第5章　第3讲　平面向量的数量积

第五章平面向量与复数第三讲平面向量的数量积知识梳理·双基自测名师讲坛·素养提升考点突破·互动探究提能训练练案[32]知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一向量的夹角a与b的夹角为______时，则a与b垂直，记作a⊥b.∠AOB[0，π]知识点二平面向量的数量积1．定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝___________________，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.|a||b|cosθ投影投影向量|a|cosθe知识点三平面向量数量积的性质及其坐标表示1．设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝______________.x1x2＋y1y2(5)已知两非零向量a与b，a⊥b⇔a·b＝0⇔__________________；a∥b⇔a·b＝±|a||b|(或|a·b|＝|a|·|b|)．x1x2＋y1y2＝02．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．归

纳

拓

展1．两个向量的数量积是一个实数．∴0·a＝0而0·a＝0.2．数量积不满足结合律(a·b)·c≠a·(b·c)．3．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.4．两向量a与b的夹角为锐角⇔a·b>0且a与b不共线；两向量a与b的夹角为钝角⇔a·b<0，且a与b不共线．当a、b为非零向量时a、b同向⇔a·b＝|a||b|；a、b反向⇔a·b＝－|a||b|.5．投影向量的表示：双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(2)a·b>0，则a与b的夹角为锐角；a·b<0，则a与b的夹角为钝角．()(3)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.()(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.()(5)(a·b)·c＝a·(b·c)．()×××××题组二走进教材2．(必修2P36T2改编)向量a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()A．6 B．5C．1 D．－6[解析]

由题意知2a＋b＝(3,0)，∴(2a＋b)·a＝(3,0)·(2，－1)＝6，故选A.AA．45° B．135°C．－45° D．30°AC1题组三走向高考B故选B.解法二：以D为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则E(1,2)，C(2,0)，D(0,0)，故选B.A．－2 B．－1C．1 D．2C8．(2021·全国乙，14,5分)已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________.[解析]

根据(a－λb)⊥b得(a－λb)·b＝0，再转化为坐标运算，得到关于λ的方程求解即可．解法一：由a＝(1,3)，b＝(3,4)，得a－λb＝(1－3λ，3－4λ)，由(a－λb)⊥b得(a－λb)·b＝0，解法二：由(a－λb)⊥b得(a－λb)·b＝0，即a·b－λb2＝0，a·b＝1×3＋3×4＝15，b2＝3×3＋4×4＝25，考点突破·互动探究平面向量数量积的运算——师生共研B2．(2022·全国新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝()A．－6 B．－5C．5 D．6C－25＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)＝－20cosC－15cosA解法二：如图，建立平面直角坐标系，则A(3,0)，B(0,0)，C(0,4)．名师点拨：向量数量积的四种计算方法1．当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cosθ.2．当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.3．转化法：当模和夹角都没给出时，即用已知模或夹角的向量作基底来表示要求数量积的向量求解．4．坐标法：结合图形特征适当建立坐标系，求出向量的坐标，进而求其数量积(如本例3)．【变式训练】A．－3 B．－2C．2 D．3C2．已知a·b＝16，e是与b方向相同的单位向量．若向量a在向量b上的投影向量为4e，则|b|＝()A．4 B．2C．1 D．8[解析]

设a与b的夹角为θ，∵a·b＝16，∴|a||b|cosθ＝16.又∵向量a在向量b上的投影向量为4e，∴|a|cosθ＝4，∴|b|＝4.故选A.AA向量的模、夹角——多维探究角度1向量的模2∵△ABC中，D为BC的中点，名师点拨：平面向量的模的解题方法2．若向量a，b是非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．即“模的问题平方求解．”角度2向量的夹角1.(2019·全国卷Ⅰ，5分)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()B[解析]

解法一：由题意得，(a－b)·b＝0⇒a·b＝|b|2，∴|a||b|·cos〈a，b〉＝|b|2，∵|a|＝2|b|，D∴分别以a，b，c为边构造等腰直角三角形OAB，如图所示，名师点拨：求两向量夹角的方法及注意事项2．注意：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．角度3平面向量的垂直1.(2023·新课标Ⅰ，3,5分)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则()A．λ＋μ＝1

B．λ＋μ＝－1C．λμ＝1 D．λμ＝－1[解析]

由题意得(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即a2＋(λ＋μ)a·b＋λμb2＝0，∵a＝(1,1)，b＝(1，－1)，∴a2＝2，b2＝2，a·b＝0，∴2＋2λμ＝0，解得λμ＝－1，故选D.DA因此－λ×32＋42＋(λ－1)×3×4×cos120°＝0，名师点拨：平面向量垂直问题的解题思路解决向量垂直问题一般利用向量垂直的充要条件a·b＝0求解．【变式训练】1．(角度1)设a，b为单位向量，且|a－b|＝1，则|a＋2b|＝()D2．(角度2)已知单位向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a与b－a的夹角为()D[解析]

方法一：设a与b－a的夹角为θ.因为|a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2，即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，所以a·b＝0.因为a，b为单位向量，所以(b－a)2＝2，因为a·(b－a)＝a·b－a·a＝－1＝|a||b－a|cosθ，3．(角度3)(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是()A．a＋2b B．2a＋bC．a－2b D．2a－bD名师讲坛·素养提升有关数量积的最值问题的四种解法一、目标函数法二、换元法