B单元 函数与导数(二)

B单元函数与导数

目录

B1函数及其表示.................................................................1

B2反函数.......................................................................6

B3函数的单调性与最值...........................................................6

B4函数的奇偶性与周期性........................................................21

B5二次函数....................................................................30

B6指数与指数函数..............................................................32

B7对数与对数函数..............................................................37

B8募函数与函数的图象..........................................................44

B9函数与方程..................................................................46

B10函数模型及其运算...........................................................53

B11导数及其运算...............................................................57

B12导数的应用.................................................................63

B13定积分与微积分基本定理....................................................90

B14单元综合...................................................................93

B1函数及其表示

【数学理卷-2015届贵州省贵阳市普通高中高三8月摸底考试（201408）】2、若集合

1

M=\x\y=>,N={x|y=k>g2（l-尤）},则集合McN=

A、,1）B、（l,+oo）C、（0,1）D、R

【知识点】函数的定义域；集合.Al,Bl

【答案解析】C解析：解：由题意可知M={x|x>0},N={x|x<l}

■.MnA^={x|0<x<l},所以C选项正确.

【思路点拨】先根据集合的概念求出集合中元素的范围，再求出交集.

【数学理卷•2015届浙江省绍兴一中高三上学期回头考试（201409）122.（本小题满分11

分）

已知函数/(x)=ax-3,g(x)=hx"'+cx~2(a,beR)且g(-g)-g⑴=/(O).

(1)试求仇c所满足的关系式；

(2)若〃=0,集合A={x|/(x)2%|x—a|g(x)}试求集合A.

【知识点】函数的综合应用，绝对值不等式的解法BlE2

【答案解析】(1)b-c-1=O

(2)当。=0时4=①；当0<aWA=(0,2-'4工]。,+—)

aa

当6<a<2,A=(o+S/ju’+Sajy,

aa

、[/H/1—Jl+a」/2+14-a2

当—y/3«〃<0N,AA=(z0n,---------]。(-8,-----------]

aa

8人/八1-Jl+〃l+Jl+4

Cl<—yj3,A-(0,--------]D(—00,---------]

aa

解析：(1)由g(-g)-g⑴=/(0)，得(-2b+4c)-(b+c)=-3

:.b、c所满足的关系式为b-c-l=O...............2分

—Ix—nI\x-a\>3x-ax2,x>0、

(2)/(x)>x|x-a\g(x)<=>ax-3>--------0<...4分

x\x-a\<3x-ax,x<0

i)当a=0时原不等式等价于—32二L”此时A=@......5分

X

ii)当a>0时

I

根据x-a=3x-ax2解得石2=三上吆一(要根据。的正负区别两根大小，即左右)

，a

Q—X—3x—CIX^解得为4二...........6分

，a

根据图像_____

位八4/八2一14-1+J1+O2\

当0<〃<A/3,A=(0,----------]D[---------,+8)

aa

当也<a<2,A=(0,2-白。户'"片,+oo)

aa

当a22,A=(0,+oo).......9分

iii)当a<0时

根据图像可知：__________

当一百Wa<0,A=(0,B逵]o(-oo,^EZ]

aa

[T1—J1+。2r1+J1+32r,

a<—v3,A=(0,--------]D(—8,---------]........11分.

aa

【思路点拨】解绝对值不等式常见的方法有零点分段讨论去绝对值解不等式或利用图像法解

不等式，本题直接利用零点分段讨论去绝对值不方便，可利用函数的图像关系进行解答.

【数学理卷•2015届浙江省绍兴一中高三上学期回头考试(201409)】11.数

,、-ex(x>2]/、

/(%)=31)加/0n3)=—.—.

y(x+i)(x<2)

【知识点】分段函数B1

【答案解析】e解析：f(In3)=/(In3+1)=|eln3+1=1(3e)=e.

【思路点拨】对于分段函数求函数值，要结合自变量对应的范围代入相应的解析式..

【数学文卷•2015届湖南省衡阳八中高三上学期第二次月考(201409)】8.函数

【知识点】函数的定义域；函数的奇偶性.BlB4

【答案解析】B解析：因为函数/(尤)定义域为且xw±2},所以排除选项C、

D,又因为函数/(%)是偶函数，所以排除选项A,故选B.

【思路点拨】排除法：由定义域是且xw±2},排除选项C、D,又函数〃尤)是偶

函数，所以排除选项A,故选B.

【数学文卷•2015届浙江省绍兴一中高三上学期回头考试(201409)】22.(本小题满分11

分)

已知函数f(x)-ax-3,g(x)=bx~'+cx~2{a,beH)且g(-；)-g⑴=/(0).

(1)试求仇c所满足的关系式；

(2)若b=0,试讨论方程/(x)+x|x-a|g(x)=0零点的情况.

【知识点】函数与方程BlE2

【答案解析】(1)b-c-\=O(2)当a=0或a=-2时，一个零点；当a>0或-2<a<0

时，有两个零点；当a<-2时无零点.

解析：(1)由g(-g)-g(l)=/(O)，得(-26+4c)-(6+c)=-3

:.b、c所满足的关系式为b-c-l=O.

(2)原方程等价于ox?—3x=|x—a|根据图像可得：当。=0时，—3x=|x|,x=0一个零点

当。>0时，两个零点，当一2<a<0时，两个零点，当。=一2时，一个零点，当a<-2时，

无零点.

【思路点拨】遇到判断方程的根的个数问题，若无法直接求根时，可转化为两个函数的图像

的交点问题解答.

【数学文卷•2015届浙江省绍兴一中高三上学期回头考试(201409)】11.数

x

/(,%)、=-3e('x>2])，贝U//0n\3)=.

y(x+i)(x<2)

【知识点】分段函数B1

【答案解析】e解析：f(In3)=/(In3+1)=|eln3+1=|(3e)=e.

【思路点拨】对于分段函数求函数值，要结合自变量对应的范围代入相应的解析式..

【数学文卷•2015届河南省天一大联考(开封高级中学等)高三阶段测试(一)

(-1)"sin^-+2n,xe[2〃,2〃+1)

(201409)】(16)已知函数〃x)=<2

(〃eN),则

/(1)-/(2)+/(3)-/(4)++/(2013)-/(2014)+/(2015)=——.

【知识点】函数及其表示.归纳法.BlMl

【答案解析】1008解析：由题设条件得:/⑴=1,/(2)=2,〃3)=3,/(4)=4,

由此归纳得/(〃)=〃，

所以所求=(/(I)-/(2))+(/(3)-/(4))++(/(2013)-/(2014))+/(2015)

=-1007+2015=1008.

【思路点拨】由已知函数得/(")=〃，再用并项求和求解.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

【数学文卷•2015届广东省深圳市高三上学期第一次五校联考(201409)】11.函数

歹=也以的定义域为.

Inx

【知识点】函数的定义域.B1

【答案解析】(0,1)(l,4w)解析：自变量x满足的条件为1

'，1'[inxwO[x>O,"l

所以函数的定义域为(0,1)(1,+00).

【思路点拨】根据函数有意义的条件列出关于X的不等式组求解.

【数学文卷”015届天津一中高三上学期零月月—4-函数〃九)

正视图侧视图

满足〃x+2)=2/(x),当xc[0,2)时，1

[2「、/

X-X,XG[0,1)

)=1,1S,，若工£卜a2俯视图叫实数t的

取值范围是()

A.[-2,0)(0,1)B.[-2,0)[1,+<»)C.[-2,1]D.(-0),-2](0,1]

【知识点】函数的性质及应用.BlB3

(答案解析】D解析：/(x+2)=2/(x),f(x+4)=2f(x+2)=4/(%)

Q+4)2—(x+4),x+4e[0,l)

.•.当2)时，x+4e[0,2),.•./(x+4)=4/(x)=<

—(0,5沪J5I,x+4e[L2)

：(x2+7x+12),xe[-4,-3)

可得此时f(x)的最小值为/(-2.5)=―；.

即/(%)=<

--(0.5)|jc+25|,xe[-3,-2)

4

若xe[-4,—2)时,/(x)2：一；恒成立,则j—Jw/XxLn=/(-2.5)=一

I"乙I1"乙I-J

解得：2](0,1],故选D.

【思路点拨】根据条件，只要求出函数f(x)在xe卜4,-2)上的最小值即可得到结论.

二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上)

B2反函数

B3函数的单调性与最值

【数学理卷・2015届湖南省师大附中高三第一次月考(201409)】21.(本题满分13分)

已知函数f(x)=ex—ax2—2x—l(x^R).

(1)当a=0时，求f(x)的单调区间；

a2—a—|—]

⑵求证：对任意实数a<0,有f(x)>---;---.

d

【知识点】利用导数求函数的单调区间；利用导数结合函数的单调性证明不等式.B3B12

【答案解析】(1)(—8,In2)是f(x)的单调减区间,(In2,+刃)是f(x)的单调增区间.⑵见

解析。

解析：(1)当a=0时,f(x)=ex-2x-l(xeR),

Vf(x)=ex-2,且f(x)的零点为x=ln2,

.,.当xG(—8,In2)时,f(x)<0；-当xG(ln2,+00)时，f(x)>0

即(一00,In2)是f(x)的单调减区间，(In2,+功是f(x)的单调增区间.(5分)

(2)由f(x)=ex—ax?—2x—l(xdR)得：f(x)=ex-2ax-2,

记g(x)=e*—2ax—2(xeR).

Va<0,.,.g,(x)=ex—2a>0,即f"(x)=g(x)是R上的单调增函数，

又P(0)=—1<0,f(l)=e-2a-2>0,

故R上存在惟一的xoG(O,1),使得f(xo)=O,(8分)

且当x<xo时，f(x)<0；当x>xo时，f(x)>0.

即f(x)在(一00,X0)上单调递减，在(xo，+oo)上单调递增，

则f(x)min=f(xo)=exo—ax—2X0—1,再由f(xo)=o得eXo=2aXo+2,将其代入前式可得f(x)min

=-ax§+2(a-l)x0+l(10分)

Ca—(a—1)2

又令.(p(xo)=­axo+2(a—l)x0+1=—a(xo—工-J+---------+1

a—1

由于一a>0,对称轴x=—[—>1,而x()£(0,1),.,.(p(xo)>(p(l)=a—1

d

22

「a—a+11a-a+1

又(a—1)—----=—T>0,A(p(xo)>-

add

a2—a—I—i

故对任意实数a<0,都有f(x)>~--.(13分)

a

【思路点拨】(1)当a=0时，求导解出零点求出单调区间即可；(2)利用导数结合单调性证

明即可.

【数学理卷•2015届浙江省绍兴一中高三上学期回头考试（201409）】6.若函数

/（X）=左"—〉0且aH1）在（一oo,+00）上既是奇函数又是增函数，贝!I函数

g（x）=log,,（x+左）的图象是（）

【知识点】奇函数，指数函数与对数函数的图像与性质B3B4B6B7

【答案解析】C解析：因为函数/（x）=hf—。一工（。〉0且awl）在（-oo,+00）上既是奇

函数又是增函数，所以k=l且a>l,则函数8（%）=10851+1）在定义域（—1,+8）上为增

函数，所以选C.

【思路点拨】若奇函数在x=0处有定义，则f（0）=0,即可确定k值，由指数函数的单调性即

可确定a>l,结合函数的定义域及单调性判断函数的图像即可.

【数学理卷•2015届浙江省嘉兴市高三上学期学科基础测试（201409）［22.（本题14分）

已知函数/（x）=x+@（x>0）.

X

（1）若。<0,试用定义证明：/（X）在（0,+8）上单调递增；

（2）若。>0,当xe［l,3］时不等式/（x）N2恒成立，求。的取值范围.

【知识点】⑴函数的单调性；不等式恒成立求参数范围.B3E1

【答案解析】（1）证明：略；（2）a>l.解析：（1）若a<0,设0<<叼<+8,则

/（*1）-/（*2）=（*1一*2）（1---）•交分

*1*2

因为》1一工2<0,1———>0,所以/（*1）一/（*2）<0,即/（X］）</（*2），

xrx2

故，/（x）在（0,+oo）上单调递增.小分

（2）若。>0,则/（x）在（0,折）上单调递减，在（G,+8）上单调递增.

①若0<a41,则/（x）在|1,3|上单调递增，/（同后=/⑴=1+a.

所以，l+a±2,BPa>1,所以a=1.,,-8分

②若1<“<9,则/（x）在［1,而］上单调递减，在［后,3］上单调递增，

f=ft4a）=2^,.所以，2&W2,即a±l,所以FO分

③若心9,则/（x）在［1,3|上单调递减，/（肛加=/仔）=3+j

3

所以，3+->2,即心-3,所以a49.F2分

3

综合①②③，«>1.-14分

【思路点拨】（1）根据函数单调性定义，在给定区间上任取两个数七,々，且西<々，

通过判定/（菁）—/（9）的符号，来证明函数的单调性；（2）xc［l,3］时，不等式/（x）22

恒成立，只需为«1,3］时/（力-22即可，利用〃力的单调性,通过讨论a的取值情况，

确定"%）在区间［1,3］上的最小值情况.

【数学理卷•2015届浙江省嘉兴市高三上学期学科基础测试（201409）】6.已知函数

f（x）=cos2x-4sinx,则函数/（%）的最大值是

A.4B,3C.5D.V17

【知识点】二倍角公式；函数的最值.C6B3

【答案解析】B解析：/（x）=l-2sin2x-4sinx=-2（sinx+l）2+3,当

sinx=—1时函数/（%）取得最大值3,所以选B.

【思路点拨】利用二倍角公式把已知函数化为关于sinx的二次函数，再配方求得最值.

【数学理卷・2015届河南省天一大联考（开封高级中学等）高三阶段测试（一）（201409）】

（4）下列函数中，与函数》=好的奇偶性、单调性均相同的是（）

A.y-exB.y=2XC.y=ln|%|D.y=tanx

【知识点】函数的奇偶性，单调性.B3,B4

x

【答案解析】B解析：解：y=Y为奇函数，在R上单调递增，y=2-^也是奇函

数，在R上单调递增，所以只有B选项正确.

【思路点拨】利用函数的奇偶性与单调性的概念对函数进行分析求解即可.

【数学理卷•2015届安徽省示范高中高三第一次联考试题(201409)】(21)(本小题满分14

分)

已知函数/(尤)=—In%+—cix^+(1—cC)x+2o

(1)当a>0时，求单调区间；

(2)若0<x<l,求证：f(l+x)<f(l-x);

(3)若典),］取乂，2)为函数f(x而图像上两点，记k为直线AB的斜率，/=七三，

求证：f，(X。)>k。

【知识点】函数的单调性；函数的单调区间；利用导数证明不等式.B3B12

【答案解析】⑴当0<x<l时f(x)<0,f(x)单调递减,当x>l时f(x)>0,/(x)

单调递增(2)见解析(3)见解析

解析：(1)/(x)=―+ox+(l-a)=^-----——----------1分

XX

当Ovxvl时/"(x)vO,/(X)单调递减----------2分

当x>l时/'(x)>0，/(x)单调递增----------3分

(2)+=ln(l-x)-ln(l+x)+2x---------4分

?Y2

4*g(x)=ln(l-x)-ln(l+x)+2x=>g/(x)=———----------5分

x—1

v0<x<l,g'(x)<0,g(x)单调递减，所以g(x)<g(O)=O

所以/(1+x)----------7分

(3)人皿-----------8分

xi-x2x2-x12

/'(不)=+ar0+1-«

1,In-Inx,1z、“2Inx-Inx,.2(x-x)

—t-ax+1—a>--------L+—a(x+xj+l—a=-----<----7-----oItn々一也再>---2----

0xx2

Vo2~iX2+XjX2—X{X24-X]

伯立/仁一⑼〜为土>2且!~2----------11分

X|x2+x,X,强+1

但t]

iSx2>x,>04'———-=/(0<Z<l)=>—=----------12分

%+lxiI-

工一】

In->2-----oIn>2/oln(l+/)-ln(l-/)>2/<=>ln(l-/)-ln(l+/)+2/<0

占强+1-

由第二小题结论g(x)=ln(l-x)-ln(l+x)+2x<0可得。14分

【思路点拨】本题考查导数的应用，涉及斜率，最大值、最小值的求法，是综合题;

关键是理解导数的符号与单调性的关系，并能正确求出函数的导数，属于难题.

【数学理卷•2015届安徽省示范高中高三第一次联考试题(201409)】(7)函数y=/(x)

的图像如图所示，则关于函数y=/(X)的说法正确的是

M(7)MB

A.函数y=/(x)又3个极值点

B.函数y=/(x)在区间(-00,-4)单调递增

C.函数y=/(x)在区间(-2,+00)单调递减

D.x=l时函数y=/(%)取最大值

【知识点】函数的单调性；函数的极值.B12B3

【答案解析】C解析：极值点有两个，A错误。(-8,-5)单调递增，B错误；x=l不是极

值点，D错误.故选C.

【思路点拨】利用函数的单调性与极值依次判断即可。

【数学理卷•2014届河南省实验中学高三第二次模拟考试(201405)】21、已知函数

/记)*«-加

(1)若。=1,求函数“X)的极值;

(2)设函数〃(x)=/(x)-g(x),求函数/z(x)的单调区间；

(3)若在［l,e］(e=2.718...)上存在一点/，使得/(/)<g(x0)成立，求。的取值范

围

【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函

数的最值.B12B3

【答案解析】(I)/(%)在x=l处取得极小值1.(ID(0,+oo)(III)或av—2.

e-1

解析：解：(I)"龙)的定义域为(口内)，

1X—1

当a=l时，/(x)=x-lnx,fr(x)=1——=----

xx

X(0,1)1(L+00)

尸(X)一0+

/(X)极小

所以了(%)在尤=1处取得极小值L

(II)h(x)=%+""-6/Inx,

x

〃/、、1+aax2-ox—(1+a)(%+l)[%—(1+a)]

〃(X)=l=------------=-------储------

①当a+l>0时，即a>—1时，在(0,1+a)上〃'(x)<0,在(1+a,+oo)上/?'(无)>0,

所以h{x}在(0,1+a)上单调递减，在(1+a,+Q0)上单调递增；

②当1+aVO,即aW-l时，在(0,+oo)上〃'(尤)>0,

所以，函数/幻在(0,+8)上单调递增.

(IH)在［l,e］上存在一点5,使得/(%)<g(x())成立，即

在［l,e］上存在一点％，使得〃(无。)<0，即

函数/z(x)=x+——--fllnxSfl,e]上的最小值小于零.

由(II)可知

①即l+a»e,即aNe-l时，/?(x)在[l,e]上单调递减，

所以h(x)的最小值为h(e),由/7(e)=e+^一。<。可得〃>£1±1,

ee-1

22

因为Je±+1l>e-1,所以A+1

e-1e-1

②当1+aMl,即a<0时，"(x)在［l,e］上单调递增，

所以勿»最小值为力(1),由/z(l)=l+l+avO可得av—2；

③当Ivl+ave,即Ovave-l时,可得力(%)最小值为/z(l+a)，

因为0<ln(l+a)vl,所以，0<aln(l+a)VQ

故/Z(1+Q)=2+a-a]n(l+a)>2

此时，/z(l+a)v0不成立.

e2+l

综上讨论可得所求，的范围是:a>或av—2.

e-1

【思路点拨】(I)先求出其导函数，让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到

函数的单调区间进而求出函数f(X)的极值；

(II)先求出函数h(x)的导函数，分情况讨论让其大于0求出增区间，小于0求出减区

间即可得到函数的单调区间；

(III)先把f(xo)<g(xo)成立转化为h(xo)<0,即函数h(x)=x+上包-alnx在［1，

x

e］上的最小值小于零;再结合(II)的结论分情况讨论求出其最小值即可求出a的取值范围.

请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记

分.

【数学理卷•2014届河南省实验中学高三第二次模拟考试(201405)】8、函数

/(x)=sinx*In国的部分图象为

【知识点】函数的图象.B3B4

【答案解析】A解析：f(-x)=sin(-x)«ln|-x|=-sinx»ln|x|=-f(x),

故函数f(x)为奇函数，即函数f(x)的图象关于原点对称，故排除CD,

当x6(0,1)时，sinx>0,ln|x|<0,此时函数f(x)的图象位于第四象限，故排除B,

故选：A

【思路点拨】由已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性和x€(0,1)时，函数f(x)的图

象的位置，利用排除法可得答案.

【数学理卷•2014届河南省实验中学高三第三次模拟考试(201405)】12.函数

’的困在区间［°』上单调递增，贝心的取值范围是()

-1-

r-IClG,€

A.B々£［-1,。］c.D.\-e.

【知识点】指数函数单调性的应用；函数单调性的性质.B3B6

【答案解析】C解析：当a>o时，y=eXQ在(--,上为减函数，在

ex2

［—lna,+8)上为增函数，且y=目■>()恒成立

2ex

若函数f(x)=|e*2|,(a€R)在区间［0，1］上单调递增,

e

则丫=6、+~生在［。，1］上单调递增则LnaSO解得ae(0,1］

ex2

当a=0时，f(x)=|e**|=e*在区间［。，1］上单调递增，满足条件

e

当a<0时，尸e'片在R单调递增，令尸e'玲=。，则x=ln

ee

则f(x)=|e**|在(。，InJT』为减函数，在［Injr^,+-)上为增函数

ex

则In丁。4，解得a>-1

综上，实数a的取值范围是［-1,1］,故选C

【思路点拨】结合对勾函数，指数函数单调性及单调性的性质，分别讨论a>0,a=0,a<0

时，实数a的取值范围，综合讨论结果可得答案.

【数学理卷•2014届河南省实验中学高三第三次模拟考试(201405)】7.设f(x)是定义在R

上的奇函数，其烟=侪2),若烟在区间［2,3］单调递减，则()

(A)f(x)在区间［―3,—2］单调递增(B)%)在区间［—2,—1］单调递增

(C)f(x)在区间［3,4］单调递减(D)f(x)在区间［1,2］单调递减

【知识点】奇偶性与单调性的综合.B4B3

【答案解析】D解析：由f(x)=f(x-2),则函数的周期是2,

若f(x)在区间［2,3］单调递减，则f(x)在区间［0,1］上单调递减，

Vf(x)是定义在R上的奇函数，

：.f(x)在区间［-1,0］上单调递减，且f(x)在区间［1,2］上单调递减，

故选：D

【思路点拨】根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论.

【数学理卷-2014届河南省实验中学高三第三次模拟考试(201405)】6.函数

/(%)=cos2%+石sinxcosx在区间—的最大值为()

_62_

1+733

(A)l(B)—(C)-(D)2

22

【知识点】复合三角函数的单调性.C3B3

【答案解析】C解析：f(x)=cos2x+V3sinxcosx=^sin2x+-^cos2x+-^

=sin⑵+=)4

b2

・・「「兀兀・。工冗，《)€[-

•x6一',——J1,•・2x+——?]•sin(2x+1]-

662

J函数f（x）=cos2x+J^sinxcosx在区间［汇，汇］的最大值为旦故选：C.

622

【思路点拨】利用三角函数倍角公式化简，然后结合已知x的范围求得原函数值域，则答案

可求.

【数学文卷•2015届湖南省衡阳八中高三上学期第二次月考（201409）】2.下列四个函数

中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）

A.y=.v-iB.y=5"C.y="3D.y=S［”

【知识点】函数的奇偶性与单调性.B3B4

【答案解析】C解析：由奇偶性定义排除A、D两个选项，由单调性定义得选项C正确，

故选C.

【思路点拨】利用函数奇偶性、单调性的定义得出选项.

【数学文卷•2015届湖南省师大附中高三第一次月考（201409）［6.若加+6x+c<0的解

集为{小<—2或x>4},则对于函数期）=加+灰+。应有（）

A.15）勺（2）勺（一1）B.犬5）勺（一1）勺（2）C.式—1）勺（2）勺（5）D.八2）勺（一1）勺（5）

【知识点】函数的单调性；函数的对称性.B3B5

【答案解析】B解析：因为依2+6x+c<0的解集为{x|x<—2或x>4},可知：a<0.

,解得:b=-2a,c=-8a,代入/(x)=or2+Zzx+c,即

/（x）=ar2-2ax-Sa，

所以2x-8）,表示开口方向向下，对称轴为1的抛物线，则函数在

(1,+?)递减，所以/(5)</(3)</(2),而由对称性可得：/(3)=/(-1)-所以

/(5)</(-1)</(2),故选B.

【思路点拨】先由不等式的解集判断出a的符号以及与b,c的关系，再由单调性得到的关

系为而由对称性可得：/(3)=5(」)即可得解.

【数学文卷•2015届浙江省绍兴一中高三上学期回头考试(201409)】6.若函数

/(x)=左"—〉0且aw1)在(-co,+co)上既是奇函数又是增函数，则函数

g(x)=log,,(x+左)的图象是()

【知识点/函数，指数函数目对数函数的图像S性质B3

【答案解析】C解析：因为函数/(乃=左优一鼠,(。〉0且。。1)在(-00,+8)上既是奇

函数又是增函数，所以k=l且a>l,则函数g(x)=log,(x+l)在定义域(―l,+oo)上为增

函数，所以选C.

【思路点拨】若奇函数在x=0处有定义，则f(0)=0,即可确定k值，由指数函数的单调性即

可确定a>l,结合函数的定义域及单调性判断函数的图像即可.

【数学文卷•2015届浙江省嘉兴市高三上学期学科基础测试(201409)】22.(本题14分)

已知a>0,函数/'(x)=x+@(x>0).

a

(1)试用定义证明：/(%)在(&,+s)上单调递增；

(2)若xe[1,3]时，不等式/(x)22恒成立，求a的取值范围.

【知识点】⑴函数的单调性；不等式恒成立求参数范围.B3E1

【答案解析】(1)证明：略；(2)a>l.解析：(1)设6<%<为<+嗨，则

/•*。-5川一区一巧欢孙一以吟分

项当

因为五VX]V工2V+8,所以工1必>0，Xj-x2<0,xxx2-«>0,

所以/<£)=,即，｛黑，霏%)，

故，/(X)在(7^,+00)上单调递增.飞分

(2)/(x)在(0,M)上单调递减，在(后,+oo)上单调递增.

①若0<a41,则/(X)在|1,3|上单调递增，/⑴min=/(l)=l+«.

所以，1+。22,BPa>1,所以a=l.,,-8分

②若则/(x)在［1,五］上单调递减，在［6,3］上单调递增，

/(x)min=/(7a)=14a.所以，a>1,所以l<a<9.FO分

③若aW9,则/(x)在IM1上单调递减，/(x)min=/(3)=3+1.

所以，3+色22,即42-3,所以aW9.F2分

3

综合①②③，a>l.F4分

【思路点拨】(1)根据函数单调性定义，在给定区间上任取两个数七,々，且西<々，

通过判定/(%)—/(9)的符号，来证明函数的单调性；(2)xc［l,3］时，不等式/(x)22

恒成立，只需xe［l,3］时/(尤Ln22即可，利用/(%)的单调性，通过讨论a的取值情况，

确定/(%)在区间［1,3］上的最小值情况.

【数学文卷•2015届浙江省嘉兴市高三上学期学科基础测试(201409)】6.已知函数

f(x)=cos2x-4sinx,则函数/(尤)的最大值是

A.4B,3C.5D.A/17

【知识点】二倍角公式；函数的最值.C6B3

【答案解析】B解析：/(x)=l-2sin2x-4sinx=-2(sinx+l)2+3,当

sinx=—1时函数取得最大值3,所以选B.

【思路点拨】利用二倍角公式把已知函数化为关于sinx的二次函数，再配方求得最值.

【数学文卷•2015届广西桂林中学高三8月月考(201408)】21.(本题满分12分)

已知函数/(x)=lnx+—3—,“为常数.

x+1

(1)若。=^,求函数/(x)在［l,e］上的值域；(e为自然对数的底数，e-2.72)

(2)若函数g(x)=/(%)+x在［1,2］上为单调减函数，求实数a的取值范围.

【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的值域.B3B12

3Q27

【答案解析】(1)［ln2+-,-］(2)［一,+8)

242

解析：(1)由题意/'(x)=L——J

X(X+1)

9

当。==9时，f(x)=1------o(x-2)(2x-l)

2x(x+1)22x(x+l)2

%€口,句二/(%)在［1,2)为减函数，［2,0为增函数4分

399

又/(2)=ln2+-,/(l)=-,f(e)=l+——比较可得/(I)>f(e)

242e+2

.•./。)的值域为［山2+—3二］96分

24

(2)由题意得g'(x)=L——J+1W0在xe［l,2］恒成立

X(x+1)

/.a>"+D+(%+1尸=x2+3x+—+3恒成立8分

XX

1

设/z(x)=炉9+3%H---1-3(1<x<2)

X

二.当1<%<2时h'(x)=2x+3——>0恒成立

%

2727

-hM^=K2)=—^a>—

乙乙

27

即实数。的取值范围是+00)12分

2

【思路点拨】(1)先利用导数求函数的极值、端点处函数值，比较它们大小关系，

可得最小值、最大值；(2)分离参数a后，构造函数求最值，利用导数可求最值.

【数学文卷•2015届广西桂林中学高三8月月考(201408)】16.已知/"(X)是定义域为R

的偶函数，当x20时，/(x)=》2-4x那么，

不等式/(X+2)<5的解集是.

【知识点】函数单调性的性质；一元二次不等式的解法.B3E3

【答案解析】(-7,3)解析：因为f(x)为偶函数，所以f(|x+2|)=f(x+2),

则f(x+2)V5可化为f(|x+2|)<5,即|x+2/-4|x+2|<5,(|x+2|+l)(|x+2|-5)<0,

所以|x+2|<5,解得-7<x<3,

所以不等式f(x+2)<5的解集是(-7,3).

故答案为：(-7,3).

【思路点拨】由偶函数性质得：f(|x+2|)=f(x+2),则f(x+2)<5