北京邮电大学数学建模课程讲义

前言

数学模型与数学实验课在我国大多数高等院校中普遍开设，它是当前我国高等教育基础课程教学改革的

前沿课程之-O这•课程的成功开设，为学生正确理解数学教育的重要性以及数学学科与其它诸多专业课之

间的内在联系有着非常重要的作用——它是学生在学期间弥合基础理论与各应用学科之间鸿沟的一座侨梁，

同时，作为数学教育的一门重要的辅助课程，这门课程的开设也为整合大学数学教学过程中不同数学课程所

可能留给初学者的各自孤立甚至极为琐碎的印象成为可能。因此，如果在教学中处理得当，对这门课程在本

科生教育中的重要意义作什么样的肯定性估价均不会过分。

北京邮电大学较早地将数学模型课作为全校公共选修课在本科生中开设，迄今已逾十载。期间，有多位

老师对本课程的教学以及课程建设做出了大量而又细致的工作，更兼期间校院领导对本课程教学的重视，应

当说这门课程在我校的教学实践是相当成功的——愈来愈多的学生注册选修本课程和参加有关的数学建模

竞赛活动。特别，我校学生在最近几年参加全国大学生数学建模竞赛和美国大学生数学建模竞赛中连馍取得

了非常出色的成绩。

本课件的开发可以被看作过对我校地近几年在数学模型课课程教学以及数学建模活动的开展过程中所

枳累下来的资料所进行的一次发为全面的整理，其内容包括：1）贺祖国老师数学模型课教学以及组织培训

参加数学建模竞赛队员过程中所编写的讲义、有关数学建模教学的交流文稿或科研论文等；2）1997年以来,

我校学生参加全国大学生数学建模竞赛和美国大学生数学建模竞赛时所完成的参赛论文，甚至包括一些队员

在学习期间完成的与数学建模有关的科研论文（这些论文有的在一些比较有影响的学术征文中获奖）：3）

其它像数学建模竞赛题目、部分赛题的优秀参赛论文等学习资料。

本课件凝结了许多人的劳动和才智，其中王晓霞副教授（北方交通大学）在课程讲义的组织整理过

程中做r大量的工作，孙洪祥、罗守山两位教授为课件的内容组成以及框架构思提供「许多宝贵的建议。当

然，应当特别题及的是在我们身边的许多参加数学建模学习和竞赛活动的同学，没有他们的劳动这项工作将

黯然失色一一这里资料的原创税有相当大部分是归他们的：网页是由董乘宇、袁楠、刘冰等几位同学合力设

计完成的。

我们的全部工作几乎均起步于零，因此也决定了课件的许多功能和表现是有缺陷的，任何建设性的

批评和建议我们都会诚恳地听取，我们会对之进行不断的完善！

如果有一件实实在在的可以添饱肚子的“窝窝头”和一件飘溢着香味儿的虚拟“汉堡包”要我们选

择，我看乖前者一一这事实上是在开发这一课件的整个过程中我和我的伙伴、学生所一直坚持的，因此尽管

我为这•作品所存在的许多欠尽人意的地方尤存不安，但对那些具有旺盛求知欲望的年轻人来讲，仍然愿意

承诺我们的作品不是虚拟的“汉堡包”，我希望你们爱我的课程！

贺祖国（于2003年夏）

第一章课程概述

§1.1数学模型与数学建模

一.基本概念

数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。其产生以及许多重大发

展都是和现实世界的生产活动和其他相应学科的需要密切相关的；同时，作为认

识和改造世界的强有力的工具，乂促进了科学技术和生产建设的发展。特别在当

今时代，由于计算机软硬件的迅速发展和普及，数学方法被广泛应用于生产实践、

社会管理的各个领域和层面。对具体的应用问题或问题类进行合理的简化假设以

及适当的抽象并最终表述为某种数学结构，即我们在这里讨论的数学模型，是现

代生产实践与社会生活实现优化决策和科学管理的必要环节。而数学建模则是指

根据实际需要或最终管理目标，对现实问题构建数学模型，对模型进行分析求解,

并最终将模型解翻译为决策方案应用于实际的一个由诸多环节组成的一个完整过

程。

为理解现实对象与数学模型的关系，以下给出数学建模的一个流程图：

二.（引例1）椅子的平稳放置问题

将（四脚）椅子置于不平的地面，通常只有三只脚着地，放不稳；然而只需

稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了一一这是我们在日常生活中遇到

的一件很普通的事实。这一现象是偶然的呢，还是有其必然性呢？

一.模型假设：

1.椅了四条腿样及，椅脚与地而接触处可视为•点，四脚的连线呈正方形；

2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没台阶）。即地面可视

为数学上的连续曲面；

3.对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置上

至少有三只脚同时着地。

将椅子的四只脚逆时针方向依次编号A、B、C、D,选定某初始位置，如图,

规定CA所在直线为x轴，CA中点为原点。。且设：

4.挪动椅子时，保持四脚椅中心与。正对，可以用CA与“轴正向夹角6来表示

椅子位置；以八夕）、以⑶分别表示（A,C）、（B,D）两组点离开地面的竖直距离。

二.模型建立与求解：

1）〃e），g（e）No,且在[0,2加上连续；

2）/（e）.g（G）^0,（Vee[0,271]）.

3）由于四脚椅中心对称，所以/（e+%/2）=g（。）、g（e+%/2）=/（e）；

易知椅子放稳的条件为〃仍=g（e）=o,因此可将椅子的平稳放置问题归结

为，是否存在“£[°加,满足

B

图I-2变量。表示椅子的位置

进一步讨论，若〃0）=或0）=°,即椅子的最初放置是平稳的；否则，不妨

设〃0）＞鼠0）=0,构造M6）=/（夕）-g（e）,它同样在［0，2加上连续，则有

版0）＞0,而皿%/2）=/（%/2）-g（%/2）=g（0）-/（0）=-M0）v0。所以，存在

8ow［o,2乃］,满足Me°）=/（%）-g（%）=。，结合/（0o），g（e（＞）=。，得

/（%）=«（%）=°,即椅子在转动先后被稳定地放置在地面上。

思考题i.四脚椅呈矩形时的放置情形。

思考题2.一人一日早8:00开车由A市出发，至下午5:00达B市；第二天早8:00

出发沿原路返回，下午5:00回A市。问沿途是否有一地，前后两天，该人达该地

的时刻正好相同。

三.（引例2）商人过河

设有三名商人，各带一个随从，欲乘一小船渡河，小船只能容纳两人，须由

他们自己划行。随从们密约，在河的任何一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀

人越货。而如何乘船渡河的大权掌握在商人们的手中。商人们怎样才能安全渡河

呢？

因这已经是一个相当清晰的理想化问题，所以直接讨论其模型描述以及模型

求解。这里将其描述为一个动态决策问题：

记第k次渡河前此岸的商人数为与，随从数为外,k=l,…声。将二维向量

品=（乙,力）定义为状态，安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记作

SS=｛（x,j）|x=o,j=0,1,2,3;X=3,J=0,1,2,3；x=j=1,2｝

记第k次渡船上的商人数为人,随从数为九,A=/,…,〃。将二维向量

4=（%，以）定义为决策。考虑小船载人数的限制，（=（%/«）应满足

A+为=1或2，为非负整数，而称。=｛（〃,”1〃+羽=1,2；〃并为非负整数｝为

允许决策集合。

因为i为奇数时，船从此岸驶向彼岸；女为偶数时，船从彼岸驶回此岸，所

以状态品随决策人的变化规律是心=品+（-»乙（状态转移规律）。

仍然就其一些基本方法步骤（可先参阅人口增长预测模型）归纳为如下框图:

模型准备：要了解问题的实际背景，明确建模的目的，搜集建模必需的各种

信息、数据等；

模型假设：根据实际问题的特点和建模的目的，对问题进行合理的简化假设,

是建模的关键一步,其基本内在的决定了后续工作的展开和整个建模过程之成败。

因为影响一个现实事件的因素通常是多方面的，我们只能选择其中主要影响因素

以及它们中的重要矛盾予以考虑，但这种简化一定要合理，过分的简化会导致模

型距离实际太远而变得失去建模意义；

模型构成：在前面工作的基础上，将问题涉及的各个量符号化，以及各变量

之间的内在联系形式化，利用适当的数学工具，将所关心的实际对象抽象为某个

数学结构。可以是一个方程组的求解问题，也可以是一个最优化问题，也可以是

其它。从简单的角度讲，这一环节要求用尽可能简洁清晰的符号、语言和结构将

经过简化的问题进行整理性的描述，只要作到准确和贴切即可。当然考虑数学和

应用数学学科的发展已有大量和丰富的概念与方法积淀，因此所建立模型在表述

上应尽可能符合一些已经成熟的规范，从而也为建模者提出更高的要求；

模型求解：根据所建模型的特点，采用适当的计算工具、计算方法，比方几

何作图、数值计算等，最终给出模型的解。考虑我们需要建模处理的通常解决的

是一大类型的问题，而数值计算通常是针对一个特定问题的具体结果，因此像解

析法、归纳与演绎等逻辑方法的恰当运用会得到更为一般和有意义的结果；

模型分析：对模型解答进行数学上的分析，比方要根据问题的性质分析变量

间的依赖关系，根据所得结果给出数学上的预报，在解的局部对模型中各参数和

变量的微小扰动进行灵敏度、稳定性分析，在数值计算时还应对可能出现的误差

进行分析等等。

模型检验：把数学分析的结果解释为实际问题的解或方案，并用实际的现象、

数据加以验证，检验模型的合理性和适用性。如果模型的结果距离实际太远，应

当从改进模型的假设入手，可能是因为将一些重要的因素被忽略了，也可能将某

些变量之间的关系作了过分简化的假设。如此，进入重新一轮的建模分析，直到

检验结果获得某重程度的满意，并最终将结果付诸实践，即模型的应用。

人口增长的建模

人类文明发展到今天，人们越来越意识到地球资源的有限性，我们感受到“地

球在变小”，人口与资源之间的矛盾H渐突出，人口问题己成为当前世界上被最普

遍关注的问题之一，当然人口增长规律的发现以及人口增长的预测对一个国家制

定比较长远的发展规划有着非常重要的意义。本节介绍几个经典的人口模型，也

以此试图说明数学建模的一般步骤。

以尸㈤表示时刻，某地区（或国家）的人口数。

模型一：人口指数增长模型（马尔萨斯Malthus,17667834）

一.模型假设

1.时刻，人口增长的速率（即单位时间人口的增长量）与当时人口数成正比，即

人口的相对增长率为常数，记之为人

2.设人口数尸（“足够大，可以连续变量处理，且尸（。关于，连续可微。

一模型建立及求解.

一.据模型假设，・不K得到如下初值问题：

小

[P（0）=A

解之得尸（£）=居

三.模型检验

1.19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好的吻合。19世纪以后的许

多国家，模型遇到了很大的挑战。

limPert=+oo

2.-8°n。有限地球，不合常理。

模型二：阻滞增长模型（Logistic）

一个模型的缺陷，通常可以在模型假设当中找到其症结所在一一或者说，模

型假设在数学建模过程中起着至关重要的作用，它决定了一个模型究竟可以走多

远。在指数增长模型中，我们只考虑了人口数本身一个因素影响人口的增长速率,

事实上影响人口增长的另外一个因素就是资源，定性的分析，人口数与资源量对

人口增长的贡献均应当是正向的。

一.模型假设

1.地球上的资源有限，不妨设为1;而一个人的正常生存需要占用1/尸,（这里

事实上也内在地假定了地球的极限承载人口为P"）;

2.在时刻，，人口增长的速率与当时人口数成正比，为简单起见也假设它与当时

的剩余资源量5=1-尸/P•成正比；比例系数，*表示人口的固有增长率；

3.设人口数尸(〃足够大，可以连续变量处理，且尸(。关于£连续可微。

二.模型建立及求解

包=/・尸6

dt

s=l-P/P*

P(0)=痣

同样不难得到其数学模型：，化简得如下初值问题:

[―=r*P(l-P/r)

\dt

[p(0)=A

\，p*

1+(——1)•L"

解之得入

三.模型检验：

从上图可以看出，当人口数的初始值外时，人口曲线(粉色)单调递减,

而当人口数的初始值•时，人口曲线(绿色)单调递增，但当，一＞8,它们

皆趋于P*0

阻滞增长模型从一定程度上克服了指数增长模型的不足，可以被用来做相对

较长时期的人口预测，而指数增长模型在做人口的短期预测因为其形式的相对简

单性也常被采用。

不论是指数增长模型曲线，还是阻滞增长模型曲线，它们有一个共同的特点，

即均为单调曲线。但我们可以从一些有关我国人口预测的资料发现这样的预测结

果：在直到203()年这一段时期内，我国的人口一直将保持增加的势头，到2030

年前后我国人口将达到最大峰值16亿，之后，将进入缓慢减少的过程一一这是一

条非单调的曲线，即说明其预测方法不是本节提到的两种方法的任何一种。还有

比指数增长模型、阻滞增长模型更好的人口预测方法吗？

事实上，人口的预测是一个相当复杂的问题，影响人口增长的因素除了人口

基数与可利用资源量外，还和医药卫生条件的改善、人们生育观念的变化等因素

有关，特别在做中短期预测时，我们希望得到满足一定预测精度的结果，比如在

刚刚经历过战争或是由于在特定的历史条件下采纳了特殊的人口政策等，这些因

素本身以及由此而引起的人口年龄结构的变动就会变的相当重要，进而需要必须

予以考虑。

§1.3认识Mathematica

高性能计算机与优良数学软件的研发普及，使得数学学科地位的重要性地位

得到不断地加强和巩固。它使得数学方法能被广泛有效地应用于科学研究、工业

设计、社会管理等各个领域成为可能，甚至使得数学的学科面貌从学习的角度也

发生了非常巨大的变化，数学学习不再局限于一张纸一支笔的咫尺天地当中。特

别，像Mathematica、MatlabSas>Lingo系列（高版本）数学软件的推出,为数

学的学习以及尝试将数学方法应用于解决实际问题提供了捷径。

Mathematica（简记为Math）是一种数学分析型的软件，功能丰富强大，

界面友好，其编程具有很好的“对话”式特点，易学易用，当你输入一个

有效的表达式或计算程序时，连击“Shift”与“Enter”键，Math将完成

计算；

建议初学者首先以基本的算术表达式或简单的函数值计算作为练习来初步了

解Math软件，循序渐近，逐步深入。

循序渐近

Math3.0以上的版本，在其主菜单“File”子菜单中的“Palettes”选项，

学习者可以从中选择其中适当的子选项，软件将弹出相应的“按纽”平板

（输入平台），上面有许多特殊的字符或符号、数学表达式模板、常用的

内部函数等，只需用鼠标点击相应的“按纽”，在输入窗口中即产生您所

要的数学字符或表达式格式。在输入格式的空位中填入正确的数据或符

号，即可直观的完成一个复杂数学表达式的输入。这样，使得Math程序

的编写和我们平时完成数学作业报告时所采用的形式达到最大限度的一

致——这也是Math软件的又一个优点。

PALETTES（?调色板，颜料），内中有许多按钮使得程序的编写更接近书写习惯

看，你可以很直观地输入一个矩阵，其它也一样

3.充分的利用Math的“Help”菜单，将最大限度地排除您在学习该软件时

可能遇到的障碍，检索一个函数(命令)是便捷的，文件中附带的相关例

子，使您能够很容易地读懂它们的用法。

Edit£.11FormatinputFijidWindowM«lp

»-：4HelpBrovxer

To||PIOT日ack|HideCategories1

Built-inFunctionsAdd-onsTheMathemaTicaBook

GeningSidffed/Demo$|OtherinformdiionMasterindex

ZDPlots»H|：PTdt

AlgebraicComputation»3DPlotsrUstPlor

MdthemaTlcdlFunctions>ComourPlots►ParametrlcPlot

ListsandMatrices»DensityPlots►

SoundGeneraTion»

Programming►Comblnailons►

|inpuTandOUTPUT►二1BaslFOprions►2d

▲

Plot

■Plot(y'z(x,xmin,xmax}]generatesaplotoffasafunctionofxfromxmintoxmax.

■Plot[{/],力，•••}/{彳，xmin,xmax)2plotsseveralfunctions

■PlnrAvnliia+aaitcArgirniAntninancruutandaYrlArtinnA4KVmiahniiMiiaaFwa1nafatn*va】”atatkatnKApb+tarlifr«n

safelybedonebeforespecificnumericalvaluesaresupplied.

■PlothasthesaneoptionsasGraphics,withthefollowingadditions1一

CompiledTruewhethertocompilethefunctiontoplot

MaxBend10.maximumbendbetweensegments

PlotDlvislon20.maximumsubdivisionfactorinsampling

PlotPoints25initialnumberofsamplepoints

Plotst.yleAueoiaat.icgraphicsdirectivestospecifythestyleforeachcurve

■PlocusesthedefaultsettingAxes->True.

■Plocinitiallyevaluates/atanumberofequallyspacedsamplepointsspecifiedbyPlocPolncs.Thenitusesanadaptivedgorithmtochooseadditional

samplepoints,attemptingtoprodweacurveinwhichthebendbetweensuccessivesegmentsiskssthanMaxBend.Itsubdividesagivenintervalbya

cFAtP1ermX7Ta5cn

_LI_______________i±r

充分利用“HELP”

4.Math可以作符号计算，用户可以借助Math得到许多问题的解析(符号)

解；且只要用户愿意，Math可以得到任意精度的数值解。

5.“表”是Math软件处理的最基本的数据对象。

6.Math语句的语法单一，取消了函数、命令等概念的差别一一这同样是

Math的一个优点；Math中定义了大量的内部函数或命令,这样使得Math

进行科学计算的编程效率极具优势。

7.您还可以自己定义函数。

8.Math(简单)编程。

9.Math函数作图可能会吸引您。

10.特别提示：

1)“Shift”+“Enter”；

2)Math中区分字母的大小写，软件内部定义的函数命令，其首字母均大写;

3)几对括号的用法：“引”、“口”、“皿”、

4)几个等号：“二”、“：=”、“=”；

5)“，”与“；”；

6)几个常数："：Pi；e：E;IL:I;oo:Infinity;

7)取近似函数N[Pi]、N[Pi,100]；

8)数据引用：％、％%、％%%、％io、outnoboutr-io]：给变量(参数)、

表达式的数据命名是一个好的编程习惯。

9)对方程(组)解的引用：

in[16]：=aa=Solve[2*x==1,x]

Jut[16]={{XT：}}

in[15]：=x/.aa[[l]]

1

Jut[15]=­I

2

10)随机函数Random[]、Random[Reabxm]、Random[Reab{xm,xM}]、

Random[Integer>iM]；

下面的例子可以作为学习用Math语言定义一般（复杂）函数的例子，学生

在练习过程中除了学习Math编程外，还可以对近似计算的概念和特点形成初步

认识：

例、设某函数为一分段常值函数，试根据其特点，构造适当的算法，在指定精度

要求下，搜索其间断点。不妨取

-1-co<x<0

0

f(x)=<1l<x<1.0001

21.0001<x<1.002

31.002<x<+oo

0.0001、0.00000001,在区间[-L4]内搜

精度要求分别取0.1、0.01、0.001、

索函数/（x）的间断点。

第二章初等数学方法建模

数学建模的核心是力求对实际应用问题的解决，而不在于所采用方法的深奥

程度。事实上，在对一个问题能够做到完好解决的前提下，朴素性简洁性恰好是

构成一个完美的数学模型或数学建模过程的一个重要侧面。本章介绍的几个例子

即能够用相对初等的方法得以很好地解决，这里强调选用怎样的工具通常是由问

题本身内在决定的，切忌为了炫耀方法而使问题的解决变的烦琐一一这正如在良

医的眼里，各种药材的价值在其用并在行医中总能做到对症，而不在其名贵程度。

§2.1公平的席位分配

问题：首先看一个小例子，讨论一个学校中学生代表席位在不同院系之间的公平

分配问题。问题产生的原因在于人数是一个整型量，因此在通常情况下不能严格

保证各个院系（团体）最终分得的代表席位数与其人数取相同的比例。也即说对

一个席位分配方案不能要求其在任何情况下均能作到绝对公平，但却可要求其分

配结果的整体不公平程度尽可能降低。

在下表中反映的是当总席位数分别为20、21时，参照惯例在人数分别为

(103,63,34)的三个不同系的分配结果「惯例”在这里是指首先计算各系按照比例

所应该分得的席位，然后取其整数部分作为各系第一阶段分到的席位，而在第二

阶段将剩余的席位按照各系比例分配数的小数部分的大小取较大的几个系，在已

分得席位的基础上各增加1席。

系学生所占20个席位的分配21个席位的分配

别人数比例比例分配参照惯例比例分配参照惯例

的席位的结果的席位的结果

甲10351.510.31010.81511

乙6331.56.366.6157

丙3417.03.443.573

总20010020.02021.00021

和

从上表中发现，在总席位数为20席时丙系可分到4席，而当总席位增加之后,

丙系分到的席位数反降为3席。这一“矛盾性结果”同样不符合我们对一个好的

席位分配算法的预期：假定各系人数已确定，考虑总席位数增加时，一个席位分

配算法的结果至少须保证对每一系所最终分得的席位数不减。要解决这个问题必

须舍弃所谓惯例，找到衡量公平分配席位的指标，并由此建立新的分配方法。

一、A、B两方席位的公平分配：

双方人数分别记为小巴，占有席位记为〃「%，分别代表的人数应为

%%

•若%=%,则公平。

通常，人数、席位都为整数，若/,/,

，则不公平。数值

较大的一方吃亏。

1.建立数量指标：

标准I-绝对不公平指标：不妨假设X>/.

⑴(4，舄)=(120,100),(%,/)=(10,10),则:/-P1/=12-10=2

lln

\/2.♦

=102-100=2

/W1/W2

(2)(^,^)=(1020,1000),(%,%)=(10J0),则o

常识：(2)的公平程度比(1)大为改善了。

标准II•相对标准:

若%

,则;称之为相对于B对A的相对

不公平值。

若,则：称之为相对于A对B的相对

不公平值。

•制定席位分配方案的原则是使它们尽可能小。

2.确定分配方案：

设（4,巴）固定，（%，％）已分好，总席位增加“1”。

不失一般性设,即对A不公平，这时只会有如下两种情形:

＞乙/

⑴若i+D/%,则增加席位给A；

＞+1）＜，则增加席位给A将变为对B不公平，计算

（2）若

产2（%+1）1

这时显然有+1）,则增加席位给B将对A更为不公平，计算

乙（勺,〃2+1）="2+1）一1

公平分配席位的原则是使得相对不公平值尽可能地小，所以若

/•/,（%+1,〃2）〈a5”叫+1）,则增加席位给A；反之增加席位给B。

二.Q-值法与m方的席位分配：

在A、B两方公平分配席位的情况的讨论中，我们可以将按照相对不公平指

2,=—^-

标来确定新增1席的归宿，等价于对6.（%+1）与〃2・（%+1）的比较,

则二数中大的所对应的一方的席位加lo

不难将之推广到m方的席位分配的问题，归结为如下的Q・值法：

p=yp

设有m个团体，=l,•叫表示第1个团体的人数，』'为总人数，

，虱i=L・M表示第i个团体分得的席位数，N为总席位数。

_p,2

第一步：令%=麻（匕/尸）],计算".一"4+1）,这里i=Lm；

m

n:=/n

第二步：令.--iii,若〃=N,停，〃{=1•加）即为第i个团体最终分得

的席位数；

第三步：选最小的广，使得0.=林岗01"1・.,〃},勺.=%+1,

Pt

Q.=_____!____

勺.（勺.+1）,转第二步。

作为Q―值法的应用，本文给出的学生代表席位的分配问题的结果为，（1163）

对应总席位数为20,（11，6,4）对应总席位数为21。

三.进一步讨论

事实上要我们说Q•值法与参照“惯例”的算法孰优孰劣是不适当的，它们遵

循了两种不同的“公平”标准：Q-值法关心一个团体的席位在增加与不增加一个

席位对这个团体中个体的心理感受，而参照“惯例”的算法却从把一个团体视为

一个整体来考察的。

而Q-值法的导出，是以其它团体的席位分配为参照来衡量一个团体席位分配

中的相对不公平程度，事实上当总人数尸与总席位数N一定时，以P/N这一客

观标准作参照应当更为合理，而由此导出的算法我们发现恰好是按照绝对不公平

指标巨二尸=来决定新增加席位的归宿，将Q•值法中的0都换为小，

得到的算法这里称之H.值法。就文中算例，（1°，6,4）对应总席位数为20,（1074）

对应总席位数为21。

我们也构造了一个对席位分配方案不公平程度的评价指标函数

Max{Pi/ni\i=l..m],我们发现H.值法的结果优于Q.值法。

尸=>尸

定理：设有m个团体，々（”1”叫表示第1个团体的人数，‘为总人

数，N为总席位数，〃；（i=l・M）表示由H.值法给出第i个团体分得的席位数，

*MiniMax{—\〃，为非负整数，益//,=N]-

则〃尸〃N=l..m）必是最优化问题〔七/=.

的最优解。

在文中建立不公平程度数量指标的讨论中，曾举例说明绝对不公平指标是有

缺陷的，为了克服其缺陷而建立了相对不公平指标，并最终导出Q•值法；可是我

们最终的给出H.值法的结果优于Q・值法的结论，当然从简单性方面来考察H・值

法同样优于Q-值法。而H・值法事实上即是绝对不公平指标，试着找到本文的论

证缺陷之所在。

四.评注：

学习者除了在寻找适当的数学方法解决席位的公平分配这一问题本身建模

方法外，还应当从“从建立了相对不公平指标、并最终导出Q•值法”这一过程得

到启发一一尽管Q•值能否被发现并不影响席位分配的最终方案，但用Q•值法来

表述实现算法更加简洁有效，而且很容易将由两个团体席位分配的算法推广到多

个团体的情形，领会“内容”与“形式”的辨证关系，认真对待自己的每一次创

作；

至于H.值法的导出及其结果优于Q-值法的结论，它也表明对一个数量大小

的衡量，在有客观标准存在时，我们宁愿以客观标准作为参照；另外，在对实际

应用问题分析建模的过程中，应养成自觉的否定和自我否定精神，当然这同样应

当建立在严格求证的基础之上。

§2.2双层玻璃窗的功效

问题：在北方城镇的许多建筑物的窗户是双层的，即在窗户上装两层玻璃旦中间

留有一定空隙，这样就减缓室内外热量的交换，特别在冬天，这样做的保暖效果

是很有效的。能否建立一个适当的数学模型分析其有效性，并给出相应的实用设

计。

一、模型假设

1.热量的传播形式只考虑传导，没有对流，即假定窗户的密封性能很好，两

层玻璃之间的空气是不流动的。

2.室内温度方和室外温度A保持不变，热传导过程已处于稳定状态，即沿

热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数。

3.玻璃材料均匀，热传导系数是常数左，空气的热传导系数是常数七。

二、模型建立

物理定律：厚度为d的均匀介质，两侧温度差为47,则单位时间由温度高

的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量°,与/T成正比，与d成反比，即

Q=k-

d,4为热传导系数。

这里分别表示玻璃以及中间夹层的厚度。

^-Ta=l：Ta-Th^Th-T2

Q=k}

由消去七’乙得

e=（r,-r2）0

因为吸璃的规格通常是确定的，因此，在这里可将热量。视为'的元函数。

三、模型求解

不难发现°⑺为一单调减函数，因此在建筑材料与设计美观允许的前提下尽

可能加大两层玻璃且中间的空隙总在使。⑺减小。

。（0）=尢,上汽

下面我们是从分析其功效的角度考虑的，我们以射作为参照,

h（l/d）=Vki/&

记/（启常用玻璃的热传导系数尤=4xlOT〜8x10-3（焦耳/厘

米•秒・度)，做保守估计，取占=4x10-3(焦耳/厘米・秒・度)，干燥空气的热

传导系数七=2.5xl()7(焦耳/厘米•秒.度)。这时

从上图可看出，当/由。增加时，曲线迅速下降，特别当'=&/时，窗户的散

热速度降到了不做夹层的3%。而且，在通常的建筑规范就要求〃4x4。

思考题：只要是两种材料，玻璃和空气，二者总厚度小，一定，考虑多层玻璃层

空气层相间，问它们的组和厚度与热传导有无影响。

第三章非线性最优化方法

§3.1最优化问题与建模

一.基本概念：

因为人类所从事的一切生产或社会活动均是有目的的，其行为总是在特定的

价值观念或审美取向的支配下进行的，经常面临求解一个可行的甚至是最优的方

案的决策问题。可以说，最优化思想是教学建模的灵魂。而最优化方法作为一门

特殊的数学学科分支有着广泛的实际应用背景。

典型的最优化模型可以被描述为如下形式：

Min{f(X)\XeD}

其中X=3，w…X”)，表示一组决策变量，芭&=1・・〃)通常在实数域R内取值，

称决策变量的函数八牙)为该最优化模型的目标函数；。为〃维欧氏空间肥的某

个子集，通常由一组关于决策变量的等式或不等式刻画，形如：

Minf(X)

s.t,cf(X)>0(i=l.・/W1)

q(X)=0(i=，〃]+l..m)

这时，称模型中关于决策变量的等式或不等式q(x)No(i=1..人)、

Cj(X)=°(i=/%+LM为约束条件，而称满足全部约束条件的空间R"中的点X

为该模型的可行解，称

。={XwA"[q(X)N0(1=1・.叫)且q(X)=0(/=叫+,即由所有可行解构成

的集合为该模型的可行域。

称MwO为最优化模型的(仝局)最优解，若满足：对

vxG。均有f（x・）&f（X）,这时称reD处的目标函数值〃X'）的为最优化模

型M加｛/（X）|Xe°｝的（全局）最优值；称为最优化模型

Min｛f（X）\X^D｝的局部最优解，若存在b>0,对

VX6OC｛X€肥|岳天-工：了v㈤*

怡,均有/（X）«/（X）。

（全局）最优解一定是局部最优解，但反之不然，其关系可由下图得到反映:

卜图为函数丁二”4诃/）在区间［-2,3・5］卜的一段函数曲线（由Mathematica

绘制），如果考察最优化问题-加｛x・sin（x2）|-2WxM3.5｝,从图中发现它有三个

局部最优解再=735521、x2=2,1945x3=3.32277其中£=3.32277是全局

最优解,最优值为“-331939”。

二.最优化问题的一些典型的分类：

优化方法涉及的应用领域很广，问题种类与性质繁多，根据不同的原则可以

给出不同的分类。从数学建模的角度，对最优化问题的一些典型分类及相关概念

的了解是有益的。

根据决策变量的取值类型，可分为函数优化问题与组合优化问题，称决策变

量均为连续变量的最优化问题为函数优化问题；若一个最优化问题的全部决策变

量均离散取值，则称之为组合优化问题。比方一些最优化问题的决策变量被限定

只能取整数值，即为组合最优化问题，这类优化问题通常被称为整数规划问题，

另外大多网络规划问题属于组合最优化问题。当然，也有许多应用问题的数学模

型表现为混合类型的，即模型的部分决策变量为连续型的，部分决策变量为离散

型的；另外当谈论一个最优化问题是函数优化问题还是组合优化问题时，还需结

合我们对这一问题的思考方式来进行确定，比方后面介绍的线性规划问题的求解,

既有将其作为一个组合优化问题而开发的算法，也有将其作为一个函数优化问题

而开发的算法；

另外的一种分类方式是根据问题中目标、约束条件函数的形式或性质来加以

划分的：若一个最优化问题的目标、约束条件函数均为决策变量的线性函数，则

称之为线性规划问题，否则称之为非线性最优化问题。线性规划问题的研究，理

论和方法都已发展的相当成熟，方法被广泛应用于生产和管理等领域；而对非线

性最优化问题，根据建模和算法设计的需要还有更进一步的分类；

在生产、经济与管理等领域中遇到的大量最优决策问题，对一个方案的评价

是多角度多指标的，反映在数学模型中，优化的目标是关于决策变量的一个函数

组，我们称之为多目标规划问题。比如导弹的设计，既要其射程远，又要消耗燃

料少，还要命中率高等；又如选择新厂的厂址，除了要考虑地价、原料采购的运

费等经济指标外，还需考虑对环境的污染等社会因素。

三.最优化问题最优解的一阶必要条件:

Minf（X）

s.t.q（X）NO（i=l.叫）

这里对形如q（x）=°«=吗+1・切）的最优化问题的一阶必要性

条件作简单介绍，它一方面可以将最优化问题和方程组问题做某种形式的联系，

另一方面它在最优化问题数值求解算法的设计有重要的意义。

Minf（X）

s.t.cf（X）>0（i=l.jn,）

定理：设X'eR”为最优化问题c,（X）=°«=吗+1・加的（局部）最

优解，若满足：

1）/（X）、q（X）（i=l..M在x*均可微；

2）W（X*）、=分别表示/（X）、q（XXi=L.M在X*的梯度向

量，向量组｛▽q（x*）|q（**）=（M=LM线性无关；

则m4Gmi=1・仙），满足：

刑

V/（x・）=Z4.Vq（x・）

1）X

2）对于1=1•♦吗均有4之0||4・Ci（X*）=0

22

Min—x1+2xt-x2

例、求解如下非线性规划：s/・0<X2<X,<2。

解：目标函数的梯度向量（函数）为（-2占+2,-24），而约束条件相当于有三

个：/2°、。-/之。、2-它们分别对应梯度向量（函数）（0,1）、

（1,-D、（-1,0），.

令（-2x,+2,-2x2）=2（（0,1）+2,（1,—1）+23（―1,0）x2=0

丸2・（苞_/）=0、4.（2_占）=0并要求4之0"=1,2,3）。解之得四组解：

1）占=占=2；4=0,九2=4,4=6；

2）x,=x2=0.2,=2,22=2,23=0；

3）x1=29X2=0.（=0,42=0,4=2；

4）占=1,/=°；=0,2,=0,2,=0；

计算每个点的目标函数值，发现与=%=2为（全局）最优解，最优目标函

数值为一4。

特别，对于无约束最优化问题，其一阶最优化条件如下:

定理：设为最优化问题的（局部）最优解，若/（X）在£均

可微,则〃x）在x*的梯度向量w（x*）为零向量,gPv/（r）=oe

§3.2无约束最优化方法

在这里我们只是对一些典型的最优化算法作简单介绍，以期那些初次接触数

值计算方法的学习者能对最优化算法的设计思想有概貌性了解，能编写一些简单

的最优化算法以处理学习中遇到的问题。而希望对最优化方法有更深入的学习或

者欲处理相对复杂的最优化问题,需要参考更为专门的书籍或借助有关数学软件。

一.一维搜索：

1.0.618法（黄金分割法）：

设单变量函数/（力在区间［凡”上有定义，若存在一点不£（〃，口，使得

/3）在区间［凡上严格单调减，/3）在区间上，上严格单调增，则称/"）

是区间［凡以上的（下）单峰函数。显然X*是/（X）在区间卜，上的唯一的极

小值点。

对（下）单峰函数，有如下基本性质：

性质1：设是区间［。，”上的（下）单峰函数，丁是/（刈在区间口，司上的

唯一的极小值点，对任意x（i=1,2,3）£［〃，/?］,x1<x2<x3,若

/a）2/（々）,/（工3）2）5），则必有££g，/］；

性质2：设/a）是区间［〃，”上的（下）单峰函数，V是/（x）在区间上口上的

唯一的极小值点，对任意须（i=L2）€［4,b\xx<x2，若:（石）4/（%2），则必有

x"e［a,x2］；若〃石）”（电），则必有b］o

根据（下）单峰函数所具看的性质，对在某区间卜，”上的（下）单峰函数/"）

可采用0.618法（黄金分割法）进行搜索其在区间上”内的极小值点。方法只

需计算函数值，用途很广。

0.618法：

这里设/"）为区间［a,⑶上的单峰函数，。=与（即黄金分割数，=0.618,

算法由此得名），

步1：令〃:=a,/?:=/?,c:=b—a（b—a）,d=a+b—c,C:=f（c）,D:=f（d）,

以及精度要求£>0；

步2：若〃-输出：审为近似最优解，/（岁）为近似最优目标函数值,

停止；

步3：若C>D,a:=c,c:=cl,d:=a+<y（b-a）,C:=DyD:=f（d）,转步

2；

步4：b:=d,d:=c,c:=b-cr（b—a）,D:=C,C:=f（c）,转步2；

易知，按照如上算法，每次迭代，只需计算一个点的函数值，均使解的存在

区间以1-°的比率缩小；而在所有固定分划比的区间分割法中，以上特点为黄

金分割法所独有，其余，每次迭代，需计算两个点的函数值。从计算相同的函数

值数目而使最优解的存在区间长度所能达到的缩小比率考虑，黄金分割法在所有

固定分划比的区间分割法中是最优的，这里将黄金分割法连续迭代两次，最优解

的存在区间长度所能达到的缩小比率为1-(叵二近二1。0.618,而其它所

有具有固定分划比的区间分割法每次迭代所达到的缩小比率小于0.5。因此黄金分

割法在所有固定分划比的区间分割法中是最优的。

例：用0.618法求解M加，，解的初始存在区间取[—1J00],这里要求在近似解的

误差不超过£=。

解：用0.618法编程求解，经29步迭代，得该问题的近似解及其目标函数值为

S

x=-0.0000723312f(-0.0000723312)=5.2318x10"：0

2.牛顿法与抛物线法：

在所有函数中，讨论二次多项式函数的极小(大)值问题最为典型。对一元

二次多项式q(x)=+c,当a〉0ll寸，易知£=2是无约束最优化问

2a

题M加/(幻的最优解。而对一般函数最优解的求解，可以利用对一些点处目标函

数的函数值、一阶或二阶导数值构造目标函数在一点局部或者在一定范围内的二

次多项式逼近模型，以逼近模型的最优解作为求解原最优化问题的一个迭代点。

称这类方法为(二次)插值法。

对一元函数，二次多项式逼近模型的建立通常有四种方式：其一是利用函数

在一点处函数值、一阶及二阶导数值；其二是利用三个不同点的函数值；其三是

利用两个不同点的函数值以及它们中一点的一阶导数值；其四是利用两个不同点

的一阶导数值以及它们中一点的函数值。这里只介绍前两种，而称基于第一种方

式构造的算法为牛顿法，称基于第一种方式构造的算法为抛物线法。

设xk{k=1,2,3...)为Minf{x}的某算法的迭代点列，在牛顿法中，迭代公式采

用：

而在抛物线法中，迭代公式采用：

1—尤2)，f(Xk-3)+(XA-3~Xk-l)'f(Xk-2)+(Xk-2~Xk-3)'f(Xk-\)

xk--------------------------------------------------------------------

2(