专题02承上启下篇-勾股定理（原卷版）

专题02承上启下篇勾股定理题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺提升专练：真题感知+精选专练，全面突破【题型1用勾股定理或其逆定理解三角形】【题型2折叠问题】【题型3勾股定理与全等三角形】【题型4网格问题】【题型5勾股定理的实际应用】【题型6勾股定理的证明及其在平面直角坐标系的应用】【题型7勾股定理选择、填空题综合】【题型8勾股定理、全等三角形综合难点分析】知识点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）知识点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.知识点三、勾股定理与全等三角形题型归纳【题型1用勾股定理或其逆定理解三角形】1．如图，在中，(1)，，求AB的长；(2)，，求的长．2．如图，在直角三角形中，，于点，已知，．(1)求斜边的长；(2)求的长．3．如图，在四边形中，，且，求AB的长．4．如图，已知是边上的中线，若，，，求的面积．【题型2折叠问题】5．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，将折叠，使点B与点A重合，折痕为．(1)求的周长．(2)求的长．6．如图，将长方形纸片沿折叠，使点恰好落在边上点处，若，，求的长．7．在中，，，，D，E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是．(1)如图1，如果点和顶点A重合，求CE的长．(2)如图2，如果点落在的中点上，求CE的长．【题型3勾股定理与全等三角形】8．在中，，D是边上一点，于点F，．(1)求证：．(2)当，求的长．9．如图，，，E是上的一点，且，．(1)求证：．(2)若，，求的面积．10．如图，在中，，点D是上一动点，连接，过点A作，并且始终保持，连接．(1)求证：；(2)若平分交于．求的值．11．如图，中，，，，分别以、为直角边向外作等腰直角和等腰直角．(1)求证：；(2)求的长．12．如图，在等腰直角中，，，为边上一点，连接，且，连接，．(1)求证：；(2)若，，求的长．13．如图，在和中，，，点A，C，D依次在同一直线上，且．(1)求证：；(2)连接，若，，求的长．14．如图，在中，，，点是内部的一点，连接，作，，垂足分别为点，．(1)求证：；(2)若，，，求的周长．15．如图，在中，，，，为中点，点，分别在直线，上，，连接．

(1)如图1，当点与点重合时，求的长；(2)如图2，当点不与点重合时，求证：；(3)若，求线段的长．【题型4网格问题】16．已知在正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中，格点（即的三个顶点都在小正方形的顶点处）的三条边，，的长分别为，，．(1)在网格中画出．(2)求边上的高．17．在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．

(1)的面积为：．(2)若三边的长分别为、、，请在图2的正方形网格中画出相应的18．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，以下画图要求所画图形的顶点都在格点．(1)在图①中画一个面积为5的正方形；(2)在图②中画一个直角三角形，使它的两边长是无理数，另一边长是有理数；(3)在图③中画一个等腰三角形，使它的三边长都是无理数；(4)在图④中画一个三角形，使它的三边长分别是，，．19．如图，每个小正方形的边长都为1．(1)四边形的面积________；(2)四边形的周长________；(3)与有什么关系？请说明理由．【题型5勾股定理的实际应用】20．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词，翻译为：如图秋千细索悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为1米（米）．将它往前推进一些（于点E，且米），踏板升高到点B位置，此时踏板离地2米（米），求秋千绳（或）的长度．21．一架云梯长，按如图所示的方式斜靠在一面墙上，云梯底端离墙的距离为．(1)求此架云梯的顶端到地面的距离；(2)如果云梯的顶端A下滑了到达E处，求它的底部B在水平方向移动的距离的长．22．在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为15m；根据手中余线长度，计算出的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内．(1)求风筝离地面的垂直高度；(2)在余线仅剩9m的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升12m，请问能否成功？请运用数学知识说明．23．某游乐场部分平面图如图所示，点在同一直线上，点在同一直线上，，测得．(1)求入口到大摆锤的距离；(2)现要在距离大摆锤的处修建游乐项目旋转木马（即），点在同一直线上，且使旋转木马到过山车的距离最近．求过山车到旋转木马的距离．24．现有一艘快艇即将靠岸，当快艇到达点的位置后，关闭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子一直处于绷直状态，结果保留根号）(1)若工作人员以的速度收绳，后快艇移动到点D的位置，问此时快艇距离岸边还有多少？(2)若快艇关闭发动机后，保持的速度匀速靠岸，后快艇由点移动到点的位置，工作人员手中的绳子被收上来多少？25．葛藤是一种“刁钻”的植物，它自己腰杆不硬，为争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路径总是沿最短路线螺旋上升.难道植物也懂数学？(1)想一想怎样找出最短路径；(2)如图，若树干周长为，葛藤绕一圈升高，则它爬行一周的路程是多少米？【题型6勾股定理的证明及其在平面直角坐标系的应用】26．用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：(1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理：；(2)如图2，在中，，CD是AB边上的高，，，求CD的长度．27．在一节数学探究课上老师提供了若干张直角边分别为、的直角三角形纸板，如图所示．经过同学们探究后得出如下结论：选用若下张这样的纸片可以互不重叠的拼成一个大正方形，并且内部留下一个“空隙”是一个较小的正方形，图是同学们的一种拼法．(1)若图中大正方形的面积是“空隙”小正方形面积的倍，求的值；(2)请你选择若干张纸片拼出一个符合探究结论的图形（与图不同），画出示意图并直接用含的代数式表示大正方形、小正方形的面积．28．我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．(1)如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积．方法1：______；方法2：______；根据以上信息，可以得到等式：______；(2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；(3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积．29．阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点，，则该两点间距离公式为，同时，当两点在同一坐标轴上或所在直线平行于x轴、平行于y轴时，两点间的距离公式可分别化简成和．(1)若已知两点，，试求A，B两点间的距离；(2)已知点M，N在平行于y轴的同一条直线上，点M的纵坐标为7，点N的纵坐标为，试求M，N两点间的距离．【题型7勾股定理选择、填空题综合】30．下列各组数中，是勾股数的是（

）A．1，2，3 B．4，6，8 C．，， D．5，12，1331．已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为．32．木工师傅想利用木条制作一个直角三角形，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是（

）A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，15，1733．已知，如图所示，Rt△ABC的周长为4+23，斜边AB的长为23，则Rt△ABC的面积为．34．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为(

)A．米 B．米 C．2米 D．米35．如图，在矩形中，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数是（

）A． B． C． D．36．在中，，，则．37．已知三角形三边长为正整数，则此三角形是三角形．38．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（）A．4米 B．5米 C．6米 D．7米39．如图，在中，平分，平分，且交于，若，则的值为A．36 B．9 C．6 D．18【题型8勾股定理、全等三角形综合难点分析】40．如图，用一副三角板摆放三种不同图形．在中，，；中，，．(1)如图，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，请在图中找出一对全等三角形，并说明理由；(2)如图，当顶点在线段DE上且顶点在线段上时，过点作，垂足为点，猜想线段、、的数量关系，并说明理由；(3)如图，当顶点在线段DE上且顶点在线段上时，若，，连接CE，则的面积为．41．在中，，，点是直线AB上一点，作于点，于点．(1)如图1，点在线段AB上，BH交AC于点，若为MB的中点，，则______；(2)如图2，取AC中点，连接DH．①若点在线段AB上，求证：②若点在直线AB上，，，求AB的长．42．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考：

（1）由已知和作图能得到，依据是___________．A．SSS

B．ASA

C．AAS

D．SAS（2）由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【初步运用】（3）如图2，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长．【灵活运用】（4）如图3，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接，试猜想线段，，三者之间的等量关系，并证明你的结论．43．已知：在中，，．

(1)如图1，若点D在线段上，连接，在的右侧作，．①线段和线段存在何种数量关系？请说明理由．②请直接写出线段、、之间满足的数量关系_________．(2)如图2，若点D在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则线段、、之间满足的数量关系是_________．(3)如图3，若点D在直线上，连接，在的左侧作，当，时，的面积为_________．过关检测一、单选题1．下列三个数中，能组成一组勾股数的是（

）A．，， B．，，C．12，15，9 D．，，2．在中，，，的对边分别是a，b，c，且，则（

）A． B． C． D．不确定哪个角是直角二、填空题3．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC∶AC∶AB=．4．如图，有一个圆柱形杯子，底面周长为12cm，高为8cm，A点在