高中数学圆锥曲线与方程难题典型题拔高练习带答案

第1页（共1页）高中数学圆锥曲线与方程一．选择题（共20小题）1．从圆x2+y2＝4上的点向椭圆C：+y2＝1引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆C内不与任何切点弦相交的区域面积为（）A．B．C．D．前三个答案都不对2．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为（）A． B．2﹣ C．﹣2 D．﹣3．如图，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，斜率k＝1的直线l过焦点F，与抛物线交于A、B两点，若抛物线的准线与x轴交点为N，则tan∠ANF＝（）A．1 B． C． D．4．抛物线将坐标平面分成两部分，我们将焦点所在的部分（不包括抛物线本身）称为抛物线的内部．若点N（a，b）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）的内部，则直线l：by＝p（x+a）与抛物线C的公共点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．不能确定5．如图，已知白纸上有一椭圆C，它焦点为F1，F2，长轴A1A2，短轴B1B2，P是椭圆上一点，将白纸沿直线B1B2折成90°角，则下列正确的是（）①当P在B1（或B2）时，PF1+PF2最大．②当P在A1（或A2）时，PF1+PF2最小．A．①② B．① C．② D．都不正确6．已知F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为抛物线上三点，当时，则存在横坐标x＞2的点A、B、C有（）A．0个B．2个C．有限个，但多于2个D．无限多个7．过双曲线C：右焦点F的直线l与C交于P，Q两点，，若，则C的离心率为（）A． B．2 C． D．8．已知抛物线C：y2＝8x，点P，Q是抛物线上任意两点，M是PQ的中点，且|PQ|＝10，则M到y轴距离的最小值为（）A．9 B．8 C．4 D．39．过点P作抛物线C：x2＝2y的切线l1，l2，切点分别为M，N，若△PMN的重心坐标为（1，1），且P在抛物线D：y2＝mx上，则D的焦点坐标为（）A． B． C． D．10．过点P（2，1）斜率为正的直线交椭圆于A，B两点．C，D是椭圆上相异的两点，满足CP，DP分别平分∠ACB，∠ADB，则△PCD外接圆半径的最小值为（）A． B． C． D．11．已知双曲线E：＝1（a，b＞0），斜率为﹣的直线与E的左右两支分别交于A，B两点，点P的坐标为（﹣1，2），直线AP交E于另一点C，直线BP交E于另一点D．若直线CD的斜率为﹣，则E的离心率为（）A． B． C． D．12．曲线Γ：（﹣﹣1）＝0，要使直线y＝m（m∈R）与曲线Γ有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，） B．（﹣3，3） C．（﹣3，﹣）∪（，3） D．（﹣3，﹣）∪（﹣，）∪（，3）13．圆锥曲线与空间几何体具有深刻而广泛的联系．如图所示，底面半径为1，高为3的圆柱内放有一个半径为1的球，球与圆柱下底面相切，作不与圆柱底面平行的平面α与球相切于点F，若平面α与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线τ，τ是以F为一个焦点的椭圆，则τ的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．14．已知A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆4x2+y2＝1上两个不同点，且满足，则|2x1+y1﹣1|+|2x2+y2﹣1|的最大值为（）A． B．4 C． D．15．如图，α，β，γ是由直线l引出的三个不重合的半平面，其中二面角α﹣l﹣β大小为60°，γ在二面角α﹣l﹣β内绕直线l旋转，圆C在γ内，且圆C在α，β内的射影分别为椭圆C1，C2．记椭圆C1，C2的离心率分别为e1，e2，则e12+e22的取值范围是（）A． B． C． D．16．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且与x轴垂直的直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A、B两点，，若双曲线上存在一点P使得|PM|+|PF2|≤t，则t的最小值为（）A． B． C． D．17．已知椭圆Γ：内有一定点P（1，1），过点P的两条直线l1，l2分别与椭圆Γ交于A、C和B、D两点，且满足，，若λ变化时，直线CD的斜率总为，则椭圆Γ的离心率为（）A． B． C． D．18．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，I，G分别为△PF1F2的内心和重心，当IG⊥x轴时，椭圆的离心率为（）A． B． C． D．19．已知双曲线的离心率为2，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点M（﹣a，0），N（0，b），点P为线段MN上的动点，当取得最小值和最大值时，△PF1F2的面积分别为S1，S2，则＝（）A．4 B．8 C． D．20．已知直线y＝kx（k≠0）与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为4a2，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．二．填空题（共5小题）21．设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若在其左准线上存在点M，使线段MF2的中垂线过点F1，则椭圆的离心率的取值范围是．22．平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2x的焦点为F，设M是抛物线上的动点，则的最大值是，此时|MF|＝．23．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0），F1（﹣c，0）是左焦点，圆x2+y2＝c2与双曲线左支的一个交点是P，若直线PF1与双曲线右支有交点，则双曲线的离心率的取值范围是．24．已知点P为直线ax+y﹣4＝0上一点，PA，PB是椭圆C：+y2＝1（a＞1）的两条切线，若恰好存在一点P使得PA⊥PB，则椭圆C的离心率为．25．已知一族双曲线En：x2﹣y2＝（n∈N*，且n≤2020），设直线x＝2与En在第一象限内的交点为An，点An在En，的两条渐近线上的射影分别为Bn，∁n，记△AnBn∁n的面积为an，则a1+a2+a3+……+a2020＝．三．解答题（共15小题）26．已知，点M在x轴上，点L在y轴上，且，当点L在y轴上运动时，动点N的轨迹为曲线C过x轴上一点K的直线交曲线C于P，Q两点．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；（Ⅱ）证明：存在唯一的一点K，使得为常数，并确定K点的坐标．27．已知A，B分别为椭圆E：+y2＝1（a＞1）的左、右顶点，G为E的上顶点，•＝8．P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点．28．已知点A（﹣，0），B（，0），△ABC的周长为4+2，顶点C的轨迹为E．（1）求E的方程；（2）直线l：y＝kx+m与曲线E交于M，N两点（M，N不在x轴上），若点P在E上，且△PMN的重心是坐标原点O．（i）求m与k满足的等式关系；（ii）求证：△PMN的面积为定值．29．如图，已知椭圆E的右焦点为F2（1，0），P，Q为椭圆上的两个动点，△PQF2周长的最大值为8．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）直线1经过F2，交椭圆E于点A，B，直线m与直线l的倾斜角互补，且交椭圆E于点M，N，|MN|2＝4|AB|，求证：直线m与直线l的交点T在定直线上．30．已知椭圆：（a＞b＞0）过点E（，1），其左、右顶点分别为A，B，左、右焦点为F1，F2，其中F1（，0）．（1）求栖圆C的方程：（2）设M（x0，y0）为椭圆C上异于A，B两点的任意一点，MN⊥AB于点N，直线l：x0x+2y0y﹣4＝0，设过点A与x轴垂直的直线与直线l交于点P，证明：直线BP经过线段MN的中点．31．如图，设点F是抛物线C：x2＝2y的焦点，直线l与抛物线C相切于点P（点P位于第一象限），并与抛物线C的准线相交于点A．过点P且与直线l垂直的直线l1交抛物线C于另一点B，交y轴于点Q，连结AB．（Ⅰ）证明：△FPQ为等腰三角形；（Ⅱ）求△PAB面积的最小值．32．已知动圆P过点F2（2，0），并且与圆相外切，设动圆的圆心P的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）过动点P作直线与曲线3x2﹣y2＝0交于A、B两点，当P为AB的中点时，求|OA|•|OB|的值；（3）过点F2的直线l1与曲线C交于E、F两点，设直线，点D（﹣1，0），直线ED交l于点M，求证：直线FM经过定点，并求出该定点的坐标．33．已知椭圆C：的左右顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点P是椭圆C上异于A、B的任意一点，设直线PA，PB的斜率分别为k1、k2，且，椭圆的焦距长为4．（1）求椭圆C的离心率；（2）过右焦点F且倾斜角为30°的直线l交椭圆C于M、N两点，分别记△ABM，△ABN的面积为S1、S2，求|S1﹣S2|的值．34．已知点，在圆C：上任取一点E，EN的垂直平分线交EC于点M．（如图）．（1）求点M的轨迹方程H；（2）若过点P（0，1）的动直线l与（1）中的轨迹H相交于A、B两点．问：平面内是否存在异于点P的定点Q，使得恒成立？试证明你的结论．35．已知椭圆的离心率为，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上一点，ΔF1PF2面积的最大值为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点A（4，0）作关于x轴对称的两条不同直线l1，l2分别交椭圆于M（x1，y1）与N（x2，y2），且x1≠x2，证明直线MN过定点，并求出该定点坐标．36．在平面直角坐标系xOy中，圆A：（x﹣1）2+y2＝16，圆内一点B（﹣1，0），P是圆上任意一点，线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点E，当P在圆上运动时，（1）求点E的轨迹方程；（2）过A的直线与点E的轨迹方程交于H、G两点，若线段HG的中点为M，且＝2，求四边形OHNG面积的最大值．37．已知椭圆的右焦点为F（c，0），短轴长为2，且C截直线x＝c所得线段MN的长为（1）求C的方程；（2）若A，B为C上的两个动点，且∠AFM＝∠BFM．证明直线AB过定点，并求定点的坐标．38．椭圆，A，B是椭圆C的左右顶点，点P是椭圆上的任意一点．（1）证明：直线PA，与直线PB，斜率之积为定值．（2）设经过D（1，0）且斜率不为0的直线l交椭圆于M，N两点，直线AM与直线BN交于点Q，求证：为定值．39．以点M（2，0）为切点作圆C：（x﹣3）2+（y﹣t）2＝r2的切线l1，过点N（﹣2，0）作圆的线l2，l1与l2交于点E．（1）证明：|EM|+|EN|为定值，并求动点E的轨迹r的方程．（2）若过点T（﹣3，0）的直线l与轨迹r交于A，B两点，求△MAB面积的最大值及此时直线1的方程．40．如图，已知椭圆＝1（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为，一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且它的实轴长等于虚轴长，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，其中A、C在x轴的同一侧．（1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1⋅k2＝1；（3）是否存在题设中的点P，使得|．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．【解答】解：如图所示，设点A（2cosθ，2sinθ），则BC直线方程为cosθ•x+2sinθ•y＝1，由于在点（acosθ，bsinθ）的切线方程为，则，因此cosθ•x+2sinθ•y＝1为椭圆x2+4y2＝1的切线系方程．由椭圆的面积可得，下面证明以下两个引理：①过椭圆上一点P（x0，y0）的切线方程为．证明：当斜率存在时，设切线方程为y＝kx+t，联立椭圆方程，联立直线与椭圆方程可得（b2+a2k2）x2+2a2ktx+a2（t2﹣b2）＝0①由题可得：△＝4a4k2t2﹣4a2（b2+a2k2）（t2﹣b2）＝0，化简可得：t2＝a2k2+b2，①式只有一个根，记作x0为切点的横坐标，切点的纵坐标，所以，所以，所以切线方程为：，化简得：，当切线斜率不存在时，切线为x＝±a，也符合方程，综上上一点P（x0，y0）的切线方程为．②从椭圆外一点P（x0，y0）作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的方程为．证明：如图，设切点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则椭圆的以A，B为切点的切线方程分别为和，由两切线均过点P（x0，y0）有和，所以点A（x1，y1），B（x2，y2）均在直线上，因此切点弦AB的方程为．故选：A．2．【解答】解：如图，设|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝m，由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a＝2m+m，即m＝2（2﹣）a，则|AF2|＝2a﹣m＝（2﹣2）a，在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2+|AF2|2，即4c2＝4（2﹣）2a2+4（﹣1）2a2，∴c2＝（9﹣6）a2，则e2＝＝9﹣6＝，∴e＝．故选：D．3．【解答】解：∵直线l的斜率k＝1，∴可设A（+y，y），代入抛物线y2＝2px，可得y2＝2p（+y），∴y＝p+p，∴tan∠ANF＝＝＝．故选：C．4．【解答】解：根据题意，点N（a，b）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）的内部，∴|b|＜，且a＞0；又直线l：by＝p（x+a）与抛物线C的方程联立，得；消去y，得；px2+（2pa﹣2b2）x+pa2＝0，∵p＞0，且△＝（2pa﹣2b2）2﹣4p•pa2＝4（2pa﹣b2）（﹣b2）＝4b2（b2﹣2pa）＜0，∴方程组无解；∴直线与抛物线无公共点．胡选：A．5．【解答】解：设翻折前椭圆方程为：，如图所示建立空间直角坐标系，根据对称性，不妨设，F1（c，0，0），F2（0，0，c），则＝，设，则，故函数单调递减，故当θ＝0，即当P在B1（或B2）时，PF1+PF2最大，故时，当P在A1（或A2）时，PF1+PF2最小．故选：A．6．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），先证x1≤2，由知，F为△ABC的重心，又F（1，0），∴，，∴x2+x3＝3﹣x1，y2+y3＝﹣y1，∴，∴，∴，∴x1≤2（x2+x3），∴x1≤2（3﹣x1），∴x1≤2，同理x2≤2，x3≤2，故选：A．7．【解答】解：设双曲线的左焦点为F'，由，可得|QP|＝2|PF|，，可得OP⊥FQ，可设|PF|＝t，可得|QP|＝2t，由双曲线的定义可得|PF'|＝|PF|+2a＝t+2a，|QF'|＝|QF|﹣2a＝3t﹣2a，在直角三角形POF中，可得cos∠PFO＝，在△PFF'中，cos∠PFO＝，在△QFF'中，cos∠QFO＝cos∠PFO＝，由＝，化为3ta＝c2﹣a2，①由＝，可得3t2﹣3ta＝c2﹣a2，②由①②消去t，可得c2＝7a2，即c＝a，则e＝＝，故选：C．8．【解答】解：法﹣：由题意可知直线l的斜率不为零，设l：x＝my+n，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），则点M（，），点M到x轴的距离为．由，整理得y2﹣8my﹣8n＝0．△＝64m2+32n＞0，由韦达定理得y1+y2＝8m，y1y2＝﹣8n．|AB|＝•|y1﹣y2|＝•＝10，可得n＝﹣2m2，∵＝4m，∴＝m•+n＝m•4m+n＝4m2+﹣2m2＝2m2+＝2（1+m2）+﹣2≥2﹣2＝5﹣2＝3；当且仅当2（1+m2）＝，即当m＝±时，等号成立，此时n＝﹣2m2＝2，△＝64m2+32n＞0成立，合乎题意！因此，点M到y轴的距离的最小值为3，此时，直线l的方程为x±y﹣2＝0．法二：因为：|PQ|≤PF+QF＝x1+x2+p⇒x1+x2≥10﹣p＝6；∴PQ的中点M到y轴距离的值为：≥3；即最小值为3．故选：D．9．【解答】解：设M（x1，），N（x2，），由x2＝y，得y＝，∴y′＝x，故直线L1的方程为y﹣＝x1（x﹣x1）即y＝x1x﹣，同理直线L2的方程为y＝x2x﹣，联立L1，L2的方程可得x＝，y＝，设△PMN的重心坐标为（x0，y0），则x0＝＝1，y0＝＝1即所以，则P的坐标为（1，﹣1），从而（﹣1）2＝m×1，故D的焦点坐标为（，0）．故选：A．10．【解答】解：如图，先固定直线AB，设，则f（C）＝f（D）＝f（P），其中为定值，故点P，C，D在一个阿波罗尼斯圆上，且△PCD外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为r，阿波罗尼斯圆会把点A，B其一包含进去，这取决于BP与AP谁更大，不妨先考虑BP＞AP的阿波罗尼斯圆的情况，BA的延长线与圆交于点Q，PQ即为该圆的直径，接下来寻求半径的表达式，由，解得，同理，当BP＜AP时有，，综上，；当直线AB无斜率时，与椭圆交点纵坐标为，则；当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y﹣1＝k（x﹣2），即y＝kx﹣2k+1，与椭圆方程联立可得（24k2+5）x2+48k（1﹣2k）x+96（k2﹣k﹣1）＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则由根与系数的关系有，，∴＝，注意到x1﹣2与x2﹣2异号，故＝，设t＝12k+5，则，故，又，故选：D．11．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（xM，yM），则，两式相减得：＝•⇒﹣＝•⇒yM＝﹣①设C（x3，y3），D（x4，y4），线段CD的中点N（xN，yN），同理可得yN＝﹣•xN②易知P，M，N三点共线，∴＝，①②代入得＝，即（xM﹣xN）•（1﹣）＝0，∴a2＝4b2，∴e＝．故选：C．12．【解答】解：曲线Γ：（﹣﹣1）＝0，可知x，y∈[﹣3，3]，图形如图：是一个圆与双曲线的一部分，由，解得y＝±，曲线Γ：（﹣﹣1）＝0，要使直线y＝m（m∈R）与曲线Γ有四个不同的交点，可得m∈（﹣3，﹣）∪（，3）．故选：C．13．【解答】解：当α与底面趋于平行时，τ几乎成为一个圆，因此离心率可以充分接近0．当α与底面的夹角最大时，τ的离心率达到最大，下面求解这一最大值．如图，A，B为长轴，F为焦点时，e最大．a+c＝|BF|＝|BG|＝2，易知b＝1，所以，则e＝＝．则离心率的取值范围是．故选：B．14．【解答】解：已知A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆4x2+y2＝1上两个不同点，则，设2x＝m，y＝n，C（m1，n1），D（m2，n2），O为坐标原点，则，，∴，且，∴C、D两点均在圆m2+n2＝1的圆上，且∠COD＝60°，∴△COD为等边三角形且|CD|＝1，根据点到直线的距离公式，知为C、D两点到直线x+y﹣1＝0的距离d1、d2之和．设CD的中点为E，E到直线x+y﹣1＝0的距离d3，则，∴d1+d2的最大值为，∴，∴|2x1+y1﹣1|+|2x2+y2﹣1|的最大值为，故选：C．15．【解答】解：显然圆在两平面内的射影均为椭圆，且椭圆的长轴都为圆的直径，设圆的直径为2，要求椭圆的离心率，关键是求出其短轴，现将问题平面化，如图所示，设AB＝2，在平面α内的投影为A1B1，在面β内的投影为A2B2，设∠MOH＝θ，θ∈（0，），则∠MOH＝﹣θ，则A1B1＝ABcosθ，A2B2＝2cos（﹣θ），所以e12＝＝＝1﹣cos2θ，e22＝＝＝1﹣cos2（﹣θ），则e12+e22＝1﹣cos2θ+1﹣cos2（﹣θ）＝1﹣cos2θ+1﹣cos2θ﹣sinθcosθ﹣sin2θ＝﹣cos2θ﹣sinθcosθ＝1﹣sin（2θ+），因为θ∈（0，），所以2θ+∈（，），则sin（2θ+）∈（，1]，所以1﹣sin（2θ+）∈[，），即e12+e22∈[，），故选：C．16．【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），渐近线方程为y＝±x，令x＝c，解得y＝±，可得|AB|＝，|AB|＝3，即有＝3，由a＝2，c2＝a2+b2，解得b＝，c＝3，即有双曲线的方程为，由题意可知若P在左支上，由双曲线的定义可得|PF2|＝2a+|PF1|，|PM|+|PF2|＝|PM|+|PF1|+2a≥|MF1|+4＝+4＝5+4，当且仅当M，P，F1共线时，取得最小值4+5；若P在右支上，由双曲线的定义可得|PF2|＝|PF1|﹣2a，|PM|+|PF2|＝|PM|+|PF1|﹣2a≥|MF1|﹣4＝5﹣4，当且仅当M，P，F1共线时，取得最小值5﹣4．综上可得，所求最小值为5﹣4．故选：D．17．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），由，即（1﹣x1，1﹣y1）＝λ（x3﹣1，y3﹣1），则x1+λx3＝1+λ，y1+λy3＝1+λ，由，同理可得：x2+λx4＝1+λ，y2+λy4＝1+λ．则（y1+y2）+λ（y3+y4）＝（x1+x2）+λ（x3+x4），将点A，B的坐标代入椭圆方程作差可得：＝﹣•，由题意可得：AB∥CD，∴kAB＝kCD＝﹣．则a2（y1+y2）＝4b2（x1+x2）①，同理可得：a2（y3+y4）＝4b2（x3+x4），∴λa2（y3+y4）＝4λb2（x3+x4），②①+②得：a2[（y1+y2）+λ（y3+y4）]＝4b2[（x1+x2）+λ（x3+x4）]，∴a2[（x1+x2）+λ（x3+x4）]＝4b2[（x1+x2）+λ（x3+x4）]，∴a2＝4b2，则椭圆的离心率e＝＝＝．故选：A．18．【解答】解：如图所示，设P（x0，y0），不妨设y0＞0．F1（﹣c，0），F2（c，0）．则G（，），∵IG⊥x轴，∴xI＝．设三角形内切圆的半径为r．由三角形内切圆的性质可得：r（2a+2c）＝•2c•y0．解得r＝，∴yI＝．设PF1，PF2分别与内切圆相切于点D，E．则PD＝PE＝（2a﹣2c）＝a﹣c．在Rt△PDI中，由勾股定理可得：PD2+ID2＝PI2．∴（a﹣c）2+＝+，化为：+＝1．与椭圆比较可得：a2＝，∴a＝（a﹣c），可得＝．∴e＝．故选：A．19．【解答】解：由，得，故线段MN所在直线的方程为，又点P在线段MN上，可设，其中m∈[﹣a，0]，由于F1（﹣c，0），F2（c，0），即F1（﹣2a，0），F2（2a，0），得，所以＝．由于m∈[﹣a，0]，可知当时，取得最小值，此时，当m＝0时，取得最大值，此时，则，故选：A．20．【解答】解：∵以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，∴以AB为直径的圆的方程为x2+y2＝c2，由对称性知△ABF的面积S＝2S△OBF＝2×h＝ch＝4a2，即h＝，即B点的纵坐标为y＝，则由x2+（）2＝c2，得x2＝c2﹣（）2＝c2﹣，B在双曲线上，则﹣＝1，即﹣﹣＝1，即﹣（1+）＝1，即﹣•＝1，即﹣＝1，即﹣1＝＝，得16a4＝（c2﹣a2）2，即4a2＝c2﹣a2，得5a2＝c2，得c＝a，则离心率e＝＝＝，方法2：设双曲线的左焦点为F′，由图象的对称性得，圆O经过点F′，且|BF′|＝|AF|，设|BF'|＝|AF|＝m，|BF|＝n，∵BF⊥AF∴S△ABF＝mn＝4a2，m2+n2＝4c2，则mn＝8a2，∵|BF′|﹣|BF|＝2a，∴m﹣n＝2a则m2﹣2mn+n2＝4a2，∴4c2﹣16a2＝4a2，即c2＝5a2，则c＝a，即离心率e＝＝＝，故选：D．二．填空题（共5小题）21．【解答】解：左准线方程为：x＝﹣，连接MF1，则由线段MF2的中垂线过点F1，可得|MF1|＝|F1F2|＝2c，又|MF1|≥（﹣c）﹣（﹣），即有3c，即c≥a，则e＝，又0＜e＜1，则＜1．故答案为：．22．【解答】解：焦点F（，0），设M（m，n），则n2＝2m，m＞0，设M到准线x＝﹣的距离等于d，则由抛物线的定义得＝＝＝＝，令m﹣＝t，依题意知，m＞0，若t＞0，则＝＝≤＝，∴（）max＝，此时＝＝；若﹣＜t＜0，y＝t++单调递减，故y＜﹣﹣+＝﹣1，∈（﹣1，0）；综上所述，＝．此时t＝，即t＝＝m﹣，则m＝+＝1，则|MF|＝d＝m﹣（﹣）＝1+＝，故答案为：，23．【解答】解：设直线PF1的方程为y＝k（x+c），即kx﹣y+kc＝0，由直线和圆有交点，可得＜c，解得k≠0．联立圆x2+y2＝c2与双曲线方程﹣＝1，解得交点P，设为（﹣，）．可得k＝＞0，由题意可得k＜，结合a2+b2＝c2，a＜c2﹣ab，化简可得b＞2a，即有b2＞4a2，可得c2＞5a2，即有e＝＞．故答案为：（，+∞）24．【解答】解：设P（m，n），过点P的切线方程为y﹣n＝k（x﹣m），联立，得（k2a2+1）x2+2ka2（n﹣km）x+a2[（n﹣km）2﹣1]＝0，∵直线与椭圆相切，∴△＝4k2a4（n﹣km）2﹣4a2（k2a2+1）[（n﹣km）2﹣1]＝0，整理得（a2﹣m2）k2+2mnk+1﹣n2＝0，若切线PA、PB的斜率均存在，分别设为k1，k2，∵PA⊥PB，∴k1•k2＝＝﹣1，即m2+n2＝1+a2，∴点P在以（0，0）为圆心，为半径的圆上，即（0，0）到直线ax+y﹣4＝0的距离为，∴d＝＝，解得a＝±，∵a＞1，∴a＝，若切线PA、PB分别与两坐标轴垂直，则P（a，1）或（﹣a，1）或（a，﹣1）或（﹣a，﹣1），存在点P（a，1），将其代入直线ax+y﹣4＝0中，解得a＝．综上所述，a＝．又b＝1，∴c＝＝，∴离心率e＝＝＝．故答案为：．25．【解答】解：双曲线En：x2﹣y2＝（n∈N*，且n≤2020）的两条渐近线为y＝x，y＝﹣x，互相垂直，直线x＝2与En在第一象限内的交点为An，，点An在En的两条渐近线上的射影分别为Bn，∁n，则，∴，∴＝．故答案为：．三．解答题（共15小题）26．【解答】解：（Ⅰ）根据题意可知F（，0），（p＞0），点M在x轴上，点L在y轴上，且，画出几何关系如下图所示：设N（x，y），L为MN的中点，∵点L在y轴上，∴点M的横坐标为﹣x，由等腰三角形的三线合一可知|FM|＝|FN|，即+x＝，展开化简可得y2＝2px．证明（Ⅱ）：设K为x轴上一点，设K（a，0），过K点直线方程为y＝k（x﹣a），交抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程组，化简变形可得k2x﹣（2ak2+2p）+k2a2＝0，∴x1+x2＝＝2a+，x1x2＝a2，由两点之间的距离公式可得|PK|2＝（x1﹣a）2+y12＝（x1﹣a）2+2px1，|QK|2＝（x2﹣a）2+y22＝（x2﹣a）2+2px2，∴＝+＝+＝对于分子x12+x22+（2p﹣2a）（x1+x2）+2a2＝（x1+x2）2﹣2x1x2+（2p﹣2a）（x1+x2）+2a2＝（2a+）2+（2p﹣2a）（2a+）＝（2a+）（2p+）＝，对于分母[x12+（2p﹣2a）x1+a2][x12+（2p﹣2a）x1+a2]＝（x1x2）2+（2p﹣2a）x1x2（x1+x2）+a2[（x1+x2）2﹣2x1x2]+（2p﹣2a）2x1x2+a2（2p﹣2a）（x1+x2）+a4，＝a4+（2p﹣2a）a2（2a+）+a2[（2a+）2﹣2a2]+a2（2p﹣2a）2+a2（2p﹣2a）（2a+）+a4＝，∴＝，当a＝p时，＝，此时K（p，0）．27．【解答】解：如图所示：（1）由题意A（﹣a，0），B（a，0），G（0，1），∴＝（a，1），＝（a，﹣1），•＝a2﹣1＝8，解得：a＝3，故椭圆E的方程是+y2＝1；（2）由（1）知A（﹣3，0），B（3，0），设P（6，m），则直线PA的方程是y＝（x+3），联立⇒（9+m2）x2+6m2x+9m2﹣81＝0，由韦达定理﹣3xc＝⇒xc＝，代入直线PA的方程为y＝（x+3）得：yc＝，即C（，），直线PB的方程是y＝（x﹣3），联立方程⇒（1+m2）x2﹣6m2x+9m2﹣9＝0，由韦达定理3xD＝⇒xD＝，代入直线PB的方程为y＝（x﹣3）得yD＝，即D（，），则①当xc＝xD即＝时，有m2＝3，此时xc＝xD＝，即CD为直线x＝，②当xc≠xD时，直线CD的斜率KCD＝＝，∴直线CD的方程是y﹣＝（x﹣），整理得：y＝（x﹣），直线CD过定点（，0）．综合①②故直线CD过定点（，0）．28．【解答】解：（1）由题意知|CA|+|CB|＝4，所以E为焦点在x轴上的椭圆，所以a＝2，c＝，则b＝，所以椭圆的方程为，（y≠0），（2）（i）设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），因为△PMN的重心是坐标原点O，则，联立y＝kx+m和，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣4＝0，△＝8（2+4k2﹣m2），当△＞0时，，，所以，y3＝﹣（y1+y2）＝﹣k（x1+x2）﹣2m＝，故P（，），因为点P在椭圆上，所以带入椭圆整理得，满足△＞0，因而m与k满足的等式关系为．①（ii）由（i）当△＞0时，，因为△PMN的重心是坐标原点O，所以△PMN的面积为△OMN的面积的3倍，设直线l与y轴交与点D，那么△PMN的面积为＝，关系式①代入得S＝，所以△PMN的面积为定值．29．【解答】解：（1）由已知，得c＝1，4a＝8，即a＝2，则b＝，则椭圆E的标准方程为，（2）若直线l的斜率不存在，直线m的斜率也不存在，这与两直线交与点P矛盾，即直线l的斜率存在，设直线l为y＝k（x﹣1），（k≠0），直线m为y＝﹣k（x+t），A（xA，yA），B（xB，yB），P（xP，yP），Q（xQ，yQ），将直线m的带入椭圆方程：（3+4k2）x2+8k2tx+4（k2t2﹣3）＝0，则，，则|MN|2＝（1+k2），同理|AB|＝＝，令|MN|2＝4|AB|，得t＝0，此时△＝16k4t2﹣16（3+4k2）（k2t2﹣3）＞0，所以直线m：y＝﹣kx，则P（），即P在定直线x＝上30．【解答】解：（1）由题意知，2a＝|EF1|+|EF2|＝＝4，则a＝2，c＝，b＝，故椭圆的方程为，（2）由（1）知A（﹣2，0），B（2，0），过点A且与x轴垂直的直线的方程为x＝﹣2，结合方程x0x+2y0y﹣4＝0，得点P（﹣2，），直线PB的斜率为，直线PB的方程为，因为MN⊥AB于点N，所以N（x0，0），线段MN的中点坐标（），令x＝x0，得，因为，所以，即直线BP经过线段MN的中点．31．【解答】解（1）设P（x0，）且x0＞0，因为直线l与抛物线C相切，求导得y'＝x，即k＝x0，所以直线l的方程为y＝x0x﹣，直线l1的方程为y﹣＝，即Q（0，+1），因为F（0，），则|FQ|＝+1﹣＝+，而|FP|＝＝+，所以|FQ|＝|FP|，即△FPQ为等腰三角形，（2）抛物线C的准线为y＝﹣，得A（，﹣），所以|PA|＝＝，联立方程组y﹣＝和x2＝2y，得，因为，则，即B（，），所以|PB|＝＝，得△PAB面积为S＝|PA|•|PB|＝＝≥4，当且仅当x0＝1时取等号，所以△PAB面积最小值为4．32．【解答】解：（1）设P（x，y），动圆的半径为r，圆的圆心F2（﹣2，0），半径为2，由题意可得|PF1|＝r+2，|PF2|＝r，即有|PF1|﹣|PF2|＝2+r﹣r＝2＜|F1F2|，可得P的轨迹为以F1，F2为焦点的双曲线的右支，可得a＝1，c＝2，b＝，即曲线C的方程为（x≥1）；（2）证明：设P（x0，y0），即有x02﹣＝1，曲线3x2﹣y2＝0即为y＝x和y＝﹣x，设A（m，m），B（n，﹣n），由P为AB的中点，可得m+n＝2x0，m﹣n＝2y0，解得m＝x0+y0，n＝x0﹣y0，则|OA|•|OB|＝2|m|•2|n|＝4|mn|＝4|（x0+y0）（x0﹣y0）|＝4|x02﹣y02|＝4为定值．|OA|•|OB|＝4；（3）①当斜率不存在时，l1：x＝2可知E（2，3），F（2，﹣3），∵D（﹣1，0），所以直线ED：，M（），所以直线FM：即y＝﹣3（x﹣1）所以直线恒过（1，0）；②当斜率存在时，l1：y＝k（x﹣2），联立双曲线方程，消去y，可得（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k3﹣3＝0，设E（x1，y1），F（x2，y2）根据韦达定理可得，则直线ED的方程为，当x＝时，y＝，M（）设点N（1，0），若FM过定点N，则两直线斜率相等．即kFN＝kMN，，，所以FM恒过定点N（1，0），∴综上所述，直线FM恒过定点（1，0）．33．【解答】解：（1）设点P（x0，y0）（|x0|≠a），则，①∵，②∴联立①②得，∴a2＝3b2（|x0|≠a），∴，∴．（2）由题意知，2c＝4，即c＝2，由（1）知，a2＝3b2，∴a2＝b2+c2＝b2+4，∴b2＝2，a2＝6，∴椭圆C的方程为：，由已知得l：．联立，可得x2﹣2x﹣1＝0．设M（x1，y1），N（x2，y2），根据韦达定理，得x1+x2＝2，于是＝．34．【解答】解：（1）由题意，可知|MC|+|MN|＝|MC|+|ME|＝|CE|＝6（6＞|CN|＝2）．故点M的轨迹是以C，N为左、右焦点的椭圆，2a＝6，a＝3，，b2＝a2﹣c2＝4，∴所求点M的轨迹是椭圆H：．（2）由题意，可知①当直线l∥x轴时，此时|PA|＝|PB|，故＝1，即|QA|＝|QB|．故此时点Q线段AB的垂直平分线即y轴上，∴此时点Q为y轴上任意一点即满足题意．∴可设定点Q的坐标为（0，y0）．②当直线l⊥x轴时，A（0，2），B（0，﹣2），由，可得，或y0＝4．∵定点Q必须异于点P才满足题意，∴此时定点Q的坐标为（0，4）．③下面证明：当直线l的斜率存在时，定点Q（0，4）也使得恒成立．证明：当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l：y＝kx+1，设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，整理，得（4+9k2）x2+18kx﹣27＝0，则，．∴+＝＝＝k．∴＝k﹣．如图所示，作点B（x2，y2）关于y轴的对称点为B'（﹣x2，y2），则|QB|＝|QB′|．连接QA，QB，QB′．∵，＝﹣k+＝﹣k+3（k﹣）＝k﹣．∴kQA＝kQB′，即Q、A、B'三点共线，∵＝＝＝．∴结合图形可知：．∴当直线l的斜率存在时，定点Q（0，4）也使得恒成立．综上所述，可知平面内存在异于点P的定点Q（0，4），使得恒成立．35．【解答】解：（1）设a2﹣b2＝c2，则，设P（x，y），则，∵．解得．所以椭圆C的方程为．（2）证明：设MN方程为x＝ny+m，（n≠0），联立，得（n2+4）y2+2nmy+m2﹣4＝0，∴，因为关于x轴对称的两条不同直线l1，l2的斜率之和为0，即，即，得2ny1y2+m（y1+y2）﹣4（y1+y2）＝0，即．解得：m＝1．直线MN方程为：x＝ny+1，所以直线MN过定点B（1，0）．36．【解答】解：（1）由题意知|EB|＝|EP|，所以|EB|+|EA|＝|PE|+|EA|＝|PA|＝4＞|AB|＝2，所以E的轨迹是焦点为A、B，长轴为4的椭圆，设椭圆方程为，则2a＝4，2c＝2，所以a2＝4，b2＝3，所以椭圆方程为；即点E的轨迹的方程为．（2）因为直线HG斜率不为0，设为x＝ty+1，设G（x1，y1），H（x2，y2），联立整理得（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0，所以Δ＝36t2+36（3t2+4）＝144（t2+1）＞0，，，所以，∵，∴S△GHN