高考数学总复习《两直线的位置关系》专项测试卷及答案

第第页高考数学总复习《两直线的位置关系》专项测试卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________复习要点1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间的距离、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．一两条直线的位置关系直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0，其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)，它们的位置关系如下表：位置关系法向量满足的条件l1，l2满足的条件l3，l4满足的条件平行v1∥v2k1＝k2且b1≠b2A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0垂直v1⊥v2k1·k2＝－1A1A2＋B1B2＝0相交v1与v2不共线k1≠k2A1B2－A2B1≠0二三种距离公式点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))常/用/结/论1．与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直或平行的直线方程可设为(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0；(2)平行：Ax＋By＋n＝0.2．与对称问题相关的四个结论(1)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)；利用中点坐标公式．(2)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)；(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)；(4)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．思考：P(x，y)关于l：y＝kx＋b的对称点Q如何求呢？分析：设Q(x0，y0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kPQ·kl＝－1，,PQ的中点M在l上.))1．判断下列结论是否正确．(1)若两直线的斜率相等，则两直线平行，反之，亦然．()(2)如果两条直线l1与l2垂直，那么它们的斜率之积一定等于－1.()(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(其中A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(其中A2，B2不同时为0)，若A1B2－A2B1＝0，则直线l1∥l2.()(4)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√)2．(2024·吉林长春模拟)已知直线l经过点(1，－1)，且与直线2x－y－5＝0垂直，则直线l的方程为()A．2x＋y－1＝0 B．x－2y－3＝0C．x＋2y＋1＝0 D．2x－y－3＝0解析：∵直线l与直线2x－y－5＝0垂直，∴设直线l的方程为x＋2y＋c＝0，∵直线l经过点(1，－1)，∴1－2＋c＝0，即c＝1.直线l的方程为x＋2y＋1＝0.故选C.答案：C3．已知点A与点B(1,2)关于直线x＋y＋3＝0对称，则点A的坐标为()A．(3,4) B．(4,5)C．(－4，－3) D．(－5，－4)解析：设点A(a，b)，∵点A与点B(1,2)关于直线x＋y＋3＝0对称，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,2)＋\f(b＋2,2)＋3＝0，,\f(b－2,a－1)×－1＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－5，,b＝－4，))则点A的坐标为(－5，－4)．故选D.答案：D4．已知直线l1：x＋ay＝1，l2：ax＋y＝1，若l1∥l2，则a＝________，此时l1与l2之间的距离为________．解析：由l1∥l2可知a2－1＝0，即a＝±1.又当a＝1时，l1与l2重合，不符合题意．所以a＝－1，此时l1：x－y－1＝0，l2：x－y＋1＝0.所以l1与l2的距离d＝eq\f(|－1－1|,\r(,12＋－12))＝eq\r(,2).答案：－1eq\r(,2)题型两条直线的平行与垂直典例1(1)已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(方法一：向量：\o(AB,\s\up16(→))·\o(PQ,\s\up16(→))＝0.,方法二：斜率\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l2斜率存在时，即a≠0，,l2斜率不存在时，即a＝0.))))值为________．(2)已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，若l1∥l2，求m的值．先由A1B2－A2B1＝0求出m，再回代验证(排除重合)．(1)解析：方法一：l1的斜率k1＝eq\f(3a－0,1－－2)＝a.当a≠0时，l2的斜率k2＝eq\f(－2a－－1,a－0)＝eq\f(1－2a,a).因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即a·eq\f(1－2a,a)＝－1，解得a＝1.当a＝0时，得P(0，－1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，A(－2,0)，B(1,0)，直线l1为x轴，显然l1⊥l2.综上可知，实数a的值为1或0.方法二：eq\o(AB,\s\up16(→))＝(3,3a)，eq\o(PQ,\s\up16(→))＝(a,1－2a)，由eq\o(AB,\s\up16(→))⊥eq\o(PQ,\s\up16(→))可知eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(PQ,\s\up16(→))＝3a＋3a－6a2＝0，解得a＝0或1.故答案为1或0.(2)解：若l1∥l2，易知m≠0，则－eq\f(1,m)＝－eq\f(m－2,3)且－eq\f(6,m)≠－eq\f(2m,3)，∴m＝－1.两直线位置关系的判定方法(1)已知两直线的斜率存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等；②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1.(2)已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在，当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合．(3)已知两直线的一般方程设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.(4)巧用直线的方向向量或法向量判断两直线的位置关系可以避免讨论多种情况．对点练1(1)(多选)(2024·黑龙江哈尔滨模拟)已知直线l1：xsinα＋y＝0与直线l2：x＋3y＋c＝0，则直线l1与直线l2的位置关系可能是()A．相交 B．重合C．平行 D．垂直(2)(2024·贵州遵义联考)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为()A．2x＋y－3＝0 B．2x－y＋3＝0C．x－2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0解析：(1)直线l1的斜率为k1＝－sinα，过定点(0,0)，直线l2的斜率为k2＝－eq\f(1,3)，过点(－c,0)．若直线l1与l2相交，则sinα≠eq\f(1,3)，又－1≤sinα≤1，故sinα≠eq\f(1,3)可以成立，A正确；若直线l1与l2重合，则c＝0，且sinα＝eq\f(1,3)，又－1≤sinα≤1，故可以有sinα＝eq\f(1,3)，B正确；若直线l1与l2平行，则sinα＝eq\f(1,3)且c≠0，又－1≤sinα≤1，故可以有sinα＝eq\f(1,3)，C正确；若直线l1与l2垂直，则k1k2＝eq\f(1,3)sinα＝－1，则sinα＝－3，与－1≤sinα≤1矛盾，所以直线l1与l2不可能垂直，D错误．故选ABC.(2)由题意，知线段AB的中点为M(1,2)，kAB＝－2，∴线段AB的垂直平分线为y－2＝eq\f(1,2)(x－1)，即x－2y＋3＝0.∵AC＝BC，∴△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，因此△ABC的欧拉线的方程为x－2y＋3＝0.故选D.答案：(1)ABC(2)D题型距离公式典例2(1)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为()即为两平行线间的距离．A.eq\f(9,5)B.eq\f(18,5)C.eq\f(29,10)D.eq\f(29,5)(2)已知点P(2，－1)．求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程以及最大距离．可知l⊥OP.(1)解析：因为eq\f(3,6)＝eq\f(4,8)≠－eq\f(12,5)，所以两直线平行，由题意可知，|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即eq\f(|－24－5|,\r(,62＋82))＝eq\f(29,10)，所以|PQ|的最小值为eq\f(29,10).故选C.(2)解：依题意可得过点P且与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图．由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－eq\f(1,kOP)＝2.由直线方程的点斜式，得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为eq\f(|－5|,\r(,5))＝eq\r(,5).1．点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式求解，注意直线方程应为一般式．2．利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.3．使用两平行线间的距离公式前需把两平行线方程化为一般式，且x，y的系数对应相等，即一定要化成l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0的形式.对点练2(1)(多选)(2024·黑龙江哈尔滨模拟)已知直线l经过点P(3,1)，且被两条平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，则直线l的方程为()A．y＝1 B．x＝3C．y＝0 D．x＝2(2)(2024·江西抚州模拟)已知m，n满足m＋n＝1，则点(1,1)到直线mx－y＋2n＝0的距离的最大值为()A．0 B．1C.eq\r(,2) D．2eq\r(,2)解析：(1)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，此时l与直线l1，l2的交点分别为A(3，－4)，B(3，－9)，截得的线段|AB|＝|－4＋9|＝5，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x－3)，且设直线l与直线l1和l2的交点分别为A，B.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－1＝kx－3，,x＋y＋1＝0，))得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－2,k＋1)，\f(－4k＋1,k＋1)))；联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－1＝kx－3，,x＋y＋6＝0，))得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－7,k＋1)，\f(－9k＋1,k＋1))).由|AB|＝5，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－2,k＋1)－\f(3k－7,k＋1)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－4k＋1,k＋1)－\f(－9k＋1,k＋1)))2＝52，解得k＝0，即所求直线l的方程为y＝1.综上所述，所求直线l的方程为x＝3或y＝1.(2)将n＝1－m代入直线方程，得(x－2)m－y＋2＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝0，,－y＋2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2.))所以直线mx－y＋2n＝0必过定点(2,2)，故点(1,1)到直线mx－y＋2n＝0的距离的最大值为eq\r(,2－12＋2－12)＝eq\r(,2).故选C.答案：(1)AB(2)C题型对称问题典例3已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；设A′(x0，y0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kl·kAA′＝－1，,AA′的中点在l上.))(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；相关点法：设P(x，y)为m′上任一点，P关于l的对称点Q(x0，y0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－y0,x－x0)·\f(2,3)＝－1，,2·\f(x＋x0,2)－3·\f(y＋y0,2)＋1＝0))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(5,13)x＋\f(12,13)y－\f(4,13)，,y0＝\f(12,13)x－\f(5,13)y＋\f(6,13)，))代入m得m′：9x－46y＋102＝0.(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．解：(1)设A′(x，y)，由已知条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)×\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13).))∴A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))).(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设对称点M′(a，b)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2×\f(a＋2,2)－3×\f(b＋0,2)＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，))得M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))).设直线m与直线l的交点为N，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4,3)．又∵m′经过点N(4,3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.(3)方法一：在直线l上任取两点，如P(1,1)，借助特殊点．Q(4，3)，则P，Q关于点A(－1，－2)的对称点P′，Q′均在直线l′上，易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)．再由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.方法二：依题意可知l∥l′，设l′的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1)．平行线系．∵点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等，∴由点到直线的距离公式，得eq\f(|－2＋6＋C|,\r(,22＋－32))＝eq\f(|－2＋6＋1|,\r(,22＋－32))，解得C＝－9.∴l′的方程为2x－3y－9＝0.方法三：设P(x，y)为l′上任意一点，相关点法(代入法)．则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，∵点P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即直线l′的方程为2x－3y－9＝0.解决对称问题的方法(1)点关于点的对称问题．利用中点坐标公式易得，如(a，b)关于(m，n)的对称点为(2m－a，2n－b)．(2)点关于线的对称点，点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线的斜率是已知直线斜率的负倒数(仅指已知直线斜率存在且不为0的情况，斜率不存在或斜率为0时较简单)．(3)线关于线的对称线．一般要在线上取点，可在所求直线上任取一点，也可在已知直线上取特殊点对称．(4)特别地，当对称轴的斜率为±1时，可类比关于y＝x的对称问题采用代入法，如(1,3)关于y＝x＋1的对称点为(3－1,1＋1)，即(2,2)．对点练3(1)已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)，若直线l上存在点P使得|PA|＋|PB|最小，则点P的坐标为()A．(－2，－3) B．(－2,3)C．(2,3) D．(－2,2)(2)已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为____________．(3)如图，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(－1，0)，F(1，0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围为________．解析：(1)根据题意画出大致图象，如图．设点A关于直线x－2y＋8＝0的对称点为A1(m，n)．则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－0,m－2)·\f(1,2)＝－1，,\f(m＋2,2)－2·\f(n＋0,2)＋8＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－2，,n＝8.))故A1(－2,8)．此时直线A1B的方程为x＝－2.所以当点P是直线A1B与直线l：x－2y＋8＝0的交点时，|PA|＋|PB|最小，将x＝－2代入x－2y＋8＝0，得y＝3，故点P的坐标为(－2,3)．(3)设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－4,a－－3)×1＝－1，,\f(－3＋a,2)－\f(b＋4,2)＋3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0.))即M′(1,0)．又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为y－0＝eq\f(6－0,2－1)·(x－1)，即6x－y－6＝0.(3)从特殊位置考虑．如图，因为点A(－2,0)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为A1(2,4)，所以kA1F＝4.又点E(－1,0)关于直线AC:y＝x＋2的对称点为E1(－2，1)，点E1(－2,1)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E2(1,4)，此时直线E2F的斜率不存在，所以kFD>kA1F，即kFD∈(4，＋∞)．答案：(1)B(2)6x－y－6＝0(3)(4，＋∞)题型交点及直线系方程典例4(1)求证：动直线(2＋λ)x－(1＋λ)·y－2(3＋2λ)＝0(其中λ∈R)恒过定点，并三种常见解法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(方法一：给λ取2个值，得关于x，y的方程组.,方法二：整理成x－y－4λ＝－2x－y－6的形式.,方法三：整理成点斜式：y＋2＝\f(2＋λ,1＋λ)x－2λ≠－1.))求出定点坐标．(2)求经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－若从切入点1入手，设所求直线：2x＋3y＋1＋λ(x－3y＋4)＝0，再利用垂直A1A2＋B1B2＝0得λ，即得所求直线．3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋切入点1切入点24y－7＝0的直线方程．若从切入点2入手，设所求直线：4x－3y＋m＝0，再将交点代入得m.(1)证明：方法一：令λ＝0，则直线方程为2x－y－6＝0①.再令λ＝1，则直线方程为3x－2y－10＝0②.①和②联立得方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－6＝0，,3x－2y－10＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2.))将点(2，－2)代入动直线(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0中，即(2＋λ)×2－(1＋λ)×(－2)－2(3＋2λ)＝0，故点(2，－2)恒满足动直线方程，所以动直线(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0恒过定点(2，－2)．方法二：将动直线方程按λ降幂排列整理，得(x－y－4)λ＋(2x－y－6)＝0①，不论λ为何实数，①式恒为零，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－4＝0，,2x－y－6＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2.))故动直线恒过定点(2，－2)．(2)解：方法一：由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(5,3)，,y＝\f(7,9).))∴交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，\f(7,9))).∵所求直线与3x＋4y－7＝0垂直，∴所求直线的斜率k＝eq\f(4,3).由点斜式，得y－eq\f(7,9)＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,3))).故所求直线的方程为4x－3y＋9＝0.方法二：设所求直线的方程为4x－3y＋m＝0.同方法一中求得交点坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，\f(7,9)))，代入上式得4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)))－3×eq\f(7,9)＋m＝0.∴m＝9，代入所设方程．故所求直线的方程为4x－3y＋9＝0.方法三：设所求直线的方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0.即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0①.又∵直线①与3x＋4y－7＝0垂直．则有3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，∴λ＝2.代入①式得所求直线的方程为4x－3y＋9＝0.几种常用的直线系方程巧用直线系，可减少计算量，事半功倍．(1)共点直线系方程：经过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交