人教版高二下学期数学(必修二)《8.4空间点、直线、平面之间的位置关系》同步测试题附答案

第第页人教版高二下学期数学(必修二)《8.4空间点、直线、平面之间的位置关系》同步测试题附答案考试时间：60分钟；满分：100分学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．（高一课时练习）长方体ABCD−A1B1C1D1中，M是矩形BCC2．（陕西宝鸡·统考一模）如图在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD是平行四边形.已知PA=AB=2，AD=5，AC=1，E是PB(1)求证：PD∥平面ACE；(2)求四面体P−ACE的体积.3．（2023秋·河南安阳·高三期末）如图，在四棱锥P−ABCD中，ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是直角三角形，且PA=AD=4，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．(1)证明：PB∥平面EFG；(2)求三棱锥B−EFG的体积．4．（2022春·山东聊城·高一期中）如图：在正方体ABCD−A1B1C(1)求证：BD1∥平面(2)若N为CC1的中点，求证：平面AMC∥平面5．（2022春·河南信阳·高一阶段练习）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、Q、S分别是被AB、BC、C1D1、D1A1的中点.(1)求证：MN//QS；(2)记MNQS确定的平面为α,作出平面α被该正方体所截的多边形截面，写出作法步骤.并说明理由，然后计算截面面积；(3)求证：平面ACD1//平面α.6．（2022春·山东聊城·高一期中）如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD为平行四边形，F,G分别为PB,AD的中点.(1)证明：AF∥平面PCG；(2)在线段BD上是否存在一点N，使得FN∥平面PCG，并给出必要的证明.7．（2022春·山东聊城·高一阶段练习）如图，四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AD=12BC，点E为PC上一点，F为PB(1)若平面PAD与平面PBC的交线为l，求证：l//平面ABCD(2)求证：AF//8．（2022秋·湖南怀化·高二阶段练习）已知ABCD−A1B1C1D(1)若E是AB1的中点，求证：O1(2)求C到平面EB9．（2022春·广西百色·高一期末）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点．(1)求证：EF∥平面BDD1B1；(2)设G为棱CD上的中点，求证：平面GEF∥平面BDD1B1．10．（海南省·统考模拟预测）如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD为正三角形，M为线段PD上一点，N为BC的中点.(1)当M为PD的中点时，求证：MN//平面PAB.(2)当PB//平面AMN，求出点M的位置，说明理由.11．（河南·校联考模拟预测）如图，多面体ABCDEF的面ABCD是正方形，其中心为M．平面ADE⊥平面ABCD，BF∕∕AE，AE=2BF，AD=DE=AE=2．(1)求证：CF⊥平面AEFB；(2)在△ADE内（包括边界）是否存在一点N，使得MN∕∕平面CEF？若存在，求点N的轨迹，并求其长度；若不存在，请说明理由．12．（北京·统考模拟预测）如图所示，已知△BCD中，BC=BD=2，且∠CBD=120°，现将△BCD沿BC翻折到△ABC，满足cos∠ABD=(1)求证：AD⊥BC；(2)若E为边CD的中点，求直线AE与平面ABC所成角的正弦值．13．（2023春·四川成都·高三开学考试）如图，在几何体ABCDE中，AD⊥面ABE，AD∥BC，AD=2BC，(1)求证：平面DCE⊥平面DAE；(2)AB=1，AE=2，VABCDE=1414．（2023秋·四川广元·高二期末）如图，边长为3的正方形ABCD中，点E是线段AB上的动点，点F是线段BC上的动点，均不含端点，且满足BE=BF，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点P.(1)求证：PD⊥EF；(2)当BE=BF=13BC15．（内蒙古·模拟预测）如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AD⊥AB，AB//CD，PB=CD=2AB=2AD，PD=2AB，PC⊥DE，(1)证明：PD⊥平面ABCD；(2)若F是棱AB的中点，AB=2，求点C到平面DEF的距离.16．（2023秋·山东威海·高二期末）如图，在正四棱锥P－ABCD中，PA=AB=32，点M，N分别在PA，BD上，且PM(1)求证：MN⊥AD；(2)求证：MN//平面PBC，并求直线MN到平面PBC的距离．17．（2023秋·山东东营·高二期末）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面(1)求证：A1C∥(2)求证：BD⊥平面AA18．（辽宁沈阳·高二学业考试）已知在四棱锥E−ABCD中，AE⊥底面ABCD，且底面ABCD是正方形，F、G分别为AE和CE的中点.(1)求证：FG//平面ABCD(2)求证：BD⊥CE.19．（高一课时练习）已知圆锥的轴截面SAB是等腰直角三角形，SA=2a，Q是底面圆O内一点，且OQ⊥AQ，C是AS中点，D是点O在SQ上的射影．(1)求证：OD⊥面AQS；(2)求三棱锥S−OCD体积的最大值．20．（2022春·河南·高一期中）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F,G分别为所在棱的中点，Q,H分别为正方形(1)证明：平面EFG//平面CD(2)问在线段CD上是否存在一点P，使得DQ∥平面D1PH？若存在，写出21．（2023秋·江苏苏州·高三期末）如图1，在长方形ABCD中，已知AB=2，BC=1，E为CD中点，F为线段EC上（端点E，C除外）的动点，过点D作AF的垂线分别交AF，AB于O，K两点．现将△DAF折起，使得DK⊥AB（如图2）．(1)证明：平面ABD⊥平面ABC；(2)求直线DF与平面ABC所成角的最大值．22．（2022秋·甘肃兰州·高二期末）如图，已知在四棱锥P−ABCD中，PA=AD=PD=2，∠BAD=∠CDA=90°，AB=2CD，CD⊥PA，E，F分别为棱PB，PA的中点．(1)求证：平面PAB⊥平面EFDC；(2)若直线PC与平面PAD所成的角为45°，求四棱锥P−ABCD的体积．23．（2022春·河南洛阳·高一阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，E、F分别是PB、CD的中点.(1)证明：EF//平面PAD；(2)证明：EF⊥平面PAB；(3)若PB⊥平面AEF，求四棱锥E−ABCF的体积.24．（2022秋·湖北随州·高二开学考试）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90∘，AD//BC,AB⊥AC,AB=AC=2(1)已知点F在BC上，且CF=2FB，求证：平面PEF⊥平面PAC.(2)求点D到平面PAB的距离.25．（2022秋·上海·高二专题练习）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO＝OB＝1，(1)若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；(2)求三棱锥P﹣ABC体积的最大值；(3)若BC＝2，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值.26．（河南南阳·模拟预测）如图，四棱锥P−ABCD中，AB//CD，AB=12CD=1，E(1)证明：BE//平面PAD；(2)若AB⊥平面PBC，△PBC是边长为2的正三角形，求点E到平面PAD的距离.27．（全国·高一专题练习）如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BB1C(1)证明：B1(2)若AC⊥AB1，∠CBB1=60°(3)在（2）的条件下，求三棱柱ABC−A28．（高一单元测试）如图，在以A、B、C、D、E、F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=4，DF=2，∠AFD=90°，且二面角D−AF−E与二面角C−BE−F都是60°．(1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC；(2)求D到平面CBE的距离；(3)求二面角D−CB−E的大小．29．（2022春·山东临沂·高一阶段练习）如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=23DA①求三棱锥Q−ABP的体积；②求二面角Q−AP−C的余弦值．30．（2022秋·辽宁·高二开学考试）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，M为棱AC的中点，(1)求证：B1C//平面(2)求证：AC1⊥(3)在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥参考答案1．（高一课时练习）长方体ABCD−A1B1C1D1中，M是矩形BCC【解题思路】连结C1D、C1B、BD.由已知可推得MN//【解答过程】证明：连结C1D、C1由已知可得，点M是C1B的中点，点N是所以，MN是△C所以MN//又MN⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以MN//平面ABCD2．（陕西宝鸡·统考一模）如图在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD是平行四边形.已知PA=AB=2，AD=5，AC=1，E是PB(1)求证：PD∥平面ACE；(2)求四面体P−ACE的体积.【解题思路】（1）连接BD交AC于点O，连接OE，然后利用平行四边形的性质及线面平行的判断即可；（2）利用等体积法求解即可，即VP−ACE【解答过程】（1）证明：连接BD交AC于点O，连接OE，如图所示：∵ABCD是平行四边形，∴O为BD中点，且E为PB中点，∴OE∥PD，且PD⊄平面ACE内，OE⊂平面∴PD∥平面ACE.（2）∵BC∴Rt△ABC的面积S=又∵PA⊥面ABCD，∴VP−ABC又∵E为PB中点，∴VP−ACE所以四面体P−ACE的体积为133．（2023秋·河南安阳·高三期末）如图，在四棱锥P−ABCD中，ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是直角三角形，且PA=AD=4，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．(1)证明：PB∥平面EFG；(2)求三棱锥B−EFG的体积．【解题思路】（1）证明平面PBC∥平面EFG，根据PB⊂平面PBC，得到证明.（2）确定B，D两点到平面EFG的距离相等，VB【解答过程】（1）E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，故EF∥AD∥BC，FG∥PC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，FG⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，故EF∥平面PBC，FG∥平面PBC，EF∩FG=F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，平面PBC∥平面EFG，PB⊂平面PBC，故PB∥平面EFG．（2）连接DE，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PA⊥AD，故PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，PA⊥CD，四边形ABCD为正方形，AD⊥CD，PA∩AD=A，PA,AD⊂平面PAD，故CD⊥平面PAD．GD＝2，S△EFDBC∥平面EFG，故B，C两点到平面EFG的距离相等，G是线段CD的中点，C，D两点到平面EFG的距离相等，即B，D两点到平面EFG的距离相等，VB三棱锥B－EFG的体积为434．（2022春·山东聊城·高一期中）如图：在正方体ABCD−A1B1C(1)求证：BD1∥平面(2)若N为CC1的中点，求证：平面AMC∥平面【解题思路】（1）设AC∩BD=O，接OM，证明OM∥BD（2）证明四边形CND1M为平行四边形，从而可得D1N∥CM，即可证得D【解答过程】（1）证明：设AC∩BD=O，接OM，∵在正方体ABCD−A1B1C1D∵M是DD1的中点，∵BD1⊄平面∴BD1∥平面（2）证明：∵N为CC1的中点，M为∴CN∥D∴四边形CND1M又∵MC⊂平面AMC,∵D1N⊄平面AMC,∴D1由（1）知BD1∥平面AMC,∵BD1∩∴平面AMC∥平面BND5．（2022春·河南信阳·高一阶段练习）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、Q、S分别是被AB、BC、C1D1、D1A1的中点.(1)求证：MN//QS；(2)记MNQS确定的平面为α,作出平面α被该正方体所截的多边形截面，写出作法步骤.并说明理由，然后计算截面面积；(3)求证：平面ACD1//平面α.【解题思路】（1）MN//AC，SQ//A1（2）取AA1、CC1中点E、F，则（3）根据平面与平面平行的判定定理证明即可．【解答过程】（1）证明：连接SQ，MN，AC，A1正方体中AA1//CC1，∵M、N、Q、S分别是被AB、BC、C1D1∴MN//AC，SQ//（2）取AA1、CC1中点E、F，连接S、Q、F、N、则正六边形SQFNME为平面α被该正方体所截的多边形截面，MN=BM2（3）∵MN//AC，AC⊂平面α，MN⊂∴AC//平面α又∵S、E分别A1D1、A∵SE⊂平面α，AD1⊂平面α，∴A又∵AD1∩AC=A，AC⊂平面ACD1∴平面ACD1//6．（2022春·山东聊城·高一期中）如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD为平行四边形，F,G分别为PB,AD的中点.(1)证明：AF∥平面PCG；(2)在线段BD上是否存在一点N，使得FN∥平面PCG，并给出必要的证明.【解题思路】（1）取PC中点H，证明四边形AGHF为平行四边形即可；（2）设BD∩CG=O，取OB中点K，先证明FK//平面PCG，即可证明点N在线段BD靠近B端的三等分点时符合题意.【解答过程】（1）证明：取PC中点H，连接GH,FH，在△PBC中，F为PB的中点，∴FH∥∵G为AD的中点，∴AG∥1即四边形AGHF为平行四边形，∴AF∥GH.∵GH⊂平面PCG,AF⊄平面PCG,∴AF∥平面PCG.（2）设BD∩CG=O，取OB中点K，连接FK，则在△POB中，∵F,K分别是OB,PB的中点，∴FK∥OP，∵OP⊂平面PCG,FK⊄平面PCG，∴FK∥平面PCG.∵△DOG与△BOC相似，且相似比为1:2，∴BO=2DO=2KB，∴K为BD的三等分点.∴N在K点位置时满足FN∥平面PCG.即点N在线段BD靠近B端的三等分点时符合题意.7．（2022春·山东聊城·高一阶段练习）如图，四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AD=12BC，点E为PC上一点，F为PB(1)若平面PAD与平面PBC的交线为l，求证：l//平面ABCD(2)求证：AF//【解题思路】（1）结合线面平行的判定定理和性质定理证得：l//平面ABCD（2）结合线面平行的性质定理和三角形重心的知识证得：AF//【解答过程】（1）∵BC//AD，AD⊂平面PAD,BC⊄平面PAD，∴BC//∵BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面PAD=l，∴BC//∵BC⊂平面ABCD,l⊄平面ABCD，

∴l//平面ABCD（2）连接AC,FC，设AC∩BD=O，FC∩BE=M，连接OM，∵AF//平面BDE,AF⊂平面AFC，平面AFC∩平面BDE=OM∴AF//∵AD//BC，AD=1∴FMMC∴点M是△PBC的重心，∴点E是PC的中点，∴EMMB∴OM//∴AF//8．（2022秋·湖南怀化·高二阶段练习）已知ABCD−A1B1C1D(1)若E是AB1的中点，求证：O1(2)求C到平面EB【解题思路】（1）通过构造中位线的方法证得O1E//（2）利用等体积法求得C到平面EB【解答过程】（1）连接AD1，由于E,O所以O1由于O1E⊄平面ADD1A所以O1E//（2）连接CA,CB1,CD1,AO1，则C到平面VC−AB1AB13所以C到平面EB1O9．（2022春·广西百色·高一期末）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点．(1)求证：EF∥平面BDD1B1；(2)设G为棱CD上的中点，求证：平面GEF∥平面BDD1B1．【解题思路】（1）根据线面平行的判定定理求证即可；（2）根据面面平行的判定定理证明即可．【解答过程】（1）证明：在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，连接BM，如图，因E，F分别是BC，CM的中点，则有EF∥BM，又EF⊄平面BDD1B1，BM⊂平面BDD1B1，所以EF∥平面BDD1B1．（2）证明：取CD的中点G，连接EG，FG，如图，而E是BC的中点，于是得EG∥BD，而EG⊄平面BDD1B1，BD⊂平面BDD1B1，从而得EG∥平面BDD1B1，由（1）知EF∥平面BDD1B1，EF∩EG＝E，且EF、EG⊂平面GEF，因此，平面GEF∥平面BDD1B1，所以当G是DC的中点时，平面GEF∥平面BDD1B1．10．（海南省·统考模拟预测）如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD为正三角形，M为线段PD上一点，N为BC的中点.(1)当M为PD的中点时，求证：MN//平面PAB.(2)当PB//平面AMN，求出点M的位置，说明理由.【解题思路】（1）取AP中点为E，连接EM,EB，利用中位线、平行四边形性质及平行公理有BN//ME,BN=ME，即BNME为平行四边形，则MN//BE，最后根据线面平行的判定证结论；（2）连接AN,BD，相交于O，连接OM，由线面平行的性质得PB//OM，利用相似比可得PMMD=1【解答过程】（1）取AP中点为E，连接EM,EB，在△PAD中，M为PD的中点，E为AP中点，∴EM//AD,EM=1在平行四边形ABCD中，N为BC的中点，∴BN//AD,BN=1∴BN//ME,BN=ME，∴四边形BNME为平行四边形，∴MN//BE,MN⊄面PAB,BE⊂面PAB，∴MN//平面PAB；（2）连接AN,BD，相交于O，连接OM，∵PB//面AMN，面PBD∩面AMN=OM,PB⊂面PBD，∴PB//OM，PMMD即存在点M，M为PD上靠近P点的三等分点.11．（河南·校联考模拟预测）如图，多面体ABCDEF的面ABCD是正方形，其中心为M．平面ADE⊥平面ABCD，BF∕∕AE，AE=2BF，AD=DE=AE=2．(1)求证：CF⊥平面AEFB；(2)在△ADE内（包括边界）是否存在一点N，使得MN∕∕平面CEF？若存在，求点N的轨迹，并求其长度；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）取AE的中点G，连接GF，DG，证明CF∕∕DG，根据面面垂直的性质可得BA⊥平面ADE，从而可得BA⊥DG，在证明DG⊥平面AEFB，即可得证；（2）先证明BG∕∕平面CEF，DG∕∕平面CEF，再根据面面平行的判定定理可得平面BDG∕∕平面CEF，再根据面面平行的性质即可得出结论.【解答过程】（1）如图，取AE的中点G，连接GF，DG，因为BF∕∕AE，AE=2BF，所以BF∕∕AG，BF=AG，所以四边形ABFG是平行四边形，所以FG∕∕AB，FG=BA，又因为BA∕∕CD，BA=CD，所以FG∕∕CD，FG=CD，所以四边形CDGF是平行四边形，所以CF∕∕DG，因为BA⊥AD，平面ADE⊥平面ABCD，BA⊂平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，所以BA⊥平面ADE，又DG⊂平面ADE，所以BA⊥DG，因为AD=DE=AE，G为AE的中点，所以DG⊥AE，又AE，BA⊂平面AEFB，且AE∩BA=A，所以DG⊥平面AEFB，所以CF⊥平面AEFB；（2）如图，连接BD，BG，由（1）知，BF∕∕AG，BF=AG，所以BF∕∕EG，BF=EG，所以四边形BGEF是平行四边形，所以BG∕∕EF，因为EF⊂平面CEF，BG⊄平面CEF，所以BG∕∕平面CEF，又由（1）知，CF∕∕DG，CF⊂平面CEF，DG⊄平面CEF，所以DG∕∕平面CEF，因为DG，BG⊂平面BDG，且DG∩BG=G，所以平面BDG∕∕平面CEF，设点N为线段DG上任意一点，则MN⊂平面BDG，MN∕∕平面CEF，所以点N的轨迹为线段DG，长度为3．12．（北京·统考模拟预测）如图所示，已知△BCD中，BC=BD=2，且∠CBD=120°，现将△BCD沿BC翻折到△ABC，满足cos∠ABD=(1)求证：AD⊥BC；(2)若E为边CD的中点，求直线AE与平面ABC所成角的正弦值．【解题思路】（1）取AD中点M，连接BM，CM，证明AD⊥平面CBM，原题即得证；（2）过点D作DF⊥BC交CB的延长线于点F，连接AF,过点D作DO⊥AF交AF的延长线于点O.先求出AE的长，再求出D到平面ABC的距离，即得解.【解答过程】（1）取AD中点M，连接BM，CM，∵BC=BD=2，∠CBD=120°，∴CD=23，同理可得AC=CD=2又∵BA=BD，∴BM⊥AD，CM⊥AD

．∵BM∩CM=M，BM，CM⊂平面CBM，∴AD⊥平面∵BC⊂平面CBM，∴AD⊥BC.（2）过点D作DF⊥BC交CB的延长线于点F，连接AF,过点D作DO⊥AF交AF的延长线于点O.∵cos∠ABD=∴A∴AD=4在△ACD中，E为CD的中点,由平行四边形对角线平方和定理得知：2AE2∴4AE∵DF⊥BC，由（1）知AD⊥BC，且DF∩AD=D，DF,AD⊂平面ADF，∴BC⊥平面ADF，∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADF∵平面AFD∩平面ABC=AF在△ABF中，AF=AB×cos∠BAF=2×3又DO⊥AF，则DO为D到平面ABC的距离.由余弦定理得cos∠FAD=∴sin∠FAD=则DO=AD⋅sin∵E为DC中点,∴E到平面ABC的距离为12∴AE与平面ABC所成角的正弦值为21513．（2023春·四川成都·高三开学考试）如图，在几何体ABCDE中，AD⊥面ABE，AD∥BC，AD=2BC，(1)求证：平面DCE⊥平面DAE；(2)AB=1，AE=2，VABCDE=14【解题思路】（1）根据线线平行证得CN//BM，再结合线面垂直的性质定理与面面垂直的判定定理即可得证；（2）首先确定直线CE与平面DAE所成角的平面角为∠CEN，再应用棱锥体积公式求CE=52、【解答过程】（1）如图，取AE、DE的中点M、N，连接BM、MN、CN，则知MN∥AD，且AD=2MN，又AD∥BC，且所以MN∥BC，且则四边形BMNC为平行四边形，所以CN∥∵AB=BE，M为AE的中点，∴BM⊥AE，∵AD⊥平面ABE，BM⊂平面ABE，∴BM⊥AD．又AD∩AE=A，AD⊂平面DAE,AE⊂平面DAE，∴BM⊥平面DAE从而可得CN⊥平面DAE，由于CN⊂平面DCE，所以平面DCE⊥平面DAE，命题得证．.（2）由（1）知，CN⊥平面DAE于N，则∠CEN为CE与平面DAE所成角.且在Rt△CEN中，sin∠CEN=CNCE，由AB=BE=1且又已知AD⊥平面ABE，BE⊂平面ABE，∴AD⊥BE，∵AD∩AB=A,AD,AB⊂平面ABCD，∴BE⊥平面ABCD，设BC=t(t>0)，则AD=2t，那么有SABCD则VABCDE=13S从而易得，在Rt△CBE中，CE=又在Rt△ABE中，BM=22∴sin∠CEN=CNCE=25=14．（2023秋·四川广元·高二期末）如图，边长为3的正方形ABCD中，点E是线段AB上的动点，点F是线段BC上的动点，均不含端点，且满足BE=BF，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点P.(1)求证：PD⊥EF；(2)当BE=BF=13BC【解题思路】（1）由线线垂直证DP⊥平面PEF，再证PD⊥EF；（2）由等体积法求VD−PEF【解答过程】（1）证明：A，C重合于P，∵DA⊥AE，∴DP⊥PE，∵DC⊥CF，∴DP⊥PF，又PE⊂平面PEF，PF⊂平面PEF，PE∩PF=P，∴DP⊥平面PEF，∵EF⊂平面PEF，∴PD⊥EF；（2）由已知得BE=BF=1，EF=2，PE=PF=2则在△PEF中，EF边上的高ℎ=4−则S△PEF∴VP−EFD15．（内蒙古·模拟预测）如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AD⊥AB，AB//CD，PB=CD=2AB=2AD，PD=2AB，PC⊥DE，(1)证明：PD⊥平面ABCD；(2)若F是棱AB的中点，AB=2，求点C到平面DEF的距离.【解题思路】（1）由线面垂直判定可证得DE⊥平面PBC，进而得到DE⊥BC；利用勾股定理和线面垂直的判定得到BC⊥平面PBD，从而得到BC⊥PD；利用勾股定理可证得PD⊥BD，由此可得结论；（2）设点C到平面DEF的距离为d，利用等体积转换的方式，由VC−DEF【解答过程】（1）连接BD，∵AB=AD，AB⊥AD，∴BD=2AB，又PD=2∵E为棱PB中点，∴DE⊥PB，又PC⊥DE，PC∩PB=P，PC,PB⊂平面PBC，∴DE⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，∴DE⊥BC；在直角梯形ABCD中，取CD中点M，连接BM，∵CD=2AB，∴DM=AB，又DM//AB，AB=AD，∴四边形ABMD为正方形，∴BM=AD，BM⊥CD，∴BC=2BM=2AD=2AB，又∵BD∩DE=D，BD,DE⊂平面PBD，∴BC⊥平面PBD，∵PD⊂平面PBD，∴BC⊥PD；∵PD=BD=2AB，PB=2AB，∴PD又BC∩BD=B，BC,BD⊂平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD.（2）∵AD=AB=2，CD=2AB=4，AB⊥AD，∴S由（1）知：PD⊥平面ABCD，PD=22，则点E到平面ABCD的距离d1=∵AD=2，PD=22，∴PA=∵E,F分别为棱PB,AB中点，∴EF=1∵AB⊥AD，AB=AD=2，∴DF=5，BD=2∵PD=BD=22，∴PB=4，∴DE=由余弦定理得：cos∠DEF=4+3−52×2×∴S设点C到平面DEF的距离为d，∴VC−DEF=即点C到平面DEF的距离为82216．（2023秋·山东威海·高二期末）如图，在正四棱锥P－ABCD中，PA=AB=32，点M，N分别在PA，BD上，且PM(1)求证：MN⊥AD；(2)求证：MN//平面PBC，并求直线MN到平面PBC的距离．【解题思路】（1）连接AN并延长交BC于E，连接PE，先通过比例得到MN∥PE，再通过证明PE⊥BC可得MN⊥AD；（2）通过MN//PE可得MN//平面PBC，将求直线MN到平面PBC的距离转化为点N到平面PBC的距离，利用等体积法13【解答过程】（1）连接AN并延长交BC于E，连接PE，∵BNBD∵AD//BC,BN∴NEAN=∴PM∴MN//PE，又∴BEAD=12又在正四棱锥中PA=AB，则PC=PB，∴PE⊥BC，即PE⊥AD，∴MN⊥AD；（2）由（1）得MN//PE，且MN⊄面PBC，PE⊂面PBC，∴MN//平面PBC，故直线MN到平面PBC的距离即为点N到平面PBC的距离，设为ℎS△PBCS△NBC点P到面ABCD的距离ℎ'由VP−NBC=V∴1得ℎ=217．（2023秋·山东东营·高二期末）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面(1)求证：A1C∥(2)求证：BD⊥平面AA【解题思路】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论；（2）作A1I⊥平面ABCD于点I，作A1G⊥AB于点G，A1K⊥AD于点K，连接Kl,Gl，需证明I在【解答过程】（1）证明：如图，在平行六面体ABCD−A1B连接AC，交BD于O点，则O为AC的中点，连接EO，因为E为AA1的中点，故因为EO⊂平面EBD，A1C⊄平面故A1C∥（2）证明：作A1I⊥平面ABCD于点I，作A1G⊥AB于点G，连接Kl,Gl，因为∠A1AD=∠A1AB，所以A1∵A1I⊥平面ABCD，GI,KI⊂平面ABCD，∴故Rt△A1IG≌又A1I⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD,故A1A1G∩A1I=A1GI⊂平面A1GI，故AB⊥GI,同理可证AD⊥KI,结合可知I在∠BAD的平分线上，即I在AC上，则A1I⊂平面而A1I⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD,故又底面ABCD是菱形，则BD⊥AC,AC∩A1I=I,AC,A1I⊂平面18．（辽宁沈阳·高二学业考试）已知在四棱锥E−ABCD中，AE⊥底面ABCD，且底面ABCD是正方形，F、G分别为AE和CE的中点.(1)求证：FG//平面ABCD(2)求证：BD⊥CE.【解题思路】（1）连接AC，通过证明FG//（2）通过证明BD⊥面ACE可得答案.【解答过程】（1）连接AC，由已知F、G分别为AE和CE的中点，∴FG//AC，又FG⊄面ABCD，AC⊂面∴FG//平面ABCD（2）∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又AE⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，∴BD⊥AE，∵AE∩AC=A,AE⊂面ACE，AC⊂面ACE，∴BD⊥面ACE，又CE⊂面ACE，∴BD⊥CE.19．（高一课时练习）已知圆锥的轴截面SAB是等腰直角三角形，SA=2a，Q是底面圆O内一点，且OQ⊥AQ，C是AS中点，D是点O在SQ上的射影．(1)求证：OD⊥面AQS；(2)求三棱锥S−OCD体积的最大值．【解题思路】（1）根据空间中线线垂直，线面垂直的相互转化关系即可证明．（2）先通过空间中垂直关系证明AS⊥平面OCD，再根据三棱锥的体积公式，结合基本不等式，即可求其体积的最大值【解答过程】（1）∵SO⊥底面，AQ在底面上

∴SO⊥AQ又∵AQ⊥OQ，SO∩OQ=O，SO⊆平面SOQ，OQ⊆平面SOQ，∴AQ⊥平面SOQ∵OD⊆平面SOQ，∴AQ⊥OD

又∵D是点O在SQ上的射影，即OD⊥SQ且AQ∩SQ=Q，AQ⊆平面SAQ，SQ⊆平面SAQ，∴OD⊥平面SAQ（2）∵圆锥的轴截面SAB是等腰直角三角形，C是AS中点，O是AB中点，∴OC⊥AS又由(1)知，OD⊥平面SAQ∴OD⊥AS且OC∩OD=O，OC⊆平面OCD，OD⊆平面OCD，∴AS⊥平面OCD又∵SA=2a∴VS−OCD=当且仅当OD=OC=2所以三棱锥S−OCD的体积最大值为a320．（2022春·河南·高一期中）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F,G分别为所在棱的中点，Q,H分别为正方形(1)证明：平面EFG//平面CD(2)问在线段CD上是否存在一点P，使得DQ∥平面D1PH？若存在，写出【解题思路】（1）由面面平行的判定即可得证；（2）要证明DQ//平面D1PH，只要DQ平行于平面D1【解答过程】（1）连接C1B，则有EF//CEF⊂平面GEF，D1Q⊄平面GEF，所以D1GE⊂平面GEF，D1C⊄平面GEF，所以D1且D1Q⊂平面CD1QH，D∴平面GEF//平面CD（2）如图：设平面QDC与D1H的交点为N，正方体的棱长为∵CD⊥平面AA1D1D，D又D1Q⊥DQ，DQ⊂平面DQC，CD⊂平面DQC，∴D1Q⊥连接QN，QN⊂平面DQC，∴D1Q⊥QN在△D1AH由余弦定理得：cos∠A在Rt△D1在平面QDC内作直线NL//DC，交QD于L，则NL⊥平面AA1D在线段DC上取P点，使得DP=NL，则四边形DPNL为矩形，QD//NP,NP⊂平面D1PH，QD⊄平面D1PH，P点即是所求的点；取DC的中点K，连接HK，则HK⊥平面DD过N点在平面D1HK内作HK的平行线NM，交D1K于M点，过M点作DC的平行线，交D1D于WM=LN=DP，且D1∴DP=WM=D即P点的位置在靠近D点的DC线段的三分点处；综上，存在点P满足题意，P点在靠近D点的DC线段的三分点处.21．（2023秋·江苏苏州·高三期末）如图1，在长方形ABCD中，已知AB=2，BC=1，E为CD中点，F为线段EC上（端点E，C除外）的动点，过点D作AF的垂线分别交AF，AB于O，K两点．现将△DAF折起，使得DK⊥AB（如图2）．(1)证明：平面ABD⊥平面ABC；(2)求直线DF与平面ABC所成角的最大值．【解题思路】（1）先证AF⊥平面ODK，得DK⊂平面ODK，所以AF⊥DK，再证DK⊥平面ABC，从而得证面面垂直；（2）直线DF与平面ABCF所成角为∠DFK，记∠DFK=θ，设DF=x（1<x<2），由△FDA∼△DAK，得AK=1x，计算【解答过程】（1）因为AF⊥OK，AF⊥OD，OD，OK⊂平面ODK，OD∩OK=O，所以AF⊥平面ODK．因为DK⊂平面ODK，所以AF⊥DK．又因为DK⊥AB，AB，AF⊂平面ABC，AB∩AF=A，所以DK⊥平面ABC．因为DK⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面ABC．（2）连结FK，由（1）可知，直线DF与平面ABCF所成角为∠DFK，记∠DFK=θ．在图1中，因为DK⊥AF，所以∠DFA+∠FDK=90°，又因为∠FDA=∠FDK+∠ADK=90°，所以∠DFA=∠ADK．又因为∠FDA=∠DAK=90°，所以△FDA∼△DAK．设DF=x（1<x<2），由DFAD=DAAK，得在图2中，因为DK⊥AB，所以DK=D所以sinθ=当且仅当x=2又因为θ∈0,π2，所以θ即直线DF与平面ABC所成角的最大值为π622．（2022秋·甘肃兰州·高二期末）如图，已知在四棱锥P−ABCD中，PA=AD=PD=2，∠BAD=∠CDA=90°，AB=2CD，CD⊥PA，E，F分别为棱PB，PA的中点．(1)求证：平面PAB⊥平面EFDC；(2)若直线PC与平面PAD所成的角为45°，求四棱锥P−ABCD的体积．【解题思路】（1）可证AB⊥平面PDA，从而得到AB⊥DF，从而可证DF⊥平面PBA，再证明E,F,D,C四点共面，从而得到要求证的面面垂直；（2）取AD的中点为G，连接PG，可证∠CPD为直线PC与平面PAD所成的角且PG⊥平面ABCD，根据体积公式可求四棱锥P−ABCD的体积．【解答过程】（1）因为在平面ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，故AB//因为CD⊥PA，故AB⊥PA，而AB⊥DA，DA∩PA=A，DA,PA⊂平面PDA，故AB⊥平面PDA.因为DF⊂平面PDA，故AB⊥DF，因为AD=PD=2，AF=PF，故PA⊥DF，因为PA∩AB=A，PA,AB⊂平面PBA，故DF⊥平面PBA.因为E,F分别为棱PB,PA的中点，故EF//而DC//AB,DC=1故E,F,D,C四点共面，而DF⊂平面EFDC，故平面PBA⊥平面EFDC.（2）取AD的中点为G，连接PG，由（1）可得AB//CD，故CD⊥PA,CD⊥AD，而PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD，故CD⊥平面PAD，故∠CPD为直线PC与平面PAD所成的角，故∠CPD=45°，因为CD⊥平面PAD，PD⊂平面PAD，故CD⊥PD，故△PCD为等腰直角三角形，而PD=2，故CD=2，故AB=4，故直角梯形ABCD的面积S=1又CD⊂平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，而△PAD为等边三角形，故PG⊥AD，且PG=3因为PG⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD=AD，故PG⊥平面ABCD，故四棱锥P−ABCD的体积为1323．（2022春·河南洛阳·高一阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，E、F分别是PB、CD的中点.(1)证明：EF//平面PAD；(2)证明：EF⊥平面PAB；(3)若PB⊥平面AEF，求四棱锥E−ABCF的体积.【解题思路】（1）取AP的中点为M，连接MD,ME，证明四边形EFDM为平行四边形即可证明EF//MD，进而根据判定定理即可证明；（2）证明DM⊥平面ABP，再结合EF//MD即可证明结论；（3）由题可求得AB=PA=2，进而求得直角梯形ABCF【解答过程】（1）证明：如图，取AP的中点为M，连接MD,ME.因为E,M,F分别是PB,PA,CD的中点，四边形ABCD是矩形，所以ME//AB,ME=12AB所以ME//DF,ME=DF，所以四边形EFDM为平行四边形，所以EF//MD，又MD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF//平面PAD（2）证明：因为PD=AD=1，AP的中点为M，所以DM⊥AP，因为PD⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PD⊥AB，因为底面ABCD是矩形，所以AD⊥AB，因为PD∩AD=D,PD,AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，因为DM⊂平面PAD，所以AB⊥DM，因为AB∩AP=A,AB,AP⊂平面ABP，所以DM⊥平面ABP，因为由（1）知EF//MD，所以EF⊥平面PAB.（3）解：因为PD⊥平面ABCD,AB、AD⊂平面ABCD，所以PD⊥AB,PD⊥AD，又PD=AD=1，所以PA=2因为PB⊥平面AEF,AE⊂平面AEF，所以PB⊥AE，又E是PB的中点，所以AB=PA=2所以直角梯形ABCF的面积S=1因为点E到平面ABCF的距离d=1所以VE−ABCF24．（2022秋·湖北随州·高二开学考试）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90∘，AD//BC,AB⊥AC,AB=AC=2(1)已知点F在BC上，且CF=2FB，求证：平面PEF⊥平面PAC.(2)求点D到平面PAB的距离.【解题思路】（1）先通过平面几何算出AE=FB=23，再证明四边形AEFB为平行四边形，因此EF//AB，进而证明EF⊥AC，再证PA⊥EF，得到EF⊥面PAC，因此平面（2）若G是BC中点，连接DG，易知ADGB为平行四边形，由线面平行的判定可得GD//面PAB，再由线面垂直的性质及判定有GH⊥面PAB，若H为AB中点，连接GH，则GH//AC，由D到面PAB的距离即为G【解答过程】（1）由AB⊥AC,AB=AC=2，即△ABC又ABCD是直角梯形且∠ADC=90∘，且AD//因为∠ADC=90∘，故△ACD为等腰直角三角形，所以因为BC=2，又AE=2ED，CF=2FB，∴AE=23AD=又AD//BC，即AE//FB，∴四边形又AB⊥AC，故EF⊥AC；由PA⊥底面ABCD，EF⊂面ABCD，则PA⊥EF，又PA∩AC=A，PA、AC⊂面PAC，∴EF⊥面PAC，而EF⊂面PEF，∴平面PEF⊥平面PAC.（2）取BC的中点G，连接DG，由（1）易知：ADGB为平行四边形，∴BA//GD，而BA⊂面PAB，GD⊄面PAB，即GD//综上，D到平面PAB的距离即为G到面PAB的距离，由PA⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，∴PA⊥AC，又AB⊥AC，AB∩PA=A，AB、PA⊂面PAB，故AC⊥面PAB，取AB的中点H，连接GH，则GH//AC，故GH⊥面PAB，又∴G到面PAB的距离GH=12AC=22，即D到平面25．（2022秋·上海·高二专题练习）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO＝OB＝1，(1)若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；(2)求三棱锥P﹣ABC体积的最大值；(3)若BC＝2，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值.【解题思路】（1）由题意可证AC⊥DO，又PO⊥AC，即可证明AC⊥平面PDO.（2）当CO⊥AB时，C到AB的距离最大且最大值为1，又AB＝2，即可求△ABC面积的最大值，又三棱锥P﹣ABC的高PO＝1，即可求得三棱锥P﹣ABC体积的最大值.（3）可求PB=12+12=2=PC，即有PB＝PC＝BC，由OP＝OB，C【解答过程】（1）在△AOC中，因为OA＝OC，D为AC的中点，所以AC⊥DO，又PO垂直于圆O所在的平面，所以PO⊥AC，因为DO∩PO＝O，DO,PO⊂平面PDO，所以AC⊥平面PDO.（2）因为点C在圆O上，所以当CO⊥AB时，C到AB的距离最大，且最大值为1，又AB＝2，所以△ABC面积的最大值为12×2×1=1，又因为三棱锥P﹣ABC的高故三棱锥P﹣ABC体积的最大值为：13（3）在△POB中，PO＝OB＝1，∠POB＝90°，所以PB=2同理PC＝2，所以PB＝PC＝BC，在三棱锥P﹣ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC'P如图所示，当O，E，C'共线时，CE+OE又因为OP＝OB，C'P=C'B，所以OC'从而OC'＝OE+EC'＝2+6226．（河南南阳·模拟预测）如图，四棱锥P−ABCD中，AB//CD，AB=12CD=1，E(1)证明：BE//平面PAD；(2)若AB⊥平面PBC，△PBC是边长为2的正三角形，求点E到平面PAD的距离.【解题思路】（1）取PD中点F，由中位线定理易证四边形ABEF为平行四边形，故BE//AF，从而利用线面平行的判定定理即可证得结果；（2）利用线面平行将点E到平面PAD的距离转化为求点B到平面PAD的距离，接着利用等体积法VP−ABD=V【解答过程】（1）如图，取PD的中点F，连结AF,EF，∵E为PC的中点，∴EF//CD，且EF=1又∵AB//CD，且AB=1∴EF//AB，且EF=AB，故四边形ABEF为平行四边形，∴BE//AF，又BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，∴BE//平面PAD.（2）由（1）得BE//平面PAD，故点B到平面PAD的距离等于点E到平面PAD的距离，取BC的中点G，连结PG，如图，∵AB⊥平面PBC，AB⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PBC，又△PBC是边长为2的正三角形，∴PG=3，BC=2，且PG⊥BC∵平面ABCD∩平面PBC=BC，PG⊂面PBC，∴PG⊥平面ABCD，∵四边形ABCD是直角梯形，AB=1,BC=2,CD=2，∴AD=2−1∵AB⊥PB，CD⊥PC，AB=1，PB=PC=2，CD=2，∴PA=AB2∴S△APD记点B到平面PAD的距离为ℎ，∵由VP−ABD=V∴ℎ=S△ABD×PGS△APD=1×27．（全国·高一专题练习）如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BB1C(1)证明：B1(2)若AC⊥AB1，∠CBB1=60°(3)在（2）的条件下，求三棱柱ABC−A【解题思路】(1)要证B1C⊥AB,即证B1(2)要求三菱柱的高，根据题中已知条件可转化为先求点O到平面ABC的距离，即：作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H,则由线面垂直的判定定理可得OH⊥平面ABC,再根据三角形面积相等：OH⋅AD=OD⋅OA,可求出OH的长度，最后由三棱柱ABC−A(3)利用反三角函数分别求出∠ABB1=∠ABC=【解答过程】（1）证明：连接BC1，则O为B1∵侧面BB1C1∵AO⊥平面BB1C1∵AO∩BC1=O，AO⊂平面ABO,BC1⊂平面ABO∵AB⊂平面ABO，∴B1（2）解：作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，如图．∵BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD=O，AO⊂平面AOD,OD⊂平面AOD,∴BC⊥平面AOD，∴OH⊥BC．∵OH⊥AD，BC∩AD=D，BC⊂平面ABC,AD⊂平面ABC,∴OH⊥平面ABC．∵∠CBB1=60°，∵BC=1，∴OD=3∵AC⊥AB1，∴由OH⋅AD=OD⋅OA，且AD=OD2∵O为B1C的中点，∴B1到平面ABC∴三棱柱ABC−A1B（3）解：易知AB=BB1=BC=1∠ABB1=∠ABC=arcsin∠ACC∴S四边形BB1C1C∴表面积为91628．（高一单元测试）如图，在以A、B、C、D、E、F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=4，DF=2，∠AFD=90°，且二面角D−AF−E与二面角C−BE−F都是60°