初中数学专项练习竞赛中的数论问题

初中数学竞赛中的数论问题

目录

第九章质数与合数.......................................................................2

第十章约数与倍数......................................................................15

第十一章算术基本定理及应用...........................................................27

第十二章平方数的特征及应用...........................................................35

第十三章一元二次方程的整数解问题.....................................................47

第十四章一次不定方程的整数解.........................................................55

第十五章高次不定方程的整数解.........................................................66

第十六章数谜问题......................................................................75

第十七章高斯函数卜］...................................................................89

第十八章有序整数对问题................................................................96

参考答案................................................................................101

1

第九章质数与合数

【基础知识】

一个大于1的整数只有1和它本身作为它的约数，则称这样的数为质数；如果除了1和它本身

之外还有其他的约数，这样的正整数称为合数.1既不是质数也不是合数.

偶质数只有2一个.除此之外，质数均为奇数.100以内的质数共有25个：

2357111317192329313741434753596167717379

838997

【典型例题与基本方法】

例1若〃为质数，pi+3仍为质数，则/产+33的末位数字是（）.

A.5B.7C.9D.不能确定

解选A.理由：由/+3为质数可知〃为偶数.又〃为质数，则〃=2.

故/产+33=2、3+33=（x2+33.

因为（叫，的末位数字为6,故（2）x2的末位数字为2.

因此，a”+33的末位数字为5.

例2已知。为整数，272a-27|是质数，则〃的所有可能值的和为（）.

A.3B.4C.5D.6

解选D.理由：由题意知2n-27卜|（2々+3）（2〃-9）|为质数，故2〃+3=±1或为一9=±1,

即或4=5,4.

因此，a的所有可能值的和为6.

例3若两个质数p,夕满足+5夕=517,则〃+4=.

解填15或103.理由：若p,q均为奇数，贝3P2+51为偶数，与已知矛盾.因此p,中至

少有一个为偶数.

因〃，“均为质数，所以，〃=2或“=2.

当〃=2时，3x22+5q=517=q=101（质数）.

止匕时，“+9=2+101=103.

当4=2时，3〃2+5x2=5l7n〃=13（质数）.

止匕时,p+q=13+2=15.

例4已知「小，〃为正整数，〃计〃=5,与-一均为质数，则式的可能取值的个数是

2

解填2.理由：由题设,可取1,2,3,4,相应地，〃可为4,3,2,1,并且，〃与〃一奇

一偶.

故丁+,〃与，一“一奇一偶，

又V+机与,-/Z|均为质数，

因此，/+，〃=2或卜2一W=2,

解得x=1,〃2=1或f—加=±2.

平的当x=l,6=1时，“=4.

,=3.

所以，x=l符合条件.

当V-〃=2时，x2=/?+2e{3,4,5,6）,

则x=2.

止匕时，〃=2,m=3,x2+m=7.

所以，x=2符合条件.

当f一〃=-2时，f=〃-2c{-1,0,1,2},

则x=l,

当x=l时，〃=3,m=2,=3是质数.

所以，x=l符合条件.

因此，x的可能取值有2个.

例5（1996年北京市竞赛初赛题）〃是质数，设“=4〃+”+4也是质数，试确定9的值.

解因为4被3除余1,所以4。被3除余1.因此，4。+4被3除余2.

如果〃工3,则质数〃不被3整除，被3除余1,推知“被3除余1.

所以夕=4。+〃4+4被3整除.而c/>3,所以此时夕为合数，与是质数的条件不符，因此，

只能〃=3.

当〃=3时，<7=43+34+4=149.经检验，149确是质数，合乎要求.

例6（1997年湖北荆州市竞赛题）已知正整数p,，/都是质数，并且7p+9与网+11也都是质数,

试求〃“+必的值.

解因为7p+*>2,且？〃+g是质数，所以7〃+q必为正奇数.

因此，p,q中必有一个偶质数2.

（i）若〃=2,此时7〃+q=14+q及2q+l1均为质数.

设夕=3k+1（左为非负整数），则q+14=3A+15=3（k+5）,它不是质数；

设q_3A+2（A为非负整数），则2q十11一64十15-3（2*十5）,它不是质数.

3

因此，q应是弘型的质数，当然只能4=3.

（ii）若9=2,此时7〃+q=7〃+2与2〃+11均为质数.

设〃=3左+1（&为非负整数），则7p+2=2M+9=3（7R+3）,它不是质数.

设〃=3k+2为非负整数），则2〃+ll=6A+15=3（2A+5）,它不是质数.

因此，〃应为弘型的质数，亦只能是〃=3.

综合（i）、（ii）知，p=2,4=3或〃=3,夕=2,所以p"+必=3?+2^=17.

例7（1998年湖北省武汉市竞赛题）王老师在黑板上写了若干个连续自然数I,2,3……,然后

擦去其中的三个数，已知擦去的三个数中有两个质数.如果剩下数的平均数是199，那么王老师在

9

黑板上共写了个数，擦去的两个质数的和最大是.

解填39；60.理由：剩下的数的个数应是9的倍数.因为卜39的平均数是20,所以剩下的

数的个数应不大于39.

不大于39的9的倍数的数最大是36,即剩下36个数，推知王老师共写了36+3=39个数.

Q

19-x36=716,

9

1+2+3++39=780,

780-716=64.

擦去的三个数之和是64,其中和小于64的两个质数最大是29和31,或37和23.

故共写了39个数，擦去两个质数的和最大是60.

例8（1998年“从小爱数学”邀请赛题）把20以内的质数分别填入口中（每个质数只用一次）：

A=□+□■>■□唱+□+□+□,使4是整数，则A最大是多少？

初42+3+5+11+13+17+190

解A=---------------------=10.

7

例9（第7届“华罗庚金杯”邀请赛初赛题）将1999表示为两个质数之和：1999:口+口，在口中

填入质数，共有多少种表示法？

解根据奇偶数的性质：奇数:奇数+偶数.

而在所有的偶数中只有2是质数，所以两个口中必有一个是质数2,另一个质数是1997,只有

这一种填法.

所以只有一种填法.

例10（1997年山东省竞赛题）有三个连续的自然数，它们的平均数分别能被三个不同的质数整

除.要使它们的和最小，这三个自然数分别是多少？

解这三个数的平均数就是当中一个数，据题意，当中一个数为2x3x5=30,即这三个数为29,

30,31.

4

例11（第16届“希望杯”邀请赛题）（I）如果。是小干20的质数，且二可化为一个循环小数,

a

那么。的取值有哪几个？

（2）如果。是小于20的合数，且工可化为一个循环小数，那么”的取值有哪几个？

a

解（1）小于20的质数有：2,3,5,7,11,13,17,19.除了2和5以外，其余各数的倒

数均可化为循环小数，故。可取3,7,11,13,17,19.

（2）由（1）知，只要合数。的囚数中含有2或5以外的质数，则该数的倒数可化为循环小数，

故〃可取6,9,12,14,15,18.

例12（第6届“华罗庚金杯”邀请赛题）哥德巴赫猜想是说：每个大于2的偶数都可以表示为两

个质数之和.问：168是哪两个两位数的质数之和，并且其中一个的个位数字是1?

解个位数字是I的两位质数有11,31,41,61,71.

其中168—11=157,168-31=137,168-41=127,168-61=107,都不是两位数，只有

168-71=97是两位数，而且是质数，所以168=71+97是唯一的解.

例13（2004年数学奥林匹克决赛题）将两个不同的两位数的质数接起来可以得到一个四位数，比

如由17,19可得到一个四位数1719；由19,17也可得到一个四位数1917.已知这样的四位数能被

这两个两位数的质数的平均数所整除，试写出所有这样的四位数.

解设立，%是符合题意的两个两位数的质数，按题意有

2abed=（ab+cd）k,

200。〃+2cd=（ab+cd）k,

19Sab=（ab+cd）（k-2）（A为正整数）.

因为而是质数，且不能整除（乱+不），所以仕-2）含有约数茄，198含有约数茄+G）.

因为（瓦+不）是偶数，且在（1+13=）24与（89+97=）186之间，而198在24与186之间的偶数

约数只有66,所以+cd=66.

而66=13+53=19+47=23+43=29+37,

故所求数有8个,分别是1353,5313,1947,4719,2343,4323,2937,3729.

例14（1998年“从小爱数学”邀请赛题）4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油，每瓶和其他

各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8,9,10,11,12,13.已知4只空瓶的重量之和以及油的

重量之和均为质数，求最重的两瓶内有多少油.

解由于每只瓶都称了三次，因此，记录数据之和是4瓶油（连瓶）重量之和的3倍，即4瓶

油（连瓶）共重（8+9+10+11+12+13）+3=21（kg）.

而油重之和及瓶重之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，由于2是唯一的偶质数，所以只有

两种可能:

5

(i)油重之和为19kg,瓶重之和为2kg,每只瓶重-kg,最重的两瓶内的油为13--x2=12

22

(kg).

(ii)油重之和为2kg,瓶重之和为19kg,每只瓶重2kg,最重的两瓶内的油为Cx2=】kg,

442

这与油重之和2kg矛盾.

因此，最重的两瓶内共有12kg油.

【解题思维策略分析】

1.仔细分析条件，求解满足条件的质数或合数

例15(第10届“希望杯”全国邀请赛题)某个质数，当它分别加上6,8,12,14之后还是质数,

那么这个质数是.

解填5.理由：满足条件的最小质数是5.

下面以整数中被5除所得余数分为五类，即5历5A+1,5k+2,5&+3,5A+4(女为整数)，

其中母类型的数中，除5外，其余均为合数；

若质数M为52+1类型,则"+14=52+1+14=5(2+3)为合数;

若质数M为弘+2类型，则M+8=54+2+8=5(2+2)为合数：

若质数M为%+3类型，则M+12=5k+3+12=5("3)为合数：

若质数M为女+4类型，则加+6=54+4+6=5(4+2)为合数.

综上所述，只有质数5分别加上6,8,12,14之后为11,13,17,19,它们均为质数其他四

类数不满足条件.

例16(1998年甘肃省冬令营第一试试题)将99分拆成19个质数之和，要求最大的质数尽可能大,

那么这个最大质数是.

解填61.理由：因为最小的质数是2,所求最大质数应小于99-2x18=63,小于63的最大

质数是61,所求最大质数是61,而99可分拆成16个2,2个3和1个61的和.

例17(2004年“祖冲之杯”竞赛题)大约1500年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出n的值

在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把n的值精确到7位小数的人.现代入利用计算

机已经将n的值计算到了小数点后515亿位以上.这些数排列既无序又无规律.但是细心的同学发

现：由左起的第一位3是质数,31也是质数，但314不是质数,那么在314的31415,314159,3141592,

31415926,31415927中，质数是.

解填314159.理由：3141,31415,3141592,31415926,31415927依次能被3,5,2,2,

31整除.所以314159是质数.

例18(2005年武汉市明心奥数挑战赛题)小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码

有四位数字.同时，她感到这个号码很容易记住，因为它的形式为个砺，其中而E益和瓦

6

都是质数.具有这种形式的数共有个.

解填8.理由：若两位数不和而均为质数，则a,b均为奇数且不为5,满足题意的数有下面

8个：

1331,3113,1771,7117,7337,3773,9779,7997.

例19(1990年吉林长春市数学奥林匹克培训班竞赛题)在1,0交替出现且以1打头和结尾的所

有整数(即101,10101,1010101,…)中有多少个质数?

解只有一个质数101.

,「，(10w+,+1)(104+,-1)

2

若则4=1()2"+10"2++|0+|=1------------------------L.

99

1A2W+2_1

当〃=26+1时，—~—=102m++102+1,得A为合数；

99

当"二2〃?时，9整除II整除101+1,所以A为合数.

因此，只有101是质数.

222

例203990年北京市竞赛复赛题)设a,b,c,4是自然数，并且/+b=c+d,证明：d+c+d

一定是合数.

证明因为“，b,c,d是自然数，

所以片一a,b2-b,c1-c,/一d都是偶数，

即M=(/+//+/+/)_(〃+〃+0+”)是偶数.

又因为a2+b2=c2+d2，所以a2+b2+c2+d-=2(a2+b2)是偶数，从而有

a+b+c+d=(a2+hr+C2+/)—M=2(a?+4)一”,它一定是偶数.

但a+〃+c+d>2,于是a+Z?+c+d是个合数.

例21正整数a,b,c,d满足等式必=cd,求证：k=产+产+”+产是合数.

证明由正整数的质因数分解的唯一性，可求得这样的正整数p，q,r,s,使

a=pqb=rsc=〃r,d=qs.

.i./\I998/\I998/、1998/\1998

贝m必=(pq)+(r.s)+(pr)+(")

+y©哪+产x)

故上是合数.

例22(1986年武汉等四市联赛题)若。为自然数，则/-3/+9是质数还是合数？给出你的证

明.

解"-3a2+9="+6n2+9-9«2

=(/+3)-(3a)~

=(.2[3a।3)(/3〃i3).

7

对于自然数a,a2+3a+3>\»所以当一3〃+3w1时，a4-3^+9为合数.

(i)若。*一3a+3/1,则。2-3〃+2/0,即。工1且〃w2.

（3Y3

又，/一3。+3=a—+—>（）.

I2）4

（ii）若/-3a+3=l,则。=1或a=2.

a=l时，t/_3/+9=7；。=2时，«4-3«2+9=13.

综合（i）、（ii）知：当。=1或2时，a4-3,十9是质数；当。是大于2的自然数时，a4-3,+9

是合数.

例23（1993年北京市竞赛复赛题）请你找出6个互异的自然数，使得它们同时满足：

（1）6个数中任两个都互质；

（2）6个数任取2个，3个，4个，5个，6个数之和都是合数.

并简述你选择的数合乎条件的理由.

解选择6个互异自然数为4=，xlx2x3x4x5x6+l（i=l,2,,6）.

只须证明任两个都互质.不失一般性，证生和出互质.

设生和生有公因数d,则d整除（％-生），

即d整除（5-2）xlx2x3x4x5x6.

所以d是1x2x3x4x5x6中的一个因子.

但由g=2xlx2x3x4x5x6+l知，d不整除内.

故d只能是I，即〃2和.互质.

由q（i=l,2,,6）的构成结构可知，其中任两个的和被2整除，任三个的和被3整除，任四个的

和被4整除，任五个的和被5整除，任六个的和被6整除，即六个数中任取2个，3个，4个，5个,

6个数之和为合数.

2.关注质数、合数条件，求解其他问题

例24（2004年“希望杯”全国邀请赛题）a,4c都是质数，并且a+〃=33,〃+c=44,c+d=66,

那么d=.

解填53.理由：质数中只有2是偶数，由条件易知，。=2,所以。=33—a=31,c=44-Z?=13>

d—66—c=53.

例25（2004年数学奥林匹克预赛题）在算式Ax（B+C）=U0+C中，4,B,C是三个互不相等的

质数，那么8=.

解填2.理由：如果都是奇数，那么（B+C）是偶数，从而Ax（B+C）是偶数，而01O+C）

是奇数，矛盾，所以A，B,。中有偶数.质数中只有2是偶数，如果A=2或C=2,那么等号两边

奇偶性不同，矛盾，所以只有6=2.

8

例26（2000年数学奥林匹克决赛题）试将20表示成一些合数的和，这些合数的积最大是

解填1024.理由：把一个数分拆成几个数的和，再把这些加数相乘，当分拆的加数尽可能多

地为3时，此时的乘积为最大.

此题是把20表示成一些合数的和，只能是把20分拆成与3最接近的数4.

则20=4+4+4+4+4,而4x4x4x4x4=1024,止匕时为最大.

例27（2003年浙江省数学活动课夏令营试题）有一个自然数，它有4个不同的质因数，且有32

个约数，其中一个质因数是两位数，当这个质因数尽可能大时，这个自然数最小是.

解填11640.理由：最大的两位质数是97,而题中这个自然数有32个约数，它必形如

p'xqxrx97,其中夕，r为不同的质数.

当〃=2,q=3,r=5H\,这个自然数最小，是2x3x5x97=11640.

例28（第9届《中小学生数学报》竞赛初赛题）有10个质数17,19,31,41,53,71,73,79,

101,103,其中任意两个质数都能组成一个真分数.这些真分数中，最小的是，最大的

是.

解填卫；121.理由：要使分数值最小，分子、分母的差应尽可能大；要使分数值最大，

103103

分子、分母的差应尽可能小.

但在（17,19）,（71,73）,（101,103）这三组差相同的数组成的分数中，量最大，最小.

例29（2（X）4年“希望杯”全国邀请赛题）小b,c都是质数，如果（a+h）x（〃+c）=342,那么

b=

解填7.理由：如果a,b,c都是奇数，那么。+〃与b+c都是偶数，它们的乘积应是4的倍

数，不可能是342,所以mb,c中必有质数2.如果〃=2,贝口/+〃与〃+c都是奇数，它们的乘积

不可能是342,所以a,c中有一个是2.

因为342=2x3x3x19

=（3x3）x（2xl9）

=9x38

=（2+7）（7+31）,

所以6=7.

例30（第8届《中小学生数学报》竞赛决赛题）所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加,

和是

填59g.11212341234

解理由：所有这些真分数分别是一；一,一；―9—，―9—；一，—，一，一

23355557777

561看去它们的和是

29

9

2-13-15-17-111-113-117-119-123-129-1

----+----4-----+----+-----+-----+-----+-----+-----+-----

2222222222

=-+1+2+3+5+6+8+9+11+14

2

=59-.

2

例31(2004年“祖冲之杯”竞赛题)有一个正方体木块，如右图，每个面上各写了一个自然数，

并且相对的两个面上的两个数之和相等.现在只能看见三个面上写的数，如果看不见的各面写的都

是质数，那么这三个质数的和是.

解填42.理由：由奇偶分析得，25的对面是2.

由此推知：10的对面是25+2-10=17；4的对面是25+2-4=23.三个质数之和是2+17+23=42.

例32(第7届“祖冲之杯”邀请赛题)甲、乙两人岁数之和是一个两位数，这个两位数是一个质

数，这个质数的数字之和是13,甲比乙也刚好大13岁，那么甲岁，乙__________岁.

解填40；27.理由：两位的质数，个位数字只能是1,3,7,9.但1,3都不合题意，因为

1+9或3+9都达不到13.如果个位数字是9,那么十位数字牯13-9=4,但49不是质数.因此，个

位数字只能是7,十位数字是13-7=6,即甲、乙两人岁数之和是67.甲是竺虫=40岁，乙是

2

40-13=27岁.

例33已知p为大于3的质数.证明：〃的平方被24除的余数为1.

证法1只需证〃2—l=(p—|)(p+l)能被24整除.因〃为大于3的质数，则〃为奇数.所以，

〃一1与〃+1为两个连续的偶数，且其中之一为4的倍数.故(〃-1)(〃+1)能被8整除.又因为在三

个连续的整数〃+1中必有一个是3的倍数，且〃为大于3的质数，所以，(〃-l)(p+l)为

3的倍数.

而(8,3)=1,故p2_l=(p—l)(p+i)能被24整除.

证法2因为大于3的质数均可以表示成6&±1的形式，所以，p2-1=(6攵±1)2-1=12人(3左±1).

乂因为A与弘±1的奇偶性不同，则它们的积为偶数.所以，能被24整除.

例34(2008年青少年数学国际城市邀请赛题)魔法六角星的每条直线边上的四个数字之和都相

等.右图的魔法六角星中的12个数都是质数，其中所给出的5个数中包含了其中的最大数和最小

10

数.请完成此魔法六角星.

解注意到29到73之间的所有质数为29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71和73.

恰好有12个质数填入12个位置，如下图，而这12个质数的总和为612.

每个数都位于两条直线上，被用两次，故知每条直线上四个数的总和为612x2+6=204.

由止匕得r=61>u-43.

剩下的质数为31,37,53,59,71,且要求s+v=2O4-(41+67)=96.

仅当s,v取值为37,59有可能.

此时，还剩下31,53和71.

若$=37,v=59,则〃+q=204-(61+37)=106,不可能.

若s=59,v=37,则“+“=204-(61+59)-84.

当p，q取值为31,53时满足题意.

所以，i=7l.

不难得出“=204—(71+43+37)=53.

综上，每个位置应填的数如下图所示.

11

【模拟实战】

A组

1.（第17届“五羊杯”竞赛题）以下关于质数和合数的4种说法中，准确的说法共有（）种.

①两个质数的和必为合数；②两个合数的和必为合数；③•个质数与•个合数的个和必为合数；④

一个质数与一个合数的和必为非合数.

A.3B.2C.1D.0

2.（2002年四川省竞赛题）立方体的每一个面都写着一个自然数，并且相对两个面所写两个数之和

相等，1（）,12,15是相邻三面上的数，若10的对面写的是质数小12的对面写的是质数415的

对面写的是质数c,则/+1-他―庆―圆的值等于.

3.（第15届“希望杯”竞赛题）已知〃，％pq+l都是质数，且〃-4>40,那么满足上述条件的

最小质数p=,q=•

4.（“希望杯”竞赛题）若a",c是1998的三个不同的质因数，且av）<c，则（〃+c）“=./-

5.（第16届江苏省竞赛题）已知4是质数，〃是奇数，且"+8=2001,则a+〃=.

6.（上海市竞赛题改编）写出10个连续自然数，它们个个都是合数，求这10个数.

7.（第21届江苏省竞赛题）若〃和夕为质数，且5〃+3〃=91,则/k,q=.

I13

8.（1998年北京市竞赛题）若y,z均为质数，x=yz,且，），，z满足一+—=巳，则1998x+5y+3z

xyz

的值为.

9.（第18届“五羊杯”竞赛题）如果A,B,C是三个质数，而且A—8=3—C=14,那么A,B,

。组成的数组（A,B,C）共有组.

10.（第15届“希望杯”竞赛题）若正整数-），满足2004工=15y,则x+y的最小值是.

H.（“希望杯”竞赛题）已知三个质数〃2,的乘积等于这三个质数的和的5倍，则〃/+〃2+p2

的值为.

12.（2004年全国联赛题）设机是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数，则用=.

13.（第15届俄罗斯竞赛题）万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同.如果个位数字等于前

12

两个数字的和，那么这个数是__________.

14.（北京市第14届“迎春杯”竞赛初赛题）有1997个奇数，它们的和等于它们的乘积，其中只有

三个数不是1，而是三个不同的质数.那么，这样的三个质数可以是,,

15.（第19届全俄中学生数学奥林匹克竞赛题）自然数〃使得数2〃+1与3〃+1,均为平方数，能否

同时使得数5〃+3是质数？

16.（第10届“华罗庚金杯”邀请赛题）有2,3,4,5,6,7,8,9,10和11共10个自然数：

（I）从这10个数中选出7个数，使这7个数中的任何3个数都不会两两互质；

（2）从这10个数中最多可以选出多少个两两互质的数？

17.（第9屈“华罗庚金杯”邀请赛题）在1〜100的所有自然数中，与10（）互质的各数之和是多少？

B组

1.（1997年“五羊杯”竞赛题）已知p,〃+2,〃+6,〃+8,〃+14都是质数，则这样的质数〃

共有多少个？

2.（1997年“迎春杯”竞赛题）若〃和q都是质数，并且关于x的一元一次方程川+5q=97的根是

1，求-q的值.

3.（首届“华杯赛”竞赛题）已知〃是质数，且2006〃也是质数.若2006”乘2006i〃的积等

于自然数求&的最大值.

4.（第5届加拿大竞赛题）求证：如果〃与〃+2都是大于2的质数，那么6是〃+1的因数.

5.（首届“华杯赛”竞赛题）数学老师做了一个密码给同学们破解，密码是PQRQQS,相同字母代

表相同的数字，不同字母代表不同的数字.已知这6个数字之和等于31,且尸是任何整数的约数（因

子）；。是合数；N被任何一个数去除，答案都会一样；b是质数.这个密码是什么？

6.（首届“华杯赛”竞赛题）某书店积存了画片若干张，每张按5角出售，无人买，现决定按成本

价出售，一下子全部售出，共卖了31元9角3分，问：共积压了多少张画片？

7.（五城市联赛题）在黑板上写出下面的数：2,3,4,…，1994,甲先擦去其中的一个数，然后乙

再擦去一个数，如此轮流下去，若最后剩下的两个数互质，则甲胜；若最后剩下的两个数不互质，

则乙胜.你觉得是甲胜还是乙胜？请你说明理由.

13

8.（安徽省竞赛题）甲、乙、丙3人分糖，每人都得整数块，乙比丙多得13块，甲所得是乙的2倍.已

知糖的总块数是一个小于50的质数，且它的各位数字之和为11.试求每人得糖的块数.

9.（首届“华杯赛”竞赛题）已知工，.z是3个小于100的正整数，且x>y>z,x-y,x-z及

y-z均是质数，求x-z的最大值.

10.（2006年国际城市竞赛题）小琳用计算器求三个正整数a,b,。的表达式丝的值.她依次按

c

了小+,b,3C,二,得到数值II.而当她依次按〃，+,a,c,二时，惊讶地发现得到的数值

是14.这时她才明白计算器是先做除法再做加法的，于是她依次按（,a,+,b,）,fc,=,得到

了正确的结果.这个正确结果是什么？

11.（北京市竞赛题）41名运动员所穿运动衣号码是1,2,3,…，40,41这41个自然数，问：

（1）能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？

（2）能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到,

请举一例；若不能办到，请说明理由.

12.（“希望杯”竞赛题）（I）请你写出不超过30的自然数中的质数之和.

（2）请回答，千位数是1的四位偶自然数共有多少个？

（3）一个四位偶自然数的千位数字是1,当它分别被四人不同的质数去除时，余数也都是1,试

求出满足这些条件的所有自然数，其中最大的一个是多少？

13.（北京市竞赛题）I与0交替排列,组成下面形式的一串数101,10101,I0I0I0L101010101,…，

请你回答：在这事数中有多少个质数？并证明你的结论.

14

第十章约数与倍数

【基础知识】

若〃被b整除，也称〃是人的倍数，〃是。的约数.

如果4M2,…，4和d都是正整数，且44必生，/14，那么d叫做49，，巴的公约数.公约

数中最大的叫做4M/4，的最大公约数，记作（知生，4）.

当（"）=1时，我们称小〃互质.

%,生,•,勺的最大公约数（4生,也,）表示的是一个正数，是一个能够整除%并且能被

%,%，，%的每一个约数整除的数.

常用的有关最大公约数的性质有：

性质1若则（〃,〃）=。.

性质2若（a,b）=d,且〃是正整数，则

性质3若〃|〃，〃|力，则色.]=（"㈤.

Inn）n

性质4若a=bq+r（OV）,则（a,8）=（〃,r）.

注：性质3表明，若（a,b）=d,则9）=1。

性质4是求最大公约数的一个非常有用的结论.具体地讲，为求（。/），可转化为求（〃,,•）,由

于〃和，相对。和〃来说较小，因此求（"「）要比求（。/）容易些.如果力和r仍然较大，可以重复

使用性质4,即由。二"+4，有（"，•）=（「,八）；由r=q%+4，有（八4）二（乙，与），如此下去，由

于小小…在逐渐减小，必有4=〃+I/+2.由性质1知，〃+1就是。和〃的最大公约数.这种求最大公

约数的方法叫做爆转相除法.

如果4，%,,4和〃?都是正整数，且4加,同肛,a“l〃?，那么加叫做4，生,…,a”的公倍数.公

倍数中最小的数叫做4，生，，a”的最小公倍数，记作[%,生，，4]♦

如果〃?是4,生.，凡的公倍数，那么km（A是正整数）也是它们的公倍数，因此不存在最大公

倍数.

性质5若力|a,则[〃,/?]=a.

性质6若[«句=〃?，且〃为正整数,则[na,nb]=nm.

性质7若〃|a,〃出，则@闿=".

|_〃〃」n

最大公约数与最小公倍数这两个概念有着密切的联系，下面的性质揭示了它们的关系.

15

性质8若[〃,〃]=〃?，则—,—1=1.

I。b)

性质9(〃力)=金

由性质9知，在已知a,b两数的最大公约数和最小公倍数之一时，便很容易求出另一个.

【典型例题与基本方法】

例1设整数a,b,a-Zr都不是3的倍数.证明：是9的倍数.

分析从条件看，a，。都只能是3〃±1的形式.由于a-6不是3的倍数，〃，〃又不都同为3〃+1

或3〃-1的形式，于是，a,b只能分别为3〃+1,3〃-1的形式.

证明依题意，不妨设a=3"?+l,b=3n-\,则

/+Z/=(4+/?)9/+b2-财

=3(〃?+〃)[(3/〃+1)~+(3/7-1)-一(3/〃+

=3(m+〃)(91+6m+1+9--6/7+1-9nin+3m-3〃+1)

=3(w+n)(9m2+9m+3+9n2-9n-9mnj

=9(/77+4-3m+1+3——3〃—3/wz).

故"+3是9的倍数.

例2(第2届美国数学奥林匹克竞赛题)〃是具有下述性质的最小整数：它是15的倍数，而且每

一位的数字都是。或8,求〃.

15

解〃是5的倍数，所以〃的个位数字是。或5.

由已知，"的个位数字是0.

〃又是3的倍数，所以〃的数字和被3整除，由于〃的数字都是。或8,

所以〃的数字中至少有3个8.

具有上述性质的最小的n是8880.

“工〃8880sc

从而—=----=592.

1515

例3(2(X)7年四川省竞赛题)设〃为某一正整数，代入代数式〃$-〃计算其值时，四个学生算出

了下列四个结果，其中仅有一个是正确的.则这个正确的结果是().

A.7770B.7775C.7776D.7779

解选A.理由：因为/=〃5-〃=(〃-1)〃(〃+1乂〃2+力显然，/是2的倍数，排除选项B、D.

当〃=5h5Z+1,5&-1时，/是5的倍数；

当〃=5A—2,5A+2时，1+1是5的倍数.

16

从而，/是5的倍数.

因此，无论〃为任何正整数，/都是5的倍数，排除选项C.

例4求(1056,3960)和[1056,3960].

解法1(提取公因数法)：

210563960

25281980

2I264990

3~~132495

11144165

415

则(1056,3960)=2,x3x11=264,

故[1056,3960]=23x3x11x4x15=15840.

注：提取公因数法就是利用短除法的形式，每次提取公约数，直到得到2个互质的数.最大公

约数就是所有公约数的乘积，最小公倍数是所有公约数与最后的两个互质整数的乘积.

解法2(分解质因数法)：

因1056=2'x3x11x4,3960=23x3xllx15,

贝(1056,3960)=才x3x11=264,

[1056.3960]=23x3x11x4x15=15840.

解法3(辗转相除法)：

(i)先用1056除3960.得到商和余数3960=1056x3+792.

(ii)再用第一步得到的余数792来除1056,得到商科余数1056=792x1+264.

(iii)用第二步得到的余数264来除第二步中的除数792,得792=264x3.

故264是1056和3960的最大公约数.

由最大公约数和最小公倍数的关系可求出最小公倍数15840.

例5两个正整数的最大公约数是7,最小公倍数是105,求这两个数.

解依题意，设这两个数分别为九，7b(a,〃为正整数，且〃与力互质，a<b>,则这两个数

的最小公倍数是7ab.

即7^=105,

从而ab=15.

又15=1x15