\s\up15(→))＋Meq\o(C,\s\up15(→))＝0C．Beq\o(M,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)Beq\o(A,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)Beq\o(D,\s\up15(→))D．S△MBC＝eq\f(1,3)S△ABC6．如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AC,\s\up15(→))＝b，则eq\o(AD,\s\up15(→))＝()A．a－eq\f(1,2)b B．eq\f(1,2)a－bC．a＋eq\f(1,2)b D．eq\f(1,2)a＋b7．在四边形ABCD中，Aeq\o(B,\s\up15(→))＝a＋2b，Beq\o(C,\s\up15(→))＝－4a－b，Ceq\o(D,\s\up15(→))＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是()A．矩形 B．平行四边形C．梯形 D．以上都不对8．如图所示，设O是△ABC内部一点，且Oeq\o(A,\s\up15(→))＋Oeq\o(C,\s\up15(→))＝－2Oeq\o(B,\s\up15(→))，则△ABC与△AOC的面积之比为()A．4∶1 B．2∶1C．3∶2 D．4∶39．已知向量e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ＝()A．2 B．－2C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)10．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若Oeq\o(A,\s\up15(→))－4Oeq\o(B,\s\up15(→))＋3Oeq\o(C,\s\up15(→))＝0，则eq\f(|A\o(B,\s\up15(→))|,|C\o(A,\s\up15(→))|)＝()A．eq\f(1,3) B．eq\f(3,4)C．eq\f(1,2) D．eq\f(4,3)二、多项选择题11．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是()A．若Aeq\o(M,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)Aeq\o(B,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)Aeq\o(C,\s\up15(→))，则点M是边BC的中点B．若Aeq\o(M,\s\up15(→))＝2Aeq\o(B,\s\up15(→))－Aeq\o(C,\s\up15(→))，则点M在边BC的延长线上C．若Aeq\o(M,\s\up15(→))＝－Beq\o(M,\s\up15(→))－Ceq\o(M,\s\up15(→))，则点M是△ABC的重心D．若Aeq\o(M,\s\up15(→))＝xeq\o(AB,\s\up15(→))＋yeq\o(AC,\s\up15(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，则△MBC的面积是△ABC面积的eq\f(1,2)三、填空题与解答题12．一条河的两岸平行，河的宽度d＝4km，一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，已知船的速度|v1|＝10km/h，水流速度|v2|＝2km/h，那么当行驶航程最短时，所用时间是________h．(附：eq\r(6)≈2.449.结果精确到0.01)13．(2024·云南丽江模拟)在△ABC中，点D在线段AC上，且满足|eq\o(AD,\s\up15(→))|＝eq\f(1,3)|eq\o(AC,\s\up15(→))|，点Q为线段BD上任意一点，若实数x，y满足eq\o(AQ,\s\up15(→))＝xeq\o(AB,\s\up15(→))＋yeq\o(AC,\s\up15(→))，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值为________．14．设a，b是不共线的两个向量．(1)若Oeq\o(A,\s\up15(→))＝2a－b，Oeq\o(B,\s\up15(→))＝3a＋b，Oeq\o(C,\s\up15(→))＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．高分推荐题15．(2024·河北衡水中学模拟)已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\f(\o(OB,\s\up15(→))＋\o(OC,\s\up15(→)),2)＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up15(→)),|\o(AB,\s\up15(→))|cosB)＋\f(\o(AC,\s\up15(→)),|\o(AC,\s\up15(→))|cosC)))，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹经过△ABC的()A．外心 B．内心C．重心 D．垂心解析版一、单项选择题1．(2024·河北廊坊第一次联考)在△ABC中，eq\o(BD,\s\up15(→))＝2eq\o(DC,\s\up15(→))，E是AD的中点，则eq\o(AE,\s\up15(→))＝()A．eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up15(→)) B．eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up15(→))C．eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up15(→)) D．eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up15(→))解析：在△ABC中，因为eq\o(BD,\s\up15(→))＝2eq\o(DC,\s\up15(→))，所以eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up15(→))，则eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up15(→))，因为E是AD的中点，所以eq\o(AE,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up15(→))，故选A．答案：A2．设a是任一向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表示形式中正确的是()A．e＝eq\f(a,|a|) B．a＝|a|eC．a＝－|a|e D．a＝±|a|e解析：对于A，当a＝0时，eq\f(a,|a|)没有意义，错误；对于B，C，D，当a＝0时，选项B，C，D都对；当a≠0，由a∥e可知，a与e同向或反向．故选D．答案：D3．在平行四边形ABCD中，|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝3，∠ABC＝120°，若eq\f(\o(BA,\s\up15(→)),|\o(BA,\s\up15(→))|)＋eq\f(\o(BC,\s\up15(→)),|\o(BC,\s\up15(→))|)＝eq\f(\o(BD,\s\up15(→)),|\o(BD,\s\up15(→))|)，则|eq\o(AC,\s\up15(→))|＝()A．2eq\r(3) B．3eq\r(3)C．4eq\r(3) D．3解析：∵eq\f(\o(BA,\s\up15(→)),|\o(BA,\s\up15(→))|)＋eq\f(\o(BC,\s\up15(→)),|\o(BC,\s\up15(→))|)＝eq\f(\o(BD,\s\up15(→)),|\o(BD,\s\up15(→))|)，则BD平分∠ABC，则四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝120°，由|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝|eq\o(BC,\s\up15(→))|＝3，∴|eq\o(AC,\s\up15(→))|＝3eq\r(3)，故选B．答案：B4．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则Oeq\o(P,\s\up15(→))＋Oeq\o(Q,\s\up15(→))＝()A．Oeq\o(H,\s\up15(→)) B．Oeq\o(G,\s\up15(→))C．Eeq\o(O,\s\up15(→)) D．Feq\o(O,\s\up15(→))解析：在方格纸上作出Oeq\o(P,\s\up15(→))＋Oeq\o(Q,\s\up15(→))，如图所示，连接FO，则容易看出Oeq\o(P,\s\up15(→))＋Oeq\o(Q,\s\up15(→))＝Feq\o(O,\s\up15(→))，故选D．答案：D5．已知M是△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是()A．|Meq\o(A,\s\up15(→))|＝|Meq\o(B,\s\up15(→))|＝|Meq\o(C,\s\up15(→))|B．Meq\o(A,\s\up15(→))＋Meq\o(B,\s\up15(→))＋Meq\o(C,\s\up15(→))＝0C．Beq\o(M,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)Beq\o(A,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)Beq\o(D,\s\up15(→))D．S△MBC＝eq\f(1,3)S△ABC解析：如图，M为△ABC的重心，则Meq\o(A,\s\up15(→))＋Meq\o(B,\s\up15(→))－Meq\o(C,\s\up15(→))＝0，A，B错误；Beq\o(M,\s\up15(→))＝Beq\o(D,\s\up15(→))＋Deq\o(M,\s\up15(→))＝Beq\o(D,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)Deq\o(A,\s\up15(→))＝Beq\o(D,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)(Beq\o(A,\s\up15(→))－Beq\o(D,\s\up15(→)))＝eq\f(1,3)Beq\o(A,\s\up15(→))＋eq\f(2,3)Beq\o(D,\s\up15(→))，C错误；由DM＝eq\f(1,3)AD得S△MBC＝eq\f(1,3)S△ABC，D正确．答案：D6．如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AC,\s\up15(→))＝b，则eq\o(AD,\s\up15(→))＝()A．a－eq\f(1,2)b B．eq\f(1,2)a－bC．a＋eq\f(1,2)b D．eq\f(1,2)a＋b解析：连接CD(图略)，由点C，D是半圆弧的两个三等分点，得CD∥AB，且eq\o(CD,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)a，所以eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＝b＋eq\f(1,2)a.答案：D7．在四边形ABCD中，Aeq\o(B,\s\up15(→))＝a＋2b，Beq\o(C,\s\up15(→))＝－4a－b，Ceq\o(D,\s\up15(→))＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是()A．矩形 B．平行四边形C．梯形 D．以上都不对解析：由已知得Aeq\o(D,\s\up15(→))＝Aeq\o(B,\s\up15(→))＋Beq\o(C,\s\up15(→))＋Ceq\o(D,\s\up15(→))＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2Beq\o(C,\s\up15(→)).∴Aeq\o(D,\s\up15(→))∥Beq\o(C,\s\up15(→)).又Aeq\o(B,\s\up15(→))与Ceq\o(D,\s\up15(→))不平行，∴四边形ABCD是梯形．答案：C8．如图所示，设O是△ABC内部一点，且Oeq\o(A,\s\up15(→))＋Oeq\o(C,\s\up15(→))＝－2Oeq\o(B,\s\up15(→))，则△ABC与△AOC的面积之比为()A．4∶1 B．2∶1C．3∶2 D．4∶3解析：取AC的中点D，连接OD，则Oeq\o(A,\s\up15(→))＋Oeq\o(C,\s\up15(→))＝2Oeq\o(D,\s\up15(→))，所以Oeq\o(B,\s\up15(→))＝－Oeq\o(D,\s\up15(→))，所以O是AC边上的中线BD的中点，所以S△ABC＝2S△AOC，所以△ABC与△AOC面积之比为2∶1.答案：B9．已知向量e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ＝()A．2 B．－2C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)解析：因为a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，所以ka＝b，k≠0，所以k(2e1－e2)＝e1＋λe2.因为向量e1，e2是两个不共线的向量，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2k＝1，,－k＝λ，))解得λ＝－eq\f(1,2).答案：C10．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若Oeq\o(A,\s\up15(→))－4Oeq\o(B,\s\up15(→))＋3Oeq\o(C,\s\up15(→))＝0，则eq\f(|A\o(B,\s\up15(→))|,|C\o(A,\s\up15(→))|)＝()A．eq\f(1,3) B．eq\f(3,4)C．eq\f(1,2) D．eq\f(4,3)解析：由Oeq\o(A,\s\up15(→))－4Oeq\o(B,\s\up15(→))＋3Oeq\o(C,\s\up15(→))＝0，得Oeq\o(A,\s\up15(→))－Oeq\o(B,\s\up15(→))＝3(Oeq\o(B,\s\up15(→))－Oeq\o(C,\s\up15(→)))，即Beq\o(A,\s\up15(→))＝3eq\o(CB,\s\up15(→))，所以Ceq\o(A,\s\up15(→))＝Ceq\o(B,\s\up15(→))＋Beq\o(A,\s\up15(→))＝eq\f(4,3)Beq\o(A,\s\up15(→))，所以|Aeq\o(B,\s\up15(→))|＝eq\f(3,4)|Ceq\o(A,\s\up15(→))|，即eq\f(|A\o(B,\s\up15(→))|,|C\o(A,\s\up15(→))|)＝eq\f(3,4).答案：B二、多项选择题11．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是()A．若Aeq\o(M,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)Aeq\o(B,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)Aeq\o(C,\s\up15(→))，则点M是边BC的中点B．若Aeq\o(M,\s\up15(→))＝2Aeq\o(B,\s\up15(→))－Aeq\o(C,\s\up15(→))，则点M在边BC的延长线上C．若Aeq\o(M,\s\up15(→))＝－Beq\o(M,\s\up15(→))－Ceq\o(M,\s\up15(→))，则点M是△ABC的重心D．若Aeq\o(M,\s\up15(→))＝xeq\o(AB,\s\up15(→))＋yeq\o(AC,\s\up15(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，则△MBC的面积是△ABC面积的eq\f(1,2)解析：若eq\o(AM,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)Aeq\o(B,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)AC，则点M是边BC的中点，故A正确；若Aeq\o(M,\s\up15(→))＝2Aeq\o(B,\s\up15(→))－Aeq\o(C,\s\up15(→))，即有Aeq\o(M,\s\up15(→))－Aeq\o(B,\s\up15(→))＝Aeq\o(B,\s\up15(→))－Aeq\o(C,\s\up15(→))，即Beq\o(M,\s\up15(→))＝Ceq\o(B,\s\up15(→))，则点M在边CB的延长线上，故B错误；若Aeq\o(M,\s\up15(→))＝－Beq\o(M,\s\up15(→))－Ceq\o(M,\s\up15(→))，即Aeq\o(M,\s\up15(→))＋Beq\o(M,\s\up15(→))＋Ceq\o(M,\s\up15(→))＝0，则点M是△ABC的重心，故C正确；如图，由Aeq\o(M,\s\up15(→))＝xeq\o(AB,\s\up15(→))＋yeq\o(AC,\s\up15(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，可得2eq\o(AM,\s\up15(→))＝2xeq\o(AB,\s\up15(→))＋2yeq\o(AC,\s\up15(→))，且2x＋2y＝1，设Aeq\o(N,\s\up15(→))＝2eq\o(AM,\s\up15(→))，则M为AN的中点，且Aeq\o(N,\s\up15(→))＝2xeq\o(AB,\s\up15(→))＋2yeq\o(AC,\s\up15(→))，则B，N，C三点共线，则△MBC的面积是△ABC面积的eq\f(1,2)，故D正确．答案：ACD三、填空题与解答题12．一条河的两岸平行，河的宽度d＝4km，一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，已知船的速度|v1|＝10km/h，水流速度|v2|＝2km/h，那么当行驶航程最短时，所用时间是________h．(附：eq\r(6)≈2.449.结果精确到0.01)解析：要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度v必须垂直于对岸，如图所示，|v|＝eq\r(|v1|2－|v2|2)＝eq\r(96)(km/h)，所以t＝eq\f(d,|v|)＝eq\f(4,\r(96))＝eq\f(\r(6),6)≈0.41(h)．答案：0.4113．(2024·云南丽江模拟)在△ABC中，点D在线段AC上，且满足|eq\o(AD,\s\up15(→))|＝eq\f(1,3)|eq\o(AC,\s\up15(→))|，点Q为线段BD上任意一点，若实数x，y满足eq\o(AQ,\s\up15(→))＝xeq\o(AB,\s\up15(→))＋yeq\o(AC,\s\up15(→))，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值为________．解析：由题意知点D满足Aeq\o(D,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)Aeq\o(C,\s\up15(→))，故Aeq\o(Q,\s\up15(→))＝xeq\o(AB,\s\up15(→))＋yeq\o(AC,\s\up15(→))＝xeq\o(AB,\s\up15(→))＋3yeq\o(AD,\s\up15(→))，由点Q，B，D三点共线可得x＋3y＝1，x>0，y>0，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))·(x＋3y)＝4＋eq\f(3y,x)＋eq\f(x,y)≥4＋2eq\r(3)，当且仅当eq\f(3y,x)＝eq\f(x,y)，即x＝eq\f(\r(3)－1,2)，y＝eq\f(3－\r(3),6)时等号成立．答案：4＋2eq\r(3)14．设a，b是不共线的两个向量．(1)若Oeq\o(A,\s\up15(→))＝2a－b，Oeq\o(B,\s\up15(→))＝3a＋b，Oeq\o(C,\s\up15(→))＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．(1)证明：∵Aeq\o(B,\s\up15(→))＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，Beq\o(C,\s\up15(→))＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2Aeq\o(B,\s\up15(→))，∴Aeq\o(B,\s\up15(→))与Beq\o(C,\s\up15(→))共线，且有公共点B，∴A，B，C三点共线．(2)解：∵8a＋kb与ka＋2b共线，∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，∴(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.∵a与b不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－λk＝0，,k－2λ＝0))⇒8＝2λ2⇒λ＝±2.∴k＝2λ＝±4.高分推荐题15．(2024·河北衡水中学模拟)已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\f(\o(OB,\s\up15(→))＋\o(OC,\s\up15(→)),2)＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up15(→)),|\o(AB,\s\up15(→))