人教版高一上学期数学(必修一)《4.11数学归纳法》同步测试题含答案

第第页人教版高一上学期数学(必修一)《4.11数学归纳法》同步测试题含答案考试时间：60分钟；满分：100分学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．归纳法由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想的一种方法.归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法.2．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值()时命题成立；第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥,k)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立.上述证明方法称为数学归纳法.3．数学归纳法的重要结论及适用范围【题型1数学归纳法的证明步骤】【方法点拨】结合所给条件，根据数学归纳法的证明步骤，进行求解即可.【例1】（2022·上海·高二专题练习）已知n为正偶数，用数学归纳法证明1−12+13−1A．n=k+1时不等式成立 B．n=k+2时不等式成立C．n=2k+2时不等式成立 D．n=2k+2【变式1-1】（2022·吉林·模拟预测（理））用数学归纳法证明1+a+a2+⋯+A．1=1−a31−a B．1+a=1−a【变式1-2】（2022·上海·高二专题练习）用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)⋅⋯⋅(n+n)=2n⋅1⋅3⋅⋯⋅(2n−1)n∈N∗，从kA．2k+1 B．2C．2k+1k+1 D．【变式1-3】（2022·上海·高二专题练习）在用数学归纳法求证：n+1n+2⋯n+n=2n⋅1⋅3⋯A．2k+2 B．2k+1C．2k+22k+1 D．【题型2用数学归纳法证明恒等式】【方法点拨】数学归纳法可以证明与正整数有关的恒等式问题，其关键在于第二步，它有一个基本格式，我们不妨设命题为P(n)：f(n)=g(n).其第二步相当于做一道条件等式的证明题.【例2】（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：1×2+2×5+⋅⋅⋅+n3n−1=n2n+1【变式2-1】（2022·广西河池·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明：12+1+【变式2-2】（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*).【变式2-3】（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：1×22+2×【题型3用数学归纳法证明不等式】【方法点拨】1.用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式，一般有三种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是比较两个式子的大小，先利用n的几个特殊值猜想大小再给出证明；三是已知不等式成立，寻求变量的取值范围.2.在证明由n=k到n=k+1成立时，一定要用归纳假设n=k时得到的中间过渡式，由过渡式到目标式的证明可以用放缩法、基本不等式法、分析法等.【例3】（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明1+12+13+…+12n≤12+n(【变式3-1】（2021·全国·高二专题练习）求证：(1+1【变式3-2】证明不等式1＋12＋13＋…＋1n<2n(n∈【变式3-3】（2022·江苏·高二课时练习）证明：不等式1+1【题型4用数学归纳法证明几何问题】【方法点拨】用数学归纳法证明几何问题，关键是找出从n=k到n=k+1时图形的变化.【例4】（2022·全国·高二课时练习）求证：n棱柱中过侧棱的对角面(即过棱柱的两条不相邻的侧棱的截面)的个数是f(n)＝12n(n－3)，其中n≥4，n∈N*【变式4-1】（2022·江苏·高二课时练习）平面内有n(n≥2)条直线，其中任何2条不平行，任何3条不过同一点，求证：它们交点的个数f(n)=n(n−1)【变式4-2】（2022·全国·高二课时练习）平面内有n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这n个圆把平面分成了n2【变式4-3】在平面直角坐标系中，函数f（x）＝1﹣x2在第一象限内的图象如图所示，试做如下操作：把x轴上的区间[0，1]等分成n个小区间，在每一个小区间上作一个小矩形，使矩形的右端点落在函数f（x）＝1﹣x2的图象上．若用ak（1≤k≤n，k∈N）表示第k个矩形的面积，Sn表示这n个矩形的面积总和．（1）求ak的表达式；（2）利用数学归纳法证明12+22【题型5用数学归纳法证明整除问题】【方法点拨】用数学归纳法证明整除问题的关键是把n=k+1时的被除数分解成n=k时的式子及含有除数的式子的形式.【例5】（2022·上海·高二专题练习）证明：当n∈N∗时，【变式5-1】（2022·江苏·高二课时练习）先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：n3【变式5-2】（2022·江苏·高二课时练习）证明：n3【变式5-3】（2021·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：n3+n+13+【题型6用归纳法解决与递推公式有关的数列问题】【方法点拨】在给出了已知数列的递推关系的情况下，可根据已知写出数列的前几项，利用不完全归纳法得出结论，然后利用数学归纳法证明该结论.正确计算是归纳的前提，常见的等差数列、等比数列的有关结论是归纳的桥梁，而运用数学归纳法证明才是归纳的最终归宿.【例6】（2022·广西百色·高二期末（理））已知数列{an}的前n项和为Sn，其中(1)试求：a2，a3的值，并猜想数列{a(2)用数学归纳法加以证明.【变式6-1】（2022·全国·高二课时练习）已知数列an的前n项和为Sn，a2（1）求S12、S2（2）由（1）猜想数列Sn【变式6-2】已知数列{an}中，a1＝1且an+1=a（Ⅰ）求数列{an}的第2，3，4项；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法进行证明．【变式6-3】（2022·广西·高二阶段练习（理））请你从下列两个递推公式中，任意选择一个填入题中横线上，并解答题后的两个问题：①Sn−1②a已知数列an的前n项和为Sn，且(1)求a2(2)猜想数列an参考答案【题型1数学归纳法的证明步骤】【方法点拨】结合所给条件，根据数学归纳法的证明步骤，进行求解即可.【例1】（2022·上海·高二专题练习）已知n为正偶数，用数学归纳法证明1−12+13−1A．n=k+1时不等式成立 B．n=k+2时不等式成立C．n=2k+2时不等式成立 D．n=2k+2【解题思路】利用已知及其数学归纳法的定义即可得出．【解答过程】若已假设n=k（k>2，k为偶数）时命题为真，因为n只能取偶数，所以还需要证明n=k+2成立．故选：B．【变式1-1】（2022·吉林·模拟预测（理））用数学归纳法证明1+a+a2+⋯+A．1=1−a31−a B．1+a=1−a【解题思路】根据数学归纳法的步骤要求，第一步归纳奠基时，验证n=1时的等式，结合所要证明的等式，即可得答案.【解答过程】将n=1代入等式1+a+a2+⋯+则第一步归纳奠基时，要验证的等式即为1+a+a故选：D.【变式1-2】（2022·上海·高二专题练习）用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)⋅⋯⋅(n+n)=2n⋅1⋅3⋅⋯⋅(2n−1)n∈N∗，从kA．2k+1 B．2C．2k+1k+1 D．【解题思路】按照数学归纳法类比题干条件逐项展开即可.【解答过程】当n=k时,左边等于(k+1)(k+2)⋅⋯⋅(k+k);当n=k+k+1+即左边等于(k+2)(k+3)⋅⋯⋅(k+k)(2k+1)(2k+2)；所以左边增乘的项为2k+12k+2故选：B.【变式1-3】（2022·上海·高二专题练习）在用数学归纳法求证：n+1n+2⋯n+n=2n⋅1⋅3⋯A．2k+2 B．2k+1C．2k+22k+1 D．【解题思路】根据题意，分别得到n=k和n=k+1时，左边对应的式子，两式作商，即可得出结果.【解答过程】当n=k时，左边A=(k+1)(k+2)⋯(k+k)=(k+1)(k+2)⋯(2k)，当n=k+1时，左边B=(k+1)(k+2)⋯(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)⋯(2k+2)，则BA故选：D.【题型2用数学归纳法证明恒等式】【方法点拨】数学归纳法可以证明与正整数有关的恒等式问题，其关键在于第二步，它有一个基本格式，我们不妨设命题为P(n)：f(n)=g(n).其第二步相当于做一道条件等式的证明题.【例2】（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：1×2+2×5+⋅⋅⋅+n3n−1=n2n+1【解题思路】先验证n=1时，等式成立，再假设n=k时，1×2+2×5+⋅⋅⋅+k3k−1=k【解答过程】证明：①当n=1时，1×2+2×5+⋅⋅⋅+n3n−1=1×2，②假设n=k时，1×2+2×5+⋅⋅⋅+k3k−1则n=k+1时，1×2+2×5+⋅⋅⋅+k=(k+1)(k即n=k+1时，等式成立，综合①②可知，1×2+2×5+⋅⋅⋅+n3n−1=n2n+1【变式2-1】（2022·广西河池·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明：12+1+【解题思路】根据数学归纳法的步骤即可完成证明【解答过程】证明：①当n=1时，左边=2，右边=1②假设当n=k(k∈N即12那么当n=k+1时，12+1=1故当n=k+1时，等式也成立．综上可知等式对任意正整数n都成立．【变式2-2】（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*).【解题思路】根据数学归纳法的步骤证明即可.【解答过程】证明：（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝2(2－3)＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立.（2）假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＝2k(2k－3)＋3.则当n＝k＋1时，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2(k＋1)[2(k＋1)－3]＋3，即当n＝k＋1时，等式也成立.由（1）（2）知，等式对任何n∈N*都成立.【变式2-3】（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：1×22+2×【解题思路】首先假设首项成立，再假设n=kk≥1,k∈N∗【解答过程】（1）当n=1时，左边=1×2右边=1×所以左边=右边，等式成立.（2）假设当n=kk≥1,k∈即1×2那么当n=k+1时，1×====k+1综上，对任何n∈N【题型3用数学归纳法证明不等式】【方法点拨】1.用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式，一般有三种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是比较两个式子的大小，先利用n的几个特殊值猜想大小再给出证明；三是已知不等式成立，寻求变量的取值范围.2.在证明由n=k到n=k+1成立时，一定要用归纳假设n=k时得到的中间过渡式，由过渡式到目标式的证明可以用放缩法、基本不等式法、分析法等.【例3】（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明1+12+13+…+12n≤12+n(【解题思路】按数学归纳法证明命题的步骤直接证明即可.【解答过程】(1)当n＝1时，左边=1+1即当n＝1时，原不等式成立，(2)假设当n=k(k∈N*)时，原不等式成立，即1+12+13+…+12k≤则当n=k+1时，1+12+13+…+12k+12k+1+12k+2+…+12即当n=k+1时，不等式成立，综合(1)和(2)得，原不等式对所有的n∈N*都成立.【变式3-1】（2021·全国·高二专题练习）求证：(1+1【解题思路】根据给定条件借助数学归纳法证明命题的一般步骤直接证明即可.【解答过程】(1)当n=2时，左边=1+13=(2)假设当n=k(k≥2，k∈N*)时，原不等式成立，即(1+1则当n=k+1时，左边=(1+=2k+1因此，当n=k+1时，原不等式成立，综合(1)和(2)知，对一切n≥2，n∈N*，原不等式都成立.【变式3-2】证明不等式1＋12＋13＋…＋1n<2n(n∈【解题思路】利用数学归纳法可证明，先假设n＝k时成立，再证明n＝k＋1时成立即可.【解答过程】当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即1+1当n＝k＋1时，1+<2<(所以当n＝k＋1时，不等式成立．综上，原不等式对任意n∈N*都成立．【变式3-3】（2022·江苏·高二课时练习）证明：不等式1+1【解题思路】用数学归纳法证明，由n=1时成立，再假设n=k时，不等式1+12+【解答过程】当n=1时，1>1假设n=k时，不等式1+1那么n=k+1时，1+1∵12k−1+1>12∴1+1即n=k+1时，该不等式也成立，综上：不等式1+1【题型4用数学归纳法证明几何问题】【方法点拨】用数学归纳法证明几何问题，关键是找出从n=k到n=k+1时图形的变化.【例4】（2022·全国·高二课时练习）求证：n棱柱中过侧棱的对角面(即过棱柱的两条不相邻的侧棱的截面)的个数是f(n)＝12n(n－3)，其中n≥4，n∈N*【解题思路】用数学归纳法证明即可.【解答过程】证明:（1）当n＝4时，四棱柱有2个对角面，此时f(4)＝12（2）假设当n＝k(k≥4，k∈N*)时，命题成立.即k棱柱中过侧棱的对角面有f(k)＝12k(k现在考虑n＝k＋1时的情形.对于(k＋1)棱柱A1A2…Ak＋1－B1B2…Bk＋1，棱Ak＋1Bk＋1与其余和它不相邻的(k－2)条棱共增加了(k－2)个对角面，而面A1B1BkAk变成了对角面.因此对角面的个数为f(k)＋(k－2)＋1＝12k(k－3)＋k－1＝12(k－2)(k＋1)＝12(k＋1)[(k＋1)－3]，即f(k＋1)＝12(由（1）和（2），可知原结论成立.【变式4-1】（2022·江苏·高二课时练习）平面内有n(n≥2)条直线，其中任何2条不平行，任何3条不过同一点，求证：它们交点的个数f(n)=n(n−1)【解题思路】利用数学归纳法的证明步骤，即可证明结论．【解答过程】证明：（1）当n=2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)=1∴当n=2时，命题成立．（2）假设n=k∈N∗，且(k>2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数那么，当n=k+1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)=12k(k−1)，l与其他k条直线交点个数为k，从而k+1即f(k+1)=f(k)+k=1这表明，当n=k+1时，命题成立．由（1）、（2）可知，对n∈N【变式4-2】（2022·全国·高二课时练习）平面内有n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这n个圆把平面分成了n2【解题思路】利用数学归纳法进行证明.【解答过程】当n=1时，1个圆将平面分为2个区域，12假设当n=k时，k个圆将平面分为k2当n=k+1时，第k+1个圆Ck+1与前k个圆交于2k个点，这2k个点把这个圆分为2k因此，这时平面被分割的总数在原来的基础上又增加了2k个部分，即k2即当n=k+1时，命题成立，根据数学归纳法可得：平面内有n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，这n个圆把平面分成了n2【变式4-3】在平面直角坐标系中，函数f（x）＝1﹣x2在第一象限内的图象如图所示，试做如下操作：把x轴上的区间[0，1]等分成n个小区间，在每一个小区间上作一个小矩形，使矩形的右端点落在函数f（x）＝1﹣x2的图象上．若用ak（1≤k≤n，k∈N）表示第k个矩形的面积，Sn表示这n个矩形的面积总和．（1）求ak的表达式；（2）利用数学归纳法证明12+22【解题思路】（1）第k个矩形的高为1−(k（2）先用数学归纳法证明12+22+⋯+n【解答过程】解：（1）由题意第k个矩形的高是1−∴ak（2）（i）当n＝1时，13（ii）设n＝k时命题成立，即12则n＝k+1时，1=1=1∴n＝k+1时命题成立，综上，n∈N*时，命题为真，即12∴S=1−【题型5用数学归纳法证明整除问题】【方法点拨】用数学归纳法证明整除问题的关键是把n=k+1时的被除数分解成n=k时的式子及含有除数的式子的形式.【例5】（2022·上海·高二专题练习）证明：当n∈N∗时，【解题思路】运用数学归纳法进行证明即可.【解答过程】（1）当n=1时，f1（2）假设当n=kk≥1,k∈N∗则当n=k+1时，fk+1故fk+1综合（1）（2）可知当n∈N∗时，【变式5-1】（2022·江苏·高二课时练习）先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：n3【解题思路】先分别用n取1,2,3,4时验证，则可猜想：n3【解答过程】n=1时，原式=6，n=2时，原式=18，n=3时，原式=42，n=4时，原式=84，这些数都可以被6整除，所以猜想：n3证明：（1）当n=1时，13（2）假设当n=k(k∈N∗)当n=k+1(k∈N∗)其中两个连续自然数之积是偶数，它的3倍能被6整除，由假设知k3故k3+5k，所以当n=k+1时，命题也成立．据（1）（2），可知n3故n3【变式5-2】（2022·江苏·高二课时练习）证明：n3【解题思路】利用数学归纳法即可证明.【解答过程】解：⑴当n=1时，n3⑵假设当n=k时，命题成立，即n3当n=k+1时，n3由假设知：k3而kk+1为偶数，故3k故k+13即当n=k+1时，命题成立，由⑴⑵可知，命题对一切正整数成立，即n3【变式5-3】（2021·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：n3+n+13+【解题思路】先验证n=1时，n3+n+13+n+23能被9整除；假设当n=k时，k【解答过程】证明：（1）当n=1时，13+2（2）假设当n=kk∈N∗时结论成立，即k则当n=k+1时，k+1=k因为k3+k+13+k+23所以，k+13+k+23+由（1）（2）知命题对一切n∈N【题型6用归纳法解决与递推公式有关的数列问题】【方法点拨】在给出了已知数列的递推关系的情况下，可根据已知写出数列的前几项，利用不完全归纳法得出结论，然后利用数学归纳法证明该结论.正确计算是归纳的前提，常见的等差数列、等比数列的有关结论是归纳的桥梁，而运用数学归纳法证明才是归纳的最终归宿.【例6】（2022·广西百色·高二期末（理））已知数列{an}的前n项和为Sn，其中(1)试求：a2，a3的值，并猜想数列{a(2)用数学归纳法加以证明.【解题思路】（1）根据递推关系写出a2，a（2）应用数学归纳法，首先判断n=1时通项公式是否成立，再假设n=k时通项公式成立，进而利用an,S【解答过程】(1)因为an=S所以a2=S因为a3所以14a3=由a1=1(2)①当n=1时，a1②假设当n=k时猜想成立，即a那么，当n=k+1时，由题设an=Snn(2n−1)所以Sk=k(2k−1)a则ak+1因此，k(2k+3)a所以ak+1这就证明了当n=k+1时命题成立.由①②可知：命题对任何n∈N【变式6-1】（2022·全国·高二课时练习）已知数列an的前n项和为Sn，a2（1）求S12、S2（2）由（1）猜想数列Sn【解题思路】（1）由an=12+1n（2）由（1）猜想，数列Sn2n的通项公式为Sn2n=n2【解答过