初中数学圆形专题训练50题-含参考答案

初中数学圆形专题训练50题含参考答案

一、单选题

1.如图，四边形488内接于。O,若NA:NC=5:7,则NC=()

A.210°B.150°C.105°D.75°

【答案】C

7

【分析】根据圆内接四边形对角互补可得NCnlgOOXhFMlOS。.

5+7

【详解】VZA+ZC=180°,ZA：ZC=5：7,

7

・•・ZC=180°x——=105°.

5+7

故选：C.

【点睛】此题主要考查了圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形对角互补.

2.如图，P是。。外一点，心是。。的切线，A为切点，P0与。。相交于8点，已

知NBCA=34。，C为。。上一点，连接C4,CB,则NP的度数为()

A.34°B.56°C.22°D.28°

【答案】C

【分析】根据切线的性质可得：/。4尸=90。，利用圆周角定理可得：/。=2乙4C8,

从而可求出结果.

【详解】解：・・•依是。。的切线，A为切点，

・・・/0"=90。，

又•・・NBCA=34°,

/.ZO=2ZACB=68°,

・•・ZP=90°-ZAOB=900-68°=22°.

故选：c.

【点睛】本题考查的是切线的性质定理，圆周角定理，掌握利用圆周角定理与切线的

性质定理求解角的大小是解题的关键.

3.如图，AB为。0直径，CD为弦，AB_LCD于E,连接CO,AD,ZBAD=25°,

下列结论中正确的有（）

®CE=OE；®ZC=40°；®ACD=ADC®AD=2OE

C.@@®D.©©③④

【答案】B

【分析】根据圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及直角三角形边的关

系进行判断即可.

【详解】解：・・・AB为。O直径，CD为弦，AB1CDT-E,

:.CE=DE,BC=BD，ACB=ADB,

AZBOC=2ZA=40°,ACB+BC=ADB+BC»

ADC=ADC故③正确;

VZOEC=90°,ZBOC=40°,

/.ZC=50°,故②正确；

■:NC*NBOC,

・・・CE#)E,故①错误；

作OP〃CD,交AD于P,

VAB1CD,

AAE<AD,ZAOP=90°,

AOA<PA,OE<PD,

/.PA+PD>OA+OE

TOEVOA,

/.AD>2OE,故④错误；

故选：B.

【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握性质

定理是解题的关键.

4.下列命题正确的是（）

A.相等的圆心角所对的弧是等弧B.等圆周角对等弧

C.任何一个三角形只有一个外接圆D.过任意三点可以确定一个圆

【答案】C

【分析】根据圆周角与弧的关系可判断出各选项，注意在等圆中这个条件.

【详解】A、缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等；故

本选项错误；

B、缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等；故本选项错

误；

C、任何一个三角形只有一个外接圆，故本选项正确；

D、缺少条件，过任意不共线的三点才可以确定一个圆，故本选项错误.

故选：C.

【点睛】本题考查命题与定理的知识，属于基础题，掌握相关的性质定理是解题的关

键.

5.如图，四边形ABCD为的内接四边形，已知NBOD=UO。，则NBCD的度数

为（）

A.55°B.70°C.110°D.125°

【答案】D

【分析】根据圆周角定理求出/A,根据圆内接四边形的性质计算即司;

【详解】由圆周角定理得,NAJNBOD=55。,

•••四边形ABCD为OO的内接四边形，

ZBCD=1800-ZA=125°,

故选D

【点睛】此题考查圆周角定理及其推论，解题关键在于掌握圆内接四边形的性质.

6.如图，点A,B,C均在圆O上，当NBOC=120。时，NBAC的度数是（)

A.65°B.60°C.55°D.50°

【答案】B

【分析】直接利用圆周角定理求解.

【详解】・・・NBAC和NBOC都对弧BC,

JNBAC=|NBOC=1x120°=60°.

故选:B.

【点睛】此题主要考查圆周角定理的运用，熟练掌握，即可解题.

7.如图，在。O中，所对的圆周角NACB=50。，。为AB上的点.若/40。=

35。，则NB。。的大小为（）

A.35°B.50°C.55°D.65°

【答案】D

【分析】在同圆中，由同弧所对的圆周角等于其圆心角的一半解答.

【详解】解：ZACB=50°,

/.ZAOB=2x50°=100°

二NBOD=ZAOB-ZAOD=1(XJ0-35O=65°

故选；D.

【点睛】本题考查圆周角与圆心角的性质，是基础考点，掌握相关知识是解题关键.

8.如图，四边形ABC。内接于。。，ND4B=140。，连接0C,点P是半径0C上一

A.40°B.60°C.80°D.90°

【答案】D

【分析】连接OD、OB,根据圆内接四边形的性质求出NDCB,根据圆周角定理求出

ZBOD,求出NBPD的范围，即可解答.

【详解】连接OD、OB,

•・•四边形ABCD内接于。O,

.,.ZDCB=180°-ZDAB=40°.

由圆周角定理得，ZBOD=2ZDCB=80°,

A40o<ZBPD<80°,

・・・NBPD不可能为90。，

【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角

互补是解题的关键.

9.如图，已知四边形ABCD内接于OO,AB是。O的直径，EC与。O相切于点

C,ZECB=35°,则ND的度数是（）

A.145°B.125°C.90°D.80。

【答案】B

【详解】解：连接0C

,JEC与1O相切,NECB=35，

/OCB=55，

OB=OC,

..ZOBC=ZOCB=55,

/.ZD=18()-ZOBC=18()-55=125.

故选：B.

10.如图，AC是汽车挡风玻璃前的刮雨刷.如果AO=65c〃z,CO=\5cm,当刮雨刷

AC绕点。旋转90时，则刮雨刷4C扫过的面积为（）

o

A.25冗cn¥

B.1000^-c/n2

C.25cm2

D.lOOOc/w2

【答案】B

【分析】易证三角形AOC与三角形A，OC全等，故刮雨刷AC扫过的面积等于扇形

AOA，的面积-扇形COC的面积.

【详解】解：VOA=OAr,OC=OC\AC=AV

/.△AOC^AA,OC,

故刮雨刷AC扫过的面积=扇形AOA，的面积-扇形COC的面积=竺二巨兀=

4

1000兀cm?,

故选B.

【点睛】考查根据扇形面积公式计算扇形面积的能力.同是应注意利用面积相等将图

形转化为熟悉的面积计算.

11.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米,

最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（）

A.0.5B.1C.2D.4

【答案】B

【详解】解：设半径为r,过O作OE_LAB交AB于点D,连接OA、OB,

贝AD=^AB=^-x0.8=0.4米，

设OA=r,则OD=r-DE=r-0.2,

在RtAOAD中，

OA?=AD?+OD\

即3=0.42+(r-0.2)2,

解得r=0.5米，

故此输水管道的直径=2r=2x0.5=l米.

故选B.

12.如图，圆锥的侧面展开图是半径为3,圆心角为90。的扇形，则该圆锥的底面周长

为（）

3

D.

2

【答案】B

【详解】试题分析：根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，可以求出底面

圆的半径，从而求得圆锥的底面周长.

解：设底面圆的半径为r,则:

兀

2nr90X3=3

180

3

1

...圆锥的底面周长为募3兀,

故选B.

考点：圆锥的计算.

13.如图，AB为半圆0的直径，C为半圆上一点，且弧AC为半圆的4，设扇形

0

AOC,ACOB,弓形BmC的面积分别为Si，S2,S3,则下列结论正确的是（）

A.SiVS2Vs3B.S2VS1VS3C.S2Vs3VsiD.SiVS2Vs3

【答案】B

【详解】试题分析：首先根据△AOC的面积=△BOC的面积，得S?VSi.再根据题

意，知S1占半圆面积的所以S3大于半圆面积的

解：根据△AOC的面积=△BOC的面积，得S2<Si,

再根据题意，知S,占半圆面积的2

0

所以S3大于半圆面积的

0

因此S2VS1VS3.

故选B.

考点：扇形面积的计算.

14.如图，在矩形A8CO中，45=2,BC=6,以点B为圆心，曲长为半径画弧,

交CD于点E,连接BE,则扇形84E的面积为（）

与r3%

A.C.D.—

54

【答案】C

【分析】解直角三角形求出NCBE=30。，推出NABE=60。，再利用扇形的面积公式

求解.

【详解】解：四边形A6CQ是矩形，

.-.ZABC=ZC=90°,

BA=BE=2,BC=g,

BE2

..NCBE=30°,

.•.ZAB£=90°-30°=60°,

.60•乃"_2笈

■'品的=36G

故选：c.

【点睛】本题考查扇形的面积，三角函数、矩形的性质等知识，解题的关键是求出

NC8E的度数.

15.下列事件中，是随机事件的是()

A.。。的半一径为5,OP=3,点尸在。。外

B.相似三角形的对应角相等

C.任意画两个直角三角形，这两个三角形相似

D.直径所对的圆周角为直角

【答案】C

【分析】根据随机事件的定义进行分析解答即可.

【详解】解；(1)点P一定在内，A是不可能事件，故错误.

(2)相似三角形的对应角一定相等，是必然事件，8错误.

(3)任意画两个直角三角形，这两个三角形不一定相似，C正确.

(4)直径所对的圆周角一定为直角，D为必然事件,〃错误.

综上选C.

【点睛】本题考查随机事件的定义，熟悉掌握是解题关键.

16.如图，AC是。O的直径，弦BD_LAO于E,连接BC,过点0作OFJ_BC于F,

若BD=8cm,AE=2cm,则OF的长度是()

A

B.x/6cmC.2.5cmD.x/5cm

【答案】D

【详解】分析：根据垂径定理得出0E的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用

相似三角形的判定和性质解答即可.

详解：连接OB,

丁AC是。O的直径，弦BD_LAO于E,BD=8cm,AE=2cm.

在RtaOEB中，OE2+BE2=OB2,gpOE2+42=(OE+2)2

解得：OE=3,

AOB=3+2=5,

，EC=5+3=8.

在RtAEBC中，BC=y/BE2+EC2=V42+82=4石.

VOF1BC,

・•・ZOFC=ZCEB=90°.

•・•zc=zc,

/.△OFC^ABEC,

•OF=OC即”=£

''BEBC’446'

解得：0F二百.

故选D.

点睛：本题考查了垂径定理，关键是根据垂径定理得出OE的长.

17.我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽

曲线除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（如图1）,它

是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆

弧，三段圆弧围成的曲边三角形.图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图.有

如下四个结论：

①勒洛三角形是中心对称图形：

②在图1中，等边三角形的边长为2,则勒洛三角形的周长为2元；

③在图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等；

④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动；

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

【答案】D

【分析】根据中心对称图形的概念、弧长公式、圆的周长公式、等边三角形的性质以

及圆的性质，进行判断即可.

【详解】解：①勒洛三角形不是中心对称图形，故①错误，不符合题意；

②在图1中，等边三角形的边长为2,则勒洛三角形的周长为"累处'3=2几，故②

1oO

正确，符合题意；

③在图2中，设勒洛三角形中等边三角形的边长为则圆的直径为。，

所以勒洛三角形的周长为空符X3=M,圆的周长为师，

180

故在图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等，故③正确，符合题意；

④夹在平行线之间的勒洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变,

如在图1中，点A到8c上任意一点的距离都相等，故使用截面是勒洛三角形的滚木来

搬运东西，不会发生上下抖动，故④正确，符合题意；

故上述结论中，所有正确结论的序号是：②③④；

故选：D.

【点睛】此题是新定义题，主要考查了平行线间的距离、等边三角形与圆的性质、中

心对称、弧长公式等知识，正确理解新定义和熟练掌握相关概念与性质是解答此题的

关键.

18.如图，点E是△45C的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点O.连接

BD,BE,CE,若NCBO=33°,则NBEC=()

A.66°B.114°C.123°D.132°

【答案】C

【分析】根据圆周角定理可求/CAD=33。，再根据三角形内心的定义可求NBAC,再

根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求NEBC+NECB,再根据三角形内角和

定理可求NBEC的度数.

【详解】在。。中，・・・NC8Q=33。，

VZCAD=33°,

•・•点E是AABC的内心，

JZBAC=66°,

/./EBC+/ECB=(180°-66°)+2=57°,

/.NBEC=180°-57°=123°.

故选C.

【点睛】考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形内角和定理，关键是得

至UNEBC+/ECB的度数.

19.如图，四边形ABCO为正方形，。为AC、8力的交点，&DCE为&△,

【答案】B

【分析】过点O作OMJLCE于M,作ON_LDE交ED的延长线于N,因为

ZCOD=ZCED=90°,可得出O、C、E、D四点共圆，所以NCEO=NCDO=45。，己知

OE=2V2,可求出ON=NE=2,

可得四边形OMEN是正方形，ZMON=90°,再求出/COM=NDON,根据正方形的

性质可得OC=OD；然后利用AAS证明ACOM和ADON全等，从而得到CM二DN,所

以DE+CE=NE-ND+ME+CM=NE+ME=4,设DE=a,CE=b,得出a+b=4,已知ab=5,

可求得C»，进而求得正方形ABCD的面积.

【详解】如图，过点O作OM1CE于M,作ONJ_DE交ED的延长线N

'：ZCOD=ZCED=90°

・・・O、C、E、D四点共圆

・•・ZCEO-ZCDO-45n

・•・ZDEO=45°

VOE=2x/2

2NE2=OE2=(2>/2)2=8

AON=NE=2

・•・四边形OMEN是正方形，

ZMON=90°

■:ZCOM+ZDOM=ZDON+ZDOM,

ZCOM=ZDON

丁四边形ABCD是正方形，

.e.OC=OD

VIACOMWADON中

/.COM=ADON

<ZCMO=NN

OC=OD

：.ACOM^ADON,

ACM=DN,

DE+CE=NE-ND+ME+CM=NE+ME=4

设DE=a,CE=b

:.a+b=4

VCE»DE=5

ACD2=a2+b2=(a+b)2-2ah=42-2x5=6

**•S正方彩ABCD=CD2=6

故选：B

【点睛】本题考查了四点共圆的判定及圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，

正方形的判定及性质定理，全等三角形的判定及性质.

20.如图，AB是。O的直径，弦CDJ_AB于点G,点F是CD上一点，且满足

芸=:，连接AF并延长交。。于点E,连接AD、DE,若CF=2,AF=3.给出下

列结论：①△ADFsZ\AED；②FG=2；③tan/E=在：④SADEF=46.其中正确

2

的是结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【详解】分析：①由垂径定理记得NAD/=NAEO；②由垂径定理:正得OG=CG；

®ZE=ZADG,在MZkAOG中，求“zNAOG；④先S4AQR由

求得SAADE；

详解：①・・泡8是。。的直径，弦CD工AB,；.DG=CG,

・••弧40=弧AC,NADF=NAED,

,/ZFAD=/DAE,/.

CF1

®V-=-,CF=2,:,FD=6,

FD3

・・・CO=O尸+C尸=8,：.CG=DG=4t

:,FG=CG-CF=2；

③R/4FG中，Ar=3,FG=2,由勾股定理得AG=百，

R/AQG中，tanZADG=—=—.

DG4

VZE=ZADG,所以正.

4

④心ZkAOG中，AG=小,DG=4,由勾股定理得40=^,

SADF=亚亚.

AIDFAG=1x6x=3

•・・/AOF=NE,ZDAF=ZEAD,：./\AFD^AADE,

丝］,即止二（三丫，则SdAOE=76.

S.ADEXADJ.ADE\>/2T/

,/SDEF=SAADE-SAFD,：.SDEF=下-亚布,

AAA73=4

所以正确的结论是①@④.

故选C.

点睛：当不能直接求一个三角形的面积时，可求另一个与它相似的三角形的面积，利

用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解.

二、填空题

21.如图，有4个圆IA,B,C,。，且圆A与圆8的半径之和等于圆。的半径，圆

3与圆。的半径之和等于圆。的半径，现将圆A,B,C摆放如图甲，圆8,C,D

摆放如图乙.若图甲和图乙的阴影部分面积分别为44和12乃.则圆。面积为.

【答案】284

【分析】根据题意得到圆A的半径为2,设圆B的半径为b,则圆C的半径为b+2,

故圆D的半径为2b+2,根据乙图得到方程求出b的关系，再根据圆D的面积与b的

关系即可求解.

【详解】•・•图甲阴影部分面积分别为4不，即圆A的面积为4乃，

，圆A的半径为2,

设圆B的半径为b,则圆C的半径为b+2,故圆D的半径为2b+2,

根据乙图可得乃（2。+2产=12点+加？+兀（8+2）2

化简得从+2b=6>

，圆D的面积为）3+2尸=4乃（6+力）+4乃=284，

故填：28兄

【点睛】此题主要考查圆的面积求解，解题的关键是根据图形找到等量关系进行列方

程求解.

22.圆的有关概念：

（1）圆两种定义方式：

Q）在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点A随之旋转

所形成的图形叫做圆，固定的端点。叫做线段OA叫做

S圆是所有点到定点O的距离一定长，的点的集合.

（2）弦：连接圆上任意两点的_叫做弦.（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是

圆中最长的弦）；

（3）弧：圆上任意两点间的部分叫—（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等

于这条弧所对圆周角的两倍）

（4）等弧：在同圆与等圆中，能够—的弧叫等弧.

（5）等圆：能够一的两个圆叫等圆，半径一的两个圆也叫等圆.

【答案】圆心半径等于线段弧完全重合完全重合相等

【分析】根据圆、弦、弧、等弧、等圆的定义即可作答.

【详解】（1）圆两种定义方式：

（。）在一个平面内线段。4绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点A随之旋转

所形成的图形叫做圆，固定的端点。叫做圆心.线段OA叫做半径.

圆是所有点到定点。的距离等于定长，•的点的集合.

<2）弦；连接圆上任意两点的线段叫做弦,（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径

是圆中最长的弦）；

（3）弧：圆上任意两点间的部分叫弧（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等

于这条弧所对圆周角的两倍）

（4）等弧：在同圆与等圆中，能够完全重合的弧叫等弧.

（5）等圆：能够完全重合的两个圆叫等圆，半径相等的两个圆也叫等圆.

故答案为：圆心，半径；等于；线段；弧；完全重合；完全重合；相等.

【点睛】本题主要考查了圆、弦、弧的定义，牢记相关定义是解答本题的关键.

23.如图，在矩形A8CD中，AB=8,4）=6,以顶点。为圆心作半径为/•的圆，若

要求另外三个顶点A、仄C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点不在圆内，则r

【分析】先根据矩形性质和勾股定理求出80,再根据点与圆的位置关系结合图形即可

得出结论.

：.CD=AB=StNA=90，

在用中，4）=6,

由勾股定理得：BD=>jAb2+AB2=V62+82=10»

，・,点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点不在圆内，且

AD<CD<BD,

6<r<10,

故答案为：6<r<10.

【点睛】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理和矩形的性质，解答关键是熟知点与

圆的位置关系：设圆半径为八点与圆心的距离为d,当dVr时，点在圆内；当d寸

时，点在圆上；当＞时，点在圆外.

2

24.如图内接于0O,半径为6,sinZA=-,则5。的长为.

【答案】8

【分析】通过作辅助线构成直角三角形，再利用三角函数知识进行求解.

【详解】解：作一。的直径8,连接则8=2x6=12.

，NC5O=90,ZD=ZA，

：.«C=CDsinD=CDsin4=12x-=8,

3

故答案为：8.

【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，作出直径构建直角

三角形是解本题的关键.

25.如图，PA、PB分别切。。于A、B,并与。0的另一条切线分别相交于D、C两

点，已知PA=6,则△PCD的局长=.

【详解】试题分析：切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相

等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角.

〈PA、PB分别是。。的切线，且切点为A、B

APA=PB=6

同理可得DE=DA,CE=CB

则^PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=I2.

考点：切线长定理

26.如图，若BC是。0的弦，ODJ_BC于D,且/BOD=50。，点A在。O上（不与

B、C重合），贝IJNBAC=.

【答案】50。或130。.

【详解】试题解析：连接0C,则NBOC=2NBOD=100。,

①当△ABC是锐角三角形时，ZA=^ZBOC=50°；

②当△ABC是钝角三角形时，ZA=180°-50°=130°.

因此NBAC的度数为50。或130°.

考点：1.圆周角定理；2.垂径定理.

27.若圆锥的底面积为16兀cm2,母线长为12cm,则它的侧面展开图的圆心角为

【答案】120°

【分析】根据圆锥的母线长等于展开图扇形的半径，求出圆锥底面圆的周长，也即是展开

图扇形的弧长，然后根据弧长公式可求出圆心角的度数.

【详解】由题意得，圆锥的底面积为1671cm2,

故可得圆锥的底面圆半径为:件=4,底面圆周长为2仆4=8兀,

设侧面展开图的圆心角是n。,根据题意得：=1舞二8开,

1oO

解得:n=120.

故答案为120.

【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系

是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径,1员I锥的底面圆周长是扇形的弧长.

28.如图，在等腰直角三角形A8C中，AB=BC=4,点M是A8的中点，将“BC

绕点M旋转至AA&U的位置，使A3_LAC,其中点C的运动路径为弧CC,连接

CM,则图中阴影部分的面积为.

【答案】手+3.

【分析】连接MC,由48J.AC可证得△A，MH为等腰直角三角形，进而可求得

AH,CH,MH的长，再利用旋转角相等求得NCMC的度数，最后利用扇形的面积公

式计算即可.

【详解】解:如图，连接MC,

•・•在等腰直角三角形ABC中，AB=8C=4,点M是48的中点,

AZA=45°,AM=BM=2,AC=4近，

•・•旋转,

.•.ZA'=ZA=45°,A'C'=AC=4&，A'M=AM=2,

又;AB±AfC,

.-.△A,MH为等腰直角三角形，

JAH=MH=巫AM=Vi，ZA'MH=45°,

2

，CH=AC-AH=40-夜=36，

:.SAMHC=—xV2x3>/2=3

2

在RIAMHC中，MC'=>JMH2+HC'2="(何+(3何=2后,

又「ZC'MC=ZA'MH=45°,

.c454x(2石产5

••3显影CMC=------------------------=—71

3602

・•・阴影部分面积为S&w/c+S国形CMC=3+：乃.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质及判定，勾股定理以及扇形的面积公式,

连接MC是解决本题的关键.

29.如图，-ABC内接丁。0,若ZOAB=30,贝【JZC=

【答案】600

【分析】根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出NAO8,根据圆周角定理解

答.

【详解】OA=OB,

ZOBA=ZOAB=30，

/.ZAOB=180-30-30=120，

由圆周角定理得，NC=g/AOB=60,

故答案为60.

【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，掌握圆周角定理

是解题的关键.

30.如图，8。为。。的直径，弦AO_L8C于点E,直线/切。。于点C,延长。。交/

于点F,若AE=2,ZABC=22.5°t则C尸的长度为

B

【答案】20

【分析】根据垂径定理求得AC=CQ，AE=DE=2f即可得到NCOD=2N45C=45。，则

△OEO是等腰直角三角形，得出。。="凝=2夜，根据切线的性质得到8C_LC凡

得到AOC尸是等腰直角三角形，进而即可求得CF=OC=OD=2y/2.

【详解】解：・・・8C为。。的直径，弦AD_LBC于点E,

AC=CD，AE=DE=2,

NA8U22.5。，

/.NCOD=2NABC=45。，

•••△OEO是等腰直角三角形，

：.OE=ED=2,

：・OD=亚言=2五,

•・•直线/切。0于点C,

:,BC工CF,

•••△OC/是等腰直角三角形，

:・CF=OC,

•：OC=OD=2五,

:,CF=2五,

故答案为：2&.

【点睛】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆心角和圆周角的关系，切线的性质，勾

股定理的应用，求得。尸=。。=0。是解题的关键.

31.用一张圆形的纸剪一个边长为4cm的正六边形，则这个圆形纸片的半径最小应为

_______cm.

【答案】4

【分析】要剪一张圆形纸片完全盖住这个正六边形，这个圆形纸片的边缘即为其外接

圆，根据正六边形的边长与外接圆半径的关系即可求出.

【详解】•・•正六边形的边长是4cm,.•.正六边形的半径是4cm,.•.这个圆形纸片的最

小半径是4cm,故答案为4cm.

【点睛】此题主要考查了正多边形与圆的知识，注意正六边形的外接圆半径与边长相

等，这是一个需要谨记的内容.

32.如图，A8与。。相切于点A,B0与。0相交于点C,点。是。。上一点，ZB=

【分析】根据圆周角定理求出/COA,根据切线性质求出NOA8=90。，所以由“直角

三角形的两个锐角互余''的性质可以求得/4OB=52。；然后利用圆周角定理来求NO

的度数.

【详解】解：•••AB与。。相切于点A,

：.OA±ABt即NOA8=90。.

又=ZB=38°,

/.NAO8=90°-38。=52。，

：.ZD=^ZAOB=26°.

故答案是：26°.

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理等知识点，关键

是求出NAOB的度数.

33.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知£尸=。

=12cm,则球的半径为cm.

【答案】7.5

【分析】首先找到EF的中点M,作MN_LAD于点M,取MN上的球心O,连接

OF,设OF=x,则0M是(12-x)cm,MF=6cm,然后在直角三角形MOF中利用勾

股定理求得OF的长即可.

【详解】解：EF的中点M,作MNJ_AD于点M,取MN上的球心0,连接OF,

iD

।1

\Q：

____SL"_

BVC

•・•四边形ABCD是矩形，

AZC=ZD=90°,

J四边形CDMN是矩形，

/.MN=CD=12cm

设OF=xcm,则ON=OF,

/.OM=MN-ON=(12-x)cm,MF=6cm,

在直角三角形OMF中，ONP+MPMOF2,

即：(12-x)2+62=x2,

解得：x=7.5,

故答案为：7.5.

【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线构

造直角三角形.

34.已知Ri3ABe中，ZACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,以。为圆心，4.8cm长

度为半径画圆，则直线与。。的位置关系是.

【答案】相切

【分析】过点。作COJ_A8于D,在RSA8C中，根据勾股定理48二

>JAC2+BC2=^/67+87=loem,利用面积得出CQAB二ACBC,即1036x8,求出

CZ>4.8cm,根据CD二『4.8cm,得出直线A3与OO的位置关系是相切.

【详解】解：过点C作COL4B于O,

在RSABC中，根据勾股定理止，化+叱=扃*=105,

ASAABC=CDAB=yAGBC,即108=6x8,

解得CD=4.8cm,

，CZ)=『4.8cm,

・•・直线AB与0。的位置关系是相切.

故答案为：相切.

【点睛】本题考查勾股定理，直角三角形面积，圆的切判定，掌握勾股定理，直角三

角形面积，圆的切判定是解题关键.

35.如图，一次函数旷=-石.丫+>/5的图像与X轴、y轴交于A、B两点,P为一次函数

y=x的图像上一点，以尸为圆心能够画出圆与直线4B和），轴同时相切，则

/BPO=

【答案】30。或120°

【分析】分两种情况，分成点P在AB的左侧和右侧两种情况进行讨论，利用切线的

判定和性质，角平分线的性质及三角形的内角和定理即可求解

【详解】分两种情况:

（1）当NA8O的平分线与丁=工相交时，点P即为圆心.如图,

令），=0,则ml,令户0,则产G，即AO=1,BO=43

；.；。=处=；=6

BO63

:.ZABO=30°

1'BP为NABO的平分线

工N0BP=150

又N4OP=45°

J180°-45°-15°=120°

(2)当NAB。的外角平分线与丁=工相交时，点尸即为圆心.

如图，

同理可求/。8户=30。+75。=105。

工ZBPO=180o-450-105o=30°

故答案为：30。或120。

【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，角平分线的性质及三角形的内角和的应

用，正确的对点P的位置进行分类是解题的关键.

36.如图，四边形ABCD内接于。O,点E在AB的延长线上，BF〃AC,AB=BC,

ZADC=130°,贝|JNFBE=

【答案】65

【详解】连接BD,如图所示:

VZADB和NACB是弧AB所对的圆周角，ZBDC和NBAC是弧BC所对的圆周

角，

AZADB=ZACB,ZBDC=ZBAC,

又•.•NBDC+/ADB-NADC,ZADC-1300,

/.ZBAC+ZACB=130°,

XVAB=BC,

・・・NBAC=NACB=65。，

又・・・BF〃AC,

/.ZFBE=ZBAC=65°；

故答案是：65.

37.如图，点A在数轴上对应的数为26,以原点。为圆心，0A为半径作优弧A8,

4

使点8在。右下方，且tan乙=§.在优弧A8上任取一点P,且能过P作直线

/〃0B交数轴于点Q,设。在数轴上对应的数为■连接0P.

(1)若优弧48上一段AP的长为13乃，则NAOP的度数为,x的值为

(2)x的最小值为,此时直线/与弧AB所在圆的位置关系为

【答案】90。##90度y―相切

【分析】⑴由嗤0=”万，解得〃=90。，即/POQ=90。，在RLAPOQ中，根据

180

40P

tanZ.PQO=tan/.QOB=-=—,即可得出工的值；

(2)当直线/与弧AB所在圆相切时，工的值最小，根据/〃OB,可.得

NOQP=ZAOB,在Rt^OPQ中，根据锐角三角函数，即可求解.

【详解】解：(1)如图1,

图1

,njrx26

由一^=.，

解得：〃=90。,

；・ZPOC=90n,

•・•PQ//OB,

：.ZPQO=/BOQ,

4OP

:.tanNPQO=tanNQOB=-=—t

4_26

即an丁的

39

・・・OQ=-

・x-史

2

故答案为：90°：y

(2)如图，当直线/与弧A3中在圆相切时，x的值最小,

・•・ZOPQ=ZPOB=90°t

：.ZOQP-ZAOB,

在RSOPQ中,

OP4

tanNOQP=—=tanZAOB=-

PQ3

设OP=4a,PQ=3a,

:.OQ=5a,

4

,sinZOQP=-,

：.OQ=°F=竺

sinZ.OQP2

即x的最小值为卷.

故答案为：一竽，相切

【点睛】本题考查弧长计算，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握弧长

公式，锐角三角函数.

38.如图，在RI/XA8C中，ZC=90°,AC=3cm,BC=4cmt以8C边所在的直线为

轴，将,ABC旋转一周得到的圆锥侧面积是一；此圆锥展开的侧面扇形的圆心角为

【分析】先利用勾股定理求出A8的长，然后根据圆锥侧面积公式和弧长公式求解即

可.

【详解】解：，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,

工AB=y/AC2+BC2=5cm»

:.BC边所在的直线为轴，将二ABC旋转一周得到的圆锥侧面积是江x3x5=15衣n?,

;此圆锥展开的侧面扇形的扇形弧长是底面圆周长，

生q=216。

，此圆锥展开的侧面扇形的圆心角度数为三至一,

180°

故答案为：15/rcm2、216°.

【点睛】本题考查了勾股定理，圆锥的计算；得到几何体的组成是解决本题的突破

点；圆锥的侧面积FX底面半径X母线长.

39.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-@x+4的图象与x轴、)，轴交

3

于4、8点，点C在线段04上，点。在直线48上，且。=2,△DEC是直角三角

形(ZEDC=90°),DE=£DC,连接Ab则4E的最大值为.

【答案】2"+2

【分析】以CO为边作等边三角形。CG,以G点为圆心，DG为半径作。G,利用圆

周角定理说明点A在OG上，得AG=OG=£>C=2,再在△£/〃？中，求EG,当A、G、E

三点共线时，八七最大，即可求解.

【详解】解：如图，以8为边作等边三角形。CG,以G点为圆心，QG为半径作

◎G,

在直线y=*x+4中，当x=0时，），=4,

当y=0时，x=46,

，A点坐标为（4>/3»0）,8点坐标为（0,4）,

在mAAOB中，。4=46，。3=4,

：.tanZDAC=—,

3

工ZDAC=30°,

・••点A在OG上，

：.AG=DG=DC=2,

•・•DEC是直角三角形(NEOC=90。)，DE=^DC,

：.ZDEC=30°,DE=2B

在RAOGH中，NHDH=30。,

:・DE=6GH=1,

在RIAEHG中,EG=^EH2+GH2=7(2\/3+V5)2+12=2>/7,

当A、G、E三点共线时，AE最大，最大值为2万+2.

【点睛】本题考查了定边对定角模型的建立，圆周角定理，勾股定理，一次函数图象

上点的特征，解题关键是线段最值问题时看三角形，已知两边，第三边的最大值就是

三点共线时.

40.在边长为1的正十二边形中放置了四个正方形(如图所示)，则图中Nl+N2=

______度，阴影四边形的面积为

【答案】105°林105度+

【分析】作出如图的辅助线，记明是等边三角形，△84;是等腰直角三角形，

可求得4+N2=105。；求得=继而求得4。二避二!■,BC=DE=^^~,利用

22

分割法，分别求得矩形8G/V的面积和其空白部分的面积，即可求解.

【详解】解：过点A、。作直线8G的垂线，垂足分别为C、E,连接尸G、BI,

・・,正十二边形每个内角为二180。'(12-2)+12=150。，

:.Z2=150o-90°=60°,

・•・△8/〃是等边三角形，

AZBM=150o-60°=90°,BI=IA,

:.△B47是等腰直角三角形，

/.Zl=45°,

，Zl+Z2=45o+60°=105°；

,??ABD90?,AB=BD,

:.ZABC+NBAC=90°=ZABC+NDBE,

:.ZBAC=ZDBE,

:.△BAC^ADBE(AAS),

AC=BE,BC=DE,

,/△B4是等腰直角三角形，

***AB=#+1?=V2>N/8K=30°，

，BK=2IK,

由勾股定理得卜=正，AK="昱,

33

同理AC=或二1,则8E=更二L

22

由勾股定理得BC=DE=且担，

2

由图形的对称性质知PG=1+2AC=I+X/5-I=G，

:.矩形BGFJ的面积为FGXBG=6,

点。到直线R/的距离就是班的长，即息］，

2

点O到直线打的距离就是AG-OE=AC的长，即立二1,

2

矩形皮加/中的空白部分的面积为j：x6xW^+gxlx存卜2=1,

・•・阴影四边形的面积为G-1.

H

故答案为：105。；6-1.

【点睛】本题考查了正多边形和圆的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定

理，利用图形的对称性质，以及把图形分割成可计算面积的四个三角形是解题的关

键.

三、解答题

41.如图，在。。中，直径4B与弦CO相交于点E,连接AC、BD.

B

⑴求证：AAECSAPEB；

(2)连接AO,若40=3,ZC=30°,求。。的半径.

【答案】(1)证明见解析

(2)。0的半径为3

【分析】(1)利用4O=AO，同弧所对的圆周角相等，得到NC=/8,再结合对顶角

相等，即可证明；

(2)利用NC=NA,得至l」NA=30。，根据直径所对的圆周角是直角得到

ZADB=90°,再利用直角三角形中30。角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得。

。的半径.

【详解】(1)证明：在。。中，

AD=AD^

:.NC=NB,

又•：ZAEC=4DEB,

：.^AECs国EB.

(2)解：VZC=30°,

由(1)可知，ZB=ZC=30°,

•・•直径48,

:.ZADB=90°,

，在MAD5中，AP=3,ZB=30°,

AAB=2AD=6,

OA=-AB=3,

2

即。。的半径为3.

【点睛】本题考查圆的基本知识，相似三角形的判定，以及含30。角的直角三角形.主

要涉及的知识点有同弧所对的圆周角相等；两个角对应相等的两个三角形相似；直径

所对的圆周角是直角；直角三角形中30。角所对的直角边等于斜边的一半.

42.如图，在0O中，AB为直径，AC为弦.过BC延长线上一点G,作GD_LAO于

点D,交AC于点E,交00于点尸，M是GE的中点，连接CF,CM.

(1)判断CM与00的位置关系，并说明理由；

(2)