北师大版初中九年级数学下册《第二章 二次函数》大单元整体教学设计2022课标

北师大版初中九年级数学下册《第二章二次函数》大单元整体教学设计[2022课标]一、内容分析与整合二、《义务教育课程标准（2022年版）》分解三、学情分析四、大主题或大概念设计五、大单元目标叙写六、大单元教学重点七、大单元教学难点八、大单元整体教学思路九、学业评价十、大单元实施思路及教学结构图十一、大情境、大任务创设十二、单元学历案十三、学科实践与跨学科学习设计十四、大单元作业设计十五、“教-学-评”一致性课时设计十六、大单元教学反思一、内容分析与整合（一）教学内容分析《二次函数》是初中数学的重要章节，它不仅是代数领域的一个核心内容，也是解决许多实际问题的有力工具。二次函数的概念、图象与性质、确定表达式的方法以及应用，构成了本章教学的主要内容。二次函数的概念二次函数是指形如y=ax2+bx+c（其中a≠0）的函数。这一概念是学生在初中阶段首次接触，它是对之前所学的一次函数的拓展和深化。学生需要理解二次函数的一般形式，以及系数a、b、c对函数图象和性质的影响。二次函数的图象与性质二次函数的图象是一条抛物线，其开口方向、对称轴、顶点坐标等是图象的重要特征。学生需要掌握如何根据二次函数的系数判断图象的开口方向，以及如何通过配方的方法找到对称轴和顶点坐标。学生还需要理解二次函数图象与x轴的交点情况，以及交点坐标与一元二次方程的关系。确定二次函数的表达式确定二次函数的表达式是本章教学的重点之一。学生需要掌握通过已知条件（如图象上的点、对称轴、顶点等）来求二次函数表达式的方法。这包括顶点式、交点式等多种形式的表达，以及待定系数法的应用。二次函数的应用二次函数在现实生活中有着广泛的应用，如物体运动、利润最大化、面积最大化等问题都可以通过建立二次函数模型来解决。学生需要学会将实际问题抽象为二次函数问题，并利用二次函数的性质来求解。二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程有着密切的联系。一元二次方程的根就是二次函数图象与x轴的交点坐标。学生需要理解这种联系，并学会利用二次函数的图象来求解一元二次方程。（二）单元内容分析本章内容可以分为五个部分：二次函数的概念、二次函数的图象与性质、确定二次函数的表达式、二次函数的应用、二次函数与一元二次方程。这五个部分相互联系、层层递进，共同构成了二次函数的知识体系。二次函数的概念这是本章教学的起点和基础。学生需要理解二次函数的一般形式，以及系数a、b、c对函数图象和性质的影响。这部分内容相对简单，但为后续学习奠定了基础。二次函数的图象与性质这是本章教学的重点和难点。学生需要掌握二次函数图象的特征和性质，并能够根据函数表达式判断图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。学生还需要理解二次函数图象与x轴的交点情况，以及交点坐标与一元二次方程的关系。这部分内容需要学生通过大量的练习来巩固和深化。确定二次函数的表达式这是本章教学的另一个重点。学生需要掌握通过已知条件来求二次函数表达式的方法。这包括顶点式、交点式等多种形式的表达，以及待定系数法的应用。这部分内容需要学生具备较强的代数运算能力和逻辑推理能力。二次函数的应用这是本章教学的实践环节。学生需要将所学知识应用到实际问题中，通过建立二次函数模型来解决实际问题。这部分内容需要学生具备较强的数学建模能力和问题解决能力。二次函数与一元二次方程这是本章教学的拓展和深化。学生需要理解二次函数与一元二次方程的联系，并学会利用二次函数的图象来求解一元二次方程。这部分内容需要学生具备较强的函数思想和方程思想。（三）单元内容整合本章内容以二次函数为核心，通过图象与性质、确定表达式、应用以及与一元二次方程的联系等多个方面展开教学。在教学过程中，教师需要注重知识之间的联系和整合，帮助学生构建完整的知识体系。知识之间的联系本章内容各部分之间有着密切的联系。例如，二次函数的图象与性质是确定表达式的基础，而确定表达式又是解决应用问题的关键。二次函数与一元二次方程的联系也是本章教学的重要内容之一。教师需要在教学过程中注重这些联系，帮助学生形成完整的知识框架。知识的整合在教学过程中，教师需要帮助学生将所学知识进行整合。例如，在解决应用问题时，学生需要将二次函数的图象与性质、确定表达式的方法等知识综合运用起来。在复习阶段，教师还需要帮助学生将本章内容与之前所学的一次函数、方程等知识进行整合，形成更完整的知识体系。二、《义务教育数学课程标准（2022年版）》分解（一）会用数学的眼光观察现实世界《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调，学生应具备用数学的眼光观察现实世界的能力。在《二次函数》这一章的教学中，教师需要引导学生从现实世界中抽象出二次函数模型，并用数学的语言来描述和解决问题。从现实世界中抽象出二次函数模型在教学过程中，教师需要引导学生观察现实生活中的各种现象和问题，并从中抽象出二次函数模型。例如，在物理学中物体运动的规律、经济学中利润最大化的问题等都可以用二次函数来描述。通过引导学生观察和分析这些现象和问题，可以培养学生的数学建模能力和抽象思维能力。用数学的语言描述和解决问题在抽象出二次函数模型后，教师需要引导学生用数学的语言来描述和解决问题。这包括用二次函数的表达式来表示问题中的数量关系、用二次函数的图象来直观地展示问题的解决过程等。通过这个过程，学生可以进一步加深对二次函数的理解和掌握。（二）会用数学的思维思考现实世界《义务教育数学课程标准（2022年版）》还强调，学生应具备用数学的思维思考现实世界的能力。在《二次函数》这一章的教学中，教师需要引导学生运用数学的思维方法来分析和解决问题。运用数学的思维方法来分析问题在教学过程中，教师需要引导学生运用数学的思维方法来分析问题。这包括将实际问题抽象为数学问题、运用代数运算和逻辑推理来求解问题等。例如，在解决利润最大化问题时，学生需要将实际问题抽象为二次函数的最值问题，并运用配方的方法找到函数的最大值点。通过这个过程，学生可以进一步培养自己的代数运算能力和逻辑推理能力。用数学的思维方法来解决问题在分析问题的基础上，教师需要引导学生用数学的思维方法来解决问题。这包括根据问题的性质选择合适的解题方法、运用已知的数学定理和公式来求解问题等。例如，在求解一元二次方程时，学生需要根据方程的特点选择合适的求解方法（如因式分解法、公式法等），并运用已知的求根公式来求解方程的根。通过这个过程，学生可以进一步培养自己的问题解决能力和创新思维能力。（三）会用数学的语言表达现实世界《义务教育数学课程标准（2022年版）》还强调，学生应具备用数学的语言表达现实世界的能力。在《二次函数》这一章的教学中，教师需要引导学生用数学的语言来表达自己的思维过程和问题解决结果。用数学的语言表达自己的思维过程在教学过程中，教师需要引导学生用数学的语言来表达自己的思维过程。这包括用符号、公式和图象等数学工具来展示自己的解题思路和方法。例如，在求解二次函数的最值问题时，学生可以用配方的方法将函数化为顶点式，并用数学符号来表示函数的最大值点和最大值。通过这个过程，学生可以进一步培养自己的数学表达能力和符号感。用数学的语言表达问题解决结果在问题解决后，教师需要引导学生用数学的语言来表达自己的解决结果。这包括用符号、公式和图象等数学工具来展示自己的解决过程和结果。例如，在求解一元二次方程的根时，学生可以用求根公式来表示方程的解，并用数学符号来表示解的具体值。通过这个过程，学生可以进一步巩固和深化自己对数学知识的理解和掌握。以上仅为教案的第一和第二部分内容。在后续的教学中，教师还需要根据学生的学习情况和反馈进行有针对性的调整和优化，以确保教学目标的实现和学生数学素养的提升。三、学情分析（一）已知内容分析在进入九年级数学下册《第二章二次函数》的学习之前，学生已经具备了一定的数学基础，这些基础是他们理解和掌握新知识的重要支撑。具体来说，学生在之前的学习中已经掌握了以下内容：数与代数：学生已经熟练掌握了有理数、实数、代数式、方程与不等式等基本概念和运算技能。他们能够理解用字母表示数的意义，掌握合并同类项、去括号、因式分解等代数式运算，以及一元一次方程、一元二次方程的解法。这些知识和技能为学习二次函数提供了必要的数学工具。图形与几何：学生已经学习了点、线、面、角、三角形、四边形和圆等几何图形的基本性质和相互关系。他们能够通过尺规作图完成一些基本的几何图形，理解平移、旋转、轴对称等图形变化，以及图形的相似和全等。这些几何知识为理解二次函数的图象和性质提供了直观的基础。统计与概率：学生已经了解了数据的收集、整理、描述和分析方法，能够制作条形统计图、折线统计图和扇形统计图，并理解平均数、中位数、众数等统计量的意义。虽然这部分内容与二次函数的直接联系不大，但它培养了学生的数据意识和分析能力，有助于他们在解决实际问题时运用数学方法。函数概念：在八年级的数学学习中，学生已经初步接触了一次函数和反比例函数的概念，了解了函数的定义、表示法、图象以及基本性质。他们能够理解函数是自变量和因变量之间的一种特殊关系，并能够通过图象分析函数的增减性。这些基础知识为学习二次函数提供了必要的铺垫。（二）新知内容分析本章《二次函数》的学习内容主要包括以下几个方面：二次函数的概念：学生需要理解二次函数的定义，即形如y=ax2+bx+c（其中a≠0）的函数是二次函数。他们需要掌握二次函数的一般形式，并能够根据实际问题建立二次函数模型。二次函数的图象与性质：学生需要掌握二次函数的图象特征，包括抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标等。他们还需要理解二次函数的增减性，能够根据二次函数的系数判断函数的图象形状和性质。学生还需要学会通过配方将二次函数化为顶点式，以便更直观地理解函数的性质。确定二次函数的表达式：学生需要学会根据已知条件（如函数图象上的点、对称轴、顶点等）确定二次函数的表达式。这要求他们能够灵活运用待定系数法、配方法等方法求解二次函数的系数。二次函数的应用：学生需要学会运用二次函数解决实际问题，如求最大值、最小值问题，以及通过二次函数图象求一元二次方程的近似解等。这要求他们能够将实际问题抽象为数学问题，建立二次函数模型，并运用所学的二次函数知识求解。二次函数与一元二次方程：学生需要理解二次函数与一元二次方程之间的关系，能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。这要求他们能够掌握一元二次方程的求解方法，并理解二次函数图象与方程根之间的联系。（三）学生学习能力分析九年级的学生已经具备了一定的数学学习能力，这些能力主要体现在以下几个方面：抽象思维能力：学生已经能够通过抽象思维将实际问题转化为数学问题，建立数学模型。他们能够理解数学符号和公式的意义，并运用这些符号和公式进行推理和计算。逻辑推理能力：学生已经掌握了一定的逻辑推理方法，能够运用演绎推理和归纳推理等方法解决问题。他们能够从已知条件出发，通过逻辑推理得出新的结论。运算能力：学生已经熟练掌握了有理数、实数、代数式等运算技能，能够进行复杂的数学运算。他们还能够运用计算器或计算机等辅助工具进行精确计算。问题解决能力：学生已经具备了一定的问题解决能力，能够从实际问题中提取关键信息，建立数学模型，并运用所学的数学知识求解。他们还能够对问题的解进行检验和评估，确保解的合理性和准确性。九年级的学生在学习二次函数时仍可能面临一些挑战。一方面，二次函数的图象和性质相对复杂，需要学生具备较强的抽象思维能力和逻辑推理能力；另一方面，二次函数的应用问题往往涉及多个变量和条件，需要学生具备较强的问题解决能力和运算能力。（四）学习障碍突破策略为了帮助学生克服学习二次函数时可能遇到的障碍，教师可以采取以下策略：注重基础知识的巩固：在学习二次函数之前，教师应先复习一次函数和反比例函数的相关知识，帮助学生巩固函数的基础概念。教师还应加强学生对代数式和方程运算技能的训练，确保学生能够熟练运用这些技能解决二次函数问题。强化图象教学：二次函数的图象特征是其性质和应用的基础。教师应充分利用多媒体教学工具展示二次函数的图象，引导学生观察图象的形状、开口方向、对称轴和顶点坐标等特征。教师还应鼓励学生自己动手绘制二次函数的图象，加深对图象特征的理解。注重问题引导：在讲授二次函数的应用问题时，教师应注重问题的引导和解法的多样性。教师可以通过提问的方式引导学生思考问题的本质和解决方法，鼓励他们尝试不同的解题策略。教师还应及时总结归纳解题方法，帮助学生形成系统的解题思路。加强实践训练：为了提高学生的问题解决能力和运算能力，教师应加强实践训练。可以通过设计一些实际问题让学生运用二次函数知识求解，或者组织学生进行小组讨论和合作学习等活动。这些活动不仅能够提高学生的数学素养和解题能力，还能够培养他们的团队合作精神和沟通能力。关注个体差异：学生的学习能力和兴趣爱好存在差异，因此教师应关注个体差异，因材施教。对于学习能力较强的学生，教师可以提供一些拓展性的问题和挑战性的任务；对于学习能力较弱的学生，教师应给予更多的关注和指导，帮助他们克服学习障碍。及时反馈与评价：在学习过程中，教师应及时给予学生反馈和评价。可以通过课堂提问、作业批改、测试等方式了解学生的学习情况，及时发现问题并给予指导。教师还应鼓励学生进行自我评价和同伴评价等活动，帮助他们形成正确的自我评价能力和合作精神。通过学习二次函数的概念、图象与性质、确定二次函数的表达式、二次函数的应用以及二次函数与一元二次方程等内容，九年级的学生可以进一步提高自己的数学素养和解题能力。教师应注重基础知识的巩固、强化图象教学、注重问题引导、加强实践训练、关注个体差异以及及时反馈与评价等策略的实施，帮助学生克服学习障碍并取得优异的成绩。四、大主题或大概念设计《第二章二次函数》的大主题设计为“探索二次函数的奥秘：理解性质、应用与建模”。围绕这一主题，通过四个核心环节（二次函数的基本认识、二次函数的图象与性质、确定二次函数的表达式、二次函数的应用与一元二次方程的关系）的教学活动，帮助学生深入理解二次函数的本质，掌握其图象与性质，学会确定二次函数的表达式，并能灵活运用二次函数解决实际问题，以及理解二次函数与一元二次方程之间的内在联系。二次函数的基本认识：通过生活中的实例，如喷泉的水流路线、篮球的投篮轨迹等，引导学生体会二次函数与现实生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。介绍二次函数的一般形式及其定义，为后续学习打下基础。二次函数的图象与性质：通过绘制二次函数的图象，让学生直观感受二次函数图象的形状（抛物线）、开口方向、对称轴及顶点坐标等性质。通过探究二次函数图象的变化规律，培养学生的几何直观和逻辑推理能力。确定二次函数的表达式：通过给定二次函数的图象或性质，引导学生运用待定系数法等方法确定二次函数的表达式。通过实际问题的解决，提升学生的数学建模能力和解决问题的能力。二次函数的应用与一元二次方程的关系：结合实际问题，如求最大利润、最大面积等，引导学生运用二次函数解决实际问题。通过探究二次函数图象与x轴的交点，理解二次函数与一元二次方程之间的内在联系，培养学生的应用意识和创新意识。五、大单元目标叙写（一）会用数学的眼光观察现实世界目标描述：学生能够从现实世界中抽象出二次函数的模型，理解二次函数与现实生活的紧密联系。学生能够识别并解决与二次函数相关的实际问题，如喷泉的水流路线、篮球的投篮轨迹等。具体表现：学生能够观察并分析现实生活中的二次函数现象，如抛物线形的桥梁、隧道等。学生能够将实际问题转化为二次函数问题，如通过测量数据确定抛物线的顶点坐标和开口方向。（二）会用数学的思维思考现实世界目标描述：学生能够通过逻辑推理和数学演绎，探究二次函数的图象与性质，理解二次函数图象的变化规律。学生能够运用函数的思想方法，分析并解决与二次函数相关的复杂问题。具体表现：学生能够通过探究二次函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标等性质，理解二次函数图象的变化规律。学生能够运用二次函数的性质，解决如求最大利润、最大面积等实际问题，并能够通过逻辑推理验证结果的正确性。（三）会用数学的语言表达现实世界目标描述：学生能够用数学的语言（如二次函数的一般形式、图象特征等）准确描述二次函数的性质和应用。学生能够运用二次函数的模型，解释和预测现实世界中的现象和规律。具体表现：学生能够准确写出二次函数的一般形式，并根据图象特征确定二次函数的开口方向、对称轴及顶点坐标。学生能够运用二次函数的模型，解释如喷泉的水流路线、篮球的投篮轨迹等现实现象，并能够预测这些现象的变化规律。六、大单元教学重点二次函数的图象与性质：重点掌握二次函数图象的形状（抛物线）、开口方向、对称轴及顶点坐标等性质。通过绘制二次函数的图象，直观感受二次函数图象的变化规律。确定二次函数的表达式：重点掌握运用待定系数法等方法确定二次函数的表达式。通过实际问题的解决，提升学生的数学建模能力和解决问题的能力。二次函数的应用：重点掌握运用二次函数解决实际问题的方法，如求最大利润、最大面积等。通过实际问题的解决，培养学生的应用意识和创新意识。二次函数与一元二次方程的关系：重点理解二次函数图象与x轴的交点与一元二次方程根的关系。通过探究二次函数图象与x轴的交点，理解二次函数与一元二次方程之间的内在联系。七、大单元教学难点如何引导学生从现实世界中抽象出二次函数的模型：学生可能难以将现实生活中的现象与二次函数联系起来，需要教师通过生动的实例和直观的演示，引导学生从现实世界中抽象出二次函数的模型。如何帮助学生理解二次函数图象的变化规律：二次函数图象的变化规律较为复杂，学生可能难以理解和掌握。教师需要通过多次绘制和观察二次函数的图象，引导学生逐步理解其变化规律。如何提升学生的数学建模能力：数学建模是解决实际问题的重要手段，但学生可能缺乏数学建模的经验和能力。教师需要通过实际问题的解决，引导学生逐步掌握数学建模的方法和技巧。如何帮助学生理解二次函数与一元二次方程之间的内在联系：二次函数与一元二次方程之间的内在联系较为抽象，学生可能难以理解。教师需要通过具体的例子和直观的演示，帮助学生理解这种内在联系。为了突破这些教学难点，教师可以采取以下措施：加强实例教学：通过生动的实例和直观的演示，引导学生从现实世界中抽象出二次函数的模型，理解二次函数与现实生活的紧密联系。注重图象教学：通过多次绘制和观察二次函数的图象，引导学生逐步理解其变化规律，培养学生的几何直观和逻辑推理能力。强化实际问题解决：通过实际问题的解决，引导学生逐步掌握数学建模的方法和技巧，提升学生的数学建模能力和解决问题的能力。加强直观演示：通过具体的例子和直观的演示，帮助学生理解二次函数与一元二次方程之间的内在联系，培养学生的应用意识和创新意识。八、大单元整体教学思路一、教学目标设定在《义务教育数学课程标准（2022年版）》的指导下，针对北师大版初中九年级数学下册《第二章二次函数》的教学内容，本大单元的整体教学思路旨在通过一系列系统性、层次性的教学活动，引导学生深入理解二次函数的概念、图象与性质，掌握确定二次函数表达式的方法，能够灵活运用二次函数解决实际问题，并建立二次函数与一元二次方程之间的联系。具体教学目标设定如下：（一）会用数学的眼光观察现实世界发现生活中的二次函数现象学生能够观察并识别生活中与二次函数相关的现象，如喷泉的水流路线、篮球的入篮路线、抛物线形状的桥梁或隧道等。通过这些实例，学生意识到数学与现实生活的紧密联系，激发学习兴趣和探索欲望。引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型，如通过果园橙子产量问题、最大利润问题、最优路径问题等，让学生体会二次函数在解决实际问题中的应用价值。提出问题与数学抽象鼓励学生基于观察结果提出与二次函数相关的问题，如“喷泉的水流路线如何描述？”“篮球的入篮路线与哪些因素有关？”等。通过这些问题，培养学生的问题意识和数学抽象能力。学生能够运用数学符号表示二次函数，如y=ax2+bx+c（其中a≠0），并理解各系数的含义，如a表示开口方向，b和c与对称轴和顶点坐标有关。（二）会用数学的思维思考现实世界探究二次函数的图象与性质学生能够通过描点法画出二次函数的图象，并观察图象的形状、开口方向、对称轴和顶点坐标。通过图象观察，学生能够直观理解二次函数的性质，如对称轴两侧的函数值如何变化，顶点坐标与函数最值的关系等。引导学生运用逻辑推理，证明二次函数的某些性质，如二次函数的对称性等。通过逻辑推理，培养学生的思维严谨性和科学态度。运用二次函数的性质解决问题学生能够运用二次函数的性质解决实际问题，如利用二次函数的最大值或最小值求解最优问题。通过实际问题解决，培养学生的应用意识和解决问题的能力。建立二次函数与一元二次方程之间的联系，学生能够理解二次函数图象与x轴的交点坐标就是一元二次方程的根。通过图象法求一元二次方程的近似解，拓展学生的数学思维。数学建模与推理学生能够从实际问题中抽象出二次函数模型，建立数学模型，并通过逻辑推理和数学运算求解模型。通过数学建模过程，培养学生的数学建模能力和推理能力。引导学生通过合作学习和探究学习，经历从发现问题、提出问题、分析问题到解决问题的全过程，培养学生的探究精神和创新能力。（三）会用数学的语言表达现实世界用数学符号表示二次函数学生能够用数学符号表示二次函数，如y=ax2+bx+c（其中a≠0），并理解符号的含义和运算规则。通过数学符号的使用，培养学生的数学表达能力和符号意识。用数学语言描述二次函数的图象与性质学生能够用数学语言描述二次函数的图象形状、开口方向、对称轴和顶点坐标等性质。通过数学语言的描述，培养学生的数学表达能力和逻辑思维能力。用数学语言解决实际问题学生能够用数学语言表述实际问题，并建立二次函数模型进行求解。通过数学语言的应用，培养学生的应用意识和实践能力。学生能够用数学语言解释和验证求解结果，如通过计算最大利润或最优路径来验证模型的准确性。通过数学语言的解释和验证，培养学生的批判性思维和科学态度。二、大单元整体教学思路（一）引入阶段生活实例观察：通过展示喷泉的水流路线、篮球的入篮路线等生活实例的视频或图片，引导学生观察并思考这些现象背后的数学规律。通过生活实例的引入，激发学生的学习兴趣和探索欲望。提出问题：基于观察结果，教师提出问题，如“喷泉的水流路线如何描述？”“篮球的入篮路线与哪些因素有关？”等。鼓励学生分组讨论，提出自己的见解和疑问。（二）概念建立阶段二次函数定义讲解：教师详细讲解二次函数的定义，并通过具体例子说明如何根据实际问题建立二次函数模型。通过定义讲解和例子分析，帮助学生形成对二次函数的直观认识和理解。实际问题建模：给出果园橙子产量问题的实例，引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型，并用数学符号表示出来。通过实际问题建模，培养学生的数学建模能力和应用意识。（三）图象与性质探究阶段图象绘制：教师讲解描点法绘制二次函数图象的方法，并演示如何用描点法绘制一个具体的二次函数图象。学生分组实践，每人选择一个二次函数表达式，用描点法绘制其图象。通过图象绘制过程，培养学生的动手能力和实践能力。图象观察与性质探究：引导学生观察所绘制的二次函数图象，描述其形状和开口方向。通过小组讨论和交流，总结二次函数图象的共同特征和性质。进一步探究二次函数的对称轴、顶点坐标以及对称轴两侧函数值的变化规律等。（四）表达式确定阶段确定方法讲解：教师讲解如何根据已知条件（如顶点坐标、与x轴交点坐标等）确定二次函数的表达式。给出具体例子，演示求解过程。通过方法讲解和例子演示，帮助学生掌握确定二次函数表达式的方法。例题讲解与练习：给出例题，要求学生根据已知条件求出二次函数的表达式。学生独立完成例题，并上台展示解题过程。教师针对学生的解题过程进行点评和纠正。通过例题讲解和练习过程，巩固学生掌握确定二次函数表达式的方法。（五）应用阶段实际问题解决：给出实际问题，如最大利润问题、最优路径问题等。引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型，并建立相应的函数表达式。学生分组讨论，交流各自的建模过程和结果。教师指导学生如何求解二次函数模型，得到实际问题的解。通过实际问题解决过程，培养学生的应用意识和解决问题的能力。模型应用：引导学生利用二次函数模型解决更多实际问题，如存款利息问题、物体下落问题等。通过模型应用过程，巩固学生掌握二次函数的应用方法和技巧。（六）联系与拓展阶段二次函数与一元二次方程的联系：讲解二次函数图象与x轴交点坐标与一元二次方程根的关系。通过图象法求一元二次方程的近似解，拓展学生的数学思维。思维拓展：给出一些与二次函数相关的拓展问题，如二次函数在物理学、经济学等领域的应用。引导学生思考并讨论这些问题，拓展学生的知识面和思维视野。（七）回顾与反思阶段复习题与单元测试：给出复习题和单元测试题，帮助学生回顾和巩固所学知识。通过复习题和单元测试过程，检验学生的学习效果并发现存在的问题。反思与总结：引导学生反思自己的学习过程和学习方法，总结学习经验和教训。通过反思与总结过程，提高学生的自我认知能力和学习能力。三、教学实施建议注重情境创设：通过创设贴近学生生活实际的教学情境，激发学生的学习兴趣和探索欲望。注重将数学知识与实际生活相联系，培养学生的应用意识和实践能力。强化动手实践：通过动手实践活动，如描点法绘制二次函数图象等，培养学生的动手能力和实践能力。注重让学生在实践中发现问题、解决问题并总结经验教训。鼓励合作学习：通过小组合作学习方式，鼓励学生之间的交流与合作。注重培养学生的团队协作能力和沟通能力，让学生在合作中学习、在交流中成长。注重思维训练：通过逻辑推理、数学建模等思维训练活动，培养学生的思维能力和创新能力。注重引导学生从多个角度思考问题、探索问题的本质和规律。关注个体差异：关注学生的个体差异和学习需求，采取因材施教的教学策略。注重为不同层次的学生提供适合他们的学习资源和支持服务，促进每个学生的发展和进步。通过以上教学思路和实施建议的实施，本大单元的教学将能够全面促进学生的数学素养和综合能力的提升。学生将能够深入理解二次函数的概念、图象与性质，掌握确定二次函数表达式的方法，并能够灵活运用二次函数解决实际问题。学生还将建立二次函数与一元二次方程之间的联系，拓展数学思维并提高数学应用能力。九、学业评价在《义务教育数学课程标准（2022年版）》的指导下，针对北师大版初中九年级数学下册中《第二章二次函数》的教学内容，本学业评价旨在全面、公正、有效地评估学生的学习成果，促进学生核心素养的发展。学业评价将围绕“会用数学的眼光观察现实世界”、“会用数学的思维思考现实世界”和“会用数学的语言表达现实世界”三个方面展开，确保评价内容与教学目标、学习目标及评价目标的高度一致性。一、学业评价原则全面性原则：评价应涵盖二次函数的各个方面，包括概念理解、图象性质、表达式确定、应用实践以及与一元二次方程的关系等，确保评价的全面性。公正性原则：评价应基于学生的真实表现，采用客观、公正的标准，避免主观偏见，确保评价的公正性。有效性原则：评价应能够准确反映学生的学习成果，为教学改进和学生发展提供有效反馈，确保评价的有效性。二、教学目标设定根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》的要求，结合北师大版初中九年级数学下册《第二章二次函数》的教学内容，设定以下教学目标：会用数学的眼光观察现实世界：能够从现实世界中抽象出二次函数的模型，理解二次函数与实际问题之间的联系。能够识别并描述二次函数在实际问题中的应用场景，如抛物线型桥梁、隧道的设计，篮球的投篮轨迹等。会用数学的思维思考现实世界：能够运用二次函数的性质解决实际问题，如求最大值、最小值问题，优化问题等。能够通过逻辑推理和演绎推理，证明二次函数的图象性质和表达式之间的关系。会用数学的语言表达现实世界：能够用二次函数的表达式描述实际问题中的数量关系，建立数学模型。能够用二次函数的图象直观地表示数量关系，解释和预测实际问题的发展趋势。三、学习目标设定基于教学目标，设定以下具体的学习目标：理解二次函数的概念：能够准确说出二次函数的定义，理解二次函数的一般形式。能够识别并判断一个函数是否为二次函数。掌握二次函数的图象性质：能够画出二次函数的图象，理解图象的形状、开口方向、对称轴和顶点坐标。能够通过图象判断二次函数的系数与图象性质之间的关系。确定二次函数的表达式：能够根据给定的条件（如顶点坐标、图象上的点等）确定二次函数的表达式。能够通过配方法将二次函数化为顶点式。应用二次函数解决实际问题：能够将实际问题抽象为二次函数模型，建立数学模型并求解。能够利用二次函数的性质解决实际问题，如优化问题、利润最大化问题等。理解二次函数与一元二次方程的关系：能够理解二次函数图象与x轴交点的坐标与一元二次方程根的关系。能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。四、评价目标设定基于教学目标和学习目标，设定以下具体的评价目标：会用数学的眼光观察现实世界：评价学生是否能够从现实世界中抽象出二次函数的模型，并理解其实际意义。评价学生是否能够识别并描述二次函数在实际问题中的应用场景。会用数学的思维思考现实世界：评价学生是否能够运用二次函数的性质解决实际问题，如求最大值、最小值问题。评价学生是否能够通过逻辑推理和演绎推理，证明二次函数的图象性质和表达式之间的关系。会用数学的语言表达现实世界：评价学生是否能够用二次函数的表达式描述实际问题中的数量关系，并建立数学模型。评价学生是否能够用二次函数的图象直观地表示数量关系，解释和预测实际问题的发展趋势。五、学业评价内容与方法（一）评价内容二次函数的概念理解：通过选择题、填空题等形式考察学生对二次函数定义的理解。通过判断题形式考察学生识别二次函数的能力。二次函数的图象性质：通过作图题考察学生画出二次函数图象的能力。通过选择题、填空题等形式考察学生对二次函数图象性质（如形状、开口方向、对称轴、顶点坐标）的理解。确定二次函数的表达式：通过给定点求二次函数表达式的问题考察学生的配方能力和代数运算能力。通过应用题形式考察学生将实际问题抽象为二次函数模型并求解的能力。应用二次函数解决实际问题：通过应用题形式考察学生利用二次函数性质解决实际问题的能力，如优化问题、利润最大化问题等。通过开放性问题形式考察学生的创新思维和问题解决能力。二次函数与一元二次方程的关系：通过选择题、填空题等形式考察学生对二次函数图象与x轴交点坐标与一元二次方程根之间关系的理解。通过作图题和计算题形式考察学生利用二次函数图象求一元二次方程近似解的能力。（二）评价方法纸笔测试：采用选择题、填空题、作图题、计算题和应用题等多种形式，全面考察学生对二次函数概念、图象性质、表达式确定、应用实践以及与一元二次方程关系的理解程度。口头测试：通过提问和讨论的方式，考察学生对二次函数相关概念的理解和应用能力。通过学生之间的交流和分享，评估学生的合作学习和表达能力。作业评价：通过批改学生的作业，了解学生对二次函数知识的掌握情况和作业完成情况。通过作业反馈，及时给予学生指导和帮助，促进其学习进步。项目式学习评价：通过组织学生进行项目式学习，如设计抛物线型桥梁模型、探究篮球投篮轨迹等，评估学生的综合应用能力和创新思维。通过项目报告、展示和答辩等形式，考察学生的团队合作、沟通能力和问题解决能力。表现性评价：通过观察学生在课堂讨论、小组活动、实验操作等过程中的表现，评估其学习态度、参与度和合作能力。通过记录学生的课堂表现和学习过程，为综合评价提供有力依据。六、学业评价标准优秀：能够准确理解二次函数的概念、图象性质和表达式确定方法。能够灵活运用二次函数解决实际问题，具有较强的创新思维和问题解决能力。在项目式学习和表现性评价中表现出色，具有良好的团队合作、沟通能力和学习态度。良好：能够较好地理解二次函数的概念、图象性质和表达式确定方法。能够运用二次函数解决实际问题，但创新思维和问题解决能力有待提高。在项目式学习和表现性评价中表现良好，具有一定的团队合作、沟通能力和学习态度。合格：能够理解二次函数的基本概念、图象性质和表达式确定方法。能够运用二次函数解决一些简单问题，但创新思维和问题解决能力相对较弱。在项目式学习和表现性评价中表现一般，需要进一步加强团队合作、沟通能力和学习态度。不合格：对二次函数的概念、图象性质和表达式确定方法理解不透彻。不能灵活运用二次函数解决实际问题，缺乏创新思维和问题解决能力。在项目式学习和表现性评价中表现较差，需要加强团队合作、沟通能力和学习态度的培养。七、学业评价实施建议注重过程性评价：在教学过程中，注重观察学生的学习过程和表现，及时给予反馈和指导。通过课堂讨论、小组活动、实验操作等多种形式，全面评估学生的学习情况和能力水平。强化实践性评价：通过项目式学习、实验操作等实践性活动，评估学生的综合应用能力和创新思维。鼓励学生将所学知识应用于实际生活中，提高其实践能力和问题解决能力。促进多元化评价：采用纸笔测试、口头测试、作业评价、项目式学习评价和表现性评价等多种方式，全面评估学生的学习成果。鼓励学生自评和互评，促进其自我反思和相互学习。加强家校合作：与家长保持密切沟通，共同关注学生的学习情况和成长发展。鼓励家长参与学生的学习过程，提供必要的支持和帮助。持续改进评价方案：根据学生的学习情况和反馈意见，不断调整和优化评价方案。关注教育改革的最新动态和发展趋势，及时更新评价理念和方法。八、结语通过本次学业评价的设计与实施，旨在全面、公正、有效地评估学生对二次函数概念、图象性质、表达式确定、应用实践以及与一元二次方程关系的理解程度和应用能力。通过多元化的评价方式和过程性评价的实施，促进学生的全面发展核心素养的提升。希望广大教师和学生能够积极参与评价过程，共同推动教育教学的持续改进和发展。十、大单元实施思路及教学结构图一、大单元实施思路在《义务教育数学课程标准（2022年版）》的指导下，针对北师大版初中九年级数学下册《第二章二次函数》的教学内容，本大单元的实施思路旨在通过一系列系统性、层次性的教学活动，引导学生深入理解二次函数的概念、图象与性质，掌握确定二次函数表达式的方法，能够灵活运用二次函数解决实际问题，并建立二次函数与一元二次方程之间的联系。具体实施思路如下：引入阶段：通过生活中的实例，如喷泉的水流路线、篮球的入篮路线等，引导学生观察并思考这些现象背后的数学规律，从而引入二次函数的概念，激发学生的学习兴趣和探索欲望。概念建立阶段：详细讲解二次函数的定义，通过具体例子说明如何根据实际问题建立二次函数模型，帮助学生形成对二次函数的直观认识。图象与性质探究阶段：通过描点法画出二次函数的图象，引导学生观察图象的形状、开口方向、对称轴和顶点坐标，探究二次函数的性质，并通过小组讨论、合作探究等方式，加深学生对二次函数图象与性质的理解。表达式确定阶段：讲解如何通过已知条件确定二次函数的表达式，包括一般式、顶点式等，并通过例题和练习题，让学生熟练掌握确定二次函数表达式的方法。应用阶段：通过实际问题，如最大利润问题、最优路径问题等，引导学生运用二次函数解决问题，培养学生的应用意识和解决问题的能力。联系与拓展阶段：建立二次函数与一元二次方程之间的联系，通过图象法求一元二次方程的近似解，拓展学生的数学思维，提高学生的数学素养。回顾与反思阶段：通过复习题和单元测试，帮助学生回顾和巩固所学知识，同时引导学生进行反思和总结，提升学生的学习效果。二、教学目标设定（一）会用数学的眼光观察现实世界通过观察生活中的实例，发现并提出与二次函数相关的问题：学生能够观察到喷泉的水流路线、篮球的入篮路线等生活中的现象，并意识到这些现象可能与二次函数有关。学生能够提出与二次函数相关的问题，如“喷泉的水流路线如何描述？”“篮球的入篮路线与哪些因素有关？”等。从实际问题中抽象出二次函数模型：学生能够从实际问题中抽象出二次函数模型，如根据果园橙子的产量问题建立二次函数模型。学生能够理解二次函数模型中的变量关系，如自变量x表示增种的橙子树数量，因变量y表示橙子的总产量。（二）会用数学的思维思考现实世界探究二次函数的图象与性质：学生能够通过描点法画出二次函数的图象，并观察图象的形状、开口方向、对称轴和顶点坐标。学生能够探究二次函数的性质，如对称轴两侧的函数值如何变化，顶点坐标与函数最值的关系等。运用二次函数的性质解决问题：学生能够运用二次函数的性质解决实际问题，如利用二次函数的最大值或最小值求解最优问题。学生能够通过逻辑推理，证明二次函数的某些性质，如二次函数的对称性等。建立二次函数与一元二次方程之间的联系：学生能够理解二次函数与一元二次方程之间的关系，如二次函数的图象与x轴的交点坐标就是一元二次方程的根。学生能够运用二次函数的图象法求一元二次方程的近似解。（三）会用数学的语言表达现实世界用数学符号表示二次函数：学生能够用数学符号表示二次函数，如y=ax²+bx+c（a≠0）。学生能够理解二次函数表达式中各系数的含义，如a表示开口方向，b和c与对称轴和顶点坐标有关。用数学语言描述二次函数的图象与性质：学生能够用数学语言描述二次函数的图象形状、开口方向、对称轴和顶点坐标等性质。学生能够用数学语言解释二次函数在实际问题中的应用，如用二次函数模型描述果园橙子的总产量问题。用数学语言解决实际问题：学生能够用数学语言表述实际问题，并建立二次函数模型进行求解。学生能够用数学语言解释和验证求解结果，如通过计算最大利润或最优路径来验证模型的准确性。三、教学结构图中心主题：第二章二次函数1.引入阶段-生活实例观察-喷泉水流路线-篮球入篮路线-提出问题-与二次函数相关的问题2.概念建立阶段-二次函数定义-一般形式：y=ax²+bx+c（a≠0）-实际问题建模-果园橙子产量问题3.图象与性质探究阶段-图象绘制-描点法-图象观察-形状、开口方向、对称轴、顶点坐标-性质探究-对称轴两侧函数值变化-顶点坐标与函数最值4.表达式确定阶段-确定方法-一般式、顶点式-例题讲解-已知条件求表达式-练习题-熟练掌握表达式确定方法5.应用阶段-实际问题解决-最大利润问题-最优路径问题-模型应用-利用二次函数模型求解6.联系与拓展阶段-二次函数与一元二次方程-图象法求近似解-思维拓展-二次函数在其他领域的应用7.回顾与反思阶段-复习题-回顾所学知识-单元测试-巩固学习效果-反思与总结-提升学习效果四、具体教学实施步骤第一课时：引入阶段与概念建立阶段教学目标：通过生活实例引入二次函数的概念。理解二次函数的定义，并能从实际问题中抽象出二次函数模型。教学过程：生活实例观察（5分钟）教师展示喷泉水流路线和篮球入篮路线的视频或图片。引导学生观察并思考这些现象背后的数学规律。提出问题（5分钟）教师提出问题：“喷泉的水流路线如何描述？”“篮球的入篮路线与哪些因素有关？”学生分组讨论，提出自己的见解。二次函数定义讲解（10分钟）教师讲解二次函数的定义，并给出一般形式：y=ax²+bx+c（a≠0）。解释各系数的含义，如a表示开口方向，b和c与对称轴和顶点坐标有关。实际问题建模（15分钟）教师给出果园橙子产量问题的实例。引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型，并写出函数表达式。学生分组讨论，交流各自的建模过程和结果。课堂小结（5分钟）教师总结本节课的学习内容，强调二次函数的概念和建模方法。学生回顾本节课的学习过程，提出自己的疑问和困惑。作业布置：完成课后习题，巩固二次函数的概念和建模方法。第二课时：图象与性质探究阶段（一）教学目标：掌握二次函数的图象绘制方法。观察并描述二次函数的图象形状、开口方向。教学过程：图象绘制方法讲解（5分钟）教师讲解描点法绘制二次函数图象的方法。演示如何用描点法绘制一个具体的二次函数图象。学生实践（15分钟）学生分组，每人选择一个二次函数表达式，用描点法绘制其图象。小组内交流绘制过程和结果，互相纠正错误。图象观察与描述（10分钟）教师引导学生观察所绘制的二次函数图象，描述其形状和开口方向。学生分组讨论，总结二次函数图象的共同特征。例题讲解（10分钟）教师给出例题，要求学生根据二次函数表达式判断其图象的形状和开口方向。学生独立完成例题，并上台展示解题过程。课堂小结（5分钟）教师总结本节课的学习内容，强调二次函数图象的绘制方法和观察要点。学生回顾本节课的学习过程，提出自己的疑问和困惑。作业布置：完成课后习题，巩固二次函数图象的绘制方法和观察要点。第三课时：图象与性质探究阶段（二）教学目标：观察并描述二次函数的对称轴和顶点坐标。探究二次函数的性质，如对称轴两侧函数值的变化规律。教学过程：对称轴和顶点坐标讲解（5分钟）教师讲解如何根据二次函数表达式求其对称轴和顶点坐标。给出具体例子，演示求解过程。学生实践（15分钟）学生分组，每人选择一个二次函数表达式，求解其对称轴和顶点坐标。小组内交流求解过程和结果，互相纠正错误。图象观察与性质探究（15分钟）教师引导学生观察二次函数图象，探究对称轴两侧函数值的变化规律。学生分组讨论，总结二次函数的性质。例题讲解（10分钟）教师给出例题，要求学生根据二次函数图象判断其对称轴和顶点坐标，并探究函数值的变化规律。学生独立完成例题，并上台展示解题过程。课堂小结（5分钟）教师总结本节课的学习内容，强调二次函数的性质和对称轴、顶点坐标的求解方法。学生回顾本节课的学习过程，提出自己的疑问和困惑。作业布置：完成课后习题，巩固二次函数的性质和对称轴、顶点坐标的求解方法。第四课时：表达式确定阶段教学目标：掌握确定二次函数表达式的方法。能够根据已知条件求出二次函数的表达式。教学过程：确定方法讲解（5分钟）教师讲解如何根据已知条件（如顶点坐标、与x轴交点坐标等）确定二次函数的表达式。给出具体例子，演示求解过程。例题讲解与练习（20分钟）教师给出例题，要求学生根据已知条件求出二次函数的表达式。学生独立完成例题，并上台展示解题过程。教师针对学生的解题过程进行点评和纠正。课堂练习（10分钟）学生分组，完成课堂练习题，巩固确定二次函数表达式的方法。小组内交流解题过程和结果，互相纠正错误。难点突破（5分钟）教师针对学生在确定二次函数表达式过程中遇到的难点进行讲解和突破。引导学生总结确定二次函数表达式的关键步骤和注意事项。课堂小结（5分钟）教师总结本节课的学习内容，强调确定二次函数表达式的方法和注意事项。学生回顾本节课的学习过程，提出自己的疑问和困惑。作业布置：完成课后习题，巩固确定二次函数表达式的方法。第五课时：应用阶段（一）教学目标：能够运用二次函数解决实际问题。培养学生的应用意识和解决问题的能力。教学过程：实际问题引入（5分钟）教师给出实际问题，如最大利润问题、最优路径问题等。引导学生思考如何运用二次函数解决实际问题。模型建立与求解（20分钟）教师引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型，并建立相应的函数表达式。学生分组讨论，交流各自的建模过程和结果。教师指导学生如何求解二次函数模型，得到实际问题的解。例题讲解与练习（10分钟）教师给出例题，要求学生运用二次函数解决实际问题。学生独立完成例题，并上台展示解题过程。教师针对学生的解题过程进行点评和纠正。课堂练习（10分钟）学生分组，完成课堂练习题，巩固运用二次函数解决实际问题的方法。小组内交流解题过程和结果，互相纠正错误。课堂小结（5分钟）教师总结本节课的学习内容，强调运用二次函数解决实际问题的重要性和方法。学生回顾本节课的学习过程，提出自己的疑问和困惑。作业布置：完成课后习题，巩固运用二次函数解决实际问题的方法。第六课时：应用阶段（二）与联系与拓展阶段教学目标：进一步巩固运用二次函数解决实际问题的方法。建立二次函数与一元二次方程之间的联系。拓展学生的数学思维。教学过程：实际问题解决（续）（10分钟）学生继续完成上节课未完成的实际问题，巩固运用二次函数解决实际问题的方法。小组内交流解题过程和结果，互相纠正错误。二次函数与一元二次方程的联系（15分钟）教师讲解二次函数与一元二次方程之间的关系，如二次函数的图象与x轴的交点坐标就是一元二次方程的根。演示如何用图象法求一元二次方程的近似解。学生分组讨论，理解二次函数与一元二次方程之间的联系。思维拓展（10分钟）教师给出一些与二次函数相关的拓展问题，如二次函数在物理学、经济学等领域的应用。引导学生思考并讨论这些问题，拓展学生的数学思维。例题讲解与练习（10分钟）教师给出例题，要求学生运用二次函数与一元二次方程之间的联系解决实际问题。学生独立完成例题，并上台展示解题过程。教师针对学生的解题过程进行点评和纠正。课堂小结（5分钟）教师总结本节课的学习内容，强调二次函数与一元二次方程之间的联系和拓展问题的思考方法。学生回顾本节课的学习过程，提出自己的疑问和困惑。作业布置：完成课后习题，巩固二次函数与一元二次方程之间的联系和拓展问题的思考方法。第七课时：回顾与反思阶段教学目标：回顾和巩固所学知识。引导学生进行反思和总结。提升学生的学习效果。教学过程：复习题讲解（20分钟）教师给出复习题，覆盖本章的所有知识点。学生独立完成复习题，并上台展示解题过程。教师针对学生的解题过程进行点评和纠正。单元测试（20分钟）学生进行单元测试，检验自己的学习效果。教师巡视考场，解答学生的疑问。反思与总结（10分钟）学生分组讨论，反思自己的学习过程，总结学习经验和教训。小组内交流反思和总结结果，互相学习和借鉴。课堂小结（5分钟）教师总结本章的学习内容，强调学习重点和难点。鼓励学生继续保持良好的学习习惯，不断提高自己的数学素养。作业布置：完成单元测试后的订正工作，巩固所学知识。预习下一章的内容，为下节课的学习做好准备。通过以上七个课时的教学实施步骤，学生将能够全面理解和掌握二次函数的概念、图象与性质、表达式的确定方法以及应用，并建立二次函数与一元二次方程之间的联系，拓展数学思维，提高数学素养。十一、大情境、大任务创设一、教学目标设定（一）会用数学的眼光观察现实世界观察生活中的二次函数现象学生能够通过观察喷泉的水流路线、篮球的入篮路线等生活中的实例，发现并提出与二次函数相关的问题。例如，学生可能会思考：“喷泉的水流路线如何描述？它是否与某种数学函数有关？”通过观察这些现象，学生能够意识到二次函数在现实世界中的广泛应用，并培养从数学角度观察和理解实际问题的能力。学生能够从实际问题中抽象出二次函数模型。例如，在学习果园橙子产量问题时，学生能够根据题目描述，将橙子的总产量与增种的橙子树数量之间的关系抽象为二次函数模型，理解并解释模型中的变量关系。探索二次函数在自然界和科学技术中的应用学生能够探索二次函数在自然界中的表现，如物体自由落体的运动轨迹、抛物线型桥梁和隧道的设计等。通过了解这些应用，学生能够更深刻地理解二次函数的实际意义和价值。学生能够了解二次函数在科学技术中的应用，如卫星轨道的计算、导弹轨迹的预测等。这些高科技领域的应用能够激发学生的学习兴趣和探索欲望，使他们认识到数学学习的重要性和实用性。（二）会用数学的思维思考现实世界探究二次函数的图象与性质学生能够通过描点法画出二次函数的图象，并观察图象的形状、开口方向、对称轴和顶点坐标等特征。例如，在学习二次函数y=ax2+bx+c时，学生能够通过描点法绘制出函数的图象，并总结出当a>0时，图象开口向上；当a<0时，图象开口向下的规律。学生能够探究二次函数的性质，如对称轴两侧的函数值如何变化，顶点坐标与函数最值的关系等。通过小组讨论和合作探究等方式，学生能够深入理解二次函数的性质，并学会运用这些性质解决实际问题。运用二次函数的性质解决问题学生能够运用二次函数的性质解决实际问题，如利用二次函数的最大值或最小值求解最优问题。例如，在学习最大利润问题时，学生能够根据题目描述，建立二次函数模型，并通过求解函数的最大值来确定最大利润。学生能够通过逻辑推理，证明二次函数的某些性质。例如，学生可以通过代数方法证明二次函数的对称轴为直线x=−b2a，顶点坐标为(−b2a，,c−建立二次函数与一元二次方程之间的联系学生能够理解二次函数与一元二次方程之间的关系，如二次函数的图象与x轴的交点坐标就是一元二次方程的根。例如，在学习二次函数与一元二次方程时，学生能够根据二次函数的图象，判断一元二次方程的根的情况（有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根）。学生能够运用二次函数的图象法求一元二次方程的近似解。通过观察和分析二次函数的图象，学生能够找到与x轴交点的近似位置，从而求出一元二次方程的近似解。（三）会用数学的语言表达现实世界用数学符号表示二次函数学生能够用数学符号表示二次函数，如y=ax2+bx+c（其中a≠0）。学生能够理解二次函数表达式中各系数的含义，如a表示开口方向，b和c与对称轴和顶点坐标有关。学生能够用数学符号表示二次函数的图象与性质。例如，学生可以用数学符号表示二次函数的对称轴为直线x=−b2a，顶点坐标为(−b2a，,c−用数学语言描述二次函数的应用学生能够用数学语言描述二次函数在实际问题中的应用。例如，在学习最大利润问题时，学生能够用数学语言描述问题背景、建立数学模型、求解模型并解释结果。通过这一过程，学生能够加深对二次函数应用的理解。学生能够用数学语言解释和验证求解结果。例如，在学习求解一元二次方程的近似解时，学生能够用数学语言解释图象法求解的原理和步骤，并验证求解结果的准确性。二、大情境与大任务创设（一）大情境设定以“探索二次函数的奥秘”为主题，创设一个贯穿整个单元学习的大情境。在这个大情境中，学生将扮演数学探索者的角色，通过观察、实验、探究等方式，逐步揭开二次函数的神秘面纱。具体情境设定如下：情境背景：在一个充满数学魅力的奇幻世界里，二次函数是控制一切物体运动轨迹和形状变化的神秘力量。学生们将踏上一场寻找二次函数奥秘的旅程，通过解决一系列与二次函数相关的问题和挑战，逐渐掌握二次函数的本质和应用。情境任务：学生需要完成一系列与二次函数相关的任务和挑战，包括观察生活中的二次函数现象、探究二次函数的图象与性质、确定二次函数的表达式、解决二次函数的应用问题以及建立二次函数与一元二次方程之间的联系等。情境资源：提供丰富的学习资源和工具，如实验器材、数学模型、在线学习平台等。学生可以利用这些资源和工具进行自主探究和合作学习，提高学习效果和兴趣。（二）大任务创设基于大情境设定，创设以下五个大任务，每个任务对应《第二章二次函数》的一个教学内容：任务一：探索生活中的二次函数现象任务目标：引导学生观察生活中的二次函数现象，发现并提出与二次函数相关的问题。任务内容：提供一系列生活中的实例（如喷泉的水流路线、篮球的入篮路线、抛物线形状的桥梁和隧道等），让学生观察并分析这些现象是否与二次函数有关。鼓励学生提出与二次函数相关的问题，并尝试用数学语言描述这些问题。组织学生进行小组讨论和交流，分享彼此的观察和发现。任务实施：教师可以通过展示图片、视频等多媒体材料，引导学生观察和分析生活中的二次函数现象。学生可以分组进行实地观察和实验，如测量喷泉的水流路线、观察篮球的入篮路线等，以加深对二次函数现象的理解。学生可以撰写观察报告或制作演示文稿，展示他们的观察和发现。任务二：探究二次函数的图象与性质任务目标：引导学生探究二次函数的图象与性质，理解二次函数的图象特征及其与系数的关系。任务内容：教授学生描点法绘制二次函数图象的方法，并让学生动手实践绘制不同类型的二次函数图象（如开口向上、开口向下、顶点在原点等）。引导学生观察和分析二次函数图象的形状、开口方向、对称轴和顶点坐标等特征，并总结这些特征与二次函数系数的关系。组织学生进行小组讨论和交流，分享彼此的探究成果和心得。任务实施：教师可以利用数学软件或在线学习平台提供二次函数图象绘制工具，帮助学生更方便地绘制和分析图象。学生可以分组进行探究实验，如改变二次函数的系数并观察图象的变化规律等。学生可以撰写探究报告或制作演示文稿，展示他们的探究成果和心得。任务三：确定二次函数的表达式任务目标：引导学生掌握确定二次函数表达式的方法，能够根据已知条件求出二次函数的表达式。任务内容：教授学生如何通过已知条件（如顶点坐标、与x轴交点坐标等）确定二次函数的表达式，并给出具体例子进行演示和讲解。提供一系列练习题让学生练习确定二次函数的表达式，并鼓励他们尝试用不同的方法求解同一个问题。组织学生进行小组讨论和交流，分享彼此的解题方法和技巧。任务实施：教师可以利用课堂练习和课后作业等形式让学生反复练习确定二次函数的表达式的方法。学生可以分组进行合作学习，互相讨论和交流解题方法和技巧。学生可以参加课堂测试和单元测试等活动，检验自己的学习成果和掌握程度。任务四：解决二次函数的应用问题任务目标：引导学生运用二次函数解决实际问题，培养他们的应用意识和解决问题的能力。任务内容：提供一系列与二次函数相关的实际问题（如最大利润问题、最优路径问题等），让学生尝试用二次函数模型求解这些问题。引导学生分析问题的背景和要求，建立数学模型并求解模型得到实际问题的解。组织学生进行小组讨论和交流，分享彼此的解题思路和经验。任务实施：教师可以利用案例分析、模拟实验等方法帮助学生理解实际问题的背景和要求。学生可以分组进行合作学习，共同讨论和解决实际问题。学生可以撰写解题报告或制作演示文稿，展示他们的解题思路和经验。任务五：建立二次函数与一元二次方程的联系任务目标：引导学生建立二次函数与一元二次方程之间的联系，理解它们之间的内在联系和相互转化关系。任务内容：教授学生如何通过二次函数的图象求解一元二次方程的近似解，并给出具体例子进行演示和讲解。引导学生分析一元二次方程与二次函数之间的关系，理解它们的根与图象交点的对应关系。组织学生进行小组讨论和交流，分享彼此的学习心得和体会。任务实施：教师可以利用数学软件或在线学习平台提供图象法求解一元二次方程的工具，帮助学生更直观地理解求解过程。学生可以分组进行合作学习，互相讨论和交流求解方法和技巧。学生可以参加课堂测试和单元测试等活动，检验自己的学习成果和掌握程度。他们也可以撰写学习心得或制作演示文稿，分享自己的学习体会和收获。通过以上五个大任务的创设和实施，学生将能够全面理解和掌握二次函数的概念、图象与性质、表达式的确定方法以及应用，并建立二次函数与一元二次方程之间的联系。他们也将培养用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界以及用数学的语言表达现实世界的能力。十二、单元学历案（一）单元主题与课时单元主题：北师大版初中九年级数学下册《第二章二次函数》课时设计：第一课时：引入阶段与概念建立阶段教学目标：通过生活实例引入二次函数的概念，理解二次函数的定义，并能从实际问题中抽象出二次函数模型。教学过程：生活实例观察、提出问题、二次函数定义讲解、实际问题建模。第二课时：图象与性质探究阶段（一）教学目标：掌握二次函数的图象绘制方法，观察并描述二次函数的图象形状、开口方向。教学过程：图象绘制方法讲解、学生实践、图象观察与描述、例题讲解。第三课时：图象与性质探究阶段（二）教学目标：观察并描述二次函数的对称轴和顶点坐标，探究二次函数的性质。教学过程：对称轴和顶点坐标讲解、学生实践、图象观察与性质探究、例题讲解。第四课时：表达式确定阶段教学目标：掌握确定二次函数表达式的方法，能够根据已知条件求出二次函数的表达式。教学过程：确定方法讲解、例题讲解与练习、课堂练习、难点突破。第五课时：应用阶段（一）教学目标：能够运用二次函数解决实际问题，培养学生的应用意识和解决问题的能力。教学过程：实际问题引入、模型建立与求解、例题讲解与练习、课堂练习。第六课时：应用阶段（二）与联系与拓展阶段教学目标：进一步巩固运用二次函数解决实际问题的方法，建立二次函数与一元二次方程之间的联系。教学过程：实际问题解决（续）、二次函数与一元二次方程的联系、思维拓展、例题讲解与练习。第七课时：回顾与反思阶段教学目标：回顾和巩固所学知识，引导学生进行反思和总结，提升学生的学习效果。教学过程：复习题讲解、单元测试、反思与总结、课堂小结。（二）学习目标教学目标设定：（一）会用数学的眼光观察现实世界学生能够观察到喷泉的水流路线、篮球的入篮路线等生活中的现象，并意识到这些现象可能与二次函数有关。学生能够从实际问题中抽象出二次函数模型，如根据果园橙子的产量问题建立二次函数模型。学生能够理解二次函数模型中的变量关系，如自变量x表示增种的橙子树数量，因变量y表示橙子的总产量。（二）会用数学的思维思考现实世界学生能够通过描点法画出二次函数的图象，并观察图象的形状、开口方向、对称轴和顶点坐标。学生能够探究二次函数的性质，如对称轴两侧的函数值如何变化，顶点坐标与函数最值的关系等。学生能够运用二次函数的性质解决实际问题，如利用二次函数的最大值或最小值求解最优问题。学生能够通过逻辑推理，证明二次函数的某些性质，如二次函数的对称性等。学生能够理解二次函数与一元二次方程之间的关系，如二次函数的图象与x轴的交点坐标就是一元二次方程的根。学生能够运用二次函数的图象法求一元二次方程的近似解。（三）会用数学的语言表达现实世界学生能够用数学符号表示二次函数，如y=ax²+bx+c（a≠0）。学生能够理解二次函数表达式中各系数的含义，如a表示开口方向，b和c与对称轴和顶点坐标有关。学生能够用数学语言描述二次函数的图象形状、开口方向、对称轴和顶点坐标等性质。学生能够用数学语言解释二次函数在实际问题中的应用，如用二次函数模型描述果园橙子的总产量问题。学生能够用数学语言表述实际问题，并建立二次函数模型进行求解。学生能够用数学语言解释和验证求解结果，如通过计算最大利润或最优路径来验证模型的准确性。（三）评价任务观察与描述能力评价：通过观察学生绘制的二次函数图象，评价学生是否能准确描述图象的形状、开口方向、对称轴和顶点坐标。逻辑思维能力评价：通过学生解决二次函数性质探究的例题，评价学生是否能运用逻辑推理证明二次函数的某些性质。问题解决能力评价：通过学生运用二次函数解决实际问题的过程，评价学生是否能将实际问题抽象为数学模型，并准确求解。数学表达能力评价：通过学生用数学语言描述二次函数及其性质、解释实际问题解决方案的过程，评价学生的数学表达能力。综合应用能力评价：通过学生解决涉及二次函数与一元二次方程联系的问题，评价学生是否能综合运用所学知识解决实际问题。（四）学习过程第一课时：引入阶段与概念建立阶段引入阶段：教师活动：展示喷泉水流路线和篮球入篮路线的视频或图片，引导学生观察并思考这些现象背后的数学规律。学生活动：观察视频或图片，小组讨论并提出与二次函数相关的问题。概念建立阶段：教师活动：讲解二次函数的定义，给出一般形式y=ax²+bx+c（a≠0），解释各系数的含义。学生活动：理解二次函数的定义，尝试从实际问题中抽象出二次函数模型，如果园橙子的产量问题。课堂互动：分组讨论，交流各自的建模过程和结果，教师点评并总结。作业与检测：完成课后习题，巩固二次函数的概念和建模方法。第二课时：图象与性质探究阶段（一）图象绘制方法讲解：教师活动：讲解描点法绘制二次函数图象的方法，演示如何绘制具体二次函数的图象。学生活动：认真听讲，理解描点法的步骤和要点。学生实践：学生活动：分组实践，每人选择一个二次函数表达式，用描点法绘制其图象，并交流绘制过程和结果。图象观察与描述：教师活动：引导学生观察所绘制的二次函数图象，描述其形状和开口方向。学生活动：观察图象，小组讨论并总结二次函数图象的共同特征。例题讲解：教师活动：给出例题，要求学生根据二次函数表达式判断其图象的形状和开口方向。学生活动：独立完成例题，并上台展示解题过程。作业与检测：完成课后习题，巩固二次函数图象的绘制方法和观察要点。第三课时：图象与性质探究阶段（二）对称轴和顶点坐标讲解：教师活动：讲解如何根据二次函数表达式求其对称轴和顶点坐标，给出具体例子演示求解过程。学生活动：认真听讲，理解对称轴和顶点坐标的求解方法。学生实践：学生活动：分组实践，每人选择一个二次函数表达式，求解其对称轴和顶点坐标，并交流求解过程和结果。图象观察与性质探究：教师活动：引导学生观察二次函数图象，探究对称轴两侧函数值的变化规律。学生活动：观察图象，小组讨论并总结二次函数的性质。例题讲解：教师活动：给出例题，要求学生根据二次函数图象判断其对称轴和顶点坐标，并探究函数值的变化规律。学生活动：独立完成例题，并上台展示解题过程。作业与检测：完成课后习题，巩固二次函数的性质和对称轴、顶点坐标的求解方法。第四课时：表达式确定阶段确定方法讲解：教师活动：讲解如何根据已知条件（如顶点坐标、与x轴交点坐标等）确定二次函数的表达式，给出具体例子演示求解过程。学生活动：认真听讲，理解确定二次函数表达式的方法。例题讲解与练习：教师活动：给出例题，要求学生根据已知条件求出二次函数的表达式，并引导学生总结解题步骤和注意事项。学生活动：独立完成例题，并进行课堂练习，巩固确定二次函数表达式的方法。难点突破：教师活动：针对学生在确定二次函数表达式过程中遇到的难点进行讲解和突破。学生活动：认真听讲，积极参与讨论，解决自己的疑惑。作业与检测：完成课后习题，巩固确定二次函数表达式的方法。第五课时：应用阶段（一）实际问题引入：教师活动：给出实际问题，如最大利润问题、最优路径问题等，引导学生思考如何运用二次函数解决实际问题。学生活动：认真听讲，理解实际问题的背景和要求。模型建立与求解：教师活动：引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型，并建立相应的函数表达式。学生活动：分组讨论，交流各自的建模过程和结果，并尝试求解模型。例题讲解与练习：教师活动：给出例题，要求学生运用二次函数解决实际问题，并引导学生总结解题步骤和注意事项。学生活动：独立完成例题，并进行课堂练习，巩固运用二次函数解决实际问题的方法。作业与检测：完成课后习题，巩固运用二次函数解决实际问题的方法。第六课时：应用阶段（二）与联系与拓展阶段实际问题解决（续）：学生活动：继续完成上节课未完成的实际问题，巩固运用二次函数解决实际问题的方法。课堂互动：分组交流解题过程和结果，互相纠正错误。二次函数与一元二次方程的联系：教师活动：讲解二次函数与一元二次方程之间的关系，如二次函数的图象与x轴的交点坐标就是一元二次方程的根，演示如何用图象法求一元二次方程的近似解。学生活动：认真听讲，理解二次函数与一元二次方程之间的联系，并尝试用图象法求一元二次方程的近似解。思维拓展：教师活动：给出一些与二次函数相关的拓展问题，如二次函数在物理学、经济学等领域的应用，引导学生思考并讨论这些问题。学生活动：分组讨论，交流各自的想法和见解，拓展数学思维。例题讲解与练习：教师活动：给出例题，要求学生运用二次函数与一元二次方程之间的联系解决实际问题，并引导学生总结解题步骤和注意事项。学生活动：独立完成例题，并进行课堂练习，巩固所学知识。作业与检测：完成课后习题，巩固二次函数与一元二次方程之间的联系和拓展问题的思考方法。第七课时：回顾与反思阶段复习题讲解：教师活动：给出复习题，覆盖本章的所有知识点，引导学生独立完成并上台展示解题过程。学生活动：独立完成复习题，并上台展示解题过程，接受教师和同学的点评。单元测试：学生活动：进行单元测试，检验自己的学习效果。教师活动：巡视考场，解答学生的疑问，收卷后批改试卷并给出成绩。反思与总结：教师活动：引导学生反思自己的学习过程，总结学习经验和教训。学生活动：分组讨论，交流反思和总结结果，互相学习和借鉴。课堂小结：教师总结本章的学习内容，强调学习重点和难点，鼓励学生继续保持良好的学习习惯。（五）作业与检测第一课时作业：完成课后习题1-5，巩固二次函数的概念和建模方法。观察身边的二次函数现象，并尝试用数学语言描述。第二课时作业：完成课后习题6-10，巩固二次函数图象的绘制方法和观察要点。绘制一个自己感兴趣的二次函数图象，并描述其形状和开口方向。第三课时作业：完成课后习题11-15，巩固二次函数的性质和对称轴、顶点坐标的求解方法。探究一个二次函数的性质，如最大值或最小值，并写出探究报告。第四课时作业：完成课后习题16-20，巩固确定二次函数表达式的方法。根据给定的条件（如顶点坐标、与x轴交点坐标等），求出二次函数的表达式。第五课时作业：完成课后习题21-25，巩固运用二次函数解决实际问题的方法。从实际问题中抽象出一个二次函数模型，并求解。第六课时作业：完成课后习题26-30，巩固二次函数与一元二次方程之间的联系和拓展问题的思考方法。用图象法求一个一元二次方程的近似解。第七课时作业：完成单元测试卷，检验自己的学习效果。预习下一章的内容，为下节课的学习做好准备。（六）学后反思通过本单元的学习，学生应该能够：用数学的眼光观察现实世界：更加敏锐地观察到生活中的二次函数现象，并能够将这些现象与数学知识联系起来。用数学的思维思考现实世界：掌握二次函数的图象绘制方法、性质探究方法和表达式确定方法，能够运用二次函数解决实际问题。用数学的语言表达现实世界：能够用数学符号表示二次函数，用数学语言描述二次函数的图象和性质，用数学语言解释和解决实际问题。同时，学生也应该反思自己的学习过程，总结学习经验和教训。例如，是否积极参与了课堂讨论和实践活动？是否认真完成了作业和检测？是否主动寻求