题型25 8类排列组合与4类二项式定理解题技巧（捆绑、插空、特殊元素（位置）、隔板、定序倍缩、分组分配、直排环排、涂色、项、系数、三项展开式、二项式乘积解题技巧）-高考数学必考模型归纳（解析）

题型258类排列组合与4类二项式定理解题技巧技法01技法01捆绑、插空、特殊元素（位置）、隔板、定序倍缩、分组分配、直排环排、涂色解题技巧技法02项、系数、三项展开式、二项式乘积解题技巧技法01捆绑、插空、特殊元素（位置）、隔板、定序倍缩、分组分配、直排环排、涂色解题技巧排列组合排列组合是新高考卷的常考内容，一般会和分类加法原理与分步乘法原理结合在小题中考查，需重点复习.知识迁移求解排列应用问题方法汇总直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数Aeq\o\al(n,n)除以m个顺序一定的元素之间的全排列数Aeq\o\al(m,m)，即得到不同排法种eq\f(A\o\al(n,n),A\o\al(m,m))＝Aeq\o\al(n－m,n).间接法正难则反、等价转化的方法分组分配平均分组、部分平均分组1．对不同元素的分配问题(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数．(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．隔板法将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种。解决此类问题常用的方法是“隔板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子环排问题(1)把个不同的元素围成一个环状，排法总数为(2)个不同的元素围成一圈，个元素相邻，符合条件的排列数为(3)个不同的元素围成一圈，个元素不相邻，符合条件的排列数为涂色问题涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。例1-1．（2023春·重庆·高三校考）有3名男生和2名女生排成一排，女生相邻的不同排法有（

）A．36种 B．48种 C．72种 D．108种不同排法种数为种例1-2．（2023秋·黑龙江·高三校考）甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙不相邻，排法种数为（）A．12 B．36 C．48 D．72先排丙、丁、戊三人，共有种排法，甲和乙不相邻，再将甲、乙插空，共有种排法，故排法种数为．例1-3．（2023·全国·高三对口高考）运输公司从5名男司机，4名女司机中选派出3名男司机，2名女司机，到，，，，这五个不同地区执行任务，要求地只能派男司机，地只能派女司机，则不同的方案种数是（

）A．360 B．720 C．1080 D．2160第一步，先从5名男司机，4名女司机中选派出3名男司机，2名女司机，共有种方法，第二步，从抽取到的司机中，派1名男司机去地，派一名女司机去地，共有种方法，第三步，剩下3名司机随机去，，三地，共有种方法，故不同方案种数为，例1-4．（2023春·广东·高三统考阶段练习）2022年在贵州省黔东南州台盘乡举办的贵州省“美丽乡村”篮球联赛，经由短视频火爆全网，被称为“村BA”，中国驻美大使及外交部发言人在海外媒体发文推荐．某高三班主任从网上找到6个与此相关的短视频，，，，，，准备从这6个短视频中再选出3个向学生推荐，则，，至少选1个的方法种数为（

）A．8 B．18 C．19 D．24不同选法种数为.例1-5．（2023·甘肃·高三校联考阶段练习）某学校购买了10个相同的篮球分配给高三年级6个班，要求每个班至少一个篮球，则不同的分配方法有（

）A．126种 B．84种 C．72种 D．48种将10个篮球排成一排，形成9个空，插入5个挡板将篮球分成6组，所以不同的分配方案有种.例1-6．（2023·浙江·高三统考）将甲、乙、丙等六位同学排成一排，且甲、乙在丙的两侧，则不同的排法种数共有(

)A． B． C． D．将甲、乙、丙等六位同学进行全排可得种，甲、乙、丙的排列为种，因为甲、乙在丙的两侧，所以可能为甲丙乙或乙丙甲，所以不同的排法种数共有种．例1-7．（2023·全国·高三专题练习）已知有6本不同的书.分成三堆，每堆2本，有种不同的分堆方法.6本书平均分成3堆，所以不同的分堆方法的种数为.例1-8．（2022·安徽·高三校考）有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（

）A．1512种 B．1346种 C．912种 D．756种1、先涂A区域，则有4种方法，若B，D区域涂相同颜色，则有3种方法，C，E，F区域分别有3种方法，共有4×3×3×3×3=324种方法．2、先涂A区域，则有4种方法，若B，D区域涂不同颜色，则有3×2种方法，则E区域有2种方法，C，F分别有3种方法，共有4×3×2×2×3×3=432种方法．故不同的涂色方法共有756种．1．（2023·全国·高三专题练习）某社区活动需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该社区参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（

）A．72种 B．81种 C．144种 D．192种【答案】D【分析】先计算乙和丙在相邻两天参加服务的排法，排除乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务的排法，即可得出答案.【详解】解：若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为，若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为，由间接法可知，满足条件的排法种数为种.故选：D.2．（2023·四川·校联考模拟预测）甲、乙两个家庭周末到附近景区游玩，其中甲家庭有2个大人和2个小孩，乙家庭有2个大人和3个小孩，他们9人在景区门口站成一排照相，要求每个家庭的成员要站在一起，且同一家庭的大人不能相邻，则所有不同站法的种数为（

）A．144 B．864 C．1728 D．2880【答案】C【分析】利用捆绑以及插空法求得正确答案.【详解】甲家庭的站法有种，乙家庭的站法有种，最后将两个家庭的整体全排列，有种站法，则所有不同站法的种数为．故选：C3．（2023·全国·高三专题练习）第届世界大学生夏季运动会于月日至月日在成都举办，现在从男女共名青年志愿者中，选出男女共名志愿者，安排到编号为、、、、的个赛场，每个赛场只有一名志愿者，其中女志愿者甲不能安排在编号为、的赛场，编号为的赛场必须安排女志愿者，那么不同安排方案有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】D【分析】对女志愿者甲是否被选中进行分类讨论，分别确定各赛场的人员安排，结合分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：①女志愿者甲被选中，则还需从剩余的人中选出男女，选法种数为，则女志愿者甲可安排在号或号或号赛场，另一位女志愿者安排在号赛场，余下个男志愿者随意安排，此时，不同的安排种数为；②女志愿者甲没被选中，则还需从剩余人中选出男女，选法种数为，编号为的赛场必须安排女志愿者，只需从名女志愿者中抽人安排在号赛场，余下人可随意安排，此时，不同的安排方法种数为.由分类加法计数原理可知，不同的安排方法种数为种.故选：D.4．（2023·江苏·高三校考）某校组织一次认识大自然的活动，有10名同学参加，其中有6名男生､4名女生，现要从这10名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本.抽取人中既有男生又有女生的抽取方法共（

）A．192种 B．120种 C．96种 D．24种【答案】C【分析】根据给定条件，利用排除法、组合应用问题列式计算作答.【详解】从10名同学中随机抽取3名同学有种方法，抽取的人全是男生的有种，全是女生的有种，所以抽取人中既有男生又有女生的抽取方法共（种）.故选：C5．（2023·河北·高三校考阶段练习）小明同学去文具店购买文具，现有四种不同样式的笔记本可供选择（可以有笔记本不被选择），单价均为一元一本，小明只有元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】B【解析】将问题等价转化为将个完全相同的小球放入个盒子里，允许有空盒，进一步转化为：将个完全相同的小球放入个盒子里，每个盒子里至少有个球，利用隔板法可得出结果.【详解】问题等价转化为将个完全相同的小球放入个盒子里，允许有空盒.进一步转化为：将个完全相同的小球放入个盒子里，每个盒子里至少有个球.由隔板法可知，不同的选购方法有种.故选：B.【点睛】本题考查利用隔板法解决实际问题，将问题进行等价转化是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.6．（2023·全国·高三专题练习）在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（

）A．100 B．120 C．300 D．600【答案】A【分析】利用间接法和缩倍法求解.【详解】不考虑限制条件共有种，最先汇报共有种，如果不能最先汇报，而､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻）有.故选：A.7．（2023·福建·高三校考阶段练习）为提高教学质量，教育厅派6位教研员，平均分成3组，去某地3所重点高中调研，且甲、乙两位教研员不去同一所高中，则不同的调研安排方案有（

）种．A．66 B．72 C．85 D．96【答案】B【分析】首先不考虑甲、乙两位教研员利用平均分组分配问题的方法求出总安排数，再减去甲、乙两位教研员去同一所高中的情况.【详解】依题意若不考虑甲、乙两位教研员则有种安排方法，若甲、乙两位教研员去同一所高中则有种安排方法，综上可得不同的调研安排方案有种.故选：B8．（2023·全国·高三专题练习）7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻，不同的排法种数为.【答案】240【分析】将甲、乙视为一个整体，根据圆排列的方法确定其排列数，再排甲、乙即可.【详解】将甲、乙看成一个整体，相当于6名同学坐圆桌吃饭，有种排法，甲、乙两人可交换位置，故排法共有（种）.故答案为：.9．（2023·全国·高三专题练习）用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，若四种颜色全用上，则共有多少种不同的涂法（

）A．72 B．96 C．108 D．144【答案】B【详解】设四种颜料为，①先涂区域B，有4中填涂方法，不妨设涂颜色1；②再涂区域C，有3中填涂方法，不妨设涂颜色2；③再涂区域E，有2中填涂方法，不妨设涂颜色3；④若区域A填涂颜色2，则区域D、F填涂颜色1，4，或4，3，若区域A填涂颜色4，则区域D、F填涂颜色1，3或4，3，共4中不同的填涂方法，综合①②③④，由分步计数原理可得，共有种不同的填涂法．故选B．10．（2023春·湖北武汉·高三武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？（

）

A．120 B．180 C．221 D．300【答案】B【分析】分Ⅰ，Ⅳ同色和不同色两种情况讨论，结合分布乘法原理即可得解.【详解】当Ⅰ，Ⅳ同色时，则Ⅰ有种涂色方法，Ⅱ有种涂色方法，Ⅲ有种涂色方法，此时共有种涂色方法；Ⅰ，Ⅳ不同色时，则Ⅰ有种涂色方法，Ⅳ有种涂色方法，Ⅱ有种涂色方法，Ⅲ有种涂色方法，此时共有种涂色方法，综上共有种不同的着色方法.故选：B.技法02项、系数、三项展开式、二项式乘积解题技巧二项式定理二项式定理是新高考卷的常考内容，一般会和项、系数、三项展开式、二项式乘积等结合在小题中考查，需重点复习.知识迁移1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；(2)通项公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：(1)h(r)＝0⇔Tr＋1是常数项．(2)h(r)是非负整数⇔Tr＋1是整式项．(3)h(r)是负整数⇔Tr＋1是分式项．(4)h(r)是整数⇔Tr＋1是有理项．注1．二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项．注2．易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指Ceq\o\al(k,n)(k＝0,1，…，n)．二项式系数的性质性质内容对称性与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即增减性当k＜eq\f(n＋1,2)时，二项式系数逐渐增大；当k＞eq\f(n＋1,2)时，二项式系数逐渐减小最大值当n是偶数时，中间一项eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n,2)＋1项))的二项式系数最大，最大值为；当n是奇数时，中间两项eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n－1,2)＋1项和第\f(n＋1,2)＋1项))的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为或二项式系数和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(k,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝.例2-1．（2023·全国·高三专题练习）在的展开式中，第四项为（

）A．160 B． C． D．在的展开式中，第四项为.例2-2．（山东·统考高考真题）在的二项展开式中，第项的二项式系数是（

）A． B． C． D．第项的二项式系数为，例2-3．（2023·北京·统考高考真题）的展开式中的系数为（

）．A． B． C．40 D．80的展开式的通项为令得，所以的展开式中的系数为例2-4．（2023·河北沧州·校考模拟预测）的展开式中的系数为（

）A． B．10 C． D．30【详解】可以看做个盒子，每个盒子中有，，三个元素，现从每个盒子中取出一个元素，最后相乘即可，所以展开式中含的项为，故展开式中的系数为.例2-5．（全国·统考高考真题）的展开式中x3y3的系数为（

）A．5 B．10C．15 D．20展开式的通项公式为（且）所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：和在中，令，可得：，该项中的系数为，在中，令，可得：，该项中的系数为所以的系数为1．（2023·全国·高三专题练习