题型10 6类三角恒等变换解题技巧（拼凑思想、升（降）幂、三倍角、半角、万能、正余弦平方差公式）-高考数学必考模型归纳（解析版）

题型106类三角恒等变换解题技巧（拼凑思想、升（降）幂、三倍角、半角、万能、正余弦平方差公式）技法01技法01拼凑思想的应用及解题技巧技法02升（降）幂公式的应用及解题技巧技法03三倍角公式的应用及解题技巧技法04半角公式的应用及解题技巧技法05万能公式的应用及解题技巧技法06正余弦平方差公式的应用及解题技巧技法01拼凑思想的应用及解题技巧在三角函数求值题目当中，常常会出现已知条件中给出两个或者一个三角函数值，求问题中的三角函数值，解决此类问题的关键在于用“已知角”来表示“未知角”在三角函数求值题目当中，常常会出现已知条件中给出两个或者一个三角函数值，求问题中的三角函数值，解决此类问题的关键在于用“已知角”来表示“未知角”1、当“已知角”有两个时，“所求角"一般表示两个"已知角”的和与差的关系2、当"已知角"有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和与差或倍数的关系，然后借助三角恒等变换公式把“所求角”变成“已知角”知识迁移例1-1．（全国·高考真题）tan255°=A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+【详解】=例1-2．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考一模）若，则（

）A． B． C． D．【详解】由，所以，则1．（2022·云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）已知，，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】易知，利用角的范围和同角三角函数关系可求得和，分别在和两种情况下，利用两角和差正弦公式求得，结合的范围可确定最终结果.【详解】且，，.又，，.当时，，，，不合题意，舍去；当，同理可求得，符合题意.综上所述：.故选：.【点睛】易错点睛：本题中求解时，易忽略的值所确定的的更小的范围，从而误认为的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.2．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知为锐角，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二倍角正切公式，同角关系化简，求，再求，再由两角差的正切公式求.【详解】因为，所以，所以，又为锐角，，所以，解得，因为为锐角，所以，又所以.故选：A.3．（2023·湖南湘潭·统考二模）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】直接利用三角函数恒等变换进行凑角化简，再根据，的范围即可求出结果.【详解】由已知可将，，则，，，即或．又，所以，所以，所以选项A，B错误，即，则，所以．则C错，D对，故选：D技法02升（降）幂公式的应用及解题技巧在三角恒等变换的倍角考查中，升幂公式及降幂公式极其重要，需灵活掌握，在高考中也是高频考点，要强加练习在三角恒等变换的倍角考查中，升幂公式及降幂公式极其重要，需灵活掌握，在高考中也是高频考点，要强加练习知识迁移升幂公式：，降幂公式：，例2-1．（2023·全国·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．【详解】因为，所以．例2-2．（2023·全国·统考高考真题）已知，则（

）．A． B． C． D．【详解】因为，而，因此，则，所以.1．（2023·全国·模拟预测）已知，则（

）A．1 B．－1 C． D．【答案】A【分析】根据题意，求得，再求得，结合倍角公式，即可求解.【详解】因为，且，所以，可得，所以.故选：A．2．（2023·河南·统考模拟预测）已知则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定的条件，利用辅助角公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算即得.【详解】由，得，所以.故选：C3．（2023·全国·模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用辅助角公式及两角和差的正弦公式化简，再根据计算可得.【详解】由已知得，，所以，因为，所以，，则，所以.故选：.4．（2023·四川成都·石室中学校考一模）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先对两式进行平方，进而可求出的值，根据二倍角公式求出结论.【详解】解：因为，，所以平方得，，，即，，两式相加可得，即，故，.故选：D.技法03三倍角公式的应用及解题技巧在在三角函数或解三角形的一些问题中,会出现三倍角,解决起来需要把三倍角转化成一倍角与二倍角的和，化简起来会多些步骤，而知道三倍角公式,我们可以更快的得出结果知识迁移sin例3．已知在△ABC中,角A、B、C的对边依次为a【解析】B函数fx=4sin3x−sinx+2sinx2−cosx22的最小正周期为（）.

A.2πB.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若A=2B,且A为锐角,则c∵A=∵A为锐角∴cosA>当且仅当2cosA=1cosA,即技法04半角公式的应用及解题技巧半角公式是三角函数的一个重要知识点半角公式是三角函数的一个重要知识点，也是高考重要考点，我们需要知道什么是半角公式及半角公式的考查形式知识迁移sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).例4．（2023·全国·统考高考真题）已知为锐角，，则（

）．A． B． C． D．【详解】因为，而为锐角，所以eq\r(\f(1－cosα,2))．1．（2021·黑龙江·黑龙江实验中学校考模拟预测）已知，若是第二象限角，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据诱导公式求出，再利用平方关系可求，然后利用公式即可求解.【详解】解：因为，所以，又是第二象限角，所以，所以.故选：B．2．（2022·江西上饶·上饶市第一中学校联考二模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据同角三角函数的平方关系及半角的余弦公式，再结合诱导公式即可求解.【详解】由，得，，，，所以.故选：A.3．（2023·全国·模拟预测）已知是锐角，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据倍角公式的变形求出，，再由两角和的余弦公式求解.【详解】因为是锐角，所以，因为，，所以，，所以．故选：D．技法05万能公式的应用及解题技巧理论上上所有公式都是万能公式。但是真正提起万能公式的时候，是指三角函数中的正切半角公式，或称以切表弦公式。这组公式可以将角的正弦、余弦、正切这几个三角函数统一用半角的正切值来表示，实现化简的目的。理论上上所有公式都是万能公式。但是真正提起万能公式的时候，是指三角函数中的正切半角公式，或称以切表弦公式。这组公式可以将角的正弦、余弦、正切这几个三角函数统一用半角的正切值来表示，实现化简的目的。知识迁移例5．在△ABC中,tanC2=3tanA2,则2sinA+2==最小值为41．（2023·山东·山东省五莲县第一中学校联考模拟预测）已知内角分别为，且满足，则的最小值为.【答案】16【分析】由三角形内角和性质、诱导公式、和差角正弦公式可得，进而有，结合，将目标式化为，应用基本不等式求最小值即可.【详解】由题设，所以，所以，即，又，，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故答案为：【点睛】关键点点睛：应用三角恒等变换将条件化为，再应用万能公式用正切表示正弦为关键.2．（2021·全国·高三竞赛）已知满足，则的最小值是．【答案】16【详解】解析：．令，则．当时，，所以，故．故答案为：16技法06正余弦平方差公式的应用及解题技巧正正余弦平方差公式是数学中一个重要的公式，它涉及到三角函数和代数运