2023版人教版初中数学同步讲义练习8年级下册第十八章 平行四边形 专题18.1 平行四边形（学生版）

2023版人教版初中数学同步讲义练习八年级下册

专题18.1平行四边形（教师版）1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理；2．掌握平行四边形的判定定理；3．会应用平行四边形的性质与判定定理解决相关的几何证明和计算问题；4.掌握三角形中位线的概念与其性质定理，并能用其进行计算和证明。知识点01平行四边形的性质【知识点】1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”注：只要满足对边平行的四边形都是平行四边形。矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形2）平行四边形的高：一条边上任取一点作另一边的垂线，该垂线的长度称作平行四边形在该边上的高。3）平行四边形的性质：考虑边、角、对角线，有时还会涉及对称性。如下图，四边形ABCD是平行四边形：（1）性质1（边）：=1\*GB3①对边相等；=2\*GB3②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC（2）性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC（3）性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD（4）性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形。【知识拓展1】平行四边形的性质例1．（2022·四川乐山·八年级期末）已知是平行四边形，以下说法不正确的是（）A．其对边相等B．其对角线相互平分C．其对角相等D．其对角线互相垂直【即学即练】1．（2021·四川宜宾·中考真题）下列说法正确的是（）A．平行四边形是轴对称图形 B．平行四边形的邻边相等C．平行四边形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分【知识拓展2】利用平行四边形的性质求角度、长度、面积例2．（2022·陕西碑林·九年级期中）如图，平行四边形ABCD的周长为16，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（）A．4 B．6 C．8 D．10【即学即练】1．（2022·常熟市八年级月考）如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E，F是DB上两点且AE∥CF，若∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，则∠BCF＝（）A．150° B．40° C．80° D．90°2．（2022·浙江八年级期中）如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，ABCD的周长为40，则S为______．【知识拓展3】利用平行四边形的性质求坐标例3．（2022·广东·深圳八年级期中）平行四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OA＝OC＝，则点B的坐标为（）A．(，1) B．(1，) C．(＋1，1) D．(1，＋1)【即学即练】1．（2022·广西·八年级期中）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是（）A．（7，3） B．（8，2） C．（3，7） D．（5，3）【知识拓展4】平行四边形中的翻折问题例4．（2022·绵阳市·八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将沿AE折叠至处，与CE交于点F，若，，则的度数为（）

A．40° B．36° C．50° D．45°【即学即练4】1．（2022·安徽阜阳市·九年级期末）如图，在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，点E、F分别是边AB、CD上的动点，将该四边形沿折痕EF翻折，使点A落在边BC的三等分点处，则AE的长为．【知识拓展5】平行四边形性质的综合（多结论问题）例5．（2022·山东济南市·八年级期末）如图，在ABCD中，AD=2AB，，垂足在线段上，、分别是、的中点，连接，、的延长线交于点，则下列结论：①；②：③；④.其中，正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【即学即练】1．（2022·山东泰安市·九年级期末）如图，的对角线交于点平分交于点，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的个数有（）A．个B．个C．个D．个【知识拓展6】平行线间距离的应用例6．（2022·广东广州市·九年级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC，AC＝24，BE＝5，AD＝8，则两平行线AD与BC间的距离是_____．【即学即练】1．（2022·广西桂林市·七年级期末）如图，若表示三角形的面积，表示三角形的面积，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．知识点02平行四边形的判定【知识点】平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD：1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC。2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC。3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC。4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC。5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO。注：=1\*GB3①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）；=2\*GB3②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形。若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的。【知识拓展1】平行四边形的判定例1．（2022·山东·八年级期末）下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形C．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D．有两组对角相等的四边形是平行四边形【即学即练1】1．（2022·广东·八年级课时练习）下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（）A．两组对边分别平行 B．一组对边平行，另一组对边相等C．对角线互相平分 D．一组对边平行，一组对角相等2．（2022·湖北远安·八年级期末）如图四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，∠DAC=∠BCA B．AB=CD，∠ABO=∠CDOC．AC=2AO，BD=2BO D．AO=BO，CO=DO【知识拓展2】添加一个条件成为平行四边形例2．（2022·绵阳市八年级专题练习）如图，在中，D，F分别是，上的点，且．点E是射线上一点，若再添加下列其中一个条件后，不能判定四边形为平行四边形的是（）A． B． C． D．【即学即练2】2．（2022·山东·宁津县八年级期末）如图，在中，点，分别在边，上．若从下列条件中只选择一个添加到图中的条件中．那么不能使四边形是平行四边形的条件是（）A． B． C． D．【知识拓展3】证明四边形是平行四边形例3．（2022·山西八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．（1）求证：AEF≌DEC；（2）求证：四边形ACDF是平行四边形．【即学即练3】1．（2021·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：（1）；（2）四边形是平行四边形．【知识拓展4】利用平行四边形的性质与判定求解例4．（2022·吉林长春市·八年级月考）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于点O．（1）求证：AD与BE互相平分；（2）若AB⊥AC，AC=BF，BE=8，FC=2，求AB的长．【即学即练4】1．（2022·广东·八年级期中）如图，已知四边形ABCD和四边形BCEF均为平行四边形，∠D＝60°，连接AF，并延长交BE于点P，若AP⊥BE，AB＝3，BC＝2，AF＝1，则BE的长为（）A．5 B．2 C．2 D．3【知识拓展5】利用平行四边形的性质与判定证明例5．（2022·上海九年级专题练习）已知：平行四边形中，点为边的中点，点为边的中点，联结、．（1）求证：∥；（2）过点作，垂足为，联结．求证：△是等腰三角形．【即学即练】1．（2022·辽宁旅顺口·八年级期中）如图，四边形中，，，过点作，垂足为，且．连接，交于点．（1）探究与的数量关系，并证明；（2）探究线段，，的数量关系，并证明你的结论．【知识拓展6】平行四边形中的动态问题例6．（2022·陕西榆林市·八年级期末）如图，的对角线相交于点，点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动，连接，并延长交于点．设点的运动时间为秒．（1）求的长（用含的代数式表示）；（2）当四边形是平行四边形时，求的值；（3）当时，点是否在线段的垂直平分线上？请说明理由．【即学即练】1．（2022·湖南邵阳市·九年级期末）如图，在▱ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，∠A=60°，点P沿AB边从点A开始以2cm/秒的速度向点B移动，同时点Q沿DA边从点D开始以1cm/秒的速度向点A移动，用t表示移动的时间（0≤t≤6）．（1）当t为何值时，△PAQ是等边三角形？（2）当t为何值时，△PAQ为直角三角形？2．（2022·广东惠城·八年级期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，点D从点C出发沿CA方向以cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤60）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．知识点03三角形的中位线定理【知识点】三角形的中位线定理：1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线）2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分别为AB、AC的中点，则DE//BC且DE=BC。【知识拓展1】与中位线相关的计算问题例1．（2022·福建·九年级期中）如图，四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，若∠EPF＝130°，则∠PEF的度数为（）A．25° B．30° C．35° D．50°【即学即练】1．（2022·山东潍坊市·八年级期末）如图，在中，是上一点，于点，点是的中点，若，则的长为（）A． B． C． D．【知识拓展2】三角形的中位线与面积例2．（2022·长春市格致中学九年级期末）如图，有一块形状为△的斜板余料，∠＝90°，＝6，＝8，要把它加工成一个形状为□的工件，使在边BC上,、两点分别在边、上，若点是边的中点，则的面积为_________．【即学即练】1．（2021·四川内江·中考真题）如图，在边长为的等边中，分别取三边的中点，，，得△；再分别取△三边的中点，，，得△；这样依次下去，经过第2021次操作后得△，则△的面积为（）A． B． C． D．【知识拓展3】与中位线相关的证明问题例3．（2022·山东烟台市·八年级期末）如图，在中，是边的中线，是的中点，连接并延长交于点．求证：．【即学即练3】1．（2022·山东东平八年级阶段练习）如图，在中，AE平分，于点E，点F是BC的中点（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：；（2）如图2，中，，求线段EF的长．题组A基础过关练1．（2022·贵州铜仁市·八年级期末）如图，点在直线上移动，是直线上的两个定点，且直线.对于下列各值：①点到直线的距离；②的周长；③的面积；④的大小．其中不会随点的移动而变化的是（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④2．（2022·黑龙江·大庆市北湖学校八年级期末）在□ABCD中，AC=24，BD=38，AB=m，则m的取值范围是（）A．24<m<39 B．14<m<62 C．7<m<31 D．7<m<123．（2022·上海九年级专题练习）四边形中，对角线交于点．给出下列四组条件：①∥，∥；②，；③，；④∥，．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有（）A．1组； B．2组； C．3组； D．4组．4．（2022·重庆江北区·字水中学九年级月考）下列命题是假命题的是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．两组对角分别互补的四边形是平行四边形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形5.（2022·河南·淅川县九年级期中）如图，△ABC中，点M为BC的中点，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于点D．延长BD交AC于点N．若AB＝4，DM＝1，则AC的长为（）A．5 B．6 C．7 D．86．（2022·湖南长沙·九年级期末）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BC，的面积为48，OA＝3，则BC的长为（）A．6 B．8 C．12 D．137．（2022·四川成都市·八年级期末）如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A，B两点，“九曲桥”的每一段与AC平行或BD平行，若AB＝100m，∠A＝∠B＝60°，则此“九曲桥”的总长度为_____．8．（2022·渝中区·重庆九年级期末）已知：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD和BC上，点G、H在对角线AC上，且BF=DE，AH=CG，连接FH、HE、BG、FG．（1）求证：FG=EH．（2）若EG平分∠AEH，FH平分∠CFG，FG//AB，∠ACD=68°，∠GFH=35°，求∠GHF的度数．9．（2022·江苏盐城市·八年级期末）如图，在中，，．（1）尺规作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法）①作的平分线交于点D；②作边的中点E，连接；（2）在（1）所作的图中，若，则的长为__________．10．（2022·黑龙江肇源·八年级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．题组B能力提升练1．（2022·山东青岛市·八年级期末）如图，在平行四边形中，为上一点，，且，，则下列选项正确的为（）A．B．C．D．2．（2022·山东潍坊市·八年级期末）如图，在平行四边形中，平分，则平行四边形的周长是（）A． B． C． D．3．（2022·广东梅州市·九年级期末）点是平行四边形的对称中心，，、分别是边上的点，且；、分别是边上的点，且；若，分别表示和的面积，则，之间的等量关系是__________．4．（2022·北京·人大附中八年级阶段练习）已知点A(3，0)、B(﹣1，0)、C(2，3)，以A、B、C为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标是_____．5．（2022·山东东营市·八年级期末）如图，在中，已知AB=8，BC=6，AC=7，依次连接的三边中点，得到，再依次连接的三边中点，得到，，按这样的规律下去，的周长为____．6．（2022·江西抚州市·九年级期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，使CE＝CD，连接OE交BC于点F，若BC＝4，则CF＝_____．7．（2022·江苏射阳·九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，BF：BE＝4：5，求AD长．8．（2022·河南卫辉·九年级期中）（教材呈现）如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．（定理证明）（1）请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．（定理应用）（2）如图②，四边形中，、、分别为、、的中点，边、延长线交于点，，则的度数是_______．（3）如图③，矩形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转一定的角度，得到线段，是线段的中点，直接写出旋转过程中线段长的最大值和最小值．题组C培优拔尖练1．（2022·浙江杭州市·八年级期末）如图，在平行四边形中，，．作于点E，于点F，记的度数为，，．则以下选项错误的是（）A．B．的度数为C．若，则四边形的面积为平行四边形面积的一半D．若，则平行四边形的周长为2．（2022·浙江杭州市·八年级月考）如图，在平行四边形中，E为边上一点，将沿折叠至，与交于点F，若，则的大小为（）A． B． C． D．3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB于E，在线段AB上，连接EF、CF．则下列结论：①∠BCD=2∠DCF；②∠ECF=∠CE