数学（北京A卷）-学易金卷：2023年高考第一次模拟考试卷 附解析

2023年高考数学第一次模拟考试卷高三数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第一部分（选择题40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．设集合，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由集合运算法则计算.【详解】因为，所以或，则．故选：D．2．已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数的运算，即可求解．【详解】解：复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，，故选：D．3．直线与圆相切，则实数m的值是（

）A．±1 B．±2 C．±4 D．±8【答案】B【分析】直线方程代入圆方程后，由判别式为0求得的值，同时注意方程表示圆时的范围．【详解】由，得，∴，，又方程表示圆时，，或，满足题意．故选：B．4．已知函数则方程的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】考虑和两种情况，代入解方程得到答案.【详解】当时，，故，解得或（舍去）；当时，，故，解得或（舍去）.综上所述：或.故选：B5．已知函数在区间上单调，且对任意实数均有成立，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，利用正弦函数的图象和性质，求出，由是函数的最大值点，即可求出.【详解】由题意知，函数的最小正周期为，因为函数在上单调，且恒成立，所以，即，解得，又是函数的最大值点，是函数的最小值点，所以，又，解得.故选：D.6．记为数列的前n项和，“对任意正整数n，均有”是“为递减数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据与的关系，利用作差法，可得充分性，取特殊例子，可得必要性，即得答案.【详解】当时，则，∴，则“对任意正整数n，均有”是“为递减数列”的充分条件；如数列为，显然数列是递减数列，但是不一定小于零，还有可能大于或等于零，所以“对任意正整数n，均有”不是“为递减数列”的必要条件，因此“对任意正整数n，均有”是“为递减数列”的充分不必要条件.故选：A.7．2020年，由新型冠状病毒（SARS-CoV-2）感染引起的新型冠状病毒肺炎（COVID-19）在国内和其他国家暴发流行，而实时荧光定量PCR（RT-PCR）法以其高灵敏度与强特异性，被认为是COVID-19的确诊方法，实时荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量与扩增次数n满足，其中p为扩增效率，为DNA的初始数量.已知某样本的扩增效率，则被测标本的DNA大约扩增（

）次后，数量会变为原来的125倍.（参考数据：）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【分析】根据题意，化简，得，可得，利用参考数据，可得答案.【详解】因为，所以.由题意，知，得，故被测标本的DNA大约扩增12次后，数量会变为原来的125倍.故选：C8．若，则（

）A．5 B． C．3 D．【答案】B【分析】由二项式定理展开左边的多项式后可得．【详解】，则．故选：B.9．取两个相互平行且全等的正n边形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面体称作“n角反棱柱”.当n=4时，得到如图所示棱长均为2的“四角反棱柱”，则该“四角反棱柱”外接球的表面积等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据球的性质，结合四角反棱柱的几何性质、球的表面积公式进行求解即可.【详解】如图所示：设上下底面的中心分别为，设该“四角反棱柱”外接球的球心是，显然是的中点，设的中点为，连接，过做，垂足为，因为，，所以，在直角三角形中，，所以有，于是有，在直角三角形中，，所以该“四角反棱柱”外接球的表面积等于，故选：B10．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形.其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题:①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是；②当时，直线与白色部分有公共点；③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点，则的最大值为；④若点，为圆过点的直径，线段是圆所有过点的弦中最短的弦，则的值为.其中所有正确结论的序号是（

）A．①③ B．③④ C．①③④ D．①②④【答案】C【分析】利用几何概型的概率公式可判断①的正误；计算直线与圆的位置关系以及数形结合可判断②的正误；利用点到直线的距离公式以及数形结合可判断③的正误；求出点、、、的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可判断④的正误.【详解】对于①，设黑色部分区域的面积为，整个圆的面积为，由对称性可知，，所以，在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率为，故①正确；对于②，当时，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，下方白色小圆的方程为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，如下图所示：由图可知，直线与与白色部分无公共点，故②错误；对于③，黑色阴影部分小圆的方程为，设，如下图所示：当直线与圆相切时，取得最大值，且圆的圆心坐标为，半径为，可得，解得，由图可知，，故，故③正确；对于④，由于是圆中过点的直径，则、为圆与轴的两个交点，可设、，当轴时，取最小值，则直线的方程为，可设点、，所以，，，，，所以，，故④正确.故选：C.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．函数的定义域是________．【答案】【分析】根据题意列出不等式，求解即可.【详解】要使函数有意义，需满足，解得且，故该函数定义域为.故答案为：.12．双曲线，写出一个与双曲线有共同的渐近线但离心率不同的双曲线方程______．【答案】（答案不唯一）【分析】根据有共同渐近线的双曲线方程的性质进行求解即可.【详解】与双曲线有共同的渐近线的双曲线方程可设为，当时，得到双曲线方程为，显然该双曲线与双曲线有共同的渐近线但离心率不同，故答案为：13．如图，一根绝对刚性且长度不变､质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动.沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系，若的函数图象如下图所示，则___________.【答案】【分析】由图象可知，，可求得的值.【详解】由，得由得，故.所以故答案为：14．已知函数，若，则________；若且，则的最小值是______．【答案】

或；

.【分析】空一：利用代入法，结合分类讨论法进行求解即可；空二：利用指数函数和一次函数的单调性，结合构造函数法，利用导数的性质进行求解即可.【详解】空一：当时，，当时，；空二：当时，函数单调递增，所以，当时，函数单调递增，所以，且，当时，设，所以有，且，于是有，，因此有，设，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最小值，即，故答案为：或；.【点睛】关键点睛：利用构造函数法进行求解是解题的关键.15．已知数列满足，设，则下列结论正确的是__________．①；②；③；④若等差数列满足，其前n项和为，则，使得【答案】①③④【分析】通过题目给的首项与通项公式，可以算出前几项，发现该数列是一个从第四项开始的周期数列，然后可以通过计算验证选项①、③，根据数列的实际取值，可以判断选项②，通过比较和的增长幅度，可以判断选项④.【详解】，，，，，，，，，此数列是从第四项开始的的周期数列，且满足，，故①正确；选项②，在数列中，，，，，，是不存在，故②错误；选项③，，故③正确；选项④，等差数列，，，，其，数列是从第四项开始的的周期数列，而，呈指数被的增长，无穷大，而是一个二次函数的增长形式，增长幅度相对于指数而言有限，故，使得，所以选项④正确.故答案为：①③④三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题13分）在中，，，所对的边为，，，满足.(1)求的值；(2)若，，则的周长.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据余弦定理直接求解即可求出角；（2）首先结合（1）可知，然后根据正弦定理求出，长度，即可求出三角形周长.【详解】（1）由，，，.（2），，，，根据正弦定理，得，解得，；因此三角形周长为.17．（本小题14分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，为的中点.（1）证明:平面;（2）在①，②这两个条件中任一个，补充在下面的横线上，并作答.若________，求与平面所成的角.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）连接，交于，连接，根据可证；（2）以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立如图空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用向量关系可求.【详解】（1）连接，交于，连接，底面是菱形，为中点，为中点，，平面，平面，平面；（2）选①：以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立如图空间直角坐标系，底面是菱形，，，，则，设平面的法向量为，则，取可得，设与平面所成的角为，则，所以与平面所成的角为；选②：以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立如图空间直角坐标系，取中点，连接，底面是菱形，，，平面，为的中点，，平面，，，，则，设平面的法向量为，则，取可得，设与平面所成的角为，则，所以与平面所成的角为；18．（本小题13分）为了解学生上网课使用的设备类型情况，某校对学生进行简单随机抽样.获得数据如下表：设备类型仅使用手机仅使用平板仅使用电脑同时使用两种及两种以上设备使用其他设备或不使用设备使用人数171665320假设所有学生对网课使用的设备类型的选择相互独立．(1)分别估计该校学生上网课仅使用手机的概率，该校学生上网课仅使用平板的概率；(2)从该校全体学生中随机抽取3人进行调查，设随机变量X表示这3人中仅使用电脑的人数，以频率估计概率，求X的分布列和数学期望；(3)假设样本中上网课同时使用两种设备的人数是22，用表示上网课仅使用一种设备，表示上网课不仅仅使用一种设备；用表示上网课同时使用三种设备，表示上网课不同时使用三种设备.试比较方差，的大小.（结论不要求证明）【答案】(1)仅使用手机的概率为，仅使用平板的概率为(2)分布列见解析，(3)【分析】（1）用频率估计概率，根据表格计算即可得出答案；（2）学生上网课仅使用电脑的概率，写出随机变量的所有取值，求出对应概率，从而可得分布列，再根据期望公式计算期望即可；（3）根据步骤分别求出和的期望，再根据公式分别求出，，即可得出结论.（1）解：学生上网课仅使用手机的概率为，学生上网课仅使用平板的概率为；（2）解：学生上网课仅使用电脑的概率为，可取，且，，，，，则分布列为：0123；（3）解：，，所以，，，，所以，，所以.19．（本小题15分）已知椭圆的离心率为，短轴长为．(1)求椭圆的方程；(2)设过点的动直线与椭圆交于、两点（点在轴上方），、为椭圆的左、右顶点，直线，与轴分别点、，为坐标原点，求的值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求解即可得答案；（2）由题意，设直线的方程为，，，则，，联立，利用韦达定理可得，易得，，由化简即可得答案.(1)解：由题意，有，解得，，所以椭圆的方程为；(2)解：由题意，点在轴上方且过点，则直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，则，，由，可得，，，，

所以，即，由，，所以，则直线的方程为，令，得，所以，所以，则直线的方程为，

令，得，所以，所以，所以．20．（本小题15分）已知函数，直线与曲线相切．(1)求实数的值；(2)若曲线与直线有两个公共点，其横坐标分别为．①求实数的取值范围；②证明：．【答案】(1)(2)①；②证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义，即可求解；（2）①问题转化为有2个实数根，转化为与有2个交点，利用导数分析函数，即可求解的取值范围；②构造函数，，利用导数判断函数的单调性，再结合极值点偏移问题的解决方法，即可证明.【详解】（1）设切点，，得，，所以，代入直线方程得；（2）①由（1）知，若曲线与直线有两个公共点，则等价于有2个实数根，，设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，当趋向于正无穷大时，趋向于0，当趋向于负无穷大时，趋向于负无穷大，则；②，即，等价于，令，，，因为，所以，故，所以在上单调递增，故,不妨设，故，即，由已知，所以，由①知，当时，单调递增，故，所以，所以.21．（本小题15分