高考数学总复习《不等式》专项测试卷及答案

第第页高考数学总复习《不等式》专项测试卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________第1讲不等式与不等关系复习要点1.掌握等式的性质.2.会比较两个数(式)的大小.3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用．一比较两个实数的大小eq\a\vs4\al(1.作差法)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0⇔a>ba，b∈R，,a－b＝0⇔a＝ba，b∈R，,,a－b<0⇔a<ba，b∈R.))eq\a\vs4\al(2.作商法)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1⇔a>ba∈R，b>0，,\f(a,b)＝1⇔a＝ba∈R，b>0，,\f(a,b)<1⇔a<ba∈R，b>0.))二等式的性质对称性：如果a＝b，那么b＝a；传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；可除性：如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).三不等式的性质对称性：a>b⇔b<a；传递性：a>b，b>c⇒a>c；可加性：a>b⇔a＋c＞b＋c；可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．常/用/结/论1．a＞b，ab＞0⇒eq\f(1,a)＜eq\f(1,b).2．a＜0＜b⇒eq\f(1,a)＜eq\f(1,b).3．a＞b＞0,0＜c＜d⇒eq\f(a,c)＞eq\f(b,d).4．0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒eq\f(1,b)＜eq\f(1,x)＜eq\f(1,a).表现为函数y＝eq\f(1,x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减．5．若a＞b＞0，m＞0，则(1)eq\f(b,a)＜eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)＞eq\f(b－m,a－m)(b－m＞0)；糖水加糖变甜，反映为函数y＝eq\f(b＋x,a＋x)(a＞b＞0)在(0，＋∞)单调递增.一些不等式成立，背后常隐含函数的单调性．(2)eq\f(a,b)＞eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)＜eq\f(a－m,b－m)(b－m＞0)．1．判断下列结论是否正确．(1)a＞b，c＞d⇒a－d＞b－c.(√)(2)a＞b⇒a3>b3.(√)(3)a＞b⇔ac2＞bc2.()(4)a＞b，c＞d⇒ac＞bd.()(5)a＞b⇒eq\f(1,a)＜eq\f(1,b).()2．设a>b，a，b，c∈R，则下列式子正确的是()A．ac2>bc2 B．eq\f(a,b)>1C．a－c>b－c D．a2>b2解析：a>b，若c＝0，则ac2＝bc2，故A错误；a>b，若b<0，则eq\f(a,b)<1，故B错误；a>b，不论c取何值，都有a－c>b－c，故C正确；a>b，若a，b都小于0，则a2<b2，故D错误．故选C．答案：C3．设a，b，c，d∈R，a＞b，c＜d，则下列不等式中一定成立的是()A．a＋c＞b＋d B．a－c＞b－dC．ac＞bd D．eq\f(a,d)＞eq\f(b,c)解析：对于A，令a＝1，b＝－1，d＝1，c＝－1，满足a＞b，c＜d，但a＋c＝b＋d，ac＝bd，故A，C错误；对于B，因为a＞b，c＜d，所以由不等式的可加性，可得a＋d＞b＋c，所以a－c＞b－d，故B正确；对于D，令a＝2，b＝－1，d＝－1，c＝－2，满足a＞b，c＜d，但eq\f(a,d)＜eq\f(b,c)，故D错误．故选B．答案：B4．“a＋b＞2c”的一个充分条件是()A．a＞c或b＞c B．a＞c且b＜cC．a＞c且b＞c D．a＞c或b＜c解析：对于A，a＞c或b＞c，不能保证a＋b＞2c成立，故A错误；对于B，a＞c且b＜c，不能保证a＋b＞2c成立，故B错误；对于C，a＞c且b＞c，由同向不等式相加的性质，可以推出a＋b＞2c，故C正确；对于D，a＞c或b＜c，不能保证a＋b＞2c成立，故D错误．故选C．答案：C题型不等式简单性质的理解典例1(1)若a，b都是实数，则“eq\r(a)－eq\r(b)＞0”是“a2－b2＞0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)已知四个条件：①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0，能推出eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)成立的是________．解析：(1)eq\r(a)－eq\r(b)＞0⇒eq\r(a)＞eq\r(b)⇒a＞b≥0⇒a2＞b2，但由a2－b2＞0eq\o(⇒,/)eq\r(a)－eq\r(b)＞0.则“eq\r(a)－eq\r(b)＞0”是“a2－b2＞0”的充分不必要条件．故选A．(2)运用倒数的性质：a＞b，ab＞0⇒eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，则②熟记这一性质，常见错误是a＞b⇒eq\f(1,a)＜eq\f(1,b).错误原因是忽视ab＞0的条件．④正确．又正数大于负数，所以①正确．故答案为①②④.判断不等式是否成立的两种方法(1)性质法直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．(2)特殊值法适用于排除错误答案，取值应满足题设条件且便于计算．提醒：当直接利用不等式的性质不能判断时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．对点练1(2024·广东珠海模拟)已知a，b∈R，满足ab＜0，a＋b＞0，a＞b，则()A．eq\f(1,a)＜eq\f(1,b) B．eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＞0C．a2＞b2 D．a＜|b|解析：因为ab＜0，a＞b，则a＞0，b＜0，eq\f(1,a)＞0，eq\f(1,b)＜0，A不正确；eq\f(b,a)＜0，eq\f(a,b)＜0，则eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＜0，B不正确；又a＋b＞0，即a＞－b＞0，则a2＞(－b)2，a2＞b2，C正确；由a＞－b＞0，得a＞|b|，D不正确．答案：C题型代数式大小比较的多维研讨维度1差值法和商值法比较大小典例2若a＜0，b＜0，则p＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)与q＝a＋b的大小关系为()A．p＜q B．p≤qC．p＞q D．p≥q解析：方法一(作差法)：p－q＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)－a－b＝eq\f(b2－a2,a)＋eq\f(a2－b2,b)＝(b2－a2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－\f(1,b)))＝eq\f(b2－a2b－a,ab)＝eq\f(b－a2b＋a,ab)，作差变形的常见方法为因式分解，分解为几个简单代数式的积，易于判断符号．∵a＜0，b＜0，∴a＋b＜0，ab＞0，又(b－a)2≥0，∴p≤q.方法二(作商法)：∵p＝eq\f(a3＋b3,ab)＝eq\f(a＋ba2－ab＋b2,ab)，∴eq\f(p,q)＝eq\f(a2－ab＋b2,ab)≥eq\f(2ab－ab,ab)＝1，应用基本不等式：a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立.此题还有另一妙解：p＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2,a)＋a))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,b)＋b))－(a＋b)≤2b＋2a－(a＋b)＝a＋b＝q.当且仅当a＝b时等号成立．∵q＜0，∴p≤q.故选B．作差(商)法的常见情形(1)作差法有两种情形：①将差式进行因式分解转化为几个因式相乘；②将差式通过配方转化为几个非负实数之和，然后判断正负．(2)作商法通常适用于两代数式同号的情形．对点练2已知a＝eq\f(ln2,2)，b＝eq\f(ln3,3)，c＝eq\f(ln6,5)，则()A．b＜a＜c B．a＜c＜bC．a＜b＜c D．c＜a＜b解析：因为a－c＝eq\f(ln2,2)－eq\f(ln6,5)＝eq\f(5ln2－2ln6,10)＝eq\f(ln32－ln36,10)＜0，所以a＜c；因为b－c＝eq\f(ln3,3)－eq\f(ln6,5)＝eq\f(5ln3－3ln6,15)＝eq\f(ln243－ln216,15)＞0，所以b＞c，即a＜c＜b.故选B．答案：B维度2特殊值法典例3(1)(2024·湖南长沙一中模拟)已知正实数x，y满足x<y，设a＝xex＋y，b＝yey＋x，c＝yex＋x(其中e为自然对数：e＝2.71828…)，则a，b，c的大小关系是()a，b，c中均只含x，y两个未知参数，且式子结构简单，故可对x，y取特殊值直接判断．a－b＝(xex－x)－(yey－y)，此时可构造函数f(x)＝xex－x，由其单调性判断a，b的大小关系．A．a<c<b B．c<a<bC．c<b<a D．b<c<a(2)(2024·北京海淀区模拟)已知x，y∈R，且x＋y＞0，则()A．eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＞0通分：eq\f(x＋y,xy)，这里分母不确定正负．B．x3＋y3＞0C．lg(x＋y)＞0此式等价于x＋y＞1.D．sin(x＋y)＞0解析：(1)根据题意可取x＝1，y＝2，则a＝e＋2，特殊值法比较大小，最妙．b＝2e2＋1，c＝2e＋1，从而a<c<b，故选A．(2)令x＝1，y＝－eq\f(1,2)，显然eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝1－2＜0，故A错误；因为x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)＝(x＋y)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)y))2＋\f(3,4)y2))，显然x＝eq\f(1,2)y，y＝0不能同时成立，所以(x＋y)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)y))2＋\f(3,4)y2))＞0，故B正确；取x＝1，y＝0，则lg(x＋y)＝0，故C错误；取x＝1，y＝3，则sin(x＋y)＝sin4＜0，故D错误．故选B．当x＋y＞0时，正弦值可正、可负，能直接判断命题的真假，不必举特例．解有关不等式选择题时，可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取值要有代表性．对点练3若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是()A．a＋eq\f(1,b)＜eq\f(b,2a)＜log2(a＋b)B．eq\f(b,2a)＜log2(a＋b)＜a＋eq\f(1,b)C．a＋eq\f(1,b)＜log2(a＋b)＜eq\f(b,2a)D．log2(a＋b)＜a＋eq\f(1,b)＜eq\f(b,2a)解析：令a＝3，b＝eq\f(1,3)，则a＋eq\f(1,b)＝6，1＜log2(a＋b)＝log2eq\f(10,3)＜2，eq\f(b,2a)＝eq\f(\f(1,3),23)＝eq\f(1,24)，即a＋eq\f(1,b)＞log2(a＋b)＞eq\f(b,2a).故选B．答案：B维度3中间量法典例4(1)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0．20.3，则()对数式logab中，若a，b∈(1，＋∞)，或a，b∈(0,1)时，logab为正数，反之，若a∈(1，＋∞)，b∈(0,1)或a∈(0,1)，b∈(1，＋∞)时，logab为负数．A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．c＜a＜b D．b＜c＜a(2)(2024·河南郑州模拟)设x＞0，P＝2x＋2－x，Q＝(sinx＋cosx)2，则()对于不属于同一类的代数式比较大小，则常用中间值法.比如：ex和lnx不属于同一类，则中间量应为x.由于ex＞x，而x＞lnx，从而实现将ex和lnx与有理函数联系起来．A．P＞Q B．P＜QC．P≤Q D．P≥Q解析：(1)a＝log20.2＜log21＝0，b＝20.2＞20＝1，c＝0.20.3＜0.20＝1，即c∈(0,1)，故a＜c＜b.故选B．(2)因为2x＋2－x≥2eq\r(2x·2－x)＝2(当且仅当x＝0时等号成立)，而x＞0，所以P＞2.由基本不等式知其有最小值．又(sinx＋cosx)2＝1＋sin2x，而sin2x≤1，所以Q≤2.于是P＞Q.故选A．由函数性质求出最大值．利用中间量法比较不等式大小时要根据已知数、式灵活选择中间值．指数式比较大小，一般选取1或指数式的底数作为中间值；对数式比较大小，一般选取0或1作为中间值，其实质就是根据对数函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)的单调性判断其与f(1)，f(a)的大小．对点练4(2024·四川南充模拟)设a＝0.50.2，b＝log0.20.5，c＝log0.50.2，则a，b，c的大小关系为()A．a＞b＞c B．c＞b＞aC．c＞a＞b D．b＞c＞a解析：因为a＝0.50.2＞0.5＝eq\f(1,2)，b＝log0.20.5＝log0.2eq\r(0.25)＜log0.2eq\r(0.2)＝eq\f(1,2)，c＝log0.50.2>log0.50.5＝1，所以c＞1＞a＞eq\f(1,2)＞b，故选C．答案：C维度4单调性法典例5(2022·全国甲卷，文)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则()两代数式结构相同，应构造函数，自变量的选择也很关键，哪里变化，哪里为自变量．A．a＞0＞b B．a＞b＞0C．b＞a＞0 D．b＞0＞a解析：∵9m＝10，∴m∈(1,2)，令f(x)＝xm－(x＋1)，x∈(1，＋∞)，∴f′(x)＝mxm－1－1，∵x＞1且1＜m＜2，∴xm－1＞1，∴f′(x)＞0，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，又9m＝10，∴9m－10＝0，即f(9)＝0，又a＝f(10)，b＝f(8)，∴f(8)＜f(9)＜f(10)，即b＜0＜a.故选A．利用单调性法比较大小主要是指如何构造函数.应用函数的单调性、对称性、周期性比较大小．(1)得到函数的单调区间是此类问题求解的关键，解题时，指数、对数、三角函数单调性的运用是解题的主要形式．(2)通过对称性、周期性，可以将比较大小的数式转化到同一个单调区间，有利于其大小比较．(3)导数工具的应用，拓宽了这类问题的命题形式和解题难度，值得我们关注和重视．对点练5(1)(2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为()A．c>a>b B．c>b>aC．a>b>c D．b>a>c(2)已知M＝eq\f(e2021＋1,e2022＋1)，N＝eq\f(e2022＋1,e2023＋1)，则M，N的大小关系为________．解析：(1)由y＝1.01x在R上单调递增，得a＝1.010.5<b＝1.010.6，由y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增，得a＝1.010.5>c＝0.60.5，所以b>a>c.故选D．(2)方法一：M－N＝eq\f(e2021＋1,e2022＋1)－eq\f(e2022＋1,e2023＋1)＝eq\f(e2021＋1e2023＋1－e2022＋12,e2022＋1e2023＋1)＝eq\f(e2021＋e2023－2e2022,e2022＋1e2023＋1)＝eq\f(e2021e－12,e2022＋1e2023＋1)＞0.∴M＞N.方法二：令f(x)＝eq\f(ex＋1,ex＋1＋1)＝eq\f(\f(1,e)ex＋1＋1＋1－\f(1,e),ex＋1＋1)＝eq\f(1,e)＋eq\f(1－\f(1,e),ex＋1＋1)，显然f(x)是R上的减函数，∴f(2021)＞f(2022)，即M＞N.答案：(1)D(2)M＞N题型不等式的综合性问题典例6(1)若0＜x＜1，a＞0且a≠1，则|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小关系是______________．(2)已知－1＜x＋y＜4且2＜x－y＜3，则z＝2x－3y的取值范围是________．解析：(1)方法一(作差法)：当a＞1时，loga(1－x)＜0，loga(1＋x)＞0，∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)＞0.底数，真数不在同一范围，则对数值为负．当0＜a＜1时，loga(1－x)＞0，loga(1＋x)＜0，∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝loga(1－x)＋loga(1＋x)＝loga(1－x2)＞0.底数a，真数(1－x2)都大于0小于1，则对数值为正．综上，|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.方法二(作商法)：∵eq\f(|loga1－x|,|loga1＋x|)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(loga1－x,loga1＋x)))＝|log(1＋x)(1－x)|，应用换底公式的变形．又0＜x＜1，∴1＋x＞1,0＜1－x＜1，∴|log(1＋x)(1－x)|＝－log(1＋x)(1－x)＝log(1＋x)eq\f(1,1－x)＝log(1＋x)eq\f(1＋x,1－x2)＝1－log(1＋x)(1－x2)，又0＜1－x2＜1，∴log(1＋x)(1－x2)＜0，1－log(1＋x)(1－x2)＞1，即eq\f(|loga1－x|,|loga1＋x|)＞1.努力变形，构造出1－log(1＋x)(1－x2)的形式，再判别对数式和0的大小关系．于是|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.故答案为|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.(2)方法一：设2x－3y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y，经典解法，用已知条件中的代数式，表示出目标式，求解参数．对应系数相等，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋μ＝2，,λ－μ＝－3))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,2)，,μ＝\f(5,2).))∴2x－3y＝－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)∈(3,8)．方法二：令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝x＋y，,b＝x－