高考数学总复习《常用逻辑用语》专项测试卷及答案

第第页高考数学总复习《常用逻辑用语》专项测试卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________复习要点1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，理解定义、判定定理、性质定理与充要条件、充分条件、必要条件的关系.2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．一命题的概念概念使用语言、符号或者式子表达的，可以判断真假的陈述句特点(1)能判断真假；(2)陈述句分类真命题、假命题二充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qeq\o(⇒,/)pp是q的必要不充分条件peq\o(⇒,/)q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件peq\o(⇒,/)q且qeq\o(⇒,/)p三全称量词和存在量词1．全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．2．存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．四全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，綈p(x)∀x∈M，綈p(x)常/用/结/论1．设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．①若p是q的充分条件，则A⊆B；②若p是q的充分不必要条件，则AB；③若p是q的必要不充分条件，则BA；一个推理形式等价于3种不同叙述形式.如：p⇒q且q⇒/p.等价于：①p是q的充分不必要条件(或q的充分不必要条件是p);②q是p的必要不充分条件(或p的必要不充分条件是q);③AB．④若p是q的充要条件，则A＝B.2．p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件．1．判断下列结论是否正确．(1)“p是q的充分不必要条件”等价于“q是p的必要不充分条件”．(√)(2)“菱形的边长相等”是全称量词命题．(√)(3)已知集合A，B，“A∪B＝A∩B”的充要条件是“A＝B”．(√)(4)命题“∃x∈R，sineq\f(x,2)＋coseq\f(x,2)＝eq\f(3,2)”是真命题．()2．(多选)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是()A．∃x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)＜0B．所有的正方形都是矩形C．∃x∈R，x2＋2x＋2＝0D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0解析：对于A，其否定为∀x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)≥0，是全称量词命题，又x2－x＋eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2≥0，所以为真命题，故符合题意；对于B，其否定为存在量词命题，故不符合题意；对于C，其否定为全称量词命题，又x2＋2x＋2＞0，则原命题为假命题，即其否定为真命题，故符合题意；对于D，其否定为对于任意实数x，都有x3＋1≠0，而x＝－1时，x3＋1＝0，所以其否定不是真命题，故不符合题意．故选AC．答案：AC3．(1)“x＞0”是“x(x＋1)＞0”的________条件．(2)“|a|＞0”是“a＞0”的________条件．(3)“α＞β”是“sinα＞sinβ”的________条件．答案：(1)充分不必要(2)必要不充分(3)既不充分也不必要4．(2024·重庆南开中学模拟)若命题“∃x∈[1,2]，2x＋x－a≤0”为真命题，则实数a的取值范围为________．解析：因为∃x∈[1,2]，2x＋x－a≤0，所以a≥(2x＋x)min，x∈[1,2]，显然y＝2x＋x在x∈[1,2]上单调递增，所以a≥21＋1＝3，即实数a的取值范围为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)题型如何判断充分、必要条件典例1下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：a＞b，q：a＞b－1；(2)p：a＞b，q：lga＞lgb；peq\o(⇒,/)q，原因在于没有强调a，b的范围．(3)p：a＞b，q：2a＞2b；指数函数的定义域为R，不必考虑a，b的范围．(4)p：a＞b，q：a2＞b2.解：(1)p⇒q，qeq\o(⇒,/)p，∴p是q的充分不必要条件．(2)q⇒p，peq\o(⇒,/)q，∴p是q的必要不充分条件．(3)p⇒q，且q⇒p，∴p是q的充要条件．(4)peq\o(⇒,/)q，qeq\o(⇒,/)p，∴p是q的既不充分也不必要条件．判断充分、必要条件的步骤(1)弄清条件p和结论q分别是什么．(2)尝试p⇒q，q⇒p.充要条件可以融入数学各个分支，题型灵活多变，但万变不离其宗，只要紧扣定义，结合其他知识，便可迎刃而解．对点练1设a∈R，则“a>0”是“a3>a2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：①当a＝eq\f(1,2)时，满足“a>0”，但不满足“a3>a2”，所以“a>0”不能推出“a3>a2”，故充分性不成立；②由a3>a2，解得a>1，因为“a>1”可以推出“a>0”，故必要性成立．综上，可知“a>0”是“a3>a2”的必要不充分条件．故选B．答案：B典例2(2023·新高考全国Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，则()本题考查了等差数列{an}及其衍生数列{Sn}和eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的联系．A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解析：方法一：甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d，则Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(n－1,2)d＝eq\f(d,2)n＋a1－eq\f(d,2)，eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝eq\f(d,2)，因此eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，即eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝eq\f(nSn＋1－n＋1Sn,nn＋1)＝eq\f(nan＋1－Sn,nn＋1)为常数，设为t，即eq\f(nan＋1－Sn,nn＋1)＝t，则Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2，此推导过程略显繁琐，等差数列的本质可从各个方面体现出来．(1)通项公式为一次函数型.(2)前n项和为n的二次函数型且无常数项.两式相减，得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，即an＋1－an＝2t，对n＝1也成立，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确．方法二：甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，即Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，则eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(n－1,2)d＝eq\f(d,2)n＋a1－eq\f(d,2)，若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，则可设eq\f(Sn,n)＝an＋b，则有Sn＝an2＋bn，符合等差数列的特性．因此eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，即eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝D，从等差数列的定义出发，这样设出公差．eq\f(Sn,n)＝S1＋(n－1)D，即Sn＝nS1＋n(n－1)D，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，当n≥2时，上两式相减，得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，即an＝S1＋2(n－1)D，对n＝1也成立，于是an＝a1＋2(n－1)D，又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D为常数，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件．故选C．充分、必要条件的两种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．(2)集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．对点练2(2023·全国甲卷，理)“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的()A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件解析：当sin2α＋sin2β＝1时，例如α＝eq\f(π,2)，β＝0，但sinα＋cosβ≠0，即“sin2α＋sin2β＝1”推不出“sinα＋cosβ＝0”；当sinα＋cosβ＝0时，sin2α＋sin2β＝(－cosβ)2＋sin2β＝1，即“sinα＋cosβ＝0”能推出“sin2α＋sin2β＝1”．综上可知，“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的必要条件但不是充分条件．故选B．答案：B题型利用充分、必要条件求参数典例3已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．(1)若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则m的取值范围为________；(2)若“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，则m的取值范围为________．解析：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．(1)若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则S⊆P，把充分、必要条件转化为集合的包含关系，是此类题目的常规思路．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m≤10，,1－m≤1＋m，))解得0≤m≤3，故m的取值范围为[0,3]．故答案为[0,3]．(2)若“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，则PS，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m＞10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＜－2，,1＋m≥10，))∴m≥9，数形结合：S理解为以1为中心，到1的距离小于或等于m(m≥0)的闭区间，只有当m≥9时，才把P全部包含进来.这样是不是更直观呢？则m的取值范围为[9，＋∞)．故答案为[9，＋∞)．本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．对点练3已知p：实数m满足3a＜m＜4a(a＞0)，q：方程eq\f(x2,m－1)＋eq\f(y2,2－m)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________．解析：由2－m＞m－1＞0，得1＜m＜eq\f(3,2)，即q：1＜m＜eq\f(3,2).因为p是q的充分条件．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a≥1，,4a≤\f(3,2)，))解得eq\f(1,3)≤a≤eq\f(3,8).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3,8)))题型全称量词命题与存在量词命题典例4下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假．(1)有的正方形不是矩形；“有的”属于存在量词．(2)∀x∈R，x2＋2＞0；(3)∃x∈Q，x2＝3.解：(1)存在量词命题；假命题．(2)全称量词命题；由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2＞0，即x2＋2＞0，所以命题“∀x∈R，x2＋2＞0”是真命题．(3)存在量词命题；由于使x2＝3成立的数只有±eq\r(3)，而它们都不是有理数．因此，没有任何一个有理数的平方能等于3.所以命题“∃x∈Q，x2＝3”是假命题．判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路对点练4下列命题为真命题的是()A．∃x∈R，ln(x2＋1)＜0B．∀x＞2,2x＞x2C．∃α，β∈R，sin(α－β)＝sinα－sinβD．∀x∈(0，π)，sinx＞cosx解析：∵x2＋1≥1，∴ln(x2＋1)≥0，故A是假命题；当x＝3时，23＜32，故B是假命题；当α＝β＝0时，sin(α－β)＝sinα－sinβ，故C是真命题；当x＝eq\f(π,6)∈(0，π)时，sinx＝eq\f(1,2)，cosx＝eq\f(\r(3),2)，sinx＜cosx，故D是假命题．故选C．答案：C题型含量词命题的否定典例5(1)(2024·湖南怀化模拟)命题“∀x∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A．∀x∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞nB．∀x∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞nC．∃x∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞nD．∃x∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞n(2)若“∃x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，sinx＜m”是假命题，则实数m的最大值为()也可以先将原命题当作真命题来做：转化为m＞(sinx)min.对于∀x∈D，m＞f(x)则转化为m＞f(x)max，而对于∃x∈D，m＞f(x)则转化为m＞f(x)min.A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)解析：(1)写全称量词命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．故选D．(2)因为“∃x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，sinx＜m”是假命题，所以“∀x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，m≤sinx”是真命题，即m≤sinx对于∀x∈eq\b\lc\[\rc\](\