第三章(3)非周期信号的频谱

1、周期信号的频谱2、周期信号频谱的特点3、周期信号的功率谱2021/6/2713.4非周期信号的频谱

前已指出，当周期趋于无限大时，相邻谱线的间隔趋近于无穷小，从而信号的频谱密集成为连续频谱。同时，各频率分量的幅度也都趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍保持一定的比例关系。

为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。

令称

为频谱密度函数。一、傅里叶变换2021/6/272.当周期

趋近于无限大时，

趋近于无穷小，取其为

，而

将趋近于

，

是变量，当

时，它是离散值，当

趋近于无限小时，它就成为连续变量，取为

，求和符号改为积分。

由式

，

可得如何求频谱密度函数？2021/6/273于是当

时，式成为（1）式称为函数

的傅里叶变换

。（2）式称为函数

的傅里叶逆变换。

称为

的频谱密度函数或频谱函数.

称为

的原函数。

简记为

ℱ2021/6/274

与周期信号的傅里叶级数相类似，在f(t)是实函数时，

F(ω)、φ(ω)与R(ω)、

X(ω)相互之间存在下列关系：

是

的偶函数。是

的奇函数。2021/6/275

在f(t)是实函数时：

(1)若f(t)为t的偶函数，即f(t)=f(-t)，则f(t)的频谱函数F(jω)为ω的实函数，

且为ω的偶函数。

(2)若f(t)为t的奇函数，即f(-t)=-f(t)，则f(t)的频谱函数F(jω)为ω的虚函数，且为ω的奇函数。

与周期信号类似，也可将非周期信号的傅里叶变换表示式改写成三角函数的形式，即

结论：2021/6/2762021/6/277上式表明，非周期信号可看作是由不同频率的余弦“分量”所组成，它包含了频率从零到无限大的一切频率“分量”。由式可见，

相当于各“分量”的振幅，它是无穷小量。

所以信号的频谱不能再用幅度表示，而改用密度函数来表示。类似于物质的密度是单位体积的质量，函数

可看作是单位频率的振幅，称

为频谱密度函数。2021/6/278例3.4-1下图所示为门函数（或称矩形脉冲），用符号

表示，其宽度为

，幅度为

。求其频谱函数。0二、典型信号的傅里叶变换2021/6/279解：

如图所示的门函数可表示为其频谱函数为2021/6/2710图

3.4-1门函数及其频谱一般而言，信号的频谱函数需要用幅度谱

和相位谱

两个图形才能将它完全表示出来。但如果频谱函数是实函数或虚函数，那么只用一条曲线即可。

为负代表相位为

，

为正代表相位为

。00实偶实偶2021/6/2711由图可见，第一个零值的角频率为

（频率

）。

当脉冲宽度减小时，第一个零值频率也相应增高。对于矩形脉冲，常取从零频率到第一个零值频率

之间的频段为信号的频带宽度。

这样，门函数的带宽

，脉冲宽度越窄，其占有的频带越宽。0(时域越窄,频域越宽)2021/6/2712例3.4-2求下图所示的单边指数函数的频谱函数.0t图

3.4-2单边指数函数解:将单边指数函数的表示式

代入到式

中得：2021/6/2713这是一复函数,将它分为模和相角两部分：2021/6/2714幅度谱和相位谱分别为：频谱图如下图所示：

(

)

0-

/2

/2(b)相位频谱图

3.4-3单边指数函数

01/

(a)振幅频谱2021/6/2715例

3.4-3求下图所示双边指数信号的频谱函数。

e

t10tf1(t)e-

t解：上图所示的信号可表示为：或者写为2021/6/2716将

代入到式

，可得其频谱函数为：2021/6/2717其频谱图如下所示

：F1(j

)

02/

实偶实偶e

t10tf1(t)e-

t2021/6/2718例3.4-4求下图所示信号的频谱函数。-e

t10tf2(t)e-

t-1解:上图所示的信号可写为

：（其中

)2021/6/2719-e

t10tf2(t)e-

t-12021/6/2720其频谱图如下图所示：X2(

)

01/

-1/

实奇虚奇-e

t10tf2(t)e-

t-12021/6/2721例3.4-5求冲激函数的频谱

ℱ即单位冲激函数的频谱是常数

，如下图所示。其频谱密度在区间

处处相等，常称为“均匀谱”或“白色频谱”。

0t

(t)0

1F(j

)(a)(b)图

3.4-6单位冲激函数的频谱2021/6/2722冲激函数一阶导数的频谱函数为

：ℱ按冲激函数导数的定义

：可知即

ℱ同理可得ℱ2021/6/2723例3.4-6求单位直流信号的频谱显然，该信号不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换却存在。它可以看作是函数

当

时的极限

。则直流信号的频谱函数也应是

的频谱函数

当

时的极限。

0e

t1tf1(t)e-

t2021/6/2724所以

即

ℱ当

趋近于零时我们已经知道

的频谱函数为：2021/6/2725f1(t)0t

1

2

3

4(a)

4

3

2

10

2

(

)(b)图3.4-7求

[1]的极限过程ℱ0

2

(

)(b)0t1(a)图

3.4-8直流信号的频谱2021/6/2726例3.4-7

求符号函数的频谱符号函数定义为显然,该函数也不满足绝对可积条件。函数可看作函数：当时的极限。2021/6/2727则它的频谱函数也是

的频谱函数

，当

时的极限。

我们已知

的频谱函数为：它是

的奇函数，在

处

。

因此，当

趋近于零时，有

：2021/6/2728于是得ℱ它在

处的值等于零。0tSgn(t)1-1(a)X(

)0

(b)

图

3.4-9sgn(t)及其频谱2021/6/2729例3.4-8求阶跃函数的频谱

对上式两边进行傅里叶变换，得

:ℱℱℱℱ2021/6/2730

图

3.5-11

(t)及其频谱0

(

)R(

)X(

)0

R(

)

(

)-1/

X(

)0

-1/

1/20