备战2024年高考数学一轮复习易错题03基本初等函数含解析

易错点03基本初等函数—备战2024年高考数学一轮复习易错题【典例分析】（2024年一般高等学校招生全国统一考试数学）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的改变规律，指数增长率r与R0，T近似满意R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍须要的时间约为(ln2≈0.69)（）A.1.2天 B.1.8天C.2.5天 D.3.5天【答案】B【解析】【分析】依据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍须要的时间为天，依据，解得即可得结果.【详解】因，，，所以，所以，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍须要的时间为天，则，所以，所以，所以天.故选：B.【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.【易错警示】易错点1．函数定义域理解不透【例1】已知函数的定义域为[0，1]，求函数的定义域【错解】由于函数的定义域为[0，1]，即，∴的定义域是[1，2]【错因】不明白与定义域之间的区分与联系，其实在这里只要明白：中取值的范围与中式子的取值范围一样就好了.【正解】由于函数的定义域为[0，1]，即∴满意，，∴的定义域是[－1，0]易错点2．没有理解分段函数的意义【例2】已知：，求.【错解】∵，∴故，∴＝3－3＝0.【错因】没有理解分段函数的意义，的自变量是3，应代入中去，而不是代入－5中，只有将自变量化为不小于6的数才能代入解析式求解.【正解】∵，∴＝＝＝7-5＝2易错点3．忽视函数的定义域【例3】推断函数的奇偶性.【错解】∵＝∴∴是偶函数【错因】对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内随意一个x，都有f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.【正解】有意义时必需满意即函数的定义域是｛｜｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数易错点4．奇偶性的判别方法不敏捷【例4】推断的奇偶性.【错解】∵∴且所以该函数既不是奇函数也不是偶函数【错因】对数运算公式不熟识，或者说奇偶性的判别方法不敏捷.定义中f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)，也可改为探讨f(-x)+f(x)=0，f(-x)-f(x)＝0是否成立.【正解】方法一：∵＝＝＝－，∴是奇函数方法二：∵＝∴是奇函数易错点5．不理解定义域和单调性的联系【例5】已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满意不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,求x的取值范围.【错解】∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0解得x>2或x<－3又f(x)是定义在(－3，3)上的函数，所以2＜x＜3【错因】只考虑到奇函数与单调性，而没有正确理解函数的定义域.【正解】由,故0<x<,又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2<x<,即A={x|2<x<},易错点6．不理解符合函数的单调性【例6】已知在[0，1]上是的减函数，则的取值范围是【错解】∵是由，复合而成，又＞0∴在[0，1]上是的减函数，由复合函数关系知应为增函数，∴＞1【错因】解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系，却忽视了数定义域的限制，单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在[0，1]上有意义.【正解】∵是由，复合而成，又＞0∴在[0，1]上是的减函数，由复合函数关系知应为增函数，∴＞1又由于在[0，1]上时有意义，又是减函数，∴＝1时，取最小值是＞0即可，∴＜2综上可知所求的取值范围是1＜＜2易错点7．公式运用不娴熟没有得到最终解【例7】已知求【错解】∵∴∴错因：因对性质不熟而导致题目没解完.【正解】∵∴∴易错点8．关于方程根考虑不全面【例8】已知有且只有一根在区间（0,1）内，求的取值范围.【错解】设∵有且只有一根在区间（0,1）内∴得＜－2【错因】对于一般，若，那么，函数在区间（a,b）上至少有一个零点，但不肯定唯一.对于二次函数，若则在区间（a,b）上存在唯一的零点，一次函数有同样的结论成立.但方程＝0在区间（a,b）上有且只有一根时，不仅是，也有可能.如二次函数图像是下列这种状况时，就是这种状况.由图可知＝0在区间（a,b）上有且只有一根，但是【正解】设，（1）当＝0时方程的根为－1，不满意条件.（2）当≠0∵有且只有一根在区间（0,1）内，又＝1＞0∴有两种可能情形①得＜－2或者②得不存在综上所得，＜－2易错点9．应用题理解题意有误【例9】将进价为8元的商品，按每件10元售出，每天可销售200件，若每件售价涨价0.5元，其销售量就削减10件，问应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出这个最大利润.【错解】设每件售价提高x元，利润为y元，则y=∴=1时，（元）【错因】没理解题意，每天销售200件是在定价10元时的状况下，所设的应理解为在定价目10元的基础上，再每件售价提高x元，故利润每件应为（2+x）元，此时的销售量为（200－20）元【正解】设每件售价提高x元，利润为y元，则y==故当，即定价为14元时，每天可获得最大利润为720元.易错点10．不理解二次函数在闭区间上恒成立【例10】已知函数若时，≥0恒成立，求的取值范围.【错解一】恒成立，∴△＝≤0恒成立解得的取值范围为【错解二】∵若时，≥0恒成立∴即解得的取值范围为【错因】对二次函数＝当上≥0恒成立时，△≤0片面理解为，≥0，恒成立时，△≤0【正解】设的最小值为（1）当即＞4时，＝＝7－3≥0，得故此时不存在；(2)当即－4≤≤4时，＝3－－≥0，得－6≤≤2又－4≤≤4，故－4≤≤2；（3）即＜－4时，＝＝7＋≥0，得≥－7，又＜－4故－7≤＜－4综上，得－7≤≤2【变式练习】1．函数的定义域为()A． B． C． D．【答案】D【解析】要使得函数有意义，必需满意，解得：或，故选D2．已知的定义域为，的定义域是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】的定义域为；；；的定义域为；；；的定义域为．故选：D．3．若，则的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵,∴,∴,∵,∴.故选：A4．幂函数在上是减函数，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，或.当时，在上是增函数，解除；当时，在上是减函数，∴.故选：.5．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的改变规律，指数增长率r与R0，T近似满意R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍须要的时间约为(ln2≈0.69)（）A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天【答案】B【解析】因为，，，所以，所以，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍须要的时间为天，则，所以，所以，所以天.故选：B.6．某跨国饮料公司在对全世界全部人均（即人均纯收入）在0.5~8千美元的地区销售该公司饮料的状况调查时发觉：该饮料在人均处于中等地区的年人均销售量最大，然后向两边递减．下列几个模拟函数中用哪个模拟函数来描述人均饮料销售量与地区的人均关系更合适？（表示人均，单位：千美元，表示年人均饮料的销售量，单位：L）（）A． B．C．且 D．且【答案】A【解析】因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销量最多，然后向两边递减，所以用来模拟比较合适，故选项正确.而选项表示的函数在区间上是单调函数，所以不合适.故选：.7．设，若，则（）A．4 B．2 C． D．【答案】C【解析】若，由，得，所以；若，由，得，无解.综上，.故选：C8．函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】函数f(x)=ex|lnx|﹣2的零点可以转化为：|lnx|的零点；在坐标系中画出两个函数的图象，依据图象可得有两个交点；故原函数有两个零点.故选：B.9．已知，函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】时，，所以其对称轴为，开口向上，当时，在上递减，在上递增，所以时，有最小值，解得，当时，在上递减，所以当时，有最小值，综上得，当时，，，当时，在上递增，所以，解得，所以此时，当时，在上递减，在上递增，所以，解得，此时，综上，即的取值范围是，故选：D.10．函数在的图像大致为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，所以为奇函数，关于原点对称，故解除，又因为，，，，故解除、,故选：D.11．已知函数，若，则实数的取值范围是()A． B． C． D．【答案】C【解析】因为设，定义域，所以为奇函数，，所以单调递增，不等式解得故选C项.【真题演练】1．【2024年高考全国I卷理数】若，则A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则为增函数，因为所以，所以，所以.，当时，，此时，有当时，，此时，有，所以C、D错误.故选：B．【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.2．【2024年高考全国Ⅱ卷理数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，很多志愿者踊跃报名参与配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预料其次天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使其次天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少须要志愿者A．10名 B．18名 C．24名 D．32名【答案】B【解析】由题意，其次天新增订单数为，设须要志愿者x名，，,故须要志愿者名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简洁应用，属于基础题.3．【2024年高考全国Ⅱ卷理数】设函数，则f(x)A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减【答案】D【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可解除AC；当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，解除B；当时，，在上单调递减，在定义域内单调递增，依据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.故选：D．【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的推断；推断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，依据与的关系得到结论；推断单调性的关键是能够依据自变量的范围化简函数，依据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.4．【2024年高考全国Ⅲ卷理数】Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者依据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标记着已初步遏制疫情，则约为（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．69【答案】C【解析】，所以，则，所以，，解得.故选：C．【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算实力，属于中等题.5．【2024年高考全国Ⅲ卷理数】已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b【答案】A【解析】由题意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.综上所述，.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理实力，属于中等题.6．【2024年高考全国Ⅱ卷理数】若2x−2y<3−x−3−y，则A．ln(y−x+1)>0 B．ln(y−x+1)<0 C．ln|x−y|>0 D．ln|x−y|<0【答案】A【解析】由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，，，，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定.故选：A．【点睛】本题考查对数式的大小的推断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.7．【2024年高考天津】函数的图象大致为ABCD【答案】A【解析】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，，选项B错误.故选：A．【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，推断图象的左右位置；从函数的值域，推断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，推断图象的改变趋势．(3)从函数的奇偶性，推断图象的对称性．(4)从函数的特征点，解除不合要求的图象．利用上述方法解除、筛选选项．8．【2024年高考天津】设，则的大小关系为A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，，所以.故选：D．【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，留意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.9．【2024年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的改变规律，指数增长率r与R0，T近似满意R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍须要的时间约为(ln2≈0.69)A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天【答案】B【解析】因为，，，所以，所以，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍须要的时间为天，则，所以，所以，所以天.故选：B．【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.10．【2024年新高考全国Ⅰ卷】若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满意的x的取值范围是A． B．C． D．【答案】D【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或.解得或，所以满意的的取值范围是，故选：D．【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类探讨思想方法，属中档题.11．【2024年新高考全国Ⅰ卷】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X全部可能的取值为，且，定义X的信息熵.A．若n=1，则H(X)=0B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大C．若，则H(X)随着n的增大而增大D．若n=2m，随机变量Y全部可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)【答案】AC【解析】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.对于B选项，若，则，，所以，当时，，当时，，两者相等，所以B选项错误.对于C选项，若，则，则随着的增大而增大，所以C选项正确.对于D选项，若，随机变量的全部可能的取值为，且（）..由于，所以，所以，所以，所以，所以D选项错误.故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思索和解决问题的实力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.12．【2024年高考天津】已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是A． B．C． D．【答案】D【解析】留意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，令，即与的图象有个不同交点.因为，当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满意题意；当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满意题意；当时，如图3，当与相切时，联立方程得，令得，解得（负值舍去），所以.综上，的取值范围为.故选：D．【点晴】本题主要考查函数与方程的应