2025年中考数学二轮复习：新定义试题 专题练习题汇编（含答案）

第第页2025年中考数学二轮复习：新定义试题专题练习题汇编1.阅读理解：我们把对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为《x》，即当n为非负整数时，若n−12≤x＜n+12，则《（1）《2》＝1；（2）若《2x﹣1》＝5，则实数x的取值范围是114≤x＜（3）①《2x》＝2《x》；②当m为非负整数时，《m+2x》＝m+《2x》；③满足《x》=32x的非负实数x只有两个，其中结论正确的是②③2.对于任意实数m、n，定义一种新运算：m*n＝m﹣3n+7，等式右边是通常的加减运算，例如：2*3＝2﹣3×3+7＝0．（1）（8*2）的平方根为±3；（2）若关于x的不等式组3t＜2*x＜7解集中恰有3个整数解，求t的取值范围．3.在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2﹣2x，其顶点为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．①试求抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”的坐标；②向左或向右平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．4.对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若F(A)+G(A)16为整数，求出满足条件的所有数A5.规定a*b=–2ab，则–3*5的值为（）A．15 B．–15 C．30 D．–306.定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．7.定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是A． B． C．，且 D．，且8.现在规定一种新的运算“※”：a※b＝，如9※2＝＝3，则－※3等于()A． B．3 C．－ D．－39.在平面直角坐标系中，对于点和点，给出下列定义：若，则称点为点的限变点，例如：点的限变点的坐标是，点的限变点的坐标是，如果一个点的限变点的坐标是，那个这个点的坐标是（）A． B． C． D．10.如图，在菱形中，，点E是边的中点．点M是边上一动点（不与点A重合），连接并延长交的延长线于点N，连接．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)当时，求证：四边形是矩形；(3)填空：当的值为时，四边形是菱形．11.如图，直线分别与轴、轴交于点、，把直线沿轴向下平移3个单位长度，得到直线，且直线分别与轴、轴交于点C、D．(1)求直线对应的函数表达式；(2)求四边形的面积．12.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图1，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：（1）can30°＝，若canB＝1，则∠B＝60°．（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝48，求△ABC的周长．13.定义新运算：对于任意实数、，都有，则的值为1．14.有如下定义：数轴上有三个点，若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关键点”．若点A表示数﹣4，点B表示数8，M为数轴一个动点．若点M在线段AB上，且点M是点A、点B的“关键点”，则此时点M表示的数是________．15.定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：四边形ABCD中，若∠A+∠C＝180°或∠B+∠D＝180°，则四边形ABCD是“对补四边形”．【概念理解】（1）如图1，四边形ABCD是“对补四边形”．①若∠A：∠B：∠C＝3：2：1，则∠D＝90度．②若∠B＝90°．且AB＝3，AD＝2时．则CD2﹣CB2＝5．【类比应用】（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝CB，BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD是“对补四边形”．16.在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b),N.对于点P给出如下定义：将点P向右(a≥0)或向左(a<0)平移a个单位长度，再向上(b≥0)或向下(b<0)平移b个单位长度，得到点P'，点P'关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．(1)如图，点M(1,1),点N在线段OM的延长线上，若点P(−2,0),点Q为点P的“对应点”．①在图中画出点Q；②连接PQ,交线段ON于点T.求证：NT=(2)⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON=t(12<t<1)，若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ.当点M在⊙O上运动时直接写出PQ17.形如的式子叫做二阶行列式，其运算法则用公式表示为．依此法则计算：（1）计算的值．（2）若＝1，求x的值．18.定义一种新运算：，例如：，若，则（）A．-2 B． C．2 D．19.对于有理数a，b，n，d，若|a﹣n|+|b﹣n|＝d，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，|2﹣1|+|3﹣1|＝3，则2和3关于1的“相对关系值”为3．（1）﹣3和5关于1的“相对关系值”为8；（2）若a和2关于1的“相对关系值”为4，求a的值．20.若10x＝N，则称x是以10为底N的对数．记作：x＝lgN．例如：102＝100，则2＝lg100；100＝1，则0＝lg1．对数运算满足：当M＞0，N＞0时，lgM+lgN＝lg（MN）．例如：lg3+lg5＝lg15，则（lg5）2+lg5×lg2+lg2的值为（）A．5 B．2 C．1 D．021.定义一种新运算：☆，例如：☆，3☆．若☆，则的值是A．9 B． C．9或 D．无法确定22.若新运算“※”定义为：a※b＝b2﹣2a，则2※3＝（）A．3 B．4 C．5 D．﹣622.当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“标准三角形”，其中α为“标准角”，如果一个“标准三角形”的“标准角”为100°，那么这个“标准三角形”的最小内角度数为（）A．30° B．45° C．50° D．60°23.在平面直角坐标系xOy中，点P不在坐标轴上，点P关于x轴的对称点为P1，点P关于y轴的对称点为P2，称△P1PP2为点P的“关联三角形”．（1）已知点A（1，2），求点A的“关联三角形”的面积；（2）如图，已知点B（m，m），⊙T的圆心为T（2，2），半径为2．若点B的“关联三角形”与⊙T有公共点，直接写出m的取值范围；（3）已知⊙O的半径为r，OP＝2r，若点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点，直接写出∠PP1P2的取值范围．24.已知当m、n都是实数，且满足2m＝6+n，则称点A(m−1，n（1）判断点P（4，10）是否为“智慧点”，并说明理由．（2）若点M（a，1﹣2a）是“智慧点”．请判断点M在第几象限？并说明理由．参考答案1.【解答】解：（1）《2》＝1．（2）若《2x﹣1》＝5，则5−12≤2x﹣1＜5+12（3）《2x》＝2《x》，例如当x＝0.3时，《2x》＝1，2《x》＝0，故①错误；当m为非负整数时，不影响“四舍五入”，故《m+2x》＝m+《2x》，故②正确；《x》=32x，则32x−12≤x∵32x为非负整数，∴x＝0或23，故故答案为：1；114≤x＜132.【解答】解：（1）根据题中的新定义得：8*2＝8﹣3×2+7＝8﹣6+7＝9，则9的平方根是±3；故答案为：±3；（2）根据题中的新定义化简得：3t＜2﹣3x+7＜7，解得：23∵该不等式的解集有3个整数解，∴该整数解为1，2，3，∴3＜﹣t+3≤4，解得：﹣1≤t＜0．3.【解答】解：（1）∵a＝1＞0，y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（1，﹣1），（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝t2﹣2t，解得：t＝0或3，故“不动点”坐标为（0，0）或（3，3）；②当OC∥AB时，∵新抛物线顶点B为“不动点”，则设点B（m，m），∴新抛物线的对称轴为：x＝m，与x轴的交点C（m，0），∵四边形OABC是梯形，∴直线x＝m在y轴左侧，∵BC与OA不平行，∴OC∥AB，又∵点A（1，﹣1），点B（m，m），∴m＝﹣1，故新抛物线是由抛物线y＝x2﹣2x向左平移2个单位得到的；当OB∥AC时，同理可得：抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2+2＝x2﹣4x+6，当四边形OABC是梯形，字母顺序不对，故舍去，综上，新抛物线的表达式为：y＝（x+1）2﹣1．4.【解答】解：（1）∵357÷（3+5+7）＝357÷15＝23……12，∴357不是“和倍数”；∵441÷（4+4+1）＝441÷9＝49，*本号资料全部来源于微信公众号：数学第六感∴441是9的“和倍数”；（2）设A=abc（a+b+c＝12，a＞b＞c由题意得：F（A）=ab，G（A）=∴F(A)+G(A)16=∵a+c＝12﹣b，F(A)+G(A)16∴F(A)+G(A)16=10(12−b)+2b16=∵1＜b＜9，∴b＝3，5，7，∴a+c＝9，7，5，①当b＝3，a+c＝9时，a=8b=3c=1（舍），则A＝732或372；②当b＝5，a+c＝7时，a=6b=5则A＝156或516；③当b＝7，a+c＝5时，此种情况没有符合的值；综上，满足条件的所有数A为：732或372或156或516．5.【详解】∵a*b=–2ab，∴–3*5；6.【解答】解：（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，∴，解得，∴y＝x2+x﹣1，在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，∴G（0，﹣3）；（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，t2+t﹣1），N（t，0），本号资*料全部来源于微信*公众号：数学第六感∴NM＝﹣t2﹣2t+3，DM＝t2+t﹣1﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t2﹣t+2，∴＝＝；（3）存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形，理由如下：由（1）可得y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，∵E点与H点关于对称轴x＝﹣1对称，∴E（﹣2，﹣1），设F（x，0），①当EG＝EF时，∵G（0，﹣3），∴EG＝2，∴2＝，解得x＝﹣2或x＝﹣﹣2，∴F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②当EG＝FG时，2＝，此时x无实数根；综上所述：F点坐标为（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）．7.【解答】解：，，整理可得，又关于的方程有两个实数根，，解得：且。8.【解答】a※b＝，－※3=9.【答案】C【分析】根据新定义的叙述可知：这个点和限变点的横坐标不变，当横坐标a≥1时，这个点和限变点的纵坐标不变；当横坐标a＜1时，纵坐标是互为相反数；据此可做出判断．【详解】∵＞1

∴这个点的坐标为（，-1）

故选：C．【点睛】此题考查点的坐标，解题关键在于准确找出这个点与限变点的横、纵坐标与a的关系即可．10.【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2【分析】（1）根据菱形的性质可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“”证明和全等，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论成立；（2）可证是等边三角形，则即可证明；（3）由，得是等边三角形，则即可证明．【详解】（1）∵四边形是菱形，∴，∴，又∵点E是边的中点，∴，在和中，，∴，∴，∴四边形是平行四边形；（2）∵四边形是菱形，∴，∵点E是边的中点，∴，又∵，∴是等边三角形，∴，∴，∴，∴平行四边形是矩形；（3）当的值为2时，四边形是菱形，∵，∴是等边三角形，∴，∴平行四边形是菱形．故答案为：2．11.【答案】(1)(2)【分析】（1）设直线对应的函数表达式为：，将点、代入，待定系数法求解析式即可；（2）根据一次函数的平移规律得出直线对应的函数表达式为：，求得，根据四边形的面积为，即可求解．【详解】（1）设直线对应的函数表达式为：，将点、代入，得。，解得：。∴直线对应的函数表达式为（2）把直线：沿轴向下平移3个单位长度，得到直线，∴直线对应的函数表达式为：，∵直线分别与轴、轴交于点C、D．令，得，令，得，∴.∴四边形的面积为．12.【解答】解：（1）如图：过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∵∠B＝30°，∴BD＝ABcos30°＝AB，∴BC＝2BD＝AB，∴can30°＝＝＝，若canB＝1，∴canB＝＝1，∴BC＝AB，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，故答案为：，60；（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵canB＝，∴＝，∴设BC＝8x，AB＝5x，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝BC＝4x，∴AD＝＝3x，∵S△ABC＝48，∴BC•AD＝48，∴•8x•3x＝48，∴x2＝4，∴x＝±2（负值舍去），∴x＝2，∴AB＝AC＝10，BC＝16，∴△ABC的周长为36，答：△ABC的周长为36．14.【解答】解：，．故答案为：115.【答案】5或﹣1.【解析】解：设点M表示的数是x，∴MA＝x﹣（﹣4）＝x+4；BM＝8﹣x，∵若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关键点”，∴MA＝3BM或BM＝3MA，∴x+4＝3（8﹣x）或8﹣x＝3（x+4），解得：x＝5或x＝﹣1．故答案为：5或﹣1．15.【解答】（1）解：①∵∠A：∠B：∠C＝3：2：1，∴设∠A＝3x°，则∠B＝2x°，∠C＝x°，∵四边形ABCD是“对补四边形”，∴∠A+∠C＝180°，∴3x+x＝180，∴x＝45°．∴∠B＝2x＝90°．∵四边形ABCD是“对补四边形”，∴∠B+∠D＝180°，∴∠D＝90°．故答案为：90；②连接AC，如图，∵∠B＝90°，∴AB2+BC2＝AC2．∵四边形ABCD是“对补四边形”，∴∠B+∠D＝180°．∴∠D＝90°．∴AD2+CD2＝AC2．∴AB2+BC2＝AD2+CD2，∴CD2﹣CB2＝AB2﹣AD2，∵AB＝3，AD＝2，∴CD2﹣CB2＝32﹣22＝5．故答案为：5；（2）证明：在DC上截取DE＝DA，连接BE，如图，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB＝∠EDB．在△ADB和△EDB中，，∴△ADB≌△EDB（SAS），∴∠A＝∠DEB，AB＝BE，∵AB＝CB，∴BE＝BC，∴∠BEC＝∠C．∵∠DEB+∠BEC＝180°，∴∠DEB+∠C＝180°，∴∠A+∠C＝180°，∴四边形ABCD是“对补四边形”．16.【答案(1)解：①点Q如下图所示．∵点M(1,1)，∴点P(−2,0)向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点P'，∴P'−1,1∵点P'关于点N的对称点为Q，N2,2∴点Q的横坐标为：2×2−−1=5，纵坐标为：∴点Q5,3②证明：如图延长ON至点A3,3，连接AQ∵AQ//∴∠AQT=∠OPT，在ΔAQT与Δ∠AQT=∠OPT∠ATQ=∠OTP∴ΔAQT≅∴TA=TO=1∵A3,3，M(1,1)，N(2,2)∴OA=32+32∴TO=1∴NT=ON−OT=22∴NT=12(2)解：如图所示，连接PO并延长至S，使OP=OS，延长SQ至T，使ST=OM，∵M(a,b)，点P向右(a≥0)或向左(a<0)平移a个单位长度，再向上(b≥0)或向下(b<0)平移b个单位长度，得到点P'，∴PP'=OM=1，∵点P'关于点N的对称点为Q，∴NP'=NQ，又∵OP=OS，∴OM∥ST，∴NM为ΔP'QT∴NM//QT，∵NM=OM−ON=1−t，∴TQ=2NM=2−2t，∴SQ=ST−TQ=1−2−2t=2t−1，在ΔPQS中，PS−QS<PQ<PS+QS结合题意，PQmax=PS+QS∴PQ即PQ长的最大值与最小值的差为4t−2．17.【答案】（1）14.5；（2）【分析】（1）根据计算即可；（2）根据＝1可得，再解方程即可．【详解】解：（1）∵，∴；（2）∵＝1，∴，整理得：，解得．18.【答案】B【分析】根据新定义运算得到一个分式方程，求解即可.【详解】根据题意得，，则，经检验，是方程的解，故选B.19.【解析】（1）由题意得，|﹣3﹣1|+|5﹣1|＝8．故答案为8；（2）由题意得，|a﹣1|+|2﹣1|＝4，解得，a＝4或﹣2．20.【解析】原式＝lg5（lg5+lg2）+lg2＝lg5×lg（5